上海市金山中学2016_2017学年高二数学下学期期末考试试题201810290247.wps

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1、上海市金山中学 2016-20172016-2017 学年高二数学下学期期末考试试题 （考试时间：120分钟 满分：150 分） 一、填空题( (本大题满分 5454分) )本大题共有 1212题，其中第 1 1 题至第 6 6 题每小题 4 4 分，第 7 7 题 至第 1212题每小题 5 5 分，考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果，否则一律得零分 1 的展开式中 项的系数为 x 1 x2 5 2已知直线l 经过点 5,0且方向向量为2,1，则原点O 到直线l 的距离为 . 3已知全集U R ，集合 A x x x x R,B x m 2 x m 2, x R, 2 2 3 0,

2、 若 0 3, ，则实数 的值为 . C A B x x x R m U x y 12, 4若变量 x, y 满足约束条件 2x y 0, 则 z y x 的最小值为_. x 2y 0, 2 2 x t 5 直 线 (t ) 上 与 点 的 距 离 等 于 的 点 的 坐 标 为参数 A(2, 3) 2 y t 是 . 6某学生在上学的路上要经过 2 个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红 1 灯的概率都是 ，则这名学生在上学路上到第二个路口时第一 3 次遇到红灯的概率是 . 7某学校随机抽取100名学生调查其上学所需时间（单位：分钟）， 并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图）

3、，其中，上学所需 时间的范围是0,100，样本数据分组为0, 20，20, 40， 40, 60 60,80 80,100 ， ， 则该校学生上学所需时间的 均值估计为 （精确到1分钟）. 8一个口袋内有 4 个不同的红球，6 个不同的白球，若取一个红球记 2 分，取一 个 白 球 记 1 分 ， 从 中 任 取 5 个 球 ， 使 总 分 不 少 于 7 分 的 取 法 有 多 少 种 . 9 如 图 ， 三 棱 锥 P ABC 满 足 ： AB AC ， AB AP ， AB 2 ， （第 9 题图） - 1 - AP AC 4 ，则该三棱锥的体积 V 的取值范围是 x y M , N 2

4、 2 10 P 是 双 曲 线 1的 右 支 上 一 点 ， 分 别 是 圆 (x 5)2 y2 4 和 9 16 (x 5) y 1上的点，则 PM PN 的最大值等于 . 2 2 11棱长为 1 的正方体ABCD A B C D 及其内部一动点 P ，集合Q P PA 1,则集合Q 1 1 1 1 构成的几何体表面积为 . 12在直角坐标平面 xoy 中，已知两定点F 与 1( 1, 0) F 位于动直线l : ax by c 0 的 2 (1, 0) 同侧，设集合 P l点 与点 F 1 F 到直线l 的距离之差等于 1， 2 Q x y x y x、 yR，记 S (x, y) (x,

5、 y)l,l P, ( , ) 1, 2 2 ( , ) ( , ) T x y x y Q S .则 由 T 中 的 所 有 点 所 组 成 的 图 形 的 面 积 是 . 二、选择题( (本大题满分 2020 分) )本大题共有 4 4 题，每题只有一个正确答案. .考生应在答题纸的 相应 编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得 5 5 分，否则一律得零分 13 已 知 为 实 数 ， 若 复 数 z sin 2 1 i 2 cos 1是 纯 虚 数 ， 则 z 的 虚 部 为 （ ） A 2 B 0 C 2 D 2i 14已知条件 “： 直线l 在两条坐标轴上的截距相等”，条件 “： 直

6、线l 的斜率等于 1”， 则 是 的 （ ） A B C D 充分非必要条件 必要非充分条件 充要条件 既非充分又非必要条 件 15如图，在空间直角坐标系中，已知直三棱柱的顶点 A 在 x 轴上， AB 平行于 y 轴， 侧棱 AA 平行于 z 轴当顶点 C 在 y 轴正半轴上运动 1 z 时，以下关于此直三棱柱三视图的表述正确的是 （ ） A1 C1 B1 A 该三棱柱主视图的投影不发生变化； C B 该三棱柱左视图的投影不发生变化； y A x B C 该三棱柱俯视图的投影不发生变化； D 该三棱柱三个视图的投影都不发生变化 x x 2 2 2 2 y y 16如图，两个椭圆 1， 1内部

7、重叠区域的边界记为曲线 C ， P 是曲 25 9 25 9 线C 上任意一点，给出下列三个判断： P 到 F 4,0、 F 4,0、 E 0, 4、 四点的距离之和为定值； 1 1 E 2 0, 4 2 曲线C 关于直线 y x 、 y x 均对称； 曲线C 所围区域面积必小于36 上述判断中正确命题的个数为（ ） A0 个 B1 个 C2 个 D3 个 三、解答题( (本大题满分 7676分) )本大题共有 5 5 题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定 区域内写出必要的步骤 17( (本题满分 1414分) )已知复数z 满足1iz 1 3i ， z a aR （其中i 是虚数单 2

8、 i 1 1 位），若 z1 z2 2 z1 ，求 a 的取值范围 18( (本题满分 1414分) )本题共有 2 2 个小题，第(1)(1)小题满分 7 7 分，第(2)(2)小题满分 7 7 分 如图，直四棱柱ABCD A B C D 底面 ABCD 直角梯形， 1 1 1 1 D1 C1 AB /CD ， BAD 90 ， P 是棱 CD 上一点， AB 2 ， A1 B 1 AD 2 ，AA ，CP 3 ，PD 1. 1 3 D C P （1）求异面直线A P 与 1 BC 所成的角； 1 A B （2）求证： PB 平面BCC B . 1 1 19（本题满分 1414分）本题共有

9、2 2 个小题，第 1 1 小题满分 6 6 分，第 2 2 小题满分 8 8 分. . 如图，圆锥的顶点为 P ，底面圆心为 O ，线段 AB 和线段 CD 都是底面圆的 直径，且直线 AB 与直线CD 的夹角为 ，已知 OA 1， PA 2 2 （1）求该圆锥的体积； （2）求证：直线 AC 平行于平面 PBD ，并求直线 AC 到平面 PBD 的距 离 - 3 - 20（本题满分 1616 分）本题共有 3 3 个小题，第 1 1 小题满分 5 5 分，第 2 2 小题满分 5 5 分，第 3 3 小 题满分 6 6 分. . 阅读： 已知 ， a b 1，求 y 1 2 a,b0, 的

10、最小值. a b 1 2 1 2 b 2a 解法如下： y a b 3 3 2 2 a b a b a b ， b 2a 当且仅当 ，即 a 2 1,b 2 2 时取到等号， a b 1 2 则 y 的最小值为3 2 2 . a b 应用上述解法，求解下列问题： （1）已知 a,b,c0,， a b c 1，求 y 1 1 1 的最小值； a b c （2）已知 x 1 0, ，求函数 2 y 1 8 x 1 2x 的最小值； （3）已知正数 ， a a a a a a a a ， 1, 2 , 3, , n 1 2 3 n 1 求证： S a a a a 1 2 2 2 2 1 2 3 n

11、. a a a a a a a a 2 1 2 2 3 3 4 n 1 - 4 - 21（ 本题满分 1818分）本题共有 3 3 个小题， 第 1 1 小题满分 4 4 分，第 2 2 小题满分 6 6 分，第 3 3 小 题满分 8 8 分 设椭圆 的长半轴长为 、短半轴长为 ，椭圆 的长半轴长为 、短半轴长为 ，若 E a b E a b 1 1 1 2 2 2 a b 1 1 a b 2 2 x 2 E E E : y 1 A 2 ，则我们称椭圆 与椭圆 是相似椭圆已知椭圆 ，其左顶点为 、 1 2 2 右顶点为 B x y 2 2 （1）设椭圆 E 与椭圆 F : 1“是 相 似椭圆

12、”，求常数 s 的值； s 2 x 2 （2）设椭圆 ，过 作斜率为 的直线 与椭圆 仅有一个公共点， G : y 0 1 A k l G 2 1 1 2 过椭圆 E 的上顶点为 D 作斜率为 k 的直线 l 与椭圆 G 仅有一个公共点，当 为何值时 2 2 k k 1 2 取得最小值，并求其最小值； x y 2 2 （3）已知椭圆 E 与椭圆 是相似椭圆椭圆 上异于 的任意一点 H : 1 t 2 H A, B 2 t C x y ABC M E 0 , 0 ，求证： 的垂心 在椭圆 上 - 5 - 金山中学 20162016 学年第二学期高二数学期末考试参考答案 2017年 6 月 （考试

13、时间：120分钟 满分：150 分） 一、填空题( (本大题满分 5454分) )本大题共有 1212题，其中第 1 1 题至第 6 6 题每小题 4 4 分，第 7 7 题 至第 1212题每小题 5 5 分，考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果，否则一律得零分 1 的展开式中 项的系数为 x 1 x2 10 5 2已知直线l 经过点 5,0且方向向量为2,1，则原点O 到直线l 的距离为 1 . 3已知全集U R ，集合 A x x x x R,B x m 2 x m 2, 2 2 3 0, 若 C A B x 0 x 3，则实数 m 的值为 . U 2 12, x y 4若变量

14、x, y 满足约束条件 2 0, 则 的最小值为_ _. x y z y x 4 x 2y 0, x 2 2t 5直线 上与点 的距离等于 的点的坐标是 或 (t ) 为参数 A(2, 3) 2 3,4y t 3 2 1,2. 6某学生在上学的路上要经过 2 个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红 1 灯的概 率都是 ，则这名学生在上学路上到第二个路口时第一次遇到红灯的概率是 3 2 . 9 7某学校随机抽取100名学生调查其上学所需时间（单位：分钟）， 并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中，上学所需时 间 的 范 围 是 0,100， 样 本 数据 分 组 为0, 2

15、0)， 20, 40)， 40, 60)，60,80)，80,100则该校学生上学所需时间的均值 估计为_34_（精确到1分钟）. - 6 - 8一个口袋内有 4 个不同的红球，6 个不同的白球，若取一个红球记 2 分，取一个白球记 1 分 ， 从 中 任 取 5 个 球 ， 使 总 分 不 少 于 7 分 的 取 法 有 多 少 种 186 . 9 如 图 ， 三 棱 锥 P ABC 满 足 ： AB AC ， AB AP ， AB 2 ， 4 0, AP AC 4 ，则该三棱锥的体积 V 的取值范围是 3 10 P 是 双 曲 线 x y 2 2 1的 右 支 上 一 点 ， M , N

16、分 别 是 圆 (x 5)2 y2 4 和 9 16 (x 5) y 1上的点，则 PM PN 的最大值等于 9 . 2 2 11棱长为 1 的正方体ABCD A B C D 及其内部一动点 P ，集合Q P PA 1,则集合Q 1 1 1 1 5 构成的几何体表面积为 . 4 12在直角坐标平面 xoy 中，已知两定点 F 与 1( 1, 0) F 位于动直线l : ax by c 0 的 2 (1, 0) 同侧，设集合 P l点 与点 F 1 F 到直线l 的距离之差等于1， 2 Q x y x y x、 yR，记 S (x, y) (x, y)l,l P, ( , ) 1, 2 2 3

17、( , ) ( , ) T x y x y Q S .则由T 中的所有点所组成的图形的面积是_ _. 3 2 二、选择题( (本大题满分 2020分) )本大题共有 4 4 题，每题只有一个正确答案. .考生应在答题纸的 相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得 5 5 分，否则一律得零分 13 已 知 为 实 数 ， 若 复 数 z sin 2 1 i 2 cos 1是 纯 虚 数 ， 则 z 的 虚 部 为 （ C ） A 2 B 0 C 2 D 2i 14已知条件 “： 直线l 在两条坐标轴上的截距相等”，条件 “： 直线l 的斜率等于 1”， 则 是 的 （ B ） A B C D

18、充分非必要条件 必要非充分条件 充要条件 既非充分又非必要条件 - 7 - 15如图，在空间直角坐标系中， 已知直三棱柱的顶点 A 在 x 轴上， AB 平行于 y 轴，侧棱 AA 平行于 z 轴. 当顶点C 在 1 z y 轴正半轴上运以动下时关，于此直三棱柱三视图的表述正确的是 A1 C1 B1 （ B ） C y A A 该三棱柱主视图的投影不发生变化； x B B 该三棱柱左视图的投影不发生变化； C 该三棱柱俯视图的投影不发生变化； D 该三棱柱三个视图的投影都不发生变化 x y y x 2 2 2 2 16如图，两个椭圆 1， 1内部重叠区域的边界记为曲线C ， P 是曲线 25

19、9 25 9 C 上任意一点，给出下列三个判断： P 到 F 4,0、 F 4,0、 E 0, 4、 四点的距离之 1 1 E2 0, 4 2 和为定值； 曲线C 关于直线 y x 、 y x 均对称； 曲线C 所围区域面积必小于36 上述判断中正确命题的个数为（ C ） A0 个 B1 个 C2 个 D3 个 三、解答题( (本大题满分 7676 分) )本大题共有 5 5 题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定 区域内写出必要的步骤 17( (本题满分 1414 分) )已知复数z 满足1iz 1 3i ， z a aR （其中i 是虚数单 2 i 1 1 位），若z z z ，求 a

20、 的取值范围 1 2 2 1 解： z1 1 2i ， z a i ， 2 1 a 1 2 5 1 9 2 a 2 即 ， 解得 a 4或 a 2 - 8 - 18( (本题满分 1414分) )本题共有 2 2 个小题，第(1)(1)小题满分 7 7 分，第(2)(2)小题满分 7 7 分 如图，直四棱柱ABCD A B C D 底面 ABCD 直角梯形， 1 1 1 1 AB CD ， BAD 90 ， P 是 棱 CD 上 一 点 ，D1 C1 AB 2 ， AD 2 ，AA ，CP 3 ，PD 1. 1 3 A1 B 1 （1）求异面直线A P 与 1 BC 所成的角； 1 （2）求证

21、： PB 平面BCC B 1 1 D C P 解：（1）以 D 原点， DA, DC, DD 分别为 x 轴,y 轴, z 1 A B 轴 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 ,则 A ， P0,1, 0， B 2, 2,0， . 于 是 1 2,0,3 C1 0, 4,3 PA 1 2, 1,3 1 2, 2,3 BC , , cos PA BC 5 5 1 1 PA BC 12 15 6 1 1 z D1 C1 5 异面直线 A P 与 BC 所成的角的大小等于 arccos . 1 1 6 A1 B 1 （2） PB 2 ,1,0， BC 2,2,0， 0,0,3 BB1 1 D O C

22、 P y PB BC PB BB1 0 0 ， x A B PB BC， ， . PB BCC BB PB 平面 1B 1 1 19（本题满分 1414分）本题共有 2 2 个小题，第 1 1 小题满分 6 6 分，第 2 2 小题满分 8 8 分. . 如图，圆锥的顶点为 P ，底面圆心为O ，线段 AB 和线段CD 都是底面圆的直径，且直线 AB 与直线CD 的夹角为 ，已知 OA 1， PA 2 2 （1）求该圆锥的体积； （2）求证：直线 AC 平行于平面 PBD ，并求直线 AC 到平面 PBD 的距离 解： （1）设圆锥的高为 h ，底面半径为 r ，则 r 1， h 3 ， 1

23、3 圆锥的体积V Sh ； 3 3 - 9 - （2）证明：由对称性得 AC / BD ， AC 不在平面 PBD ， BD 平面 PBD ， AC / 平面 PBD ， C 到平面 PBD 的距离即直线 AC 到平面 PBD 的距离， 1 1 设C 到平面 PBD 的距离为 d ，则由 ，得 PBD ， VC V S d S h PBD P BCD BCD 3 3 1 7 d 21 1 2 可得 1 4 1， d ， 3 2 3 7 2 21 直线 AC 到平面 PBD 的距离为 7 20（本题满分 1616 分）本题共有 3 3 个小题，第 1 1 小题满分 5 5 分，第 2 2 小题满

24、分 5 5 分，第 3 3 小 题满分 6 6 分. . 阅读： 已知 ， a b 1，求 y 1 2 a,b0, 的最小值. a b 1 2 1 2 b 2a 解法如下： y a b 3 3 2 2 a b a b a b ， b 2a 当且仅当 ，即 a 2 1,b 2 2 时取到等号， a b 1 2 则 y 的最小值为3 2 2 . a b 应用上述解法，求解下列问题： （1）已知 a,b,c0,， a b c 1，求 y 1 1 1 的最小值； a b c （2）已知 x 0, 1 2 ，求函数y 1 8 x 1 2x 的最小值； （3）已知正数 ， a a a a a a a a

25、， 1, 2 , 3, , n 1 2 3 n 1 求证： S a a a a 1 2 2 2 2 1 2 3 n . a a a a a a a a 2 1 2 2 3 3 4 n 1 1 1 1 1 1 1 b a c a c b 解（1） y a b c 3 a b c a b c a b a c b c ， - 10 - b a c a c b ，当且仅当 1 而 6 a b c 时取到等号，则 y 9 ， a b a c b c 3 1 1 1 即 y 的最小值为9. a b c 2 8 2 8 1 2x 2x （2） y x x 2 1 2 10 2 8 2x 1 2x 2x 1

26、2x 2x 1 2x ， 而 x 1 0, 2 1 2x 2x ， ， 2 8 2 16 8 2x 1 2x 1 2x 2x 2 8 当且仅当 2x 1 2x ，即 x 1 1 0, 6 2 时取到等号，则 y 18， 所以函数 y 1 8 x 1 2x 的最小值为18. 2 2 2 a a a （3） 2S n a a a a a a 1 2 1 2 2 3 n 1 a a a a a a 1 2 2 3 n 1 2 2 2 2 a a a a a a a a a a a a a a a 2 2 2 1 2 1 n 1 2 n 2 3 1 2 1 2 n 1 a a a a a a a a

27、1 2 2 3 n 1 1 2 2 a1 a2 an 2a1a2 2a2a3 2ana1 a1 a2 an 1 2 2 2 当且仅当 a a a S . 时取到等号，则 1 1 1 2 n n 2 21（本题满分 1818分）本题共有 3 3 个小题，第 1 1 小题满分 4 4 分，第 2 2 小题满分 6 6 分，第 3 3 小 题满分 8 8 分 设椭圆 的长半轴长为 、短半轴 长为 ，椭圆 的长半轴长为 、短半轴长为 ，若 E a b E a b 1 1 1 2 2 2 a b 1 1 a b 2 2 x 2 E E E : y 1 A 2 ，则我们称椭圆 与椭圆 是相似椭圆已知椭圆

28、，其左顶点为 、 1 2 2 右顶点为 B x y 2 2 （1）设椭圆 E 与椭圆 F : 1“是 相似椭圆”，求常数 s 的值； s 2 x 2 （2）设椭圆 ，过 作斜率为 的直线 与椭圆 仅有一个公共点， G y2 A : 0 1 k l G 1 1 2 过椭圆 E 的上顶点为 D 作斜率为 k 的直线 l 与椭圆 G 仅有一个公共点，当 为何值时 2 2 k k 1 2 取得最小值，并求其最小值； - 11 - x y 2 2 （3）已知椭圆 E 与椭圆 是相似椭圆椭圆 上异于 的任意一点 H : 1 t 2 H A, B 2 t C x0 , y0 ABC M E ，求证： 的垂心

29、 在椭圆 上 x 2 解：（1） 显然椭圆 E 的方程为 1， y 2 2 由椭圆 E 与 F 相似易得： 2 s 1 当 s 2 时， 4 ； s 2 当 0 s 2 时， 2 1 s 1 2 s 则 s 4 或1； （2）易得 A 2,0， D0,1， 可得 的方程分别为 ， ， l 2 1,l 1 y k x 1 k x y 2 2 y k x 2 1 1 2 1 1 依题意联立： ， k 2 x k 2 x k 2 1 2 4 2 4 2 0 x 2 y 2 2 又直线 与椭圆 相切，则 （又 ），即 ， l G 0 k 0 1 32 41 2 4 2 0 1 14 k 2 k 2 1

30、 1 1 1 k 即 ， 1 1 2 y 1 k x 2 依题意再联立： ， 2 k x2 k x 1 2 4 2 2 0 x 2 y 2 2 2 又直线 与椭圆 相切，则 （又 ），即 ， l G 0 k 0 1 16 41 2 2 2 0 2 2 k 2 2 2 1 1 1 即 ，故 ， k k1k 2 2 2 2 1 即 k 2 2 ，当且仅当 1 k 时取到等号，此时 ， 1 k k k k 2 1 2 2 2 1 所以当 时， 取得最小值 k k 2 1 2 2 x t 2 2 （3）证明：显然椭圆 E : y 2 1，由 ，可得t 4， 2 2 1 - 12 - x 2 2 y 即有椭 圆 H : 1 2 4 2 2 x y 由椭圆 H 上的任意一点 ，于是 C x 1 0 , y 0 0 0 2 4 设 ABC 的垂心 M 的坐标为 ， xM , y M y y 由CM AB 得 M ，又 AM BC 1， x x 0 M 0 x 2 x 2 M 0 y y 将 代入 ，得 xM 1 x x y 0 2 0 0 M x 2 x 2 M 0 由得 y0 2y M 2 x 又 代入（1）得 ，即 的垂心 在椭圆 上 xM x M y 1 2 ABC M E 0 M 2 - 13 -