山西授阳中学校2019届高三数学上学期入学调研考试试题理2018110502115.wps

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1、20192019 届高三入学调研考试卷 理 科 数 学 注意事项： 1答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号 条形码粘贴在答题卡上的指定位置。 2选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标 号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、 草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。 一、选择题：本大题共 1212 小题，每小题 5 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的 2 2i 1复数 1

2、i 等于（ ） A 4i B 4i C 2i D 2i 【答案】C 2 2 2i 4i 4 【解析】 1 i 1 i 2i 2 2i ，故选 C 2已知集合 A x | y 3 x， B 0,1, 2, 3, 4，则 A B （ ） A B0,1, 2 C0,1, 2, 3 D,34 【答案】C 【解析】集合 A x | y 3 x x | x 3， B 0,1, 2, 3, 4， A B 0,1, 2, 3，故选 C 3函数 lncos y x x 2 2 的图象是（ ） 1 A B C D 【答案】B 【解析】由题得 f x ln cosx ln cos x f x，所以函数 f x是偶函

3、数， 所以图像关于 y 轴对称，所以排除 A，C由题得f 1 ln 0 3 2 ，所以 D 错误， 故答案为 B 4已知两个单位向量 a 和 b 夹角为 60 ，则向量 a b 在向量 a 方向上的投影为（ ） A 1 B1 C 1 D 1 2 2 【答案】D 1 【解析】 a b a b cos60 ， 2 则向量 a b 在向量 a 方向上的投影为： 2 1 a b a a a b a b cos a a 2 故选 D 5已知双曲线 2 2 x y 1(m 0) m m 6 的虚轴长是实轴长的 2 倍，则双曲线的标准方程为 （ ） A 2 2 x y B 1 2 4 2 2 x y 1 4

4、 8 C 2 y x2 1 D 8 2 2 x y 1 2 8 【答案】D 【解析】双曲线 2 2 x y 1(m 0) 的虚轴长是实轴长的 2 倍， m m 6 可得 2 m= m 6 ，解得 m 2 ，则双曲线的标准方程是 2 2 x y 故选 D 1 2 8 2 6在 ABC 中， a 1，b 3 ， A ，则角 B 等于（ ） 6 A 3 或 2 3 【答案】A 【解析】 a 1，b 3 ， A ，由正弦定理得： 6 a b sinA sinB 则 sinB 1 3 b A sin 2 3 ， a 1 2 又 0 B ，b a ， B 或 2 3 3 故选 A 7学校就如程序中的循环体

5、，送走一届，又会招来一级。老师们目送着大家远去，渐行渐 远执行如图所示的程序框图，若输入 x 64 ，则输出的结果为（ ） A2 B3 C4 D5 【答案】C 【解析】输入 x 64 ，i 1， x 64 0 ， 1 x ，i 11 2 ； log 64 3 2 2 x 3 0 ， 1 x ，i 2 1 3； log 3 2 2 1 x log 3 0 ， 2 2 1 x ，i 3 1 4 ； log (log 3) 2 2 2 1 x ，结束运算，输出i 4 ，故选 C log (log 3) 0 2 2 2 8从装有 3 个白球，4 个红球的箱子中，随机取出了 3 个球，恰好是 2 个白球

6、，1 个红球的概 率是（ ） 3 A 4 35 B 6 35 12 35 C D 36 343 【答案】C 【解析】由题得恰好是 2 个白球 1 个红球的概率为 2 1 C C 12 3 4 故答案为 C C 35 3 7 9在长方体 ABCD A B C D 中， AB BC 1， 1 1 1 1 AC 与 B B1 所成的角为30 ， 1 则 AA （ ） 1 A 3 B3 C 5 D 6 【答案】D 【解析】如图所示，连接 A C ， 1 1 B BA A ， A1AC1 是异面直线 AC1 与 B B1 所成的角，即 A1AC1 30 ， 1 1 在 1 1 1 1 1 1 1 1 2

7、 RtA B C 中， A C A B 2 B C 2 ， 1 1 1 A C 在 RtA AC 中，有 1 1 1 1 AA 1 tan30 ， A C 2 即 AA 1 1 1 tan30 3 3 6 故选 D x x x 10将函数 cos 2sin 2 3cos 3 0 f x 10将函数 cos 2sin 2 3cos 3 0 的图象向左平移 2 2 2 3 个单位，得到 函数 y g x 的图像，若 y g x 在 0, 4 上为增函数，则 的最大值为（ ） A1 B2 C3 D4 【答案】B x x x 【解析】函数 cos 2sin 2 3cos 3 0 f x 2 2 2 4

8、 1 cos x sinx 2 3 3 sinx 3cosx 2sin x 2 3 ， f x 的图象向左平移 3 个单位，得 2sin y x 3 3 的图象， 函数 y g x 2sinx ； 又 y g x 在 0, 4 T ，即 2 ，解得 2 ， 4 4 4 4 上为增函数， 所以 的最大值为 2故选 B 11函数 f x对任意的实数 x 都有 f x 2 f x 2 f 1 ，若 y f x 1 的图像关于 x 1 对称，且 f 0 2，则 f 2017 f 2018 （ ） A0 B2 C3 D4 【答案】B 【解析】因为 y f x 1 的图像关于 x 1 对称， 所以 y f

9、 x的图像关于 x 0 对称，即 f x为偶函数， 因为 f x 2 f x 2 f 1 ， 所以 f 1 2 f 1 2 f 1，所以 f 1 0 ， f x 2 f x ， 因此 f 2017 f 1 0 ， f 2018 f 0 2 ， f 2017 f 2018 2 ，故选 B 12设 F ， B 分别为椭圆 2 2 x y 2 2 1( 0) a b 的右焦点和上顶点， O 为坐标原点， C 是直线 a b b y x 与椭圆在第一象限内的交点，若 FO FC BO BC，则椭圆的离心率是（ ） a A 2 2 1 7 B 2 2 1 7 C 2 2 1 3 D 2 1 【答案】A

10、【解析】 5 根据 FO FC BO BC，由平面向量加法法则， 则有 BF 为平行四边形 FOBC 的对角线，故 S BFO S BFC ， 联立椭圆 2 2 x y 、直线 y b x 2 2 1(a b 0) 方程， a b a a b 可得C , 2 2 ， ， S S ，则 SBOFC 2S BOF bc BFO BFC 1 a 1 b S S S b c bc BOFC BOC OFC ， 2 2 2 2 可得 a 2 2 1c ， e c 1 2 2 1 ，故选 A a 2 2 1 7 二、填空题：本大题共 4 4 小题，每小题 5 5 分 13曲线 y e 5x 2 在点0,3

11、处的切线方程为_ 【答案】5x y 3 0 【解析】 y e5x 2 的导数 y 5e5x ， 则在 x 0 处的切线斜率为 5e0 5 ，切点为0,3， 则在 x 0 处的切线方程为 y 5x 3，即为5x y 3 0 故答案为5x y 3 0 x 2y 5 x ，则 z x y 的取值范围是_ 3 14若变量 x ， y 满足约束条件 y 4 6 【答案】1, 7 x 2y 5 x 3 对应的平面区域如图所示阴影部分ABC ； 【解析】作出不等式组 y 4 由 z x y 得 y x z ，即直线的截距最大， z 也最大； 平移直线 y x z ，可得直线 y x z 经过点C3, 4时，

12、截距最大，此时 z 最大， y=4 即 z 3 4 7 ；经过点 A 时，截距最小，由 2 =5 x y x 3 ，得 y=4 ， 即 A3, 4 ，此时 z 最小，为 z 3 4 1； 即 z 的取值范围是1, 7，故答案为1, 7 15已知 0, ， tan 2，则 cos2 cos _ 【答案】 5 3 5 【解析】 0, ， tan 2， 0, 2 ， 则 sin 1 cos 2 2 ，解得 cos 5 4 4 cos cos 2 2 5 cos2 cos 2cos2 1 cos 2 1 1 5 5 3 5 5 5 故答案为 5 3 5 7 16四棱锥 S ABCD 中，底面 ABCD

13、 是边长为 2 的正方形，侧面 SAD 是以 SD 为斜边的等腰 直角三角形，若四棱锥 S ABCD 的体积取值范围为 4 3 ,8 3 3 ，则该四棱锥外接球表面积的取 值范围是_ 28 【答案】 ,20 3 【解析】四棱锥 S ABCD 中， 可得： AD SA； AD AB AD 平面 SAB 平面 SAB 平面 ABCD ， 过 S 作 SO AB 于O ，则 SO 平面 ABCD ， 设 SAB ，故 1 8 sin V S SO ， S ABCD ABCD 3 3 3 2 1 1 所以 , ， , ， sin 1 cos 2 3 3 2 2 在SAB 中， SA AB 2 ，则有，

14、 SB 2 2 1 cos ， 所以 SAB 的外接圆半径 r SB 2 1 cos ， 2sin sin 将该四棱锥补成一个以 SAB 为一个底面的直三棱柱， 得外接球的半径 R r2 1， 4 2 4 2 1 S R 1 cos ， 所以 S 28 ,20 3 28 故答案为 ,20 3 三、解答题：本大题共 6 6 小题，共 7070 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步 骤 17（12 分）设 S 为数列a 的前 n 项和，已知 a3 7 ， an 2an1 a2 2n 2 n n （1）证明： 1 a 为等比数列； n （2）求 a 的通项公式，并判断 n ， an ， Sn 是

15、否成等差数列？ n 【答案】（1）见解析；（2）见解析 8 【解析】（1）证明： a3 7 ， a3 2a2 2， a2 3 ， a a ， 2 1 n n 1 a 1 2a 2 1 1 a ， 1 n n 2 n 2 ， a 1 a 1 n1 n1 1 a 是首项为 2，公比为 2 的等比数列 n （2）由（1）知， a 1 2n ， a 2n 1， n n 2 2 n1 S n 2 n 2， n1 n 1 2 n S a n n n S 2a ， 2 2n 1 2 2 2n 1 0 n n n n 即 n ， an ， Sn 成等差数列 18（12 分）某体育公司对最近 6 个月内的市场占

16、有率进行了统计，结果如表： （1）可用线性回归模型拟合 y 与 x 之间的关系吗？如果能，请求出 y 关于 x 的线性回归方程， 如果不能，请说明理由； （2）公司决定再采购 A ， B 两款车扩大市场， A ， B 两款车各 100辆的资料如表： 平均每辆车每年可为公司带来收入 500 元，不考虑采购成本之外的其他成本，假设每辆车的使 用寿命都是整数年，用每辆车使用寿命的频率作为概率，以每辆车产生利润的期望值作为决策 依据，应选择采购哪款车型？ 6 参考数据： x x 17.5 2 i i1 6 ， x x y y 35 i i i1 6 ， y y 2 i i1 76 ， 1330 36.

17、5 参考公式：相关系数 r n x x y y i i i1 n n x x y y 2 2 i i i1 i1 ； 9 回归直线方程 y bx a ，其中 b n x x y y i i i1 n x x 2 i i1 ， a y bx 【答案】（1） y 2x 9 ；（2）见解析 6 【解析】（1） x x 17.5 2 i i1 6 ， x x y y 35 i i i1 6 ， y y 2 i i1 76 ， 1330 36.5 r n x x y y i i 35 35 35 i1 17.5 76 1330 36.5 n n x x y y 2 2 i i i1 i1 0.96 ，

18、所以两变量之间具有较强的线性相关关系， 故可用线性回归模型拟合两变量之间的关系 b n x x y y i i 35 i1 n 17.5 x x 2 i i1 2 ， 又 x ， 11 13 16 15 20 21 16 1 2 3 4 5 6 3.5 y ， 6 6 a y bx 16 23.5 9 ，回归直线方程为 y 2x 9 （2）用频率估计概率， A 款车的利润 X 的分布列为： X 500 0 500 1000 P 0.1 0.3 0.4 0.2 EX 500 0.1 0 0.3 500 0.4 1000 0.2 350 （元） B 款车的利润 Y 的分布列为： Y 300 200

19、 700 1200 P 0.15 0.4 0.35 0.1 EY 300 0.15 200 0.4 700 0.35 1200 0.1 400 （元） 10 以每辆车产生利润俄期望值为决策依据，故应选择 B 款车型 19（12 分）如图，在四棱锥 P ABCD 中， PA 底面 ABCD ， AD AB ， ABDC ， AD DC AP 2 ， AB 1，点 E 为棱 PC 的中点 （1）证明： BE PD ； （2）若 F 为棱 PC 上一点，满足 BF AC ，求二面角 F AB D 的余弦值 【答案】（1）见解析；（2） 10 10 【解析】（1）依题意，以点 A 为原点，以 AB、A

20、D、AP 为轴建立空间直角坐标系如图，可得 B1,0,0，C2, 2,0， D0, 2,0， P0,0, 2， 由 E 为棱 PC 的中点，得 E 1,1,1 向量 BE 0,1,1， PD 0,2,2， 故 BE PD 0 ， BE PD （2） BC 1, 2,0，CP 2,2, 2， AC 2, 2,0， AB 1,0,0， 由点 F 在棱 PC 上，设CF CP ， 0 1， 故 BF BC CF BC CP 1 2,2 2,2， 由 BF AC ，得 BF AC 0 ， 因此 21 2 22 2 0 ， 3 BF ，即 , , 1 1 3 4 2 2 2 ， n 设 1 x, y,

21、z n 为平面 FAB 的法向量，则 1 n 1 AB BF 0 0 0 x ，即 1 1 3 x y z 2 2 2 0 ， 不妨令 z 1，可得 1 0,3,1 n 为平面 FAB 的一个法向量 n n 1 10 取平面 ABD 的法向量 2 0,0,1 n ，则 cosn ,n 1 2 ， 1 2 n n 10 10 1 2 所以二面角 F AB D 的余弦值为 10 10 11 20（12 分）已知ABC 的直角顶点 A 在 y 轴上，点 B1,0， D 为斜边 BC 的中点，且 AD 平 行于 x 轴 （1）求点C 的轨迹方程； （2）设点 C 的轨迹为曲线 ，直线 BC 与 的另一

22、个交点为 E 以 CE 为直径的圆交 y 轴于 M 、 N ，记此圆的圆心为 P ， MPN ，求 的最大值 【答案】（1） y2 4xx 0；（2） 2 3 【解析】（1）设点C 的坐标为x, y， x 1 y y 则 BC 的中点 D 的坐标为 , ，点 A 的坐标为 0, 2 2 2 AB AC x 1, ， , ， y y 2 2 2 y 由 AB AC ，得 AB AC x 4 0 ，即 y2 4x ， 经检验，当点C 运动至原点时， A 与C 重合，不合题意舍去 所以轨迹 的方程为 y2 4xx 0 （2）依题意，可知直线CE 不与 x 轴重合，设直线CE 的方程为 x my 1，

23、 点C 、 E 的坐标分别为x , y 、x , y ，圆心 P 的坐标为 x , y 1 1 2 2 0 0 2 4 y x 由 ，可得 y2 4my 4 0 ， x my 1 y y m ， y y 1 2 41 2 4 x x 2 x x m y y m ， 1 2 2 1 2 1 2 2 4 2 x0 2m 1 2 1 1 1 圆 P 的半径 r CE x x m2 m2 2 4 4 2 2 1 2 2 2 2 过圆心 P 作 PQ MN 于点Q ，则 MPQ 2 12 PQ x m2 2 1 1 在 RtPQM 中， cos 1 0 2 2 2 2 2 r r m2 m2 ， 当 m

24、2 0 ，即CE 垂直于 x 轴时， cos 2 取得最小值为 1 2 ， 2 取得最大值为 3 ， 所以 的最大值为 2 3 21（12 分）已知函数 f x ex ax2 （1）若 a 1，证明：当 x 0 时， f x1； （2）若 f x在0, 有两个零点，求 a 的取值范围 2 e 【答案】（1）见解析；（2） , 4 【解析】（1）证明：当 a 1 时，函数 f x ex x2 则 f x ex 2x ， 令 g x ex 2x ，则 g x ex 2 ，令 g x 0 ，得 x ln2 当 x0,ln2时， g x 0 ，当 xln2,时， g x 0 f x在0,单调递增， f

25、 x f 0 1 （2）解： f x在0,有两个零点 方程 ex ax2 0 在0,有两个根， x e 在0,有两个根， a 2 x 即函数 y a 与 G x x 的图像在0,有两个交点 e x x e 2 G x ， 2 3 x x 当 x0, 2时，Gx 0 ，Gx在0, 2递增 当 x2, 时，Gx 0 ，Gx在2, 递增 2 e 所以Gx最小值为G2 ， 4 当 x 0 时，Gx ，当 x 时，Gx ， 2 e f x在0,有两个零点时， 的取值范围是 , 4 请考生在 2222、2323两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 13 22（10 分）【选修 44：坐标系与

26、参数方程】 在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中 ， 倾 斜 角 为 2 的 直 线 l 的 参 数 方 程 为 x 1 tcos y tsin t 为参数 以坐标原点为极点，以 x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程是 cos2 4sin 0 （1）写出直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程； （2）已知点 P1, 0若点 M 的极坐标为 1 , ，直线l 经过点 M 且与曲线 C 相交于 A ， B 两 2 点，求 A ， B 两点间的距离 AB 的值 【答案】（1）见解析；（2）8 【解析】（1）l : y tan x 1； 曲线C 的直角坐标方程为 x2 4

27、y ； , ，点 M 的直角坐标为0,1 （2） M 的极坐标为 1 2 tan 1，直线 的倾斜角 3 4 2 x 1 t 2 直线l 的参数方程为 t 为参数 2 y t 2 代入 x2 4y ，得t2 6 2t 2 0 设 A ， B 两点对应的参数为t1 ，t2 ，则 1 2 t t 2 1 2 ， AB t t t t t t 2 1 2 1 2 4 1 2 72 4 2 8 23（10 分）【选修 4-5：不等式选讲】 已知函数 f x x 1 （1）求不等式 f x 2x 1 1 的解集； （2）关于 x 的不等式 f x 2 f x 3 a 的解集不是空集，求实数 a 的取值范围 14 【答案】（1） A ,1 1,；（2）1, 【解析】（1） f x 2x 1 1， x 1 2x 1 1 0 ， 当 x 1 时，不等式可化为 x 1 2x 11 0 ，解得 x 1，所以 x 1； 1 当 1 x ，不等式可化为 x 1 2x 11 0 ，解得 x 1，无解； 2 当 1 x 时，不等式可化为 x 1 2x 11 0 ，解得 x 1，所以 x 1 2 综上所述， A ,1 1, （2）因为 f x 2 f x 3 x 1 x 2 x 1 x 2 1 ， 且 f x 2 f x 3 a 的解集不是空集， 所以 a 1，即 a 的取值范围是1, 15