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1、蕉岭中学 2018-20192018-2019 学年第一学期高二级第一次质检理科数学试题 第一部分 选择题（共 6060分） 一、选择题：本大题共 1212小题，每小题 5 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的. . 1已知集合 A x|x 1 0 ， 则 （ ） B x | x 2x 3 0, A B 2 A. 1, 3 B. 1, 1 C. 1, D. 3,1 2在ABC 中，已知内角 A, B,C 成等差数列，则角 B 为： （ ） A30 B60 C90 D120 3某学校高一年级共有 480名学生，为了调查高一学生的数学成绩，计划 用系统抽样的方法 抽取 30
2、 名学生作为调查对象：将 480 名学生随机从 1480 编号，按编号顺序平均分成 30 组 (116号，1732号，465480 号)，若从第 1 组中用抽签法确定的号码为 5，则第 8 组 中被抽中学生的号码是 ( ) A. 25 B. 133 C. 117 D. 88 4在三角形 ABC 中，如果(a b)(a b) c(b c) ，那么 A 等于（ ） A300 B 600 C1200 D1500 5张丘建算经是我国北魏时期数学家张丘建所著，现传本有 92 问，比较突出的成就有最 大公约数与最小公倍数的计算，各种等差数列问题的解决、某些不定方程问题求解等。“张 丘建算经卷上第 22 题
3、为：“今有女善织，日益功疾（注：从第二天起，每天比前一天多织 相同量的布），第一天织 5 尺布，现有一月（按 30天计），共织 390 尺布”，则从第二起每天比 前一天多织（ ）尺布。 1 8 16 16 A B C D 2 15 31 29 6. 已知向量 a (1,1),b (1,1),c (1,2) ，若 c xa yb，那么 x y =：（ ） A. 2 B. 1 C. 1 D.2 7已知直线l 过点 P(3,4)且与点 A(2,2) ， B(4,2) 等距离，则直线l 的方程为（ ） A 2x 3y 18 0 B 2x y 2 0 - 1 - C3x 2y 18 0 或 x 2y 2
4、 0 D 2x 3y 18 0 或 2x y 2 0 8涂老师将 5 个不同颜色的球分给甲、乙、丙、丁、戊五位同学，每人分得 1 个，则事件“甲 ”“”分得红色球 与 乙分得红色球 是 ( ) A. 对立事件 B. 不可能事件 C. 互斥但不对立事件 D. 不是互斥事件 9有如下四个游戏盘，撒一粒黄豆，若落在阴影部分，则可以中奖，小明希望中奖，则他应 该选择的游戏是（ ） 10如图所示的程序框图，若输出的 ，则判断框内实数 的取值范围为 （ ） A. B. C. D. 11.已知直三棱柱 中， ， ， ， 则异面直线 与 所成角的余弦值为（ ） A B C D 12设 x、y、z为正数，且 2
5、x 3y 5z ，则（ ） A2x3y5z B5z2x3y C3y5z2x D3y2x5z 第二部分 非选择题（共 9090分） 二、填空题：本大题共 4 4 小题，每小题 5 5 分，共 2020分，把答案填在答卷相应题号的位置上. . 1 5 13.若 cos ，且 是第四象限角，则 cos 2 )_. 5 ( 14. 已知 为等差数列，若 ， ，则 _： a a a a a a a 1 2 4 2 3 8 n 3 4 15.一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为 2 3，它的三视图中的俯视图如右 图所示，左 视图是一个矩形，则这个矩形的面积是_ 16.已 知 O是 锐 角 三 角 形
6、 ABC 的 外 接 圆 的 圆 心 ， 且 tan 2 , 若 A 2 cos B cosC AB AC k AO sinC sin B ，则 . k 三、解答题：本大题共 6 6 小题，共 7070分，解答应写出文字说明、证明过程或演算过程，把答 案填在答卷相应题号的位置上 17（本题满分 10 分） 已知等差数列 的前 项和为 , . a n 2 2, 5 0 S a S n n （1）求数列 的通项公式; a n （2）当 n 为何值时, S 取得最大值. n 18. （本题满分 12 分） 已知 a,b,c 是 ABC 三内角 A, B,C 的对边，且 2bcosC c 2a （1）
7、求角 B 的大小 （2）若b 2 ，且 ABC 的面积为 3 ，求 2 （i） ABC 周长；（ii）AC 边的中线 BD的长度。 19（本题满分 12 分） 已知圆 M 的方程为 x2(y2)21，直线 l 的方程为 x2y0，点 P 在直线 l 上，过 P 点作 圆 M 的切线 PA，PB，切点为 A，B. (1)若APB60，试求点 P 的坐标； (2)若点 P 的坐标为(2,1)，过 P 作直线与圆 M 交于 C，D 两点，当 CD 2时，求直线 CD 的方程 20（本题满分 12 分） 在“魅力红谷滩”才艺展示评比中，参赛选手成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同 程度的损坏，可见部
8、分如图所示 - 3 - （1）根据图中信息，将图乙中的频率分布直方图补充完整； （2）根据频率分布直方图估计 选手成绩的平均值（同一组数据用该区间的中点值作代表）； （3）从成绩在80，100的选手中任选 2 人进行 PK，求至少有 1 人成绩在90，100的概率 21（本题满分 12 分） 在如右图所示的几何体中，四边形 ABCD 是等腰梯形，ABCD，DAB60，FC平面 ABCD，AEBD，CBCDCF. ! ! (1)求证：BD平面 AED； (2)求二面角 FBDC 的余弦值 22（本题满分 12 分） 已知函数 ( ) log ， ，其中 且 ， . f x x g(x) 2 lo
9、g (2x t 2) a 0 a 1 t R a a （I）若t 4，且 1 ,2时， 的最小值是2,求实数 的值； x F(x) g(x) f (x) a 4 （II）若 0 a 1，且 1 ,2时，有 恒成立，求实数 的取值范围. x f (x) g(x) t 4 - 4 - 蕉岭中学高二年级第一次质检理科数学试题参考答案 一选择题 BBCCDBBCCD BDCACBDCAC CDCD 二填空题 2 6 13、 14. 12. 15.2 3 16. 5 3 6 三、解答题（共 6 6 个小题，共 7070分） 2, a d 1 a S 2 2, 5 0 1 .解: （1） ， 5 4d 分
10、 5a 0. 1 2 解得 . 分 a1 4, d 2 n 4 1 2 6 2 a n n 分 4 1 S 1 2 n n 5n na n n 1 d n n n （2 2） 分 2 2 5 25 n 2 4 分 n , * n 2 n 3 S 当 或 时, 取得最大值 6. 1分 n a 0 n (2)解法二：由 8分 a 0 n1 解得: 2 n 3 9分 n * n 2 n 3 当 或 时, 取得最大值 6. 10 分 S n 18.解：（1）由正弦定理： 2 sin BcosC sinC 2 sin A 1分 sin A sin( A) sin(B C) sin BcosC cosCs
11、inB sinC 2 cos BsinC 3 分又C (0, ) ，sinC 0 1 cos B B (0, ) B 2 3 又 ，所以 5分 （2）由余弦定理：b2 a2 c2 2accos B a2 c2 ac 4 (1) 7分 1 3 3 S acsin B ac 2 4 2 由三角形面积公式： 8 分 - 5 - 即 ac 2 (2)由（1）（2） a2 c2 ac (a c)2 3ac (a c)2 6 4 所以 a c 10 三角形周长为： 2 10 9分 在 ABD,BCD 中分别使用余弦定理： 2 b b （3） 4 2 2 b b （4） 4 2 又因为ADB C DB ，c
12、osADB cosC DB 0 2 b （3）+（4）得 2BD a c 6 2 4 2 2 2 2 所以 BD 2 12 分 4 19解：(1)设 P(2m，m)，由题可知 MP2，所以(2m)2(m2)24，解得 m0 或 m ，故 5 8 4 所求点 P 的坐标为 P(0,0)或 P( 5 ).6分 ， 5 (2)由题意易知 k 存在，设直线 CD 的方程为 y1k(x2)，由题知圆心 M 到直线 CD 的 2 2 |2k1| 1 距离为 ，所以 ，解得 k1 或 k ，故所求直线 CD 的方程为：xy 2 2 1k2 7 30 或 x7y90. 12 分 20（1）由题图甲的茎叶图知，
13、成绩在 的人数为 1，设参赛选手总人数为 n， 则 2 分 由题图乙的频率分布直方图知，成绩在90，100的人数为 可得频率分布表如下所示 成绩分组 频数 1 3 7 8 4 2 频率 0 .04 0.12 0.28 0.32 0.16 0.08 所以，补全后的频率分布直方图如图所示 - 6 - 5 分 （2）平均值= 8分 （3）成绩在80，100的选手共有 6 人，记成绩在 的 4 位选手为 ， 成绩在 的 2 位选手为 ， 则任选 2 人的所有可能情况为 共 15 种可能，其中至少有 1 人成绩在90，100有 9 种可能，故所求概率为 12 分 21解：(1)证明：因为四边形 ABCD
14、 是等腰梯形，ABCD，DAB60，所以ADCBCD 120.又 CBCD，所以CDB30，因此ADB90，即 ADBD. 又 AEBD，且 AEADA，AE，AD 平面 AED，所以 BD平面 AED. 6 分 (2)如图，取 BD 的中点 G，连接 CG，FG，由于 CBCD，因此 CGBD， 又 FC平面 ABCD，BD 平面 ABCD，所以 FCBD.由于 FCCGC， FC，CG 平面 FCG，所以 BD平面 FCG，故 BDFG， 所以FGC 为二面角 FBDC 的平面角 1 在 等腰三角形 BCD 中，由于BCD120，因此 CG CB. 2 又 CBCF，所以 GF CG2CF
15、2 5CG， - 7 - 5 5 故 cos FGC ，因此二面角 FBDC 的余弦值为 .12分 5 5 22【解析】 （I）t 4， F(x) g(x) f (x) 2 log (2x 2) log x log a a a 4(x 1)2 x 1 a x log 4( 2) x ， 2 分 h(x) 4(x 2) h( ) h(2) 1 1 , 1 1 x 4 4 1, 2 易证 在 上单调递减，在 上单调递增，且 ， 1 h(x) h( ) 25 h(x)min h(1) 16， ， 4 分 max 4 1 a F(x) log 16 log 16 2 a 当 a 1时， ，由 ，解得
16、（舍去） 4 min a 1 a F(x) log 25 log 25 2 a 当 0 a 1时， ，由 ，解得 . 6 分 5 min a 1 综上知实数 a 的值是 . 7 分 5 （II） f (x) g(x) 恒成立，即 log 2 log (2 2) 恒成立， a x a x t 1 1 loga x loga (2x t 2) x ,2 0 a 1 x 2x t 2 2 4 . 又 ， ， ， t x x t (2x x 2)max 2 2 恒成立， . 10 分 1 17 1 y 2x x 2 2( x ) (x , 2) 2 y max 2 4 8 4 令 ， . 故实数t 的取值范围为2,) . 12分 - 8 -