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1、2018-20192018-2019 届第一学期高三数学第一次阶段检测 时间：2018.10.202018.10.20 满分：160160 分 一、填空题（本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70分，请将答案填写在答题卡相应的位置上） 1已知全集U x 1 x 8， A x 2x 1 3，xU，则 C A U 1 2复数 1+2i (i 是虚数单位 ) 的实部为 3已知命题 p :x(0,), x2 x 2,则命题 p 的否定是 4函数 f (x) 的定义域是1,1，则函数 (log ) 的定义域为 f 1 x 2 5若 AB (3, 4) ， A 点的坐标为2,1，则 B 点的坐标为
2、6已知直线 l 平面 ，直线 m 平面 ，有下列四个命题：若 l m lm lm ， 则 ； 若 ， 则 ； 若 ， 则 l m ；若 ，则 .以上命题中，正确命题的序号是 7等比数列 的前 3 项的和等于首项的 3 倍，则该等比数列的公比为 a n 8已知向量 a (1,2),b ( 0,1) ，设 u a kb ， v 2a b ，若 u / v ，则实数 k 的值为 b 9已知长方体从同一顶点出发的三条棱长分别为 a ，b ， c ，且 a ， ， c 成等差数列若其 2 对角线长为 6 ，则b 的最大值为 10将函数 f (x) tan(x 图像的纵坐标不变，横坐标变为原来的 2 倍得
3、到函数 的图 ) g(x) 4 像，若 ，则 的值是 g(x ) 2 f (x ) 0 0 4 11 已 知 平 面 上 三 个 向 量 OA ， OB ， OC ， 满 足 OA 1， OB 3 ， OC 2 ， OAOB 0 CACB ，则 的最大值为 12已知函数 f x=e ，且函数 f x与 g x的图像关于点1, 2对称，若 f x g x m 恒 x 成立，则 m 的取值范围为 13若数列a 满足 a a a n ，则称数列a 为凹数列已知等差数列 的 n n n n n n 1 1 2 2 b b 公差为 d ， ，且数列 是凹数列，则 的取值范围为 b1 4 n d n 14
4、设 f (x) 是定义在 R 上的偶函数，x R ，都有 f (2 x) f (2 x) ，且当 x0, 2时， f (x) 2x 2 g(x) f (x) log (x 1) a 0, a 1 1, 9 ，若函数 在区间 内恰有三 a - 1 - 个不同零点，则实数 a 的取值范围是 二、解答题：（本大题共 6 道题，计 90分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤） 15（本题满分 14 分） 已知向量 m (sinx,cosx),n (cosx,cosx)( 0) ，设函数 f (x) m n ，且 f x ( ) 的最小正周期为 求 f (x) 的单调递增区间； 先将函数 y
5、f (x) 的图象上各点的横坐标伸长为原来的 2 倍，纵坐标不变，然后将图 3 象向下平移1个单位，得到函数 y g(x) 的图象，求函数 y g(x) 在区间上0, 4 上的取值范围 16（本题满分 14 分） 在如图所示的几何体中， 四边形 ABCD 是正方形， EA 面 ABCD ， EF / AD ，且 AB AE 2 EF 1 2 ， ， . 若 AC 与 BD 交于点O ，求证:EO /面FCD ； 求证： DE 平面 ABF . 17（本题满分 14 分） 已知函数 f (x) sin2 x 2 3 sin xcos x sin(x ) sin(x ) （ x R ）. 4 4
6、- 2 - (1)求 f (x) 的最小正周期和单调增区间； (2)在 ABC 中，角 A, B,C 的对边分别是 a,b,c ，角 A 为锐角，若 f (A) f (A) 2 ， b c 7 ABC 2 3 a ， 的面积为 ，求 边的值. 18（本题满分 16 分） 2 如图，扇形 AOB 是一个观光区的平面示意图，其中AOB 的圆心角为 ，半径 OA 为 1 3 km.为了便于游客观光休闲，拟在观光区内铺设一条从入口 A 到出口 B 的观光道路，道路 由弧 AC、线段 CD 及线段 BD 组成，其中 D 点在线段 OB 上(不包括端点)，且CD / AO .设 AOC . 用 表示 CD
7、 的长度，并写出 的取值范围； 当 为何值时，观光道路最长？ - 3 - 19（本题满分 16 分） 已知函数 f (x) x2 1 x2 kx ，且定义域为0, 2. 求关于 x 的方程 f x kx 5 在0, 2上的解； 若 f (x) 是定义域0, 2上的单调函数，求实数 k 的取值范围； 若关于 x 的方程 f (x) 0在0, 2上有两个不同的解 x ，求 k 的取值范围. 1, x 2 20（本题满分 16 分） 已知非零数列 满足 a ， . a 1 1 a a 1 a 2a 1 n N * n n n n n 1 求证：数列 是等比数列； 1 a n 1 1 1 若关于 n
8、的不等式 m 3有 1 1 1 n log 1 n log 1 n log 1 2 2 2 a a a 1 2 n 解，求整数 m 的最小值； 1 在数列 中，是否存在首项、第 项、第 项 ，使得这三项 1 1 r s 1 r s 6 n a n 依次构成等差数列？若存在，求出所有的 r 、 s ；若不存在，请说明理由. - 4 - 高三文科数学参考答案及评分意见 一、填空题（本大题共 14小题，每小题 5 分，共 70 分） 1 2,8 x(0,), x2 x 2 1 2 3 5 1 4 ,2 5 6 72 或 1 1, 3 2 1 3 8 92 10 11 2 2 2 2 4 1 1 12
9、,2e 4 13 (,4 14 9 5 ( , ) ( 3, 7) 二、解答题：（本大题共 6 道题，计 90分） 1515（本小题满分 1414分） 2 1 1 cos 2x 解： f x =mn sin x cos x cos x sin 2 x 2 2 2 1 sin 2x 2 4 2 ， 2 分 2 又T ， 1， 4 分 2 3 2k 2x 2k ,k Z k x k ,k Z 2 4 2 8 8 3 故 f x的单调递增区间是 ，7 分 k , k ,k Z 8 8 2 1 2 1 f (x) sin(2x ) f (x) sin(x ) 9 分 纵坐标不变 横坐标伸长为原来的2
10、倍 1 2 4 2 2 4 2 1 2 1 向下平移个单位 g(x) sin(x ) 2 4 2 ， 11 分 3 x 0, , x , Q sin(x )0,1 ， 4 4 4 4 g(x) 1 , 2 1 2 1 1 2 1 sin(x ) , ， 的取值范围为 .14 分 2 4 2 2 2 2 2 2 2 1616（本题满分 1414分） 证明：如图，取CD 中点G ，连OG ， FG ， 在 CAD 中，因为O, G 分别是CA, CD 的中点， - 5 - OG AD 1 ，且 ，2 分 OG AD 2 1 又由已知得， EF AD ，且 ， EF AD 2 EF /OG OGFE
11、 EO / FG ， 四边形 是平行四边形， ， 5 分 又 EO 平面FCD ， FG 平面FCD ， EO /平面FCD 7分 EF EA 设 ED AF M ，在四边形 ADFE 中， ， FEA EAD 90， EA AD : EAF ADE AMD 90 DE AF FEA EAD ， ， ，即 ，10分 又 EA 面 ABCD ， AB 面 ABCD ，EA AB ， 又 AD AB ， AB 面 EADF AB DE ， 12 分 DE AF AB AF A DE ABF ， ， 平面 . 14 分 1717（本题满分 1414分） 1 解：(1)f(x)=sin2x + 3si
12、n2x + ( sin2xcos2x) (或者 f(x)=sin2x + 3sin2x 2 sin(x+ ) cos (x+ ) ) 4 4 1 cos2x 1 1 cos2x = + 3sin2x cos2x ( = + 3sin2x 2 2 2 1 2 sin(2x+ ) 2 = 3sin2x cos2x + 1 2 1 =2sin(2x )+ 4分 6 2 所以 f(x)的最小正周期为 由 2k 2x 2k + ( k Z )，可得 k xk + ( k Z )， 2 6 2 6 3 所以 f(x)单调增区间为k ，k + ( k Z ). 7 6 3 分 1 1 (2)由 f(A)+
13、f(A) =2 得， 2sin(2A )+ 2sin(2A+ )+ =2， 6 2 6 2 1 化简得 cos2A = ，又因为 0A ，所以解得 A= . 10 分 2 2 3 1 由题意知，SABC = bc sinA=2 ，解得 bc=8， 3 2 - 6 - 由余弦定理得，a2 = b2+c2 2bccosA=( b+c) 22bc(1+cosA)=25， 故 a = 5. 14 分 1818（本题满分 1616分） CD OD CO 解：解：(1) 在OCD中，由正弦定理，得 2 分 sinCOD sinDCO sinCDO 又 CDAO，CO1，AOC ， 2 2 1 2 所以 ，
14、 . 4分 3 3 3 3 CD sin cos sin OD sin 3 因为 ODOB，所以 ，所以 . sin 0 2 3 1 所以 ， 的取值范围为 .7 分 3 3 CD cos sin 0, 设道路长度为 L ，则 : 1 2 sin cos 1 sin cos 1 sin 1 L BD CD AC ， 3 3 3 0, 3 ， 9 分 3 1 2 3 L 1 sin cos 3 sin cos 1 sin L 3 3 3 6 2 ， 11 分 L sin 3 0 0, 由 ，得 .又 ，所以 . 6 2 3 6 当 0 时， y 0 ，函数在 (0, ) 上单调递增， 6 6 y
15、 0 ( , ) 当 时， ，函数在 上单调递减 ，14 分 6 3 6 3 所以当 时， 达到最大值，观光道路最长 L 6 答：当 时，观光道路最长 16 分 6 1919（本题满分 1616分） 解： f (x) x2 1 x2 kx ， f (x) kx +3即 x2 1 x2 3 当 0 x 1时， x2 1 x2 1 x2 x2 1，此时该方程无解2 分 当1 x 2 时， x2 1 x2 2x2 1，原方程等价于： x2 2, 此时该方程的解为 2 . - 7 - 综上可知：方程 f (x) kx +3 在（0，2）上的解为 2 . 4分 f (x) x2 1 x2 kx ， (
16、kx x f x) 5 分 1 (0,1 2 2 (1,2) x kx 1 x k 0 k 可得：若 f (x) 是单调递增函数，则 此时k 0 7 分 1 4 k 0 k 若 f (x) 是单调递减函数，则 2 4 此时k 8， 综上可知： f (x) 是单调函数时 k 的取值范围为 (,8 (0,) .9 分 解法一：当 0 x 1时， kx 1， 当1 x 2时， 2x2 kx 1 0 ， 2 若 k=0则无解，的解为 x (1,2)故 k 0 不合题意 11 分 2 1 若 k 0 则的解为 ， x k 1 （ ）当 ( 0,1 时，即 k 1时，方程中 k 2 8 0, k 故方程中
17、一根在1, 2内另一根不在1, 2内， k 1 1) 0 g( 1 设 g(x) 2x2 kx 1，而 1x 0 7 x 则 , , 2 2 g(2 0 k ) 2 7 又 k 1，故 k 1， 13 分 2 1 （ II） 当 时 ， 即 1 k 0 或 k 0 时 ， 方 程 在 1, 2有 两 个 不 同 解 ， 而 0,1 k 1 x x 1 2 2 0， 则 方 程 必 有 负 根 ， 不 合 题 意. 15分 7 综上， k 1. 16 分 2 2 2 2 2x 1,1 x 2 法二、 f x 0 ，即 x2 1 x2 kx ， ， x 1 x 1,0 x 1 - 8 - 1 2x
18、 ,1 x 2 x 故整理得， k ， 1 ,0 x 1 x 分析函数的单调性及其取值情况易得解（用图像法做，必须画出草图，再用必要文字说明） 7 利用该分段函数的图像得 . k 1 2 2020（本题满分 1616分） 1 2 1 1 解：由 ，得 ，即 1 2 1 ，2 分 a a 1 a 2a 1 1 n n n n a a a a n 1 n n 1 n 1 所以数列 是首项为 2，公比为 2的等比数列；4 分 1 a n 1 1 1 1 3 由可得， 1 2n ，故 m ，5 分 a n 1 n 2 n n n 1 1 1 f n 设 ， n 1 n 2 n n 1 1 1 1 1
19、则 ， 2n 1 2n 2 n 1 2n 1 2n 2 f n 1 f n 0 所以 f n单调递增， 8分 1 1 7 则 ，于是 ，即 ， f n f 1 m 3 m min 2 2 2 故整数 m 的最小值为 4 ， 10分 1 1 由上面得， a ，则设b 1 1 2 1 ， n n n n n n 2 1 a n 要使得b ， ，b 成等差数列，即b1 bs 2br ， b 1 r s 即 ，得 ，12分 3 2 1 2 2 1 2 2 1 2 1 3 s r s r s r 1 s r1 s r 1 1 2 1 3 0 s r 1， ， ， s r s 1 1 1 1 r 故 s 为偶数，r 为偶数， 14分 3 s 6 s 4 r 3 s 6 r 5 ， ， 或 ， . 16 分 - 9 -