[初三英语]特岗教师招聘资料1一元函数微分学.doc

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1、第三章 一元函数微分学（1，2） 陈建军 主编第一节 导数的概念（1、2）教学目的：掌握导数的概念，会用导数的定义求函数的导数，会用导数描述一些实际问题的变化率。教学重点、难点：导数概念，会用导数的定义求函数的导数，用导数描述一些实际问题的变化率。教学形式：多媒体教室里的讲授教学时间：90分钟教学年级：各专业一年级教学过程一、引入新课微分学是微积分的重要组成部分,它的基本概念是导数与微分。在自然科学的许多领域中，当研究运动的各种形式时，都需要从数量上研究函数相对于自变量的变化快慢程度，如物体运动的速度、电流、线密度、化学反应速度以及生物繁殖率等，而当物体沿曲线运动时，还需要考虑速度的方向，即曲

2、线的切线问题。所有这些在数量关系上都归结为函数的变化率。二、新授课1导数概念实例 （1）、变速直线运动的瞬时速度问题 设动点作变速直线运动，其经过的路程是时间的函数，即，求它在时刻的瞬时速度。 如右图所示，假定在某一瞬时,动点的位置是，而经过极短的时间间隔后,即在瞬时,动点的位置到达，于是动点在时间间隔内所走过的路程是：，动点在这段时间内的平均速度为 由于时间间隔较短，它可以大致说明动点在时刻的速度，且时间间隔取得越小，这段时间内的平均速度愈接近时刻瞬时速度。若令趋于零，则极限值 精确地反映了动点在时刻的瞬时速度 。 （2）、切线问题割线的极限位置切线位置（附：Flash说明）如图，如果割线M

3、N绕点M旋转而趋向极限位置MT，直线MT就称为曲线C在点M处的切线。 极限位置即 设。割线MN的斜率为 ，切线MT的斜率为 。 2导数的定义 上面讨论的两个实例，虽然是不同的具体问题，但是它们在计算时都归结为如下的 极限： 其中是函数的增量与自变量的增量之比，表示函数的平均变化率。定义：设函数在点的某个邻域内有定义，当自变量在取得增量时，相应地函数取得的增量。若极限存在，则函数在点处可导，并称此极限值为函数在点的导数，记为：即 其他形式； 。 关于导数的说明： 点导数是因变量在点处的变化率，它反映了因变量随自变量的变化而变化的快慢程度。 如果函数在开区间内的每点处都可导，就称函数在开区间内可导

4、。 对于任意都对应着一个确定的导数值。这个函数叫做原来函数的导函数记作，或。 即 或。注意：1）.。 2）.导函数(瞬时变化率)是函数平均变化率的逼近函数。 3由定义求导数 步骤：(1)求增量； (2)算比值； (3)求极值。 根据导数的定义求导具有固定的步骤，可以利用的语句计算，步骤如下:1 定义函数2 根据定义求导例1 设圆的面积为,半径为,求面积关于半径的变化率。解（1）: 1 面积关于半径函数关系为 ；2 圆半径的增量，则圆面积的增量为；3 圆面积的平均变化率为；4 面积对半径的变化率为解（2）:用求解例2 求函数(C为常数)的导数。 解（1）：。即。解（2）用求解课堂练习 P45 第

5、5题例3根据导数的定义求的导数，其中为正整数 。解（1）：由二项式定理，得于是 即,解（2）：利用的语句计算的导数。 因此 . 一般地，对幂函数，有利用这一公式，可以求出幂函数的导数。例如，当时，的导数为 ,即 . 当时 ，的导数为 ,即 课堂练习 P45 第6（1）、（3）、（5）题利用导数的定义还能够比较容易地求出 ：三、本节小结：导数定义，和几个常见的导数公式四、课外作业：P45习题31 第3题3将一个物体铅直上抛，经过时间（单位：）后，物体上升高度为（单位：），求下列各值： （1）物体在到这段时间内的平均速度； （2）物体在时的瞬时速度； （3）物体在到这段时间内的平均速度； （4）物

6、体在时的瞬时速度；第4题4设，试按导数定义求。第三章 一元函数微分学（3,4）第一节 导数的概念（3,4）教学目的：掌握可导与连续关系，求导举例教学重点、难点：几何意义、可导与连续关系教学形式：多媒体教室里的讲授教学时间：90分钟教学年级：各专业一年级教学过程一、回顾上次课内容1各种增量比值（变化率）模型：2导数的定义：3传统方式求函数的导数：4用的语句求函数的导数：5一些已经求出来的基本函数的导数公式。二、新授课1左导数与右导数定义2： 由于导数为，则和分别称为函数在点处的左导数与右导数，分别记为 。2可导与连续的关系 定理一 函数在点处可导的充分必要条件是在点处的左导数与右导数都存在且相等

7、。证明 略。1、 函数连续，若则称点为函数的角点，函数在角点不可导。 .例题1 判断函数 , 在点处是否可导 ( 如右图 ) 。解 由于，所以 因为左、右极限不等，故极限 不存在，即函数在点处不可导。从几何直观上看，它的图像在点处没有切线。再例如， 在处不可导，为的角点。 定理二凡可导函数都是连续函数。 证设函数在的点处可导， 函数在点连续。 注意：该定理的逆定理不成立，即若函数在点处连续，在点处未必可导，即连续是函数可导的必要条件，但不是充分条件。 连续函数不存在导数举例 2、设函数在点连续，但，称函数在点有无穷导数。(不可导)例如， ，在处不可导。 3、设函数在连续点的左右导数都不存在(指

8、摆动不定)，则点不可导。例如， 在处不可导。 4、若，且在点的两个单侧导数符号相反，则称点为函数的尖点(不可导点)。 例2讨论函数，在处的连续性和可导性。 解是有界函数，。 在处连续。 但在处有， 当时，在-1和1之间振荡而极限不存在， 在处不可导。 证明 略。3导数的几何意义 1、几何意义 表示曲线在点处的切线的斜率，即，(为倾角) 切线方程为； 法线方程为.例3求等边双曲线在点处的切线的斜率，并写出在该点处的切线方程和法线方程。 解由导数的几何意义，得切线斜率为 所求切线方程为，即。法线方程为，即。 三、本节小结：连续是函数可导的必要条件，但不是充分条件1、导数的实质：增量比的极限； 2、

9、； 3、导数的几何意义：切线的斜率； 4、函数可导一定连续，但连续不一定可导； 5、求导数最基本的方法：由定义求导数。 6、判断可导性 外独立完成的作业：推导一遍基本初等函数的导数公式。第三章 一元函数微分学(5,6）第二节 导数的运算（1、2）教学目的：掌握导数的运算法则和基本公式。教学重点、难点：可导函数四则运算的导数法则。教学形式：多媒体演示、讲授法教学时间：90分钟教学年级：各专业一年级教学过程一、 引入新课复习导数的概念，熟悉已经求过的基本初等函数的导数公式 基本初等函数与初等函数的关系。二、新授课1、可导函数的和、差、积、商的求导法则定理三 设函数在点处可导，则函数在点处可导，且有

10、：（1）若，则，为常数；（2）若，则，推广：；（3）若，则。证明（1）： 对于自变量，取得其改变量，从而函数取得改变量证(3)设， 在处可导。 推论 (1)； (2)； (3).例1 求的导数。课堂练习一： （1）设曲线在点处的切线斜率为，则点的坐标为 ；例2 求的导数。课堂练习二： （2）设函数，则 ； 例3求的导数。 解 即 同理可得 例4求的导数。 解同理可得课堂练习三：（3）设 ，则 ；三、本节小结：1、可导函数的和、差、积、商的求导法则定理三 设函数在点处可导，则函数在点处可导，且有：（1）若，则，为常数；（2）若，则，推广：；（3）若，则2、基本初等函数的导数四、课外作业：P50第

11、2题（1）、（2）、（3）第三章 一元函数微分学(7,8）第二节 导数的运算（3、4）教学目的：掌握导数的基本公式，用Mathematica软件求函数的导数，会求反函数的导数。教学重点、难点：会用Mathematica软件求函数的导数，会求反函数的导数。教学形式：多媒体演示、讲授法教学时间：90分钟教学年级：各专业一年级教学过程二、 引入新课复习导数的概念，熟悉已经求过的基本初等函数的导数公式 经过求导法则所得到的基本初等函数的导数：二、新授课1、利用求导数在求函数导数的过程中，会遇到大量的运算，需要特别仔细。但是，求函数导数的步骤却是有规律的，特别符合计算机运算的要求。利用求导数的格式为 函

12、数表达式，求导变量 例 利用 求解前面的基本初等函数的导数。注：Loga=lna.2、反函数的导数 定理如果函数在某区间内单调、可导且，那么它的反函数在对应区间内也可的导，且有 即反函数的导数等于直接函数导数的倒数。 证任取，给以增量 由的单调性可知， 于是有，连续， ，又知 即例1求函数的导数。 解在内单调、可导，且， 在内有 同理可得；我们也可以更快地用Mathematica软件求得此二函数的导数例2求函数的导数。 解在内单调、可导， 且，在内有特别地我们也可以更快地用Mathematica软件求得此二函数的导数三、本节小结：1、用Mathematica软件求函数的导数 函数表达式，求导变

13、量 2、反函数求导方法四、课外作业：用传统方式求 arctanx、及arccotx的导数。第三章 一元函数微分学（9,10）第二节 导数的运算（5、6）教学目的：掌握复合函数的求导法则教学重点、难点：复合函数的概念。熟练复合函数的求导教学形式：多媒体讲授、演示教学时间：90分钟教学年级：各专业一年级教学过程一、 引入新课默写公式二、新授课1、复合函数的导数定理 如果函数在点处可导，函数在对应点处可导，则复合函 数在点处可导，且，或记为证由在点可导，故则。推广设，则复合函数的导数为例1 求的导数。解 函数可以看作由函数和复合而成。由复合函数求导法则，得 我们用Mathematica软件求此函数的

14、导数课堂练习：P50 2求下列各函数的导数: （为常数） （2） （4）（5） 例2 求的导数。解 由复合而成，所以 。用Mathematica软件求此函数的导数对复合函数的复合过程熟悉后，可不必写出中间变量，直接按照复合的次序，由外到里，层层求导。例3 求 的导数。解 例4 求 的导数。用Mathematica求得上面两函数的导数例6 用Mathematica求函数在处的导数值。解：求导函数DCosx-Sinx,x -Cosx-SinxIn2:=%/.xPi/6 课堂练习7利用求下列各函数在给定点处的导数值:（1），求（2），求三、本节小结：初等函数的求导问题 1、复合函数的求导法则 设，而

15、则复合函数的导数为或 利用上述公式及法则初等函数求导问题可完全解决。 注意：初等函数的导数仍为初等函数。 例1求函数的导数。 解 例2求函数的导数。 解 四、课外作业：P502、（11） （12）（13） 7、利用求下列各函数在给定点处的导数值:（1），求（2），求第三章 一元函数微分学（11，12）第三节 隐函数和参数方程所确定的函数的导数（1，2）教学目的：会求隐函数的导数和由参数方程确定的函数的导数教学重点、难点：求隐函数的导数教学形式：多媒体讲授法教学时间：90分钟教学年级：各专业一年级教学过程一、引入新课变量与之间对应的函数关系有不同的表达方式。例如：，直接给出自变量和因变量的对应关

16、系，用这种方式表达的函数称为显函数。还有另一种表达方式，如，其中因变量不一定能用自变量直接表达出来。这种函数被称为由方程所确定的隐函数。在实际问题中，有时需要计算隐函数的导数。二、新授课1隐函数求导法则若 中是的函数，从方程出发求。 （1）将两端对求导。求导过程中视为的函数； （2）求导后得到一个关于的方程，解此方程则得的表达式，在此表达式中允许含有。例1 求由方程确定的隐函数的导数。解 将两端对 求导数： , , 故 。例2 求曲线上点处的切线方程。解 方程两端对求导数，得 解出，得 则所求切线方程为 即 2. 利用求隐函数的导数求隐函数的导数是由求导和解方程两个步骤组成，因而，在中可使用和

17、语句，求由方程所确定的隐函数的导数。例3 求由方程所确定的隐函数的导数。解 方程两边求导，得 In1:= Dx 2+4yx 2=4,x Out1=2x+8y x y x =0从求导结果中解出隐函数的导数 In2:=Solve % ,yx Out 2=yx -x 4y x 或者将两个步骤合并为 In3:=Solve D x 2+4yx 2=4 ,x , yx Out 3=yx -x 4y x 注意 在Mathematica 中D y x , x 与 yx 意义是一样的，都表示函数y=y (x )的一阶导数。例4 求方程y ex+lny=10 所确定的隐函数的导数。解 In1:= Dy x E x

18、 +Log y x =10 ,x Out1= x y x + x yx +y(x )y (x )=0 In2:=Solve % ,yx Out 2=yx - x y x 21+ x y x 即 y=- x y2 1+ x y 课堂练习：P543利用求由下列方程所确定的各隐函数的导数： （1） （2） 3、参数方程所确定的函数的导数 函数y 与自变量x 不是直接由y=f (x )表示，而是通过一个变量t 来表示，即x=(t) y=t .其中t 为参数，上式称为函数的参数方程。下面求由参数方程确定的y 对x 的导数y。设x=(t) 有连续的反函数t=-1(x )，又t 与t 存在，且，则t0，则y

19、 为复合函数 y=t =-1(x )利用反函数和复合函数求导法则，得 例1 已知圆的参数方程为x=a cost y=a sint , 求dydx。解 4利用Mathematica参数方程所确定的函数的导数参数方程所确定的函数的求导步骤是：先求y=y (t )和x=x (t )的导数，再求它们的商。因而，利用Mathematica求参数方程所确定的函数的导数可以用 Dy , t/ Dx , t例2 求参数方程x=2t 2 y=3t 3 .，所确定的函数的导数。解 In1:= D3t 3 ,t /D2t 2 ,t 例3 求参数方程x=t 1-sint y=tcost ,的导数。解 In1: = D

20、t Cos t ,t /D t 1-Sint ,t Out1= Cos t-tSint 1-t Cos t -Sint 例4 求参数方程x= cost y= sin3t ,的导数。解 In1:= DSin3t ,t /DCost ,t Out1= -Cos3t csc t 可以用ParametricPlot 命令绘制参数方程所确定函数的图形。 In2: =ParametricPlot Cost ，Sin3t ， t ,0,2Pi 例7不计空气的阻力。以初速度，发射角发射炮弹，其运动方程为求 (1)炮弹在时刻的运动方向； (2)炮弹在时刻的速度大小。 解(1)在时刻的运动方向即轨迹在时刻的切线方

21、向，可由切线的斜率来反映。 (2)炮弹在时刻沿x，y轴方向的分速度为 在时刻炮弹的速度为 课堂练习：5求由下列参数方程所确定的函数的导数： （1） （2） 三、本节小结：隐函数求导法则：直接对方程两边求导； 参数方程求导：实质上是利用复合函数求导法则； 四、课外作业：P543利用求由下列方程所确定的各隐函数的导数： （3） （4） 6曲线上对应于的点处的切线方程和法线方程。第三章 一元函数微分学（13，14）第四节 高阶导数（1、2）教学目的：了解高阶导数概念，会求二阶导数及简单函数的阶导数。教学重点、难点：能熟练地用D 语句求各种形式的函数的导数、高阶导数；教学形式：多媒体教室的讲授教学时间

22、：90分钟教学年级：各专业一年级教学过程一、引入新课问题：变速直线运动的加速度。 设，则瞬时速度为 加速度是速度对时间的变化率 二、新授课1定义如果函数的导数在点处可导，即 存在，则称为函数在点处的二阶导数。 记作或. 二阶导数的导数称为三阶导数，。 三阶导数的导数称为四阶导数，。 一般的，函数的阶导数的导数称为函数的阶导数，记作 或 二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数。 相应地，称为零阶导数；称为一阶导数。 2高阶导数求法举例 （1）、由高阶导数的定义逐步求高阶导数。 例1 求函数的y= x sinx的 二阶导数。 解 y= x sinx+ x cosx= x (sinx+cosx ) y=

23、 x sinx+cosx + x cosx-sinx =2 x cosx 例2设，求。 解 若为自然数，则 ，. 注意：求n阶导数时，求出1-3或4阶后，不要急于合并，分析结果的规律性，写出n阶导数。(数学归纳法证明) 例3设，求。 解 例4设，求。 解 同理可得 例5设(a，b为常数)，求。 解 （2.）高阶导数的运算法则： 设函数和具有阶导数，则 1) 2) 3、利用求高阶导数 在中，求n (n2)阶导数的语句格式为D 函数表达式，求导变量，n 例1 求函数f x =sinx的十阶导数。解 In1:= DSinx,x,10 Out1= -Sinx解方程，得 Sin 10x=-sinx 。例

24、2 求y=1+x 2arctanx 的二阶导数。解 In2:= D(1+x 2)Arc T an x ,x ,2 例3 求 的六阶导数。解 例4 求y=2x 2+lnx 的三阶导数。解 In4:= D2x2+Log x ,x ,3 三、本节小结：1、高阶导数的定义； 2、高阶导数的运算法则 3、n阶导数的求法； 4、利用求高阶导数四、课外作业：P564求下列函数的阶导数：（1）（2）（3）（4）第三章 一元函数微分学（15，16）第五节 函数的微分（1、2）教学目的：掌握微分概念，理解微分的几何意义，能熟练地用Dt 语句求微分。教学重点、难点：微分概念，能熟练地用Dt 语句求微分。教学形式：多

25、媒体讲授法教学时间：90分钟教学年级：各专业一年级教学过程一、引入新课问题的提出 实例：正方形金属薄片受热后面积的改变量。 设边长由变到，正方形面积， (1)的线性函数，且为的主要部分； (2)的高阶无穷小，当很小时可忽略。 再例如，设函数在点处的改变量为时，求函数的改变量。 当很小时，(2)是的高阶无穷小， 问题：这个线性函数(改变量的主要部分)是否所有函数的改变量都有？它是什么？如何求？ 二、新授课1、微分的定义 定义设函数在某区间内有定义，及在这区间内，如果 成立(其中A是与无关的常数)，则称函数在点可微，并且称为函数在点相应于自变量增量的微分，记作或，即。 微分叫做函数增量的线性主部。

26、(微分的实质) 由定义知： (1)是自变量的改变量的线性函数； (2)是比高阶无穷小； (3)当时，与是等价无穷小； 。 (4)是与无关的常数，但与和有关； (5)当很小时，(线性主部)。 2、可微的条件 定理函数在点可微的充要条件是函数在点处可导，且。 函数在任意点x的微分，称为函数的微分，记作或，即。 例1求函数当，时的微分。 解。 。 通常把自变量的增量称为自变量的微分，记作，即。 即函数的微分与自变量的微分之商等于该函数的导数。导数也叫“微商”。 3、微分的几何意义 几何意义：(如图) 当是曲线的纵坐标增量时，就是切线纵坐标对应的增量。 当很小时，在点M的附近，切线段MP可近似代替曲线

27、段MN。 4、利用Mathematica 求微分在Mathematica中，求一元函数微分的格式为Dt 函数表达式 例1 求y=x2+sinx的微分。解 In1:= Dtx2 +Sinx Out1=2x Dtx+CosxDtx其中输出的表达式中Dtx 即为dx，所以y=x2+sinx的微分dy=2x+cosxdx 。例2 求y=x3在x=2.03处的微分；在x=1,dx=0.01处的微分。解 得 例子3 求的近似值解 三、本节小结：1、微分的定义；1、从几何意义上来看，是曲线在点处切线的斜率，而微分是曲线在点处的切线方程在点的纵坐标增量。2、在Mathematica中，求一元函数微分的格式为Dt 函数表达式 或者D 函数表达式，自变量 dx四、课外作业：5利用微分求近似值： （1） （2） （3） （4） 6水管壁的正截面是一个圆环，设它的内径为，壁厚为，利用微分计算这个圆环面积的近似值（相当小）7半径为的球，半径伸长，球的体积约增大多少？