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1、泄洪问题的数学模型泄洪问题数学模型摘要本文研究在洪水量较大的情况下，考虑人工破堤泄洪的具体方法，把洪水尽可能地引入损失较少的区域以减少总体损失。首先通过对河流一侧各小区的各类数据进行对比分析，得到小区周边的小堤海拔以及最大储水量、体积损失率和面积损失率。其次，对于河堤被破坏时，洪水量与损失的关系，根据面向事件法思想，将15个小区的储水状态看作对象系统，按照水桶原理，对系统的每个状态按照时间发生的先后顺序逐个考察，得到每个状态下的洪水流向图，再对洪水量进行分段研究，最后，计算归纳出整个系统的总损失和洪水量之间的函数关系模型，用matlab绘出总损失随洪水量的变化曲线图，并进行模型检验，分析误差。
2、再次，对于洪水量太大时，为减少损失建立了破堤泄洪优化模型，同样根据面向事件法的思想，对洪水量进行分段研究，采用穷举法与二步路径搜索法相结合，用matlab编写程序逐步搜索面积损失率和体积损失率相对较小的区域，将洪水引入，得到在不同洪水量下的破堤方案和洪水流向图，并计算出每一步所对应的储水量和总损失。最后，绘出总损失随洪水量的变化曲线图，并进行模型检验，分析误差。最后，还把模型一与模型二得到的损失总数随洪水量的变化曲线作对比，分析了所得破堤方案的合理性。本文还根据建立的模型与得到的破堤方案，在整体分析和检验的基础上，向水利部门领导提交了一份用于决策是否实行人工破堤分洪的建议报告。关键词 面向事件
3、法 穷举法 二步路径搜索法 体积损失率 面积损失率一、名词解释1. 泄洪：泄洪的通俗意义，就是水库里面的水来不及经过水轮机发电，而直接从大坝通过的一种方式。本题中，泄洪即是指当洪水过大时，人工破堤分洪。2. 绝对损失：一个小区被完全淹没后的损失总数ci3. 相对损失：体积损失率Vr（Vr=ci/Vi）或面积损失率Sr（Sr=ci/Si）4. 水桶效应：一只水桶盛水的多少，并不取决于桶壁上最高的那块木块，而恰恰取决于桶壁上最短的那块。5. 面向事件法：又称可变时间增量法。基本思想是对对象系统的一系列不同性质的事件，按照发生时间的先后顺序逐个进行考察。二、 问题重述有一条河流由于河床泥沙淤积，每当
4、上游发洪水时，就会破坏堤坝淹没两岸，造成人员和财产的损失。为减少总的损失，人们采取人工破堤泄洪方法。下图是该河一侧河岸部分区域的信息示意图。在该区域边界上有很高的大山，使该区域成为封闭区域（如图1所示）。区域内分成15个小区域，每个小区域内标有三个数字，分别表示该小区域的海拔高度hi(单位：米)，面积si (单位：平方公里)和被完全淹没时土地、房屋及财产等损失的总数ci（单位：百万元）。各小区间有相对高度1.2米的小堤互相隔离。各小区间有相对高度1.2米的小堤互相隔离，如左上方的第一块小区和第二块小区有5.2米的小堤；决堤口可能出现在大堤和小堤的任何地方。 河 流河 堤123456789101
5、112131415图 1：河道与河堤的示意图表 1：各区域的高度、面积与损失数据区域号海拔高度hi(单位：米)面积si(单位：平方公里)总数ci（单位：百万元）13.66.11.424.08.47.034.77.05.844.49.33.353.84.82.063.33.69.473.20.90.982.58.56.095.01.87.2104.49.11.6113.04.63.0123.51.54.1132.42.34.1143.88.85.3153.81.34.41. 请你建立一个模型，来描述当河堤被破坏时，洪水量与损失的关系。2. 如果洪水太大，为减少损失，请你根据你的模型，制定一个人工
6、破堤泄洪方案，使总损失最少。并验证你的方案。3. 就你的模型与方案，向水利部门领导提交一份不超过两页的报告，用于决策是否实行人工破堤分洪。三、 问题分析由于河床泥沙淤积，每当上游发洪水时，就会破坏堤坝淹没两岸，造成人员和财产的损失。泄洪问题所要寻求的方案，即是采取人工破堤的方法，将洪水尽可能引入被洪水淹没后损失较少的区域，以使总损失达到最少的举措。因为各小区的最大储水量和绝对损失存在差异，所以选择相对损失，即体积损失率或面积损失率作为衡量各小区价值的统一指标。分析题目所给数据，得到每个小区与周边各小区之间小堤的海拔（见附件1）、15个小区的三维立体图形（见附件2）、各小区的最大储水量Vi、相应
7、的体积损失率Vr（见附件3）以及各小区的面积损失率Sr（见附件4），小区的体积损失率从小到大排序为：101541114832713612159；小区的面积损失率从小到大排序为：101451411832713612159。（一） 问题1的分析问题1需要建立一个数学模型，描述在没有人工干预的自然条件下，河堤被破坏（各相邻小区之间的小堤完好无损）时，洪水量与损失的关系。目的是要得到总损失Mz关于洪水量Q的函数，给定洪水量，即得到相应的总损失。根据面向事件法的思想，把有一个小区达到最大储水量或者几个小区连通、水面同时增加的情况看作一个单独的状态，将所有十五个小区的储水状态看作对象系统，随着洪水量的改变
8、，十五个小区的储水状态也发生相应改变，即系统的状态不断转换，不同的状态对应不同的总损失，当十五个小区的总储水量达到或超过洪水量时状态的转换便终止。对系统的每个状态按时间发生的先后顺序逐个考察，分析洪水量与总损失之间的关系，用具体的函数式加以表达。另一方面，根据水桶原理，每个小区的最大储水量由其周围最低的小堤决定，且当小区的水位高过周围小堤，则将自动地向邻近较低的小区泄洪，若这样的小区有几块时，就平均泄洪。同时，因为不存在人工干预，那么决堤口的位置和数量都是随机的。基于以上分析，我们选择其中一种情况决堤口有一个，且位于小区1与河堤之间进行具体分析，其他的情况可做类似讨论。为建立小区1的洪水量与总
9、损失之间的数学关系模型，需随洪水量的增加逐个分析系统的状态变化。洪水先流进小区1，当洪水量很小时，系统的第一个状态为：小区1未满。此时的总损失为覆盖小区1引起的损失，损失系数为p/1.2。再看小区1与周边小区2、6、7之间的小堤海拔，分别为5.2、4.8、4.8，所以增加的洪水量流入小区6和7，系统的第二个状态为：小区1满，6、7未满，且由小区1流入小区6和7的洪水量各占1/2。系统接下来的状态按照同样的方法，通过比较小堤的海拔确定洪水的流向，做类似分析，得到每一状态洪水在小区之间的流向图（图6.1.1图6.1.5）。但是在求解过程中，应注意这样的状态，即几个小区的储水量都已经达到最大，可连通
10、为同一个小区，此时这几个小区的储水量同时增加，但附加的储水量不引起体积损失。（二） 问题2的分析问题二需要建立一个数学模型，使得在洪水量较大时，能够根据模型针对不同的洪水量，制定一个人工破堤泄洪方案，以使总损失最少。此时，应排除自然因素的影响，认为河堤和小堤完好无损，决堤口数目不受限制，可能出现在河堤和小堤的任何地方，并且若在两小区之间的小堤开一决口，则该两小区之间的这段小堤不复存在。问题二同样可以根据面向事件法的思想求解，将15个小区储水状态看作对象系统，随着洪水量的改变，小区的储水状态也发生相应的改变。与问题一不同的是，这里洪水不再是自然流动，而可以进行人工干预，确定决堤口的位置和数量，改
11、变洪水的流向。因此，必定存在一个使每个小区都遭受最大损失的最小洪水量，洪水量超过该值时，所有小区完全损失，讨论没有意义，所以，只需讨论洪水量小于该值时的最佳破堤泄洪方案。由于当一个小区中洪水的高度超过1.2米后，该小区的损失总数保持不变，因此不能将体积损失率作为衡量小区价值的唯一指标，为此引入面积损失率，共同衡量小区的价值，从而确定在每个状态的下一步，洪水的流向。得到洪水的流向之后，那么在洪水所经之处小区与河堤之间、小区与小区之间决定是否破堤，即可得到不同状态下的最佳破堤泄洪方案。为此，先分析题目中所给数据，计算出各小区的体积损失率Vr=Ci/Vi和面积损失率Sr=Ci/Vi，按照从小到大的顺
12、序编号，写入代表各个小区的方格中，如下图。河 流河 堤298431210715151311614图3.1 各小区体积损失率从小到大编号图河 流河 堤289341210715161311514图3.2 各小区面积损失率从小到大编号图基于以上分析，根据洪水量的大小，建立破堤泄洪优化模型。洪水必定先从小区1小区5流入，由以上两表可知，小区1的体积损失率和面积损失率在五个小区中均为最低，所以应在小区1与河堤相接处破堤，使洪水优先流入小区1，此即系统的第一个状态。当洪水量增加，小区1不足以容下全部洪水，再考虑小区4和小区5，虽然小区4的面积损失率较低，小区5的体积损失率较低，但是考虑到小区4和小区10的
13、海拔均为4.4米，如果在小区4和小区10之间破堤，把两个小区合并为一个小区，储水量将大大增加，也可以将洪水尽可能引入损失较少的小区10，所以系统的第二个状态为：在小区1与河堤相接处、小区4与河堤相接处、小区4与小区10之间破堤，使洪水流向小区1、小区4和小区10。系统接下来的状态按照同样的方法，通过比较当前小区周边各小区的体积损失率、面积损失率、最大储水量以及能否与该小区合成一个小区、合成一个小区后储水量和损失的变化等因素，用matlab编写程序依次寻找洪水流入的下一个小区，得到洪水的总体流向以及破堤方案，并针对具体的洪水量，分析所得破堤方案的合理性。在求解过程中，应注意这样的状态：即某个小区
14、的损失率比较大（如小区7），但与它相邻的某个小区的损失率很小，可以牺牲一部分眼前利益而换取长远利益。如小区11可以容纳一大部分洪水，且损失率较小，但其必须通过小区7流进洪水。四、基本假设1. 假设题目所给的数据真实可靠。2. 假设河流不会出现回流。3. 假设每一个小区底部水平，储水量取决于周边最低的小堤。4. 假设当洪水淹没一个小区且高于该小区高度p米时，该小区的损失为该小区 的ci和p的函数：Mi=cip/1.2, 0 &p1.2ci, &p1.25. 假设决堤口可能出现在大堤和小堤的任何地方，决堤口数目不受限制，一经决堤不能补合。从河流经大堤决口流入小区的洪水量按决口数成比例分配。如在两小
15、区之间的小堤开一决口，则假设该两小区之间的这段小堤不复存在，若水位高过小堤，则将自动向邻近的海拔较低的小区泄洪，若这样的小区有几块时，就平均泄洪。6. 假设破河堤的成本不予以考虑。五、定义与符号说明1. ： 小区的海拔高度（单位:）2. ： 小区的面积（单位:平方公里）3. ： 小区被完全淹没时损失总数（单位:元）4. ：使整个区域全部受损的最小洪水量（单位:）5. ：小区的最大储水量（单位:）6. ： 实际流入15个小区的洪水量（单位:）7. ： 在实际流入15个小区的洪水量为时的总损失额（单位:元）8. ： 实际洪水流入时小区的损失额（单位:元）9. ： 围起小区四周的小堤相对小区的最低高
16、度（单位:）10. Vr ： 各小区的体积损失率（单位为:元/立方公里）11. Sr： 各小区的面积损失率（单位:元/平方公里）12. ：水平面海拔高度为6.2米时，第个小区的储水高度（单位:）注：若上述量在下文计算中未标明单位，则单位量为所注明的单位。六、模型的建立与求解6.1模型一：洪水量与损失的关系模型6.1.1 模型的思想要建立洪水量与损失的关系模型，就要考虑洪水量的逐步变化对总损失造成的影响。最终能够根据冲入小区的洪水量的大小，通过分段函数计算得到总损失的相应值，进而得到洪水量与总损失的定量关系。由面向事件法，将所有十五个小区的储水状态看作对象系统，洪水量的逐步变化会对各小区的储水状
17、态产生直接影响，不同的储水状态对应不同的总损失，不同状态之间的转换所经过的时间是不相同的，当十五个小区的总储水量达到或超过洪水量时状态的转换便终止。对于每个状态下总损失的计算，可根据条件：洪水冲入一个小区且高于该小区高度p米时，该小区的损失额与流入小区的洪水的实际高度成下列函数关系： Mi=cip/1.2, 0 &p1.2ci, &p1.2 ，从而计算出实际流入每个小区的洪水量所引起的损失额，并用具体的函数式加以表达。6.1.2洪水冲破河堤的情况与河堤相邻的小区一共有5个，分别是小区1，小区2，小区3，小区4，小区5。洪水冲破河堤后，首先只能从上述5个小区进入，造成损失。由于河堤被冲破的区域是
18、随机的，我们要分别对各种情况进行分析。（1）洪水只从一个小区进入。一共有5种情况：洪水从小区1进入，洪水从小区2进入，洪水从小区3进入，洪水从小区4进入，洪水从小区5进入。（2）洪水从两个小区进入。一共有10种情况：洪水从小区1，小区2进入；洪水从小区1，小区3进入；洪水从小区1，小区4进入；洪水从小区1，小区5进入；洪水从小区2，小区3进入；洪水从小区2，小区4进入；洪水从小区2，小区5进入；洪水从小区3，小区4进入；洪水从小区3，小区5进入；洪水从小区4，小区5进入。（3）洪水从三个小区进入。一共有10种情况：洪水从小区1，小区2，小区3进入；洪水从小区1，小区2，小区4进入；洪水从小区1
19、，小区2，小区5进入；洪水从小区1，小区3，小区4进入；洪水从小区1，小区3，小区5进入；洪水从小区1，小区4，小区5进入；洪水从小区2，小区3，小区4进入；洪水从小区2，小区3，小区5进入；洪水从小区2，小区4，小区5进入；洪水从小区3，小区4，小区5进入。（4）洪水从四个小区进入。一共有5种情况：洪水从小区1，小区2，小区3，小区4进入；洪水从小区1，小区2，小区3，小区5进入；洪水从小区1，小区2，小区4，小区5进入；洪水从小区1，小区3，小区4，小区5进入；洪水从小区2，小区3，小区4，小区5进入；（5）洪水从五个小区进入。一共有1种情况：洪水从小区1，小区2，小区3，小区4，小区5进
20、入。总情况数是31种。6.1.3模型的求解，确定洪水流向由于问题一不考虑人工破堤，则假设小堤不受到破坏。选取洪水从小区1流入的情况进行详细讨论。当决堤口出现在其他小区与河堤相接处或者决堤口的数量有多个时，讨论方法与此类似。（1）各小区最大储水量第i个小区的最大储水量: （6.1）根据公式（6.1）分别对各个小区的储水量进行求解。表6.1.1 各小区的最大储水量区域号最大储水量Vi（单位：百万立方米）区域号最大储水量Vi（单位：百万立方米）17.3292.16210.081010.9238.4116.44411.16121.858.64132.9964.321410.5671.08151.568
21、10.2（2）根据各小区的最大储水量，用matlab编程计算得到每个状态转换瞬间的洪水量大小，算法及结果见附件5。（3）以决堤口的位置在小区1与河堤相接处为例对每个状态进行逐个分析。当水流从小区1进入时，首先对小区1造成损失。建立分段函数：状态1：一开始洪水量较少时，只注入小区1，洪水流向图： 图6.1.1 洪水流向图1洪水量的大小：（）注：以下洪水量的单位均为损失的总数：(单位：百万元。下同)状态2：洪水量注满小区1后，根据小堤的高度，洪水流向小区6和小区7。图6.1.2 洪水流向图2注：阴影部分表示该区域已经注满洪水量的大小：损失的总数：状态3：洪水先注满小区7，再接着注入其他小区。此时小
22、区1和小区7满，洪水接着流向小区6，小区8，小区11。图6.1.3 洪水流向图3洪水量的大小：损失的总数：Mz=C1+C7+M6+M8+M111.37Q-8.35状态4：洪水量注满小区1，小区7后，再接着注满小区6，小区6多余的水，再流向小区7和小区11，小区7多余的水，再流向小区8和小区11。 图6.1.4 洪水流向图4洪水量的大小:（洪水量为22.20时，使小区11覆盖的水的高度恰好为1.2米）损失的总数：Mz=C1+C6+C7+M8+0.22Q+12.13洪水量的大小:损失的总数： 因为该状态时在注小区11时，其有额外容水体积，所以实际冲入的洪水量在大于22.20，且小于23.67时总的
23、损失数量保持不变，为一个常数。状态5-21的计算方法说明：根据状态1，状态2，状态3，状态4的计算求解方法，找出共同性。不同状态确定的原则：1.有新的小区灌满时，产生一个新的状态。2.洪水量高度均大于等于相应覆盖小区的海拔高度1.2米时，且增加的洪水量不流入新的小区时，总的损失数量不产生变化，将这个阶段也作为一个独立的状态。根据上述两条原则，在相同的状态下，总的损失数量和流入的洪水量的表达式相同。按照洪水流入小区的先后具体路线，确定洪水覆盖每一个小区的高度，这样可以计算出每一个状态始末时涌入的洪水量和总的损失数量。又由于每一个状态中涌入的洪水量和总的损失数量成线性函数关系，关系式为：，均为常系
24、数，由每一个状态始末时涌入的洪水量和总的损失数量进行求解确定。在32.35Q45.52，47.32Q54.96，67.08Q74.60，84.68Q103.08，133.80Q154.56，162.96Q185.82当实际涌入的洪水量在这些区间时，洪水量高度均大于等于相应覆盖小区的海拔高度1.2米时，且增加的洪水量不流入新的小区，总的损失数量不产生变化，所以为常数。状态5：洪水量注满小区1，小区7，小区6后，再接着注满小区11，此时小区7和小区11连通，可合并为同一个小区，水面同时上升，多余的水流向小区8，,而小区6多余的水，继续流向小区7和小区11。洪水量的大小：23.67Q29.36损失的
25、总数：Mz0.59Q+3.43状态6：洪水量注满小区1，小区7，小区6，小区11后，再接着注满小区8，小区6多余的水流向小区7和小区11，,小区7和小区11仍可合并为一个小区，多余的水流向小区8，小区8多余的水流向小区13。洪水量的大小：29.36Q32.35损失的总数：Mz0.75Q+ 2.92状态7：洪水量注满小区1，小区7，小区6，小区11，小区8后，再接着注满小区13，此时小区7和小区11可合并为一个小区，小区8和小区13可合并为一个小区，小区6多余的水流向小区7和小区11，小区7和小区11多余的水流向小区8和小区13。当小区8和小区13的水面海拔达到4.4米时，小区7，小区8，小区1
26、1和小区13可合并为一个小区，当该合并小区的水面海拔达到4.5米时，该小区又和小区6合并为一个更大的小区，随着洪水量的增加，水面上升，但损失总数保持不变。洪水量的大小：32.35Q45.52损失的总数：Mz24.80状态8：洪水量注满小区1，小区7，小区6，小区11，小区8和小区13，并且合成小区的水面继续增加到4.7米后，再接着注满小区12。洪水量的大小：45.52Q47.32损失的总数：Mz2.28Q-78.88状态9：洪水量注满小区1，小区7，小区6，小区11，小区8，小区13和小区12后，小区6，小区7，小区8，小区11，小区12和小区13合并为一个小区，随着洪水量的增加，合成小区的水
27、面高度增加，当水面高度达到4.8米后，这些小区又和小区1合并为一个更大的小区，随着洪水量的增加，水面上升，但是损失总数保持不变。洪水量的大小：47.32Q54.96损失的总数：Mz28.90状态10：洪水量注满小区1，小区7，小区6，小区11，小区8，小区13和小区12，并且合成小区的水面继续增加到5.0米之后，再接着注满小区14。洪水量的大小：54.96Q65.52损失的总数：Mz0.50Q+1.32状态11：洪水量注满小区1，小区7，小区6，小区11，小区8，小区13，小区12和小区14后，随着洪水量的增加，再接着注满小区15。洪水量的大小：65.52Q67.08损失的总数：Mz2.82Q
28、 -150.60状态12：洪水量注满小区1，小区7，小区6，小区11，小区8，小区13，小区12，小区14和小区15后，这些小区合并为一个小区，随着洪水量的增加，水面上升，但是损失总数保持不变。洪水量的大小：67.08Q74.60损失的总数：Mz38.60状态13：洪水量注满小区1，小区7，小区6，小区11，小区8，小区13，小区12，小区14和小区15，并且合成小区的水面继续增加到5.2米之后，再接着注满小区2。 洪水量的大小：74.60Q84.68损失的总数：Mz0.69Q-13.21状态14：洪水量注满小区1，小区7，小区6，小区11，小区8，小区13，小区12，小区14，小区15和小区
29、2后，这些小区合并为一个小区，随着洪水量的增加，水面上升，但是损失总数保持不变。洪水量的大小：84.68Q103.08损失的总数：Mz45.60状态15：洪水量注满小区1，小区7，小区6，小区11，小区8，小区13，小区12，小区14，小区15和小区2，并且合成小区的水面继续增加到5.6米之后，再接着注满小区10。洪水量的大小：103.08Q114.00损失的总数：Mz0.15Q+30.50状态16：洪水量注满小区1，小区7，小区6，小区11，小区8，小区13，小区12，小区14小区15，小区2和小区10后，随着洪水量的增加，多余的水流入小区4和小区5，先注满小区5。洪水量的大小：114.00
30、Q122.64损失的总数：Mz0.25Q+21.56状态17：洪水量注满小区1，小区7，小区6，小区11，小区8，小区13，小区12，小区14，小区15，小区2，小区10和小区5后，随着洪水量的增加，多余的水流入小区4，直到小区4注满。洪水量的大小：122.64Q133.80损失的总数：Mz0.30Q+12.94状态18：洪水量注满小区1，小区7，小区6，小区11，小区8，小区13，小区12，小区14，小区15，小区2，小区10，小区5和小区4后，这些小区合并为一个小区，随着洪水量的增加，水面上升，但是损失总数保持不变。洪水量的大小：133.80Q154.56损失的总数：Mz52.50状态19
31、：洪水量注满小区1，小区7，小区6，小区11，小区8，小区13，小区12，小区14，小区15，小区2，小区10，小区5和小区4，并且合成小区的水面继续增加到5.9米之后，再接着注满小区3。洪水量的大小：154.56Q162.96损失的总数：Mz0.69Q-54.22状态20：洪水量注满小区1，小区7，小区6，小区11，小区8，小区13，小区12，小区14，小区15，小区2，小区10，小区5，小区4和小区3后，这些小区合并为一个小区，随着洪水量的增加，水面上升，但是损失总数保持不变。洪水量的大小：162.96Q185.82损失的总数：Mz58.30状态21：洪水量注满小区1，小区7，小区6，小区
32、11，小区8，小区13，小区12，小区14，小区15，小区2，小区10，小区5，小区4和小区3，并且合成小区的水面继续增加到6.2米之后，多余的水注入小区9。图6.1.5 洪水流向图5（注：方框右下角的标号表示该小区被洪水注满的先后顺序）洪水量的大小：185.82Q187.98损失的总数：Mz3.33Q-561.106.1.4 模型的结果与分析1.损失总数随洪水量的变化关系损失总数Mz相应的洪水量Q的变化范围0.19QQ7.321.50Q-9.617.32Q9.481.37Q-8.359.48Q15.960.22Q+12.1315.96Q22.2017.3522.20Q23.670.59Q+3
33、.4323.67Q29.360.75Q+2.9229.36Q32.3524.8032.35Q45.522.28Q-78.8845.52Q47.3228.9047.32Q54.960.50Q+1.3254.96Q65.522.82Q-150.6065.52Q67.0838.6067.08Q74.600.69Q-13.2174.60Q84.6845.6084.68Q103.080.15Q+30.50103.08Q114.000.25Q+21.56114.00Q122.640.30Q+12.94122.64Q133.8052.50133.80Q154.560.69Q-54.22154.56Q162.
34、9658.30162.96Q185.822. 损失总数随洪水量的变化图形（注：横轴为洪水量，纵轴为损失总数）3.（1）分析上图可知，随着洪水量的增加，损失总数大致呈线性增加。当洪水量达到180（百万立方米）以上时，损失总数达到最大，所有的小区完全损失。所以，如果能够预先分析洪水量的变化，在决堤之前实行人工破堤分洪，则可以尽可能地将洪水引入被洪水淹没后损失较少的区域，以使总损失最少。（2）观察上表和上图，存在几个这样的状态：即洪水量增加，但是损失总数保持不变。在图形中体现为与横轴平行的线段。这是因为：我们假设所有的小区在完全被洪水注满后，水面继续上升所引起的附加储水量不引起体积损失。这样的状态一
35、共有七个。6.2模型二：破堤泄洪优化模型6.2.1模型的思想 该模型要解决洪水太大时，通过人工破堤的方法，使总损失尽量少。根据问题的描述，未确定洪水量大小的具体范围，所以该模型要能够对不同的洪水量均进行讨论，再根据给出的具体的洪水量来确定破堤方案。6.2.2区域全部受损最小洪水量要使整个区域均受损，在不破坏小堤的情况下洪水量最小。首先考虑海拔最高的小区9，小区9的海拔高度是5.0米，其周围的小堤相对高度是1.2米，要使洪水流入小区9，其水平面的海拔高度至少为6.2米，当水平面的高度为6.2米时其他区域均淹没，此时再增加洪水量，水流入小区9，直到注满该小区为止。此时流入的洪水量之和即为区域全部受
36、损的最小洪水量。水平面海拔高度为6.2米时，第个小区的储水高度：区域全部受损最小洪水量：6.2.3洪水量分段破堤泄洪求解小区面积损失率概念：洪水淹没小区时，单位面积金额的损失量。小区体积损失率概念：洪水淹没小区时，单位体积金额的损失量。小区面积损失率和小区体积损失率共同反映了小区的储水成本，即小区在容纳单位洪水量时分别损失的金额。该模型通过破堤泄洪，使得损失量最少，就必须将水引向面积损失率和体积损失率较小的区域，才能在容纳给定的洪水量的情况下使总的消耗最少。破堤泄洪原则：在洪水流向可能的情况下，尽量搜索面积损失率和体积损失率小的区域，通过破堤的方法将洪水引向这些区域。分析题目中所给数据，得到各
37、小区的体积损失率Vr：Vr=Ci/Vi面积损失率Sr： Sr=Ci/Vi，按照从小到大的顺序编号，写入代表各个小区的方格中，如下。河 流河 堤298431210715151311614图6.2.1 各小区体积损失率从小到大编号图河 流河 堤298341210715161311514图6.2.2 各小区面积损失率从小到大编号图并用matlab绘出各小区的面积损失率分布图，如下：图6.2.3 各小区面积损失率分布图洪水冲破河堤首先进入小区1，小区2，小区3，小区4，小区5中的其中一个区域。状态1：一开始洪水量较少时，从小区1，小区2，小区3，小区4，小区5中进行查找，根据上图得，小区1的面积损失率
38、和体积损失率在这5个区域中最小，因此其容纳洪水的成本最低。洪水量的大小：（的单位为，下同）损失的金额：破堤方案：选择小区1和河堤相接的地方进行破堤，将水全部引向小区1。破堤方案及洪水流向图：图6.2.3 破堤方案及洪水流向图1（注：箭头表示在该处破堤，且箭头指向为洪水流向；深色小区表示有洪水注入的小区；小区内右下角编号表示各小区被洪水注满的先后顺序。下同）状态2：对小区1周围的区域进行收索，相邻的小区2，小区6，小区7面积损失率和体积损失率都较大，所以先不予以考虑。再从剩下的与河堤相邻的小区进行搜索，得到小区4的面积损失率最小，小区5的体积损失率最小。而小区5在面积损失率较大的情况下，体积损失
39、率较小，是因为小区5容纳的水的高度比较大（大于1.2米），在洪水高于该小区1.2米且小于1.8米的情况下，小区5洪水量的增加不会使损失数量上升。因此在水量较少的情况下先将洪水引入小区4（此时小区5未能充分用到额外容水量，考虑面积损失率）。 再根据尽量搜索面积损失率和体积损失率小的区域，通过破堤的方法将洪水引向这些区域的原则，搜索小区4附近的小区3，小区5，小区9，小区10，得到小区10的面积损失率和体积损失率在整个区域中都是最小的，所以要尽可能将水引向小区10。根据上述分析，将小区4和小区10之间的小堤打开，使这两个小区联通。这样小区4和小区10合并成一个区域，记为小区4-10。在灌满小区1并
40、且小区5的额外容水量未能充分利用的情况下，将水引入小区4和小区10。当水流量Q满足下式时，洪水在装满小区1后，引向小区5和引向小区4-10的损失相同。将数据代入上式得：根据计算得,只有在小区5的容水量大于9.01的时候才考虑先将洪水量引入小区5的情况。因此在注满小区1的情况下，先引入小区5的总损失数量肯定大于引入小区4-10的总损失数量。洪水量的大小：损失的金额：破堤方案：先将小区1和河堤相接的地方进行破堤，等到小区1注满后，将小区4和河堤相接的地方进行破堤，小区4和小区10之间始终保持联通，把洪水引向小区4-10。破堤方案及洪水流向图：图6.2.4 破堤方案及洪水流向图2（注：平行线表示两小
41、区连通，合并为同一个小区）状态3：当时，洪水引向小区1，小区4-10，小区5。洪水量的大小：损失的金额：（为小区4-10的最大储水量）洪水量的大小：损失的金额：（小区5的额外储水量能够在不消耗额外损失的情况下容纳这部分水）破堤方案：先将小区1和河堤相接的地方进行破堤，等到小区1注满后，先将小区4与河堤相接的地方进行破堤，使水流向小区4-10。待小区4-10满后，小区5与河堤相接的地方进行破堤。破堤方案及洪水流向图： 图6.2.6 破堤方案及洪水流向图4状态4：分析完以上4种较简单的状态，接下来列出所有可能的状态，用计算机进行搜索，逐个确定下一步状态。另一方面，因为小区4、5和小区10已经注满，
42、故不再考虑这三个小区储存的洪水量，只考虑增加的洪水量，从而简化分析。用matlab编写程序（见附件6），绘出流向选择比较图，如图6.2.7。 图6.2.7 流向选择比较图1（注：曲线1表示1、7小区连通曲线2表示1、7、11小区连通曲线3表示1、7、8、11小区连通曲线4表示1、3小区满， 2、7、8 、11、13和14小区连通曲线5表示1、3小区满，2、8、13和14小区连通曲线a表示1、2、3小区按面积损失率由小到大分别灌满的损失曲线b表示1小区满，14、15小区由10小区溢入；洪水量Q继续增加，通过穷举下一个可能的状态，选择最低曲线的方案。）首先，由面积损失率图6.2.4，为了简化处理，
43、面积损失率达到2.5（元/平方米）及以上的小区与周围小区的面积损失率相差很大，且不影响周围小区的联通，故可以不考虑在该区域破堤，以减少总损失；其次，由面积损失率的直观认识，当洪水量继续增加时，可能破小区3的河堤，或者让小区10中的洪水蔓延到小区14、15，或者将小区1与小区7联通；如下图，曲线a最低，即顺次将洪水引入小区3、小区2，作为方法a，其相对损失较低。但h8 h2，h8h3，且Sr8 Sr2，Sr8Sr3，故先将洪水由小区2或小区3引入小区8，当小区8被洪水注满后，自动流向小区13，即为方案c。对应的损失总数为：Mz=0.59Q-14.08 , 38.40Q48.24（注满小区8）1.
44、37Q-51.85 , 48.24 Q49.57（溢向小区13）破堤方案为：先将小区1和河堤相接的地方进行破堤，等到小区1注满后，先将小区5与河堤相接的地方进行破堤，待小区5满后，再将小区4与河堤相接的地方进行破堤，使水流向小区4-10，然后在小区2与河堤相接处破堤，使洪水流向小区8，当小区8被洪水注满后，自动流向小区13。破堤方案及洪水流向图：图6.2.8 破堤方案及洪水流向图5状态5：随着洪水量Q的增加，小区8的洪水流向小区13，方法a与方法c会出现洪水量增量（记为V）及损失相等的情况，即：解得V=11.53（）洪水量Q继续增加，曲线a最低，故选用a方案。对应的损失总数为：MZ=0.83Q-24.45， 49.57 Q60.24破堤方案为：先将小区1和河堤相接的地方进行破堤，等到小区1注满后，先将小区5与河堤相接的地方进行破堤，待小区5满后，再将小区4与河堤相接的地方进行破堤，使水流向