[中考]平面向量的数学习题.doc

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1、学而思教育学习改变命运 思考成就未来！ 高考网2006年普通高等学校招生全国统一考试数学分类汇编第五章平面向量一、选择题（共28题）1（安徽卷）如果的三个内角的余弦值分别等于的三个内角的正弦值，则A和都是锐角三角形B和都是钝角三角形C是钝角三角形，是锐角三角形D是锐角三角形，是钝角三角形解：的三个内角的余弦值均大于0，则是锐角三角形，若是锐角三角形，由，得，那么，所以是钝角三角形。故选D。2（北京卷）若与都是非零向量，则“”是“”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件解：，故选C3（福建卷）已知=1，=,=0,点C在AOB内，且AOC=30

2、，设=m+n(m、nR)，则等于A. B.3 C. D. 解析：点C在AB上，且。设A点坐标为(1，0)，B点的坐标为(0，)，C点的坐标为(x，y)=(，)，则 m=，n=，=3，选B.4（福建卷）已知向量与的夹角为，则等于（A）5（B）4（C）3（D）1图1解析：向量与的夹角为， ， ，则=1(舍去)或=4，选B.5（广东卷）如图1所示，是的边上的中点，则向量A. B. C. D. 解析：，故选A.6（湖北卷）已知向量，是不平行于轴的单位向量，且，则A（） B（） C（） D（）解：设（x，y），则有解得x，y，选B7（湖北卷）已知非零向量a、b，若a2b与a2b互相垂直，则A. B. 4

3、 C. D. 2解：由a2b与a2b互相垂直（a2b）（a2b）0a24b20即|a|24|b|2|a|2|b|，故选D8（湖南卷）已知,且关于的方程有实根,则与的夹角的取值范围是 ( )A.0, B. C. D.解析： 且关于的方程有实根，则，设向量的夹角为，cos=，选B.9（湖南卷）已知向量若时，；时，则 A B. C. D. 解析：向量若时， ；时，选C.10（湖南卷）如图1：OMAB，点P由射线OM、线段OB及AB的延长线围成的阴影区域内（不含边界）.且，则实数对（x,y）可以是ABOM图1AB. C. D. 解析：如图，OMAB，点P由射线OM、线段OB及AB的延长线围成的阴影区域

4、内（不含边界）.且，由图知，x0，当x=时，即=，P点在线段DE上，=，=，而b，所以AB，故B30，所以C90，故c2，选B20（山东卷）设向量a=(1, 2),b=(2,4),c=(1,2)，若表示向量4a,4b2c,2(ac),d的有向线段首尾相接能构成四边形，则向量d为(A)(2,6) (B)(2,6) (C)(2,6) (D)(2,6)解：设d（x，y），因为4a（4，12），4b2c（6，20），2(ac)（4，2），依题意，有4a（4b2c）2(ac)d0，解得x2，y6，选D21（山东卷）设向量a=(1,3),b=(2,4),若表示向量4a、3b2a,c的有向线段首尾相接能构成

5、三角形，则向量c为(A)（1，1） (B)（1， 1） (C) （4，6） (D) （4，6）解：4a（4，12），3b2a（8，18），设向量c（x，y），依题意，得4a（3b2a）c0，所以48x0，1218y0，解得x4，y6，选D22(陕西卷) 已知非零向量与满足(+)=0且= , 则ABC为( )A.三边均不相等的三角形 B.直角三角形 C.等腰非等边三角形 D.等边三角形解析：非零向量与满足()=0，即角A的平分线垂直于BC， AB=AC，又= ，A=，所以ABC为等边三角形，选D23(上海卷)如图，在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是 （ ）ABCD（A）； （B）；（C）

6、； （D）解：由向量定义易得， （C）选项错误；24（四川卷）如图，已知正六边形，下列向量的数量积中最大的是（A） （B） （C） （D）解析：如图，已知正六边形，设边长，则=.，,=，=，=，=0，0， 数量积中最大的是，选A.25（四川卷）设分别是的三个内角所对的边，则是的（A）充要条件 （B）充分而不必要条件（C）必要而充分条件 （D）既不充分又不必要条件解析：设分别是的三个内角所对的边，若，则，则， ，又， ， ，若ABC中，由上可知，每一步都可以逆推回去，得到，所以是的充要条件，选A. 26（浙江卷）设向量满足,则 (A)1 (B)2 (C)4 (D)5解：由，故527(重庆卷)与向

7、量a=的夹解相等，且模为1的向量是(A) (B) 或（C） （D）或解析：与向量的夹角相等，且模为1的向量为(x，y)，则，解得或，选B. 28(重庆卷)已知三点，其中为常数。若，则与的夹角为（A） （B）或 （C） （D）或解：由解得k0或6，当k0时，与的夹角为，当k6时，与的夹角为，故选D二、填空题（共14题）29（安徽卷）在中，M为BC的中点，则_。（用表示）解：，所以。30.（北京卷）若三点共线，则的值等于_.解：， ，依题意，有（a2）（b2）40，即ab2a2b0所以31（北京卷）若三点A(2，2)，B(a,0),C(0,4)共线，则a的值等于 。解：（a2，2），（2，2），依

8、题意，向量 与共线，故有2（a2）40，得a432.（北京卷）在中，若，则的大小是_.解： a:b:c5:7:8设a5k，b7k，c8k，由余弦定理可解得的大小为.33.（北京卷）已知向量a=(cos,sin),b=(cos,sin),且ab，那么a+b与a-b的夹角的大小是 . 解：a+b（coscos，sinsin），a-b（coscos，sinsin），设a+b与a-b的夹角为q，则cosq0，故q34.（湖北卷）在ABC中，已知，b4，A30，则sinB .解：由正弦定理易得结论sinB。AOMPB图235.（湖南卷）如图2,OMAB,点P在由射线OM、线段OB及AB的延长线围成的阴影

9、区域内(不含边界)运动,且,则的取值范围是 ;当时,的取值范围是 . 解析:如图, , 点在由射线, 线段及的延长线围成的区域内 (不含边界)运动, 且，由向量加法的平行四边形法则，OP为平行四边形的对角线，该四边形应是以OB和OA的反向延长线为两邻边， 的取值范围是(，0)； 当时，要使P点落在指定区域内，即P点应落在DE上，CD=OB，CE=OB， 的取值范围是(，).36.（江苏卷）在ABC中，已知BC12，A60，B45，则AC【思路点拨】本题主要考查解三角形的基本知识【正确解答】由正弦定理得，解得【解后反思】解三角形：已知两角及任一边运用正弦定理，已知两边及其夹角运用余弦定理37.（

10、江西卷）已知向量，则的最大值为解：|sinqcosq|sin（q）|。38.（全国II）已知ABC的三个内角A、B、C成等差数列，且AB1，BC4，则边BC上的中线AD的长为 解析: 由的三个内角A、B、C成等差数列可得A+C=2B而A+B+C=可得AD为边BC上的中线可知BD=2,由余弦定理定理可得。本题主要考察等差中项和余弦定理,涉及三角形的内角和定理,难度中等。39.（天津卷）设向量与的夹角为，则解析：设向量与的夹角为且 ，则。40.（浙江卷）设向量a,b,c满足a+b+c=0,(a-b)c,ab,若a=1,则a+c的值是【考点分析】本题考查向量的代数运算，基础题。解析：，所以【名师点拔

11、】向量的模转化为向量的平方，这是一个重要的向量解决思想。41.（上海春）在中，已知，三角形面积为12，则 .解：由三角形面积公式，得 ，即 于是 从而应填 42.（上海春）若向量的夹角为，则 .解：如图，在ABC中，BAC=150，于是，应用余弦定理，得从而应填2三、解答题（共11题）43.（湖北卷）设函数，其中向量，。（）、求函数的最大值和最小正周期；（）、将函数的图像按向量平移，使平移后得到的图像关于坐标原点成中心对称，求长度最小的。点评：本小题主要考查平面向量数量积的计算方法、三角公式、三角函数的性质及图像的基本知识，考查推理和运算能力。 解：()由题意得，f(x)a(b+c)=(sin

12、x,cosx)(sinxcosx,sinx3cosx) sin2x2sinxcosx+3cos2x2+cos2xsin2x2+sin(2x+).所以，f(x)的最大值为2+，最小正周期是.（）由sin(2x+)0得2x+k.，即x,kZ，于是d（，2），kZ.因为k为整数，要使最小，则只有k1，此时d（，2）即为所求.44.（湖北卷）设向量a(sinx，cosx)，b(cosx，cosx)，xR，函数f(x)a(ab).（）求函数f(x)的最大值与最小正周期；（）求使不等式f(x)成立的x的取值集。解：（） 的最大值为，最小正周期是。（）由（）知 即成立的的取值集合是.BDCA图345 （湖南

13、卷）如图3,D是直角ABC斜边BC上一点,AB=AD,记CAD=,ABC=.(1) 证明 ;(2) 若AC=DC,求的值.解：(1)如图3， 即（2）在中，由正弦定理得由(1)得，即46（江西卷）在锐角中，角所对的边分别为，已知，（1）求的值；（2）若，求的值解：（1）因为锐角ABC中，ABCp，所以cosA，则（2），则bc3。将a2，cosA，c代入余弦定理：中得解得b 47.（江西卷）如图，已知ABC是边长为1的正三角形，M、N分别是边AB、AC上的点，线段MN经过ABC的中心G，设MGAa（）（1） 试将AGM、AGN的面积（分别记为S1与S2）表示为a的函数（2）求y的最大值与最小值

14、解：（1）因为G是边长为1的正三角形ABC的中心，所以 AG，MAG，由正弦定理得则S1GMGAsina，同理可求得S2（2） y72（3cot2a），因为，所以当a或a时，y取得最大值ymax240当a时，y取得最小值ymin21648.（全国卷I）的三个内角为，求当A为何值时，取得最大值，并求出这个最大值。.解: 由A+B+C=, 得 = , 所以有cos =sin .cosA+2cos =cosA+2sin =12sin2 + 2sin =2(sin )2+ 当sin = , 即A=时, cosA+2cos取得最大值为49.（全国II）已知向量a(sin，1)，b(1，cos)，（）若a

15、b，求；（）求ab的最大值解(1). 当=1时有最大值,此时，最大值为本题主要考察以下知识点1.向量垂直转化为数量积为0 2.特殊角的三角函数值3.三角函数的基本关系以及三角函数的有界性 4.已知向量的坐标表示求模难度中等,计算量不大50.（全国II）在,求（1）(2)若点解：（1）由由正弦定理知（2）由余弦定理知51. （四川卷）已知是三角形三内角，向量，且（）求角；（）若，求解：本小题主要考察三角函数概念、同角三角函数的关系、两角和与差的三角函数的公式以及倍角公式，考察应用、分析和计算能力。（） 即, （）由题知，整理得 或而使，舍去 52（天津卷）如图，在中，（1）求的值；（2）求的值.

16、 本小题考查同角三角函数关系、两角和公式、倍角公式、正弦定理、余弦定理等基础知识，考察基本运算能力及分析解决问题的能力.满分12分.（）解： 由余弦定理， 那么，（）解：由，且得由正弦定理，解得。所以，。由倍角公式，且，故. 53(上海卷)如图，当甲船位于A处时获悉，在其正东方方向相距20海里的处有一艘渔船遇险等待营救。甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西，相距10海里处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往处救援（角度精确到）？解 连接BC,由余弦定理得BC2=202+10222010COS120=700. 于是,BC=10. , sinACB=, ACBAC 19、（海

17、、宁理2文4）已知平面向量，则向量（）【答案】：D【分析】：20、（重庆理10）如图，在四边形ABCD中，则的值为（ ）A.2 B. C.4 D.【答案】：C【分析】： 21、（重庆文9）已知向量且则向量等于（A） （B）（C）（D）【答案】：D【分析】：设 联立解得22、（辽宁理3文4）若向量与不共线，且，则向量与的夹角为（ ）A0BCD解析：因为，所以向量与垂直，选D23、（辽宁理6）若函数的图象按向量平移后，得到函数的图象，则向量（ ）ABCD解析：函数为，令得平移公式，所以向量，选A24、（辽宁文7）若函数的图象按向量平移后，得到函数的图象，则向量（ ）ABCD解析：函数为，令得平移公

18、式，所以向量，选C25、（四川理7文8）设，为坐标平面上三点，为坐标原点，若与在方向上的投影相同，则与满足的关系式为（）（A）（B）（C）（D）解析：选A由与在方向上的投影相同，可得：即 ，26、（全国2理9）把函数y=ex的图象按向量a=(2,3)平移，得到y=f(x)的图象，则f(x)=(A)ex-3+2(B)ex+32(C) ex-2+3 (D) ex+23解把函数y=ex的图象按向量=(2,3)平移，即向右平移2个单位，向上平移3个单位，平移后得到y=f(x)的图象，f(x)= ，选C。二、填空题BACD1、（天津文理15） 如图，在中，是边上一点，则.【答案】【分析】法一：由余弦定理

19、得可得，又夹角大小为，所以.法二：根据向量的加减法法则有:,此时.2、(安徽文理13) 在四面体O-ABC中，为BC的中点，E为AD的中点，则= （用a，b，c表示）解析：在四面体OABC中，为BC的中点，E为AD的中点，则=。3、（北京文11）已知向量若向量，则实数的值是解析：已知向量向量，则2+4+=0，实数=34、（上海文6）若向量的夹角为，则 【答案】【解析】。5、（江西理15）如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，若，则的值为解析：由MN的任意性可用特殊位置法：当MN与BC重合时知m=1，n=1，故m+n=2，填26、（江西文13）在平面直角坐标系中，正方形的对

20、角线的两端点分别为，则解析：7、（陕西理15文16）如图，平面内有三个向量、,其中与与的夹角为120，与的夹角为30,且|1，|，若+（，R）,则+的值为 .ZXXK.COM解析：过C作与的平行线与它们的延长线相交，可得平行四边形，由角BOC=90角AOC=30，=得平行四边形的边长为2和4，2+4=6三、解答题：1、（宁夏，海南17）（本小题满分12分）如图，测量河对岸的塔高时，可以选与塔底在同一水平面内的两个侧点与现测得，并在点测得塔顶的仰角为，求塔高解：在中，由正弦定理得所以在中，2、（福建17）（本小题满分12分）在中，（）求角的大小；（）若最大边的边长为，求最小边的边长本小题主要考查

21、两角和差公式，用同角三角函数关系等解斜三角形的基本知识以及推理和运算能力，满分12分解：（），又，（），边最大，即又，角最小，边为最小边由且，得由得：所以，最小边3、（广东16）（本小题满分12分） 已知顶点的直角坐标分别为.（1）若，求sin的值;（2）若是钝角，求的取值范围. 解：(1) , 当c=5时， 进而(2)若A为钝角，则ABAC= -3(c-3)+( -4)2显然此时有AB和AC不共线，故当A为钝角时，c的取值范围为，+)4、（广东文16）(本小题满分14分) 已知ABC三个顶点的直角坐标分别为A(3，4)、B(0，0)、C(，0) (1)若，求的值；(2)若，求sinA的值解:

22、 (1) 由 得 (2) 5、（浙江18）（本题14分）已知的周长为，且（I）求边的长；（II）若的面积为，求角的度数（18）解：（I）由题意及正弦定理，得，两式相减，得（II）由的面积，得，由余弦定理，得，所以6、（山东20）（本小题满分12分）如图,甲船以每小时海里的速度向正北方向航行,乙船按固定方向匀速直线航行,当甲船位于处时,乙船位于甲船的北偏西的方向处,此时两船相距20海里.当甲船航行20分钟到达处时,乙船航行到甲船的北偏西方向的处,此时两船相距海里,问乙船每小时航行多少海里?解：如图，连结，是等边三角形，在中，由余弦定理得，因此乙船的速度的大小为答：乙船每小时航行海里.7、（山东文

23、17）（本小题满分12分）在中，角的对边分别为（1）求；（2）若，且，求解：（1）又 解得，是锐角（2）， ，又8、（上海17）（本题满分14分） 在中，分别是三个内角的对边若，求的面积解： 由题意，得为锐角， ， 由正弦定理得 ， 9、（全国文17）（本小题满分10分）设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，（）求B的大小；（）若，求b解：（）由，根据正弦定理得，所以，由为锐角三角形得（）根据余弦定理，得所以，10、（全国17）（本小题满分10分）在中，已知内角，边设内角，周长为（1）求函数的解析式和定义域；（2）求的最大值解：（1）的内角和，由得应用正弦定理，知，因为，所

24、以，（2）因为 ，所以，当，即时，取得最大值2008年高考数学试题分类汇编平面向量一 选择题：1.（全国一3）在中，若点满足，则（ A ）ABCD2.（安徽卷3）在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，若，,则（ B ）A（2，4）B（3，5）C（3，5）D（2，4） 3.（湖北卷1）设,则CA.B. C. D.4.（湖南卷7）设D、E、F分别是ABC的三边BC、CA、AB上的点，且则与( A )A.反向平行B.同向平行C.互相垂直D.既不平行也不垂直 5.（陕西卷3）的内角的对边分别为，若，则等于（ D ）AB2CD6.（陕西卷15）关于平面向量有下列三个命题：若，则若，则非零向量和满足，

25、则与的夹角为其中真命题的序号为（写出所有真命题的序号）7.（重庆卷7)若过两点P1(-1,2),P2(5,6)的直线与x轴相交于点P，则点P分有向线段所成的比的值为A(A)(B) (C) (D) 8.（福建卷10)在ABC中，角ABC的对边分别为a、b、c,若(a2+c2-b2)tanB=,则角B的值为DA. B. C.或D. 或9.（广东卷4）若变量满足则的最大值是（ C ）A90 B80 C70 D4010.（广东卷8）在平行四边形中，与交于点是线段的中点，的延长线与交于点若，则（ B ）ABCD11.（浙江卷9）已知，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足,则的最大值是C （A）1

26、 （B）2 （C） （D）12.（辽宁卷5）已知O，A，B是平面上的三个点，直线AB上有一点C，满足，则（ A ） ABCD13.（辽宁卷8）将函数的图象按向量平移得到函数的图象，则（ A ）ABCD14.（海南卷3）如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为（ D ）A. 5/18B. 3/4 C. /2 D. 7/815.（海南卷8）平面向量，共线的充要条件是（ D ）A. ，方向相同B. ，两向量中至少有一个为零向量C. ，D. 存在不全为零的实数，二 填空题：1.（上海卷5）若向量，满足且与的夹角为，则2.（全国二13）设向量，若向量与向量共线，则 23.（北京卷10）

27、已知向量与的夹角为，且，那么的值为 0 4.（天津卷14）已知平面向量，若，则_5.（江苏卷5），的夹角为， 则 76.（江苏卷13）若AB=2, AC=BC ，则的最大值 7.（江西卷13）直角坐标平面上三点，若为线段的三等分点，则= 228.（湖北卷12）在中，三个角的对边边长分别为,则的值为 . 9.（浙江卷11）已知0，若平面内三点A（1，-），B（2，），C（3，）共线，则=_。10.（浙江卷13）在ABC中，角A、B、C所对的边分别为、b、c ，若，则_。11（海南卷13）已知向量，且，则= _3三 解答题：1.（湖南卷19）（本小题满分13分）在一个特定时段内，以点E为中心的7海

28、里以内海域被设为警戒水域.点E正北55海里处有一个雷达观测站A.某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A北偏东且与点A相距40海里的位置B，经过40分钟又测得该船已行驶到点A北偏东+(其中sin=，)且与点A相距10海里的位置C. （I）求该船的行驶速度（单位：海里/小时）;（II）若该船不改变航行方向继续行驶.判断它是否会进入警戒水域，并说明理由.解: （I）如图，AB=40，AC=10，由于,所以cos=由余弦定理得BC=所以船的行驶速度为（海里/小时）.（II）解法一 如图所示，以A为原点建立平面直角坐标系，设点B、C的坐标分别是B（x1，y2）, C（x1，y2）,BC与x轴的交点为D.由题设有，x1=y1= AB=40,x2=ACcos,y2=ACsin所以过点B、C的直线l的斜率k=,直线l的方程为y=2x-40.又点E（0，-55）到直线l的距离d=所以船会进入警戒水域.解法二: 如图所示，设直线AE与BC的延长线相交于点Q.在ABC中，由余弦定理得，=.从而在中，由正弦定理得，AQ=由于AE=5540=AQ，所以点Q位于点A和点E之间，且QE=AE-AQ=15.过点E作EP BC于点P，则EP为点E到直线BC的距离.