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1、习题课 空间向量在 空间问题中 的综合应用 123 123 123 3.利用空间向量解决探索性问题 立体几何探索性问题 是近几年高考和各地模拟考试中的热点 题型.空间向量作为一种工具,在解决立体几何探索性问题 中有着 无比的优越性,运用空间向量法解题,可使几何问题 代数化,大大简 化思维程序,使解题思路直观明了. 空间中的探索性问题 一般有以下两种类型: (1)“条件探索型”,就是指给出了问题 的明确结论 ,但条件不足或 未知,需要解题者探求、寻找使结论 成立的条件的一类问题 ,这类 问题 的常用解法是逆推法,利用结论 探求条件. 123 (2)“存在型”,是指结论 不确定的问题 ,即在数学命
2、题中,结论 常 以“是否存在”的形式出现,其结果可能存在,需要找出来;可能不存 在,则需要说明理由.解答这一类问题时 ,先假设结论 存在,若推证 无矛盾,则结论 存在;若推证出矛盾,则结论 不存在. 123 【做一做1】 已知空间两点A,B的坐标分别为 (1,-1,1),(2,2,-2),则 A,B两点的距离为 . 123 【做一做2】 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,下面结论错误 的是( ) A.BD平面CB1D1 B.AC1BD C.AC1平面CB1D1 123 答案：D 123 123 解析：由题意,建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz,则有 A(1,0,0),B(1,1,
3、0),C(0,1,0),D1(0,0,1), 123 探究一探究二探究三规范解答 利用空间间向量求空间间中两点间间距离 【例1】 如图,60的二面角的棱上有A,B两点,直线AC,BD分别 在两个半平面内,且都垂直于AB.若|AB|=1,|AC|=2,|BD|=3,求CD的 长度. 探究一探究二探究三规范解答 探究一探究二探究三规范解答 反思感悟 利用空间向量求空间两点距离的基本方法: (1)坐标法,建立空间直角坐标系,得出两个点的坐标,然后根据两 点距离公式求解. (2)向量分解法,将两点所对应向量用基向量表示,然后利用公式 探究一探究二探究三规范解答 变式训练1已知AB,BC,CD为两两垂直
4、的三条线段,且它们的长都 为2,则AD的长为( ) A.4B.2 C.3D.2 答案：D 探究一探究二探究三规范解答 利用空间间向量求点面间间距离 【例2】 在三棱锥S-ABC中,ABC是边长为 4的正三角形,平面 SAC平面ABC,SA=SC=2 ,M,N分别为 AB,SB的中点,如图所示. 求点B到平面CMN的距离. 思路分析借助平面SAC平面ABC,建立空间直角坐标系,先求平 面CMN的法向量,再求距离. 探究一探究二探究三规范解答 解取AC的中点O,连接OS,OB. SA=SC,AB=BC,ACSO,ACBO. 平面SAC平面ABC,平面SAC平面ABC=AC, SO平面ABC. 又B
5、O平面ABC,SOBO. 如图所示,分别以OA,OB,OS所在直线为x轴,y轴,z轴,建立空间直 角坐标系Oxyz, 探究一探究二探究三规范解答 探究一探究二探究三规范解答 反思感悟 求点到平面的距离的主要方法 (1)作点到平面的垂线,点到垂足的距离即为点到平面的距离. (2)在三棱锥中用等体积法求解. 探究一探究二探究三规范解答 变式训练2在直三棱柱中,AA1=AB=BC=3,AC=2,D是AC的中点. (1)求证:B1C平面A1BD; (2)求点B1到平面A1BD的距离. 探究一探究二探究三规范解答 探究一探究二探究三规范解答 利用空间间向量解决空间间中的探索性问题问题 【例3】在四棱锥P
6、-ABCD中,ABCD是菱形 ,ABC=60,PA=AC=a,PB=PD= a,点E在PD上,且PEED=21. 在PC上是否存在一点F,使BF平面AEC?并证明你的结论 . 思路分析首先假设存在,然后再根据BF平面AEC,结合线面平行 的条件进行推理. 探究一探究二探究三规范解答 探究一探究二探究三规范解答 探究一探究二探究三规范解答 探究一探究二探究三规范解答 反思感悟 解决这类探索性问题的基本策略是:假定题中的数学 对象存在(或结论成立)或暂且认可其中的一部分的结论,然后在这 个前提下进行逻辑推理,若由此导出矛盾,则否定假设;否则,给出肯 定结论.其中反证法在解题中起着重要的作用. 探究
7、一探究二探究三规范解答 探究一探究二探究三规范解答 探究一探究二探究三规范解答 探究一探究二探究三规范解答 探究一探究二探究三规范解答 利用空间向量解决空间的综合问题 【典例】 如图,直棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分别是AB,BB1的中 (1)证明:BC1平面A1CD. (2)求二面角D-A1C-E的正弦值. 探究一探究二探究三规范解答 【审题策略】第一问可借助线面平行的判定定理证明;第二问应 建立直角坐标系,利用向量方法进行求解. 【规范展示】 (1)证明连接AC1,交A1C于点F,连接DF, 则F为AC1的中点. 又因为D是AB的中点,所以DFBC1. 又因为DF平面A1CD,BC1
8、平面A1CD, 故BC1平面A1CD. 探究一探究二探究三规范解答 探究一探究二探究三规范解答 探究一探究二探究三规范解答 【答题模板】 第1步:证明线线 平行 第2步:证得线面平行 第3步:建立空间直角坐标系 第4步:求出平面内两不共线向量的坐标 第5步:用待定系数法求法向量的坐标 第6步:求出两个法向量夹角的余弦值,进而求得正弦值. 探究一探究二探究三规范解答 失误警示通过阅卷统计分析,失分主要出现在第(2)问,造成失分 的原因是: (1)不能利用三角形中的边长关系找到垂直的条件,从而不能恰当 地建立空间直角坐标系. (2)不能利用中点公式正确地求出相关点的坐标. (3)待定系数法求法向量
9、的方法与步骤不熟练,导致法向量坐标求 错. (4)不能利用三角函数的知识把向量夹角的余弦值转化为二面角 的正弦值. 探究一探究二探究三规范解答 跟踪训练 如图,在多面体ABCDEF中,正方形ADEF与梯形ABCD所在平面 互相垂直,ABCD,ADCD,AB=AD=1,CD=2,M,N分别为 EC和BD的 中点. (1)求证:BC平面BDE; (2)求直线MN与平面BMC所成的角的正弦值. 探究一探究二探究三规范解答 (1)证明在梯形ABCD中,取CD中点H,连接BH, 因为AD=AB,ABCD,ADCD, 所以四边形ADHB为正方形. 又BD2=AD2+AB2=2,BC2=HC2+HB2=2,
10、 所以CD2=BD2+BC2,所以BCBD. 又平面ADEF平面ABCD,平面ADEF平面ABCD=AD,DEAD, 所以DE平面ABCD,所以BCDE, 又BDDE=D,故BC平面BDE. 探究一探究二探究三规范解答 (2)解由(1)知CD平面ABCD,ADCD, 所以DE,DA,DC两两垂直. 以D为坐标原点建立如图所示直角坐标系D-xyz, 探究一探究二探究三规范解答 1234 1.在四面体P-ABC中,PA,PB,PC两两垂直,M是面ABC内一点,且M到 其他三面的距离分别是2,3,6,则M到顶点P的距离是( ) A.7B.8C.9D.10 答案：A 1234 2.在如图所示的几何体中,三棱锥D-ABC的各条棱长均为 2,OA,OB,OC两两垂直,则下列说法正确的是( ) A.OA,OB,OC的长度可以不相等 B.直线OB平面ACD C.直线OD与BC所成的角是45 D.直线AD与OB所成的角是45 1234 1234 答案：D 1234 3.如图所示,在直二面角-l-中,A,Bl,AC,ACl,BD,BDl, AC=6,AB=8,BD=24,则线 段CD的长为 . 答案：26 1234 4.已知正方体ABCD-A1B1C1D1. 求证:(1)AD1平面BDC1; (2)A1C平面BDC1. 证明以D为坐标原点,建立如图所示空间直角坐标系D-xyz. 1234