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1、玉山二中 2018201920182019 学年度第一学期第一次月考 高三数学（理）试卷 一、选择题 1在复平面内，复数 的对应点坐标为 ，则 的共轭复数为（ ） A B C D 2已知集合 ， ，则集合 中元素的个数为 A 2 B 3 C 4 D 5 3设 ， ，则 是 成立的 A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件 4已知函数f(x)x2+2kx-m 在区间(2，6)上既没有最大值也没有最小值，则实数k 的取值范围是( ) A (-6，2) B ( ，2) C ( ，-6-2， ) D ( ，-6)(-2， ) 5若函数 的图象与直线 相切，则
2、() A B C D 6如图所示，在椭圆 内任取一个点 ，则 恰好取自椭圆的两个端点连线与椭圆围成 阴影部分的概率为（ ） A B C D 7若 ，则 的值为 A B C D 8若函数 在区间 上单调递增，则正数 的最 大值为 （ ） A B C D 92018 年元旦假期，高三的 8 名同学准备拼车去旅游，其中 班、 班， 班、 班每班 1 各 两名，分乘甲乙两辆汽车，每车限坐 4 名同学 乘同一辆车的 4 名同学不考虑位置 ，其 中 班两位同学是孪生姐妹，需乘同一辆车，则乘坐甲车的 4 名同学中恰有 2 名同学是来自同 一个 班的乘坐方式共有 A 18种 B 24 种 C 48 种 D 3
3、6种 10已知函数 ，若存在实数 ，使得 ，则 A 2 B 3 C 4 D 5 11函数 ，关于方程 有三个不同实数解， 则实数 的取值范围为( ) A B C D 12已知函数 ， ，实数 ， 满足 .若 ， ，使得 成立，则 的最大值为（ ） A 3 B 4 C 5 D 2 二、填空题 13若 ，则下列不等式： ； ； ； 中， 正确的不等式有_; 14已知函数 为奇函数，若 ，则 的值为_. 15若 满足条件 的最大值为_ 16在 中，内角 所对的边分别为 ，已知 ，且 ，则 面积的最大值为_ 三、解答题 17已知命题 ： ， . （ ）若 为真命题，求实数 的取值范围； （ ）若有命题
4、 ： ， ，当 为真命题且 为假命题时，求实数 的取值 范围. 18各项均为正数的数列 满足： ， 是其前 项的和，且 .数列 满足 ， . （ ）求 及通项 ； （ ）若数列 的前 和为 ，求 . 19如图，已知多面体 中， 为菱形， ， 平面 ， ， ， . （1）求证：平面 平面 ； （2）求二面角 的余弦值. 20已知椭圆 ： 的离心率为 ，右焦点 F 是抛物线 ： 的焦 3 点，点 在抛物线 上 求椭圆 的方程； 已知斜率为 k 的直线 l 交椭圆 于 A，B 两点， ，直线 AM 与 BM 的斜率乘积为 ，若 在椭圆上存在点 N，使 ，求 的面积的最小值 21已知函数 （ ）讨论函
5、数 在 上的单调性； （ ）证明： 恒成立. 选做题 22在直角坐标系中，以原点为极点， 轴的正半轴为极轴，以相同的长度单位建立极坐标系已 知直线 的极坐标方程为 ，曲线 的极坐标方程为 （ ）求直线 过点 的参数方程； （ ）已知直线 与曲线 交于 ，设 ，且 ，求实数 的值 23已知函数 （ ）当 时，求不等式 的解集； （ ）若 的解集包含 ，求 的取值范围. 4 高三理数第一次月考参考答案 1A 2C 3B 4C 5B 6A 7B 8C 9B 10A 11D 12A 13. 143 157 16 17（1） （2） 或 . 【解析】 【分析】 （ ）根据二次函数的性质求出 为真时 的范
6、围即可； （ ）由（ ）可得 对于命题题 ： ， ，根据 时，利用函数的单调性即可得出由 为真命题且 为假命题时，可得 真 假或 假 真由此可求实数 的取值范围. 【详解】 （ ） ， ， 且 ， 解得 为真命题时， . （ ） ， ， . 又 时， ， . 为真命题且 为假命题时， 真 假或 假 真， 当 假 真，有 解得 ； 当 真 假，有 解得 ； 为真命题且 为假命题时， 或 . 【点睛】 5 本题考查了函数与不等式的性质、不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计 算能力，属于中档题 18(1) ;(2)见解析. 【解析】 【分析】 （ ）由 依次求得 ，利用相邻式子作差得
7、到通项 ；（ ）利用累加法得到 ，结合错位相减法得到结果. 【详解】 （ ）在 中，令 得 ；令 得 ；令 得 ； 当 时， 故 得， 即 数列 是等差数列， （ ）由（ ）知： 记 ，则 两式相减得， ，又 也符合， ，即 , . 【点睛】 用错位相减法求和应注意的问题(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形； (2)“在写出 Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn qSn”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于 1 和不等于 1 两种情况求解. 19(1)证明见解析；(2) . 【解析】 【分析
8、】 （1）由题意可知 、 、 、 共面.连接 ， ，相交于点 ，由空间几何关系可证得 平面 ，则 ，结合题意有 平面 ，结合面面垂直的判断定理可得平面 平面 . 6 （2）取 的中点 ，以 A 点为坐标原点建立空间直角坐标系，结合几何体的结构特征可得平 面 的法向量为 ，平面 的法向量 ，利用空间向量的结论可得二 面角 的余弦值为 . 【详解】 （1）证明： ，四点 、 、 、 共面. 如图所示，连接 ， ，相交于点 ， 四边形 是菱形，对角线 ， 平面 ， ，又 ， 平面 ， ， 又 ， ， 平面 ， 平面 ， 平面 平面 . （2）取 的中点 ， ， ， 是等边三角形， ， 又 ， ， 以
9、 A 点为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则 ， ， ， ， . ， ， ， . . ，解得 . 设平面 的法向量为 ， 7 则 ， ， 取 . 同理可得：平面 的法向量 . . 由图可知：二面角 的平面角为钝角， 二面角 的余弦值为 . 【点睛】 本题的核心在考查空间向量的应用，需要注意以下问题： (1)求解本题要注意两点：一是两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角，二是利用方程 思想进行向量运算，要认真细心，准确计算 (2)设 m，n 分别为平面 ， 的法向量，则二面角 与互补或相等.求解时一定要注 意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角 20（1） ；（2） . 【解析】 【分
10、析】 先求出 的值，即可求出 的值，根据离心率求出 的值，即可得到椭圆方程 设直线 的方程为 ，设 ， ， 由 ，根据直线 与 的斜 率乘积为 ，求出 ，再根据弦长公式求出 和 ，表示出三角形的面积，再利用二次 函数的性质即可求出最小值 【详解】 点 在抛物线 上， ， 解得 ， 椭圆的右焦点为 ， ， 椭圆 ： 的离心率为 ， ， ， 8 ， 椭圆 的方程为 ， 设直线 l 的方程为 ，设 ， ， 由 ，消 y 可得 ， ， ， ， ，直线 AM 与 BM 的斜率乘积为 ， ， 解得 ， 直线 l 的方程为 ，线段 AB 的中点为坐标原点， 由弦长公式可得 ， ， 垂直平分线段 AB， 当
11、时，设直线 ON 的方程为 ， 同理可得 ， ， 当 时， 的面积也适合上式， 令 ， ， ， 则 ， 当 时，即 时， 的最小值为 【点睛】 本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查椭圆与二次函数函数的应用，考查计 算能力，属于难题，注意在解答过程中弦长公式的运用与求解，在解答最值时采用二次函数的 方法求得结果。 9 21（1），当 时， 在 上单调递增；当 时， 在 上单调递增，在 上 单调递减.（2）见解析 【解析】 【分析】 （1）求出 （ ），通过当 时，当 时，判断导函数的符号，推出函数的单 调区间即可 证 法 二 ： 记 函 数 ， 通 过 导 数 研 究 函 数 的
12、性 质 ， ，问题得证. 【详解】 （ ） （ ）， 当 时， 恒成立，所以， 在 上单调递增； 当 时，令 ，得到 ，所以，当 时， ， 单调递增，当 时， ， 单调递减. 综上所述，当 时， 在 上单调递增；当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减. （ ）证法一：由（ ）可知，当 时， ， 特别地，取 ，有 ，即 ，所以 （当且仅当 时等号成立）， 因此，要证 恒成立，只要证明 在 上恒成立即可， 设 （ ），则 ， 当 时， ， 单调递减，当 时， ， 单调递增. 所以，当 时， ，即 在 上恒成立. 因此，有 ，又因为两个等号不能同时成立，所以有 恒成立. 证法二：记函数 ， 则 ，
13、可知 在 上单调递增，又由 知， 在 上有唯一实根 ，且 ，则 ，即 （*）， 当 时， 单调递减；当 时， 单调递增， 10 所以 ，结合（*）式 ，知 ， 所以 ， 则 ，即 ，所以有 恒成立. 【点睛】 本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及利用导数方不等，考查分类讨论思想的应用属 难题. 22(1) 线 过点 的参数方程为 （ 为参数）;(2) . 【解析】 【分析】 （1）先将极坐标方程变为直角坐标方程，再写成参数形式即可； （2）现将曲线 化为的直角坐标方程，与直线 联立得 ，设点 分别 对应参数 恰为上述方程的根，则 由题设得 ，进 而利用韦达定理求解即可 【详解】 （1）将
14、 ，代入直线 的极坐标方程得直角坐标方程 所以直线 过点 的参数方程为 （ 为参数） （2）由 ，得 ， 由 代入，得 将直线 的参数方程与 的直角坐标方程联立，得 ，（*） 设点 分别对应参数 恰为上述方程的根，则 由题设得 ，即 由（*）得 ， ，则有 ， 得 或 因为 ，所以 【点睛】 直线的参数方程的标准形式的应用 过点 M0(x0，y0)，倾斜角为 的直线 l 的参数方程是 .(t 是参数，t 可正、可负、 可为 0) 11 若 M1，M2是 l 上的两点，其对应参数分别为 t1，t2，则 (1)M1，M2两点的坐标分别是(x0t1cos ，y0t1sin )，(x0t2cos ，y
15、0t2sin ). (2)|M1M2|t1t2|. (3)若线段 M1M2的中点 M 所对应的参数为 t，则 t ，中点 M 到定点 M0的距离|MM0|t| . (4)若 M0为线段 M1M2的中点，则 t1t20. 23(1) 解集为 ;(2) 的取值范围为 . 【解析】 【分析】 （1）分段去绝对值解不等式即可； （2） 等价于 ，由 ，去绝对值得 ，列不等式求解 即可. 【详解】 （1）当 时， ，不等式 ，即 ， 当 时，由 ，解得 ； 当 时，由 ，解得 ，故不等式无解； 当 时，由 ，解得 综上 的解集为 （2） 等价于 当 时， 等价于 ，即 ， 若 的解集包含 ，则 ，即 故满足条件的 的取值范围为 【点睛】 绝对值不等式的常见解法： 利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想； “”利用 零点分段法 求解，体现了分类讨论的思想； 通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想 12