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1、3.1.4 空间 向量的正交 分解及其坐 标表示 12 1.空间向量基本定理 如果空间三个向量a,b,c不共面,那么对于空间任一向量p,存在有 序实数组x,y,z,使得p=xa+yb+zc.其中a,b,c叫做空间的一个基 底,a,b,c都叫做基向量. 12 答案：C 12 2.空间向量的正交分解及其坐标表示 (1)单位正交基底 三个有公共起点的两两垂直的单位向量e1,e2,e3称为单 位正交基 底. (2)空间直角坐标系 以e1,e2,e3的公共起点O为原点,分别以e1,e2,e3的方向为x轴、y轴 、z轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz. 12 (3)空间向量的坐标表示 对于空间任意一个向
2、量p,一定可以把它平移,使它的起点与原点 O重合,得到向量 =p,由空间向量基本定理可知,存在有序实数 组x,y,z,使得p=xe1+ye2+ze3.把x,y,z称作向量p在单位正交基底 e1,e2,e3下的坐标,记作p=(x,y,z),即点P的坐标为 (x,y,z). 12 答案：C 12 【做一做3】 若a=3e1+2e2-e3,且e1,e2,e3为空间的一个单位正 交基底,则a的坐标为 . 答案：(3,2,-1) 12 思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“”,错误 的打 “”. (1)空间向量的基底是唯一的. ( ) (2)若a,b,c是空间向量的一组基底,则a,b,
3、c均为非零向量. ( ) (3)已知A,B,M,N是空间四点,若 不能构成空间的一 个基底,则A,B,M,N共面. ( ) (4)若a,b,c是空间的一个基底,且存在实数x,y,z使得 xa+yb+zc=0,则有x=y=z=0. ( ) 答案：(1) (2) (3) (4) 探究一探究二探究三思维辨析 对对基底与基向量的理解 【例1】 判断下列说法是否正确?并说明理由. (1)空间任意三个不共线的向量均可作为一组基底; (2)基向量中可以含有零向量,但至多一个; (3)如果向量a,b与空间任何向量都不能构成一组基底,那么向量 a,b一定是共线向量; (4)如果向量组a,b,c是空间的一个基底,
4、且m=a+c,那么a,b,m 也是空间的一组基底. 思路分析按照基底与基向量的定义进行判断分析. 探究一探究二探究三思维辨析 解(1)错误,因为空间中三个不共面的向量才能构成一组基底. (2)错误,基向量中一定不可以含有零向量. (3)正确,向量a,b与空间任何向量都不能构成一组基底,说明向量 a,b与空间任何向量都是共面向量,从而a,b一定是共线向量. (4)正确,因为若a,b,m共面,则存在唯一实数对(x,y),使得 m=xa+yb,即a+c=xa+yb,所以(x-1)a+yb-c=0,而a,b,c不共面,所以x- 1=y=-1=0,这显然不成立,故a,b,m不共面,即a,b,m也是空间的
5、一 组基底. 探究一探究二探究三思维辨析 反思感悟 1.对于基底a,b,c,(1)a,b,c一定不共面;(2)a,b,c中一定 没有零向量. 2.判断a,b,c可否作为空间的一个基底,即判断a,b,c是否共面,若不 共面则可以作为基底,否则不能作为基底,实际判断时,假设 a=b+c,运用空间向量基本定理建立,的方程组,若有解则共面, 否则不共面. 探究一探究二探究三思维辨析 变式训练1已知a,b,c是空间向量的一个基底,则可以与向量 p=a+b,q=a-b构成基底的向量是( ) A.aB.bC.a+2bD.a+2c 解析：只有a+2c与p,q不共面,可以作为一组基底. 答案：D 探究一探究二探
6、究三思维辨析 用基底表示空间间向量 思路分析根据空间向量基本定理,结合空间向量的加法、减法与 数乘向量运算进行分解. 探究一探究二探究三思维辨析 探究一探究二探究三思维辨析 反思感悟 1.空间中,任一向量都可以用一组基底表示,且只要基 底确定,则表示形式是唯一的. 2.用基底表示空间向量时,一般要结合图形,运用向量加法、减法 的平行四边形法则、三角形法则,以及数乘向量的运算法则,逐步 向基向量过渡,直至全部用基向量表示. 3.在空间几何体中选择基底时,通常选取公共起点最集中的向量 或关系最明确的向量作为基底,例如,在正方体、长方体、平行六 面体、四面体中,一般选用从同一顶点出发的三条棱所对应的
7、向量 作为基底. 探究一探究二探究三思维辨析 答案：B 探究一探究二探究三思维辨析 空间间向量的坐标标表示 探究一探究二探究三思维辨析 探究一探究二探究三思维辨析 反思感悟 用坐标表示空间向量的步骤如下: 探究一探究二探究三思维辨析 探究一探究二探究三思维辨析 探究一探究二探究三思维辨析 易错分析解答本题时,容易以 的方向分别为x轴,y轴 ,z轴的正方向建错空间直角坐标系,这里忽视了向量所在直线的垂 直性而致误. 探究一探究二探究三思维辨析 探究一探究二探究三思维辨析 纠错心得本题容易建立错误的空间直角坐标系,事实上,AB与AC 是不垂直的.因此在解题时,建立空间直角坐标系是关键,解题中可 以建立不同的坐标系,但都必须符合空间直角坐标系的要求. 探究一探究二探究三思维辨析 跟踪训练已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面,M,N分别是 AB,PC的中点,并且PA=AD=1.建立适当的空间直角坐标系,求 探究一探究二探究三思维辨析 12345 解析：只有C选项中的三个向量是不共面的,可以作为一组基底. 答案：C 12345 12345 答案：A 12345 12345 12345