《四川省成都市高中数学第二章圆锥曲线与方程第11课时直线与抛物线的位置关系同步测试新人教A版选修2_1.wps》由会员分享，可在线阅读，更多相关《四川省成都市高中数学第二章圆锥曲线与方程第11课时直线与抛物线的位置关系同步测试新人教A版选修2_1.wps（10页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、第 1111 课时 直线与抛物线的位置 关系 基础达标(水平一 ) 1.直线 l 经过抛物线 y2=8x 的焦点,与抛物线交于 A、B 两点,O 为原点,则的值为 ( ). A.12 B.20 C.-12 D.-20 = + 2, 【解析】焦点为(2,0),设直线 l 方程为 x=my+2,A(x1,y1),B(x2,y2),由 得 2 = 8x, y2-8my-16=0, 2 2 1 1 2 y1y2=-16,x1x2= = (y1y2)2=4, 8 8 64 =x1x2+y1y2=-12. 【答案】C 2.抛物线 y2=4x 的焦点为 F,准线为 l,经过点 F 且斜率为 3的直线与抛物线
2、在 x 轴上方的部分 相交于点 A,AKl,垂足为 K,则AKF 的面积是( ). A.2 B.4 C.4 3 D.8 【解析】由抛物线的定义知 AF=AK, 又KAF=60,所以AFK 是正三角形. 2 = 4x, 联立方程组 = 3(x - 1), 消去 y 得 3x2-10x+3=0, 1 解得 x=3 或 x= .由题意得 A(3,2 3), 3 1 所以AKF 的边长为 4,面积为 42 3=4 3. 2 【答案】C 3.已知 AB 是过抛物线 2x2=y 的焦点的弦,若|AB|=4,则 AB 的中点的纵坐标是( ). 5 15 A.1 B.2 C. D. 8 8 【解析】如图所示,
3、设 AB 的中点为 P(x0,y0),分别过 A,P,B 三点作准线 l 的垂线,垂足分别 | + | 1 1 15 为 A,Q,B,由题意得|AA|+|BB|=|AB|=4,|PQ|= =2,又|PQ|=y0+ ,y0+ =2,y0= . 2 8 8 8 【答案】D 4.设抛物线 y2=8x 的准线与 x 轴交于点 Q,若过点 Q 的直线 l 与抛物线有公共点,则直线 l 的斜 率的取值范围是( ). 1 1 A.- 2 B.-2,2 2, 1 C.-1,1 D.-4,4 【解析】由题意知,抛物线准线方程为 x=-2,点 Q(-2,0), = ( + 2), 设直线 l:y=k(x+2),由
4、 2 = 8x, 得 k2x2+4(k2-2)x+4k2=0. 当 k=0 时,x=0,即直线 l与抛物线的交点为(0,0), 当 k0 时,0,-1k0)的准线为 l,过点 M(1,0)且斜率为 3的直线与 l相交于点 A,与抛物 线的一个交点为 B,若=,则 p= . 【解析】由题知准线 l为 x=- (p0), 2 过点 M且斜率为 3的直线为 y= 3(x-1), 则点 A(- 2, 3(- 2 - 1), 设 B(x,y),由=可知 M为 AB的中点, 又 M(1,0), - = 2 + 2, 2 + x = 2, 所以2 - 1)+ y = 0,即 3(- = 3(2 + 1),
5、代入 y2=2px,得 p2+4p-12=0, 即 p=2 或 p=-6(舍去). 【答案】2 7.已知抛物线 y2=-x与直线 y=k(x+1)相交于 A,B两点. (1)求证:OAOB. (2)当OAB的面积为 10时,求 k的值. 2 = -x, 【解析】(1)如图所示,由 消去 x得 ky2+y-k=0. = ( + 1) 2 1 设点 A(x1,y1),B(x2,y2),由根与系数的关系得 y1y2=-1,y1+y2=- . A,B 两点均在抛物线 y2=-x 上, 21=-x1,2=-x2, 212=x1x2. 1 2 12 1 又kOAkOB= = = =-1,OAOB. 1 2
6、 12 12 (2)设直线与 x 轴交于点 N,显然 k0. 令 y=0,得 x=-1,即 N(-1,0). SOAB=SOAN+SOBN 1 1 = |ON|y1|+ |ON|y2| 2 2 1 = |ON|y1-y2| 2 1 = 1 2 (1 + 2) 2 - 4 12 2 - 4 1 2 2 1 1 =2 (- ) . + 4 = 10, 1 1 1 10= + 4,解得 k= . 2 6 2 拓展提升(水平二) 8.已知 F 为抛物线 y2=x 的焦点,点 A,B 在该抛物线上且位于 x 轴的两侧,=2(其中 O 为坐 标原点),则ABO 与AFO 面积之和的最小值是( ). 17
7、2 A.2 B.3 C. D. 8 10 1 【解析】设直线 AB 的方程为 x=ty+m,点 A(x1,y1),B(x2,y2).又点 F(4,0),直线 AB 与 x 轴的 交点 M(m,0),不妨设 y10, = + , 由 y2-ty-m=0,所以 y1y2=-m, 2 = x 又=2,所以 x1x2+y1y2=2(y1y2)2+y1y2-2=0, 因为点 A,B 在该抛物线上且位于 x 轴的两侧,所以 y1y2=-2,故 m=2, 1 1 1 9 2 9 2 所以 SABO+SAFO= 2(y1-y2)+ y1= y1+ 2 1 =3, 2 1 2 4 8 1 8 9 2 4 当且仅
8、当 y1= y1= “时取=”. 8 1 3 3 所以ABO与AFO面积之和的最小值是 3. 【答案】B 9.已知抛物线 y2=8x,点 Q是圆 C:x2+y2+2x-8y+13=0 上任意一点,记抛物线上任意一点 P到直线 x=-2 的距离为 d,则|PQ|+d的最小值为( ). A.5 B.4 C.3 D.2 【解析】 由题意知,抛物线 y2=8x的焦点为 F(2,0),连接 PF(如图),则 d=|PF|. 将圆 C化为(x+1)2+(y-4)2=4,圆心为 C(-1,4),半径为 r=2,则|PQ|+d=|PQ|+|PF|,于是有 |PQ|+|PF|FQ|(当且仅当 F,P,Q三点共线
9、时取得等号). 而|FQ|为圆 C上的动点 Q到定点 F的距离,显然当 F,Q,C三点共线时,|FQ|取得最小值, 且为|CF|-r= ( - 1 - 2)2 + (4 - 0)2-2=3,故选 C. 【答案】C 10.已知抛物线 y2=4x的弦 AB的中点的横坐标为 2,则|AB|的最大值为 . 【解析】当直线 AB的斜率不存在时,|AB|=4 2; 1 - 2 4 2 当直线 AB的斜率 k存在时,设点 A(x1,y1),B(x2,y2),中点坐标为(2,t),则 k= = = , 2 2 1 - 1 + 2 2 4 2 直线 AB的方程为 y-t= (x-2), 2 将 y-t= (x-
10、2)与 y2=4x联立,得 y2-2ty+2t2-8=0, y1+y2=2t,y1y2=2t2-8, 2 |AB|2=(1 + 4)(y1-y2)2=-(t2-2)2+3636, |AB|6,当且仅当 t= 2时,等号成立. 综上所述,|AB|max=6. 【答案】6 11.设抛物线 C:y2=2px(p0)的焦点为 F,经过点 F的直线与抛物线交于 A,B两点. (1)若 p=2,求线段 AF的中点 N的轨迹方程; 1 (2)若直线 AB的斜率为 2,当焦点为 F(2,0)时,求OAB的面积; (3)若 M是抛物线 C准线上的点,求证:直线 MA,MF,MB的斜率成等差数列. 【解析】(1)
11、焦点 F(1,0),设点 A(x0,y0),N(x,y), 0 + 1 = 2 , 0 = 2x - 1, 则由题意即 0 0 = 2y, = 2 , 故所求的轨迹方程为 4y2=4(2x-1),即 y2=2x-1. 1 1 (2) y2=2x,F( ,直线 AB:y=2 =2x-1, 2,0) ( - 2) 4 2 = 2x, 由 得 y2-y-1=0, = 2 - 1, 1 5 |AB|= 1 + |y1-y2|= , 2 2 1 5 设 d 为原点 O 到直线 AB 的距离,d= = , 5 5 1 5 SOAB= d|AB|= . 2 4 (3)显然直线 MA,MB,MF 的斜率都存在
12、,分别设为 k1,k2,k3. 点 A,B,M 的坐标为 A(x1,y1),B(x2,y2),M(- 2 ,m ). 2 设直线 AB:y=k( - 2),代入抛物线方程,得 y2- y-p2=0,所以 y1y2=-p2. 又 21=2px1,2=2px2, 2 2 4 1 所以 x1+ = + = ( 21+p2),x2+ = + = + = ( 21+p2), 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 12(- - m) 2 2( 1 1 - m 2 - m 1 - m) 2 所以 k1+k2= + = + =- . (2 2) (2 2) 1 + 1 + 1 + 2 + 2 2 0 - 2 而 2k3=2 =- ,故 k1+k2=2k3,所以直线 MA,MF,MB 的斜率成等差数列. 2 - (- 2) 5