[六年级数学]小升初择校教材.doc

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1、第1讲 比例专题简析：比例的意义和性质（1） 比例的意义表示两个比相等的式子叫做比例。组成比例的四个数，叫做比例的项。两端的两项叫做外项，中间的两项叫做内项。（2）比例的性质在比例里，两个外项的积等于两个两个内向的积。这叫做比例的基本性质。（3）解比例根据比例的基本性质，如果已知比例中的任何三项，就可以求出这个数比例中的另外一个未知项。求比例中的未知项，叫做解比例。3 正比例和反比例（1） 成正比例的量两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值（也就是商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，他们的关系叫做正比例关系。用字母表示y/x=k(一定）（2）成反比

2、例的量两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，他们的关系叫做反比例关系。用字母表示xy=k(一定)一、填容题1.三个分数的和是,它们的分母相同,分子比是1:2:3.这三个分数分别是 .2.四个数依次相差,它们的比是1:3:5:7,这四个数的和是 .3.在比例尺的地图上,量得两城市间的距离是8厘米,如画在比例尺的地图上,图上距离是 厘米.4.小明、小青和小华做红花,小明比小青多做16朵,小华与小青做的朵数的比是5:6,小青和小华做的总朵数与小明做的朵数的比是11:8,小明做 朵,小青做 朵.5.五年级举行数学竞赛,一班占参

3、加比赛总人数的,二班与三班参加比赛人数的比是11:13,二班比三班少8人,三个班各有 人参加比赛.6.甲、乙两包糖的重量比是4:1,如果从甲包取出10克放入乙包后,甲乙两包糖的重量比变为7:5,那么两包糖的重量和是 克.7.一个车间有两个小组.第一小组与第二小组人数的比是5:3,如果第一小组14人到第二小组时,第一小组与第二小组的比则是1:2.原来两个小组各有 人.8.一个直角三角形的两条直角边的总长是14米,它们的比是3:4.如果斜边的长为10厘米,则斜边上的高是 厘米.9.一块长方体砖,长与宽的比是2:1,宽与高的比是2:1,长、宽、高共35厘米,这块砖的体积是 .10.鸡、鸭、鹅的只数比

4、是3:2:1,画成扇形统计图,表示鸡的只数的扇形的圆心角是 度. 二、解答题11.有甲、乙、丙三个梯形,它们的高之比是1:2:3；上底之比依次是6:9:4；下底之比依次12:15:10.已知甲梯形的面积是30平方厘米,那么乙与丙两个梯形的面积之和是多少平方厘米?12.一条船往返于甲、乙两港之间,由甲至乙是顺水行驶；由乙至甲是逆水行驶,已知船在静水中的速度为每小时8公里,平时逆行与顺行所用时间的比为2:1.某天恰逢暴雨.水流速度变为原来的2倍,这条船往返共用9小时,那么甲乙两港相距多少公里?13.两个相同的瓶子装满酒精溶液,一个瓶中酒精与水的体积之比是3:1,而另一个瓶中酒精和水的体积之比是4:

5、1,若把两瓶酒精溶液混合,混合液中酒精和水的体积之比是多少?14.甲、乙二人分别从A、B两地同时出发,相向而行,出发时他们的速度比是3:2,他们第一次相遇后,甲的速度提高了20%,乙的速度提高了30%,这样,当甲到达B地时,乙离A还有14千米,那么A、B两地间的距离是多少千米?第2讲 几何体表面积专题简析：表面积是指物体各个面的面积总和。在计算表面积时，要注意根据实际情况，弄清究竟求哪几个面的面积，再正确解答。具体用到的形体有长方形、正方形和圆柱体。1 长方体的表面积=（长宽宽高+长高）2。2 正方体的表面积=棱长棱长6。3 圆柱体的面积=侧面积+底面积2。在计算时，要从实际出发，有的只有一个

6、底，有的没有底；有的只算两个面，有的要算四个面等等。例1 把一张长方形铁皮按下图剪料，正好能制成一只铁皮油桶，求所制成的油桶的表面积。（单位：厘米）拓展一、把一张长方形铁皮按下图剪下阴影部分制成圆柱体。求这个圆柱体的表面积。（圆桶盖的周长等于长方形铁皮的长）（单位：分米）拓展二、下图（1）是一个立体图形（2）的侧面展开图（单位：厘米），求这个立体图形的表面积。拓展三、把19个边长为2厘米的正方体重叠起来堆成如图所示的立方体，这个立方体的表面积是多少平方厘米？例2 把一段圆柱体木料沿着直径往下切成两块（如图）。已知圆柱的底面直径为10厘米，高15厘米，求半个圆柱体的表面积。拓展一、下图是个柱体，

7、高30厘米，底面是一个半径为10厘米、圆心角为270的扇形，求这个柱体的表面积。拓展二、一个圆锥的底面周长是18.84厘米，高是4厘米。从圆锥的顶点沿着高将它切成两半后，表面积之和比原圆锥的表面积增加了多少平方厘米？拓展三、有一个棱长为4厘米的正方体，从它的右上方截去一个棱长分别为4厘米、2厘米和1厘米的长方体，求剩下部分的表面积。拓展四、一个正方体木块，棱长是15。从它的八个顶点处各截去棱长分别是1、2、3、4、5、6、7、8的小正方体。这个木块剩下的部分的表面积最小是多少？例3 如图，在底面积为324平方厘米的正方体铸铁中，以相对的两面为底，挖出一个最大的圆柱形，然后在剩下的铸铁表面上涂上

8、油漆，求涂漆的面积是多少？拓展一、从图纸上剪下半径为30厘米的扇形，做一个圆锥。圆锥的底面直径为20厘米，求圆锥的表面积。拓展二、如图是一个半径为4厘米，高为4厘米的圆柱。在它的中间依次向下挖去半径分别为3厘米、2厘米、1厘米，高分别为2厘米、1厘米、0.5厘米的圆柱，最后得到的立体图形的表面积是多少平方厘米？拓展三、如图表示一个正方体，它的棱长为4厘米，在它的上下、前后、左右的正中位置各挖去一个棱长为1厘米的正方体，问此图的表面积是多少？拓展四、在一个立方体的前后，左右侧面的中心各打通一个长方体的洞，在上、下侧面的中心打通一个圆柱形的洞（如图），已知立方体边长为10厘米，前后、左右侧面上的洞

9、口是边长为4厘米的正方形，上、下侧面的洞口是直径为4厘米的圆，求所剩下物体的表面积。练习：1 一个圆柱体底面周长和高相等。如果高缩短2厘米，表面积就减少12.56平方厘米。求这个圆柱的表面积。2 在一个棱长为5厘米的正方体中间挖了一个半径为2厘米的圆柱形的孔（如左下图），求剩下立体图形的表面积。3 高都是1米，底面半径分别是0.5米、1米和1.5米的三个圆柱组成的几何体如右上图，求这个物体的表面积。4 有一个底面直径6厘米、高5厘米的圆柱体，沿着上下底面圆心的连线切开，它的表面积增加了多少平方厘米？5 如图是一个零件的直观图。下部是一个棱长为40厘米的正方体，上部是圆柱体的一半。求这个零件的表

10、面积。6 一个圆柱体的侧面积是50.24平方厘米，高和底面半径相等，这个圆柱体的表面积是多少？7 一个圆柱高8厘米，如果它的高增加2厘米，表面积增加25.12平方厘米，求原来圆柱的表面积是多少平方厘米？8 把一个正方体制成一个体积最大的圆柱体。如果圆柱的侧面积是314平方厘米，求正方体的表面积。9 如图在一个圆柱上挖了一个边长为2厘米的方形小孔，现在这个物体的表面积是多少平方厘米？（单位：厘米）10 在一个棱长为4厘米的正方体的前后、上下、左右各面的中心位置挖去一个底面半径为1厘米、高为1厘米的圆柱。求挖去后物体的表面积。11 把一个横切截面是正方形的长方体木料切削成一个最大的圆柱体，此圆柱的

11、表面积为32.97平方厘米,底面直径与高的比为1：3，求原长方体的表面积是多少平方厘米？12 求下图物体的表面积。（单位：厘米）1314 有一个棱长为5厘米的正方体木块，从它的每个面看都有一个穿透的完全相同的孔（如图），求这个立体图形的内外表面积的总和。15 用6块长3厘米、宽2厘米、高1厘米的长方体木块拼成一个大长方体，有许多种拼法，其中表面积最小的是多少平方厘米？16 用铁皮做一个如下图的零件，需用铁皮多少平方厘米？（零件是中空的）。第3讲 几何体体积专题简析：一个矩形，以它的一条边为轴旋转一周形成的几何体叫做圆柱，或者说它是由一个圆筒形的曲面和两个一样大的圆面围成的几何图形。如果用表示底

12、面圆的半径，表示高，那么圆柱的体积公式为：。一个直角三角形，以它的一条直角边为轴旋转一周形成的几何体叫做圆锥。如果用表示底面圆的半径，表示高，那么圆锥的体积公式：。在实际应用中，底面积或高有时是隐含着的，要先通过分析推理得出之后，再来求体积。有些体积没变，但形状变了，要巧秒地利用等积变形的特征，抓住形体的特征进行计算。范例、解析、拓展例1、 如图是一块长方形铁皮，利用图中的阴影部分恰好能做成一个圆柱形油桶（接头处忽略不计），求这个油桶的容积。拓展一、一个圆柱的高10分米，它的侧面展开，得到一个长25.12分米的长方形。这个油桶能装油多少升？拓展二、从半径为10厘米的圆柱形钢材上截下一段，锻造成

13、长为40厘米、宽30厘米、高15厘米的长方体，应截圆钢长多少厘米？拓展三、在一个高为8厘米、容积为50毫升的圆柱形容器A里面装满了水。现把长16厘米的圆柱B垂直放入，使B的底面与A的底面接触，这时一部分水从容器中溢出，当把B从A中拿起后，A中的水高度为6厘米，求圆柱体B的体积。拓展四、某工厂原来用长4米、宽1米的铁皮（如图a）围成没有底和顶的正方体形状的产品存放处(底和顶用别的材料)(如图b),恰好够存一周的产品,现在产量增加了27%，能够还用原来的铁皮围成存放处，装下现在一周的产品吗？拓展五、一个圆柱体的高是10厘米（如图），若减少3厘米，则表面积比原来减少94.2平方厘米，原来圆柱体的体积

14、是多少平方厘米？例2、 一张扇形薄铁皮，弧长18.84分米，它能够围成一个高4分米的圆锥，求圆锥的容积（接缝处忽略不计）。拓展一、如下图（1），圆锥形容器中装有3升水，水面高度正好是圆锥高度的一半，这个容器还能装多少升水？拓展二、把一个圆柱体削成一个最大的圆锥体，削去部分的体积为40立方厘米，问原来圆柱的体积是多少？拓展三、在仓库的一角有一堆稻谷，呈四分之一圆锥形（如下图），经测量底面弧长2.4米，圆锥高为1.57米。已知稻谷每立方米重725千克，求这堆稻谷重多少千克？拓展四、圆锥的高和底面半径都等于一个正方体的棱长。已知正方体的体积是30立方厘米。求圆锥的体积是多少平方厘米？练习：一、 填空

15、1 一个圆柱侧面积为62.8平方厘米，高5厘米，这个圆柱体的体积是（ ）立方厘米。2 一个圆柱的底面周长25.12厘米，高和直径相等，这个圆柱体的体积是（ ）立方厘米。3 把两个底面积相等，长分别是10厘米和20厘米的圆柱体木料胶合成一根后，表面积减少25.12平方厘米，则胶合后的圆柱体的体积是（ ）立方厘米。4 把一个棱长为4厘米的正方体削成一个最大的圆柱体，这个圆柱体的表面积为（ ）平方厘米；如果削成一个最大的圆锥体，这个圆锥体的体积是（ ）立方厘米。5 一个圆柱体的高为31.4厘米，它的侧面展开是一个正方形，这个圆柱体的体积是（ ）立方厘米。6 一根圆柱形木料长2米，把它截成了相等的3段

16、后，表面积增加了16平方厘米，原来圆柱的体积是多少立方厘米？7 有甲、乙两个容器（如图，单位：厘米），先将甲容器注满水，然后将水倒入乙容器。乙容器中水深（ ）厘米。二、应用题8 一个底面积是314平方米的圆柱形蓄水池，能容纳水1884立方米，如果再挖深1.5米，可容水多少立方米？9 一个长方形竖着一条长为轴旋转一周，求所形成的物体的体积（如图1）；一个三角形以横着的一条短直角边为轴旋转一周（如图2），求所形成的立体图形的体积。（单位：分米） 10 试求下图钢材的体积。（单位：厘米）11 一个圆柱的表面积是150.72平方厘米，底面半径是2厘米，求它的体积。12 把一个棱长是2分米的正方体木块削

17、成一个体积最大的圆柱体，应削去多少立方分米的体积？13 如左下图所示，一个底面直径为20厘米的装有一部分水的圆柱形容器，水中放着一个底面直径12厘米、高10厘米的圆锥体铅锤,当铅锤从水中取出后，容器中水面高度下降了几厘米？14 有一饮料瓶的身如右上图所示,容积是3立方分米。现在它里面装有一些饮料，正放时饮料高度为20厘米，倒放时空余部分的高度为5厘米，问瓶内现有饮料多少立方分米？15 一个圆柱形水桶里，放进一段截面半径为5厘米的圆钢，如果把它全部放入水里，桶里的水面就上升9厘米；如果把水中的圆钢露出8厘米，那么这时桶里的水面就下降4厘米，问这段圆钢的体积是多少？16 一个圆柱体木块切成四块（如

18、图1），表面积增加48平方厘米；切成三块（如图2），表面积增加50.24平方厘米；削成一个最大的圆锥体（如图3），体积减少多少立方厘米？17 有A、B两个圆柱形容器，最初在容器A里装有2升的水，容器B是空的。现在往两个容器中以每分钟0.4升的流量注入水，4分钟后，两个容器的水面高度相等。设B的底面半径为5厘米，求A的底面直径是多少厘米？18 一个圆柱形水桶的侧面积是它的一个底面积的6倍，已知水桶的底面半径是1分米，这个水桶的容积是多少立方分米？第4讲 几何知识与运动问题专题简析：有些几何知识的应用题与运动有关，如在环形跑道中运动，与圆形有关；如果是两个物体在环形跑道上运动，那就与相遇问题、追及

19、问题有关。通常求几何图形的面积与周长都是静态，但也有些是运动着的。解决这类与运动有关的几何问题时，要认真分析运动着的物体所经过的路线（或范围），这样才能找到正确的解题途径。例1 如图，A、B是圆的直径的两端，小张在A点，小王在B点同时出发反向行走，他们在C点第一次相遇，C离A点80米；在D点第二次相遇，D离B点60米，求这个圆的直径。拓展一 在400米的环形跑道上，A、B两点相距100米（如图），甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，按逆时针方向跑步，甲每秒5米，乙每秒4米，每人跑100米都要停留10秒钟，那么甲追上乙需要多少秒？拓展二 小冬、小青两人同时从甲、乙两地出发相向而行，两人在离甲地4

20、0米处第一次相遇，相遇后两人仍以原速继续行驶，并且在各自到达对方出发点后立即沿原路返回，途中两人在距乙地15米处第二次机遇，甲、乙两地相距多远？例2 ABCD是一个正方形，边为1米，用一绳子从A点开始正好绕了一圈。从A点开始，固定B点，绳子扫过面为扇形ABE；再固定C点，绳子扫过面为扇形ECF；再固定D点，绳子扫过扇形FDG；最后固定A点，绳子扫过扇形GAH。求绳子扫过的总面积是多少？拓展一 一只狗被拴在底座为边长3米的等边三角形建筑物的墙角上（如下图），绳长是4米，求狗所能到的地方的总面积。拓展二 一只蚂蚁沿等边三角形的三条边由A点开始爬行一周。在三条边上每分钟分别爬行50厘米、20厘米、4

21、0厘米（如图）。它爬行一周的平均速度是多少？例3 下图是边长为10分米的正方形，内侧有一个半径为20厘米的圆形沿着边长滚动一周，圆形滚动不到的地方有多大面积？这个圆（圆心）所经过的总路程是多少厘米？拓展一 如图所示，一个半径为1厘米的圆绕着一个直角三角形(各边长分别为3厘米、4厘米、5厘米)滚动一周，求这个圆（圆心）所经过的路程。拓展二 如图所示，一块半径为2厘米的圆板，从平面1的位置沿线段AB、BC、CD滚到2的位置，如果AB、BC、CD的长都是20厘米。那么圆板的正面滚过的面积是多少平方厘米？检测、反馈、应用1 如图三角形ABC是直角三角形，直角边AC=6厘米，BC=2厘米，以BC为轴将三

22、角形旋转一周得一圆锥，求该圆锥的体积。2 如右上图，一个圆的周长为70厘米，甲、乙两只爬虫，从同一地点同时出发，同向爬行。甲以每秒4厘米的速度不停地爬行，乙爬行15厘米后，立即反向爬行，并且速度增加1倍，在离出发点30厘米处与甲相遇，问乙原来的爬行速度是多少？3 图中是甲、乙、丙三个互相咬合的齿轮，若甲齿轮转5圈时，乙齿轮转7圈，丙齿轮转两圈。那么这三个齿轮的齿数最少应分别是多少个？4 三角形的每边长都是3厘米，现将三角形ABC沿着一条直线翻滚763次（如图所示翻滚一次），求A点所经过的总路程。5 两个铁环，滚过同一段距离，一个转了50圈，另一个转了40圈，如果一个铁环的周长比另一个铁环的周长

23、少44厘米，这段距离是多少米？6 甲、乙两人在（如图所示）圆环跑道上（两端是半径相同的半圆），同时从某出发点沿相反方向跑步，甲速度是乙的3倍，他们第一次与第二次相遇地点之间路程为100米，环形跑道有什么米？7 草场上有一个长20米、宽10米的关闭着的长方形羊圈（如右上图所示），在羊圈的一角用长30米的绳子拴着一只羊，这只羊的活动范围有多大？8 如左下图半径1厘米的圆，绕直角梯形不滑动地滚动一周，求圆心所经过的总路程是多少？（其中AD=5厘米，BC=8厘米，AB=6厘米，CD=8厘米）。9 右上图中正方形的周长是圆环周长的3倍，当圆环绕正方形无滑动滚动一周又回到原来位置时，这个圆环转了几周？10

24、 如图，有一只狗被缚在一建筑物的墙角上，这个建筑物是边长为600厘米的等边三角形，绳长为8米，求绳被狗拉紧时，狗运动后所围成的图形的总面积。11 一块边长为4米的正方形草地，两对角处各有一棵树，树上各拴着一只羊，拴羊的绳长都是4米，问两只羊都能吃到的草地面积是多少？12 右图是一个边长100米的正方形，甲、乙两人同时从A点出发，甲逆时针每分行75米，乙顺时针每分行45米。两人第一次在CD边（不包括C、D两点）相遇，是出发后的第几次相遇？13 如右图所示，某单位沿着围墙外面的小路形成一个边长300米的正方形。甲、乙两人分别从两个对角处沿逆时针方向同时出发。如果甲每分走90米，乙每分走70米，那么

25、经过多少时间甲才能看到乙？14 右图中，外圆周长40厘米，画阴影部分是个“逗号”，两只蚂蚁分别从A、B同时爬行，甲蚂蚁从A出发，沿“逗号”四周顺时针爬行，每秒爬3厘米；乙蚂蚁从B出发，沿外圆圆周顺时针爬行，每秒爬行5厘米，两只蚂蚁第一次相遇时，乙蚂蚁共爬行了多少米？第5讲 列举法解题专题简析：当我们面临的问题存在大量的可能的答案（或中间过程），而暂时又无法用逻辑方法排除这些可能答案中的大部分时，有时不得不采用逐一检验这些答案的策略。列举法就是把问题分为不重复、不遗漏的几类情况，并把每一类中的答案按一定的顺序一一列举出来，直至看出规律，然后再根据规律数一数答案的个数或者写出全部答案。范例、解析、

26、拓展例1 李萍的口袋里有五张标有数5、10、20、50、100的卡片。如果每次取出4张计算它们 的和，那么共有多少种不同的和？拓展一 用0，4，5，9可以组成多少个能被5整除的四位数？拓展二 由数字1、2、3、4、5、6、7、8可以组成多少个不同的最简真分数？拓展三 有一个没有盖子的正方体纸盒，请你沿着正方体的棱，将这个无盖纸盒剪成展开图，有多少种不同的展开图？拓展四 参加“洽谈会”的客人见面问候，在6位客人中，不重复地握手13次，互相之间都握过手的至少有多少位客人？例2 玲玲买了三种练习本：自然本每本8分钱，语文本每本1角钱，数学本每本2角钱。她一共用了一元二角二分钱。那玲玲买的三种本子的总

27、和最少是多少？拓展一 某次数学竞赛共有10道题，评分办法是：答对一道题得3分，答错一题倒扣1分，不答得0分。已知参加竞赛的学生中至少有3个人的得分相同。参加竞赛的学生至少有多少人？拓展二 我家住在一条短胡同里，这条胡同的门牌号从1号开始，挨着号码编下去。如果除我家外，其余各家的门牌号数加起来减去我家门牌号数的2倍，恰好等于100。我家门牌号是几号？全胡同共有多少家？拓展三 甲、乙、丙三个自然数的和是100，甲数除以乙数，或丙数除以甲数，得数都是“商5余1”，甲数是多少？练习：解答题1. 两个人的年龄和是36岁，且各自的年龄数都是质数，他们们各自的年龄可能分别是多少岁？2. 现有1克、2克、3克

28、重的天平砝码，要用10个砝码称出20克重的物体。（1）在取出的砝码中有3个1克的，那么3克重的砝码应有多少个？（2）除（1）的情况外，取出的砝码还有几种情况呢？（设任何一种砝码至少取一个）3. 有铅笔若干支，分配给甲、乙、丙三个学生。最初甲分得的最多，乙分得的较少，丙分得的最少，因此重新分配。第一次分配，甲分别给乙、丙原有支数多4支；第二次分配，乙分别给甲、丙原有支数多4支；第三次分配，丙分别给甲、乙原有支数多4支。经过三次重新分配后，甲、乙、丙三人各得铅笔44支，最初甲得几支？4. 有糖块144颗，平均分成若干份，每份不得少于10颗，也不得多于40颗，共有多少种分法？5. 小刚和小李玩掷骰子

29、游戏，共有两枚骰子，一起掷出，若两枚骰子的点数和为7，则小刚胜；若点数和为8，则小李胜。想一想，他们两人获胜的可能性大，为什么？6. 一只甲虫从A点出发（如下图），要沿着某几条线段从A点爬到F点。在行进中，同一个点或同一条线段只能经达一次，这只甲虫最多有多少种不同走法？7. 新任宿舍管理员拿了20把钥匙去开20个房门，他知道每把钥匙只能开一个房门，但不知道哪把钥匙能开哪一个房门，现在要打开所有关闭的20个房门，那么他至少要试开多少次？8. 小丽爱吃青菜、菠菜、丝瓜三种蔬菜，她准备每天吃一种，且相邻两天不能吃同一种蔬菜。如果小丽第一天吃青菜，第五天也吃青菜，那么，这五天中她共有多少种不同的安排？

30、9. 从1100的自然数中，每次取两个不同的自然数相加，使其和大于100。共有多少种不同的取法？10. 奶奶有2元、1元、5角、2角、1角的钱各3张，到百货商店买4元9角的东西，怎样拿可以正好把钱交上，不用找钱，一共有几种拿法？11. 甲、乙两人比赛乒乓球，先胜三局的人算赢。直到决出胜负为止，共有多少种可能发生的情况？12. 下面四个图形都具有两个特点：（1）由四个连在一起同样大小的正方形组成；（2）每个小正方形至少和另一个小正方形有一条公共边，我们把具有以上两个特点的图形叫做“俄罗斯方块”。如果某个俄罗斯方块在平面上旋转后与另一个俄罗斯方块相同，那么这两个俄罗斯方块只能算一种，除了下面三种外

31、，还有好几种俄罗斯方块，请你把这几种都画出来。第6讲 浓度问题专题简析：一杯糖水中有多少糖，可以用百分比来衡量。糖水的浓度是由糖和水的比值来决定的。我们把糖与糖水的百分比叫做糖水的浓度。同样，盐与盐水的百分比叫盐水的浓度。纯酒精与酒精溶液的百分比称为酒精浓度，药与药水的百分比叫药水的浓度。对这些数学问题，我们统称为浓度问题。在浓度问题中，通常把糖、盐、纯洒精、药称为溶质（即被溶解的物质）；把溶解这些溶质的液体称为溶剂，如水、汽油等；溶质与溶剂混合的液体称为溶液，如糖水、盐水、洒精溶液等。要解决浓度问题，就要理解并掌握下面几个关系式：溶质+溶剂=溶液1 100%=浓度2 溶液浓度=溶质范例、解析

32、、拓展例1 将20克糖放入白开水中制成糖水，这种糖水浓度为10%，需白开水多少克？拓展一 在浓度为10%的80克盐水中，加入多少克水可得到浓度为8%的盐水？拓展二 一种浓度为35%的新农药，如稀释到浓度为1.75%时治蚜虫最有效。用多少千克浓度为35%的农药加多少千克水才能配成浓度为1.75%的农药800千克？拓展三 现有浓度为20%的糖水300克，要变成浓度为40%的糖水，需加糖多少克？例2 将20%的盐水与5%的盐水混合，配成15%的盐水600克。需20%的盐水和5%的盐水各多少克？ 拓展一 浓度为70%的酒精溶液500克与浓度为50%的酒精溶液300克，混合后所得的酒精浓度为多少？ 拓展

33、二 现有含盐20%的盐水500克，要把它变成含15%的盐水，应加入5%的盐水多少克？ 拓展三 130克含盐5%的盐水，与含盐9%的盐水混合，配成含盐6.4%盐水，这样配成的6.4%的盐水是多少克？ 拓展四 甲容器中有纯酒精11升，乙容器中有水15升，第一次将甲容器中的一部分纯酒精倒入乙容器，使洒精与水混合。第二次将乙容器中的一部分混合液倒入甲容器。这样甲容器中纯酒精含量为62.5%，乙容器中酒精含量为25%，那么，第二次从乙容器倒入甲容器的混合液多少升？例3 甲种酒含纯酒精40%，乙种酒含纯酒精36%，丙种酒含纯酒精35%。将这三种酒混在一起得到含纯酒精38.5%的酒11千克。已知乙种酒比丙种

34、酒多3千克，那么甲种酒有多少千克？拓展一 A、B、C三个试管中各盛有10克、20克、30克水。把某种浓度的盐水10克倒入A中，混合后取出10克倒入B中，再混合后又从B中取出10克倒入C中，现在C中的盐水浓度为0.5%。最早倒入A中的盐水浓度为多少？拓展二 有三根管子A、B、C，A管以每秒4克的流量流出含盐20%的盐水，B管以每秒6克的流量流出含盐15%的盐水，C管以每秒10克的流量流出水，C管打开后开始2秒不流，接着流5秒；然后又停2秒，再流5秒三管同时打开，1分钟后都关上，这时得到的混合液中含盐百分之几？练习：1. 有浓度2.5%的盐水200克，为了制成浓度为5%的盐水，从中要蒸发掉多少千克

35、？2. 10000千克葡萄干在新疆测得含水99%，运抵南京后测得含水98%，问葡萄干运抵南京后还剩下多少千克？3. 在浓度为50%的100千克硫酸溶液中，再加入多少千克浓度为5%的硫酸溶液，就可以配制成浓度为25%的硫酸溶液？4. 有两个装满糖水的桶，大桶内装有含糖4%的糖水60千克，小桶内装满含糖20%的糖水40千克，各取出多少千克分别放入对方桶内，才能使它们的浓度相等？5. 甲容器中有浓度4%的盐水150克，乙容器中有某种浓度的盐水若干，从乙中取出450克盐水，放入甲中混合成浓度为8.2%的盐水。求乙容器盐水的浓度。6. 浓度为20%、18%、16%的3种盐水混合后得到100克18.8%的

36、盐水。如果18%的盐水比16%的盐水多30克，3种盐水各多少克？7. 已知盐水若干克，第1次加入一定量的水后，盐水浓度变为3%，第二次加入同样多的水后，盐水浓度变以2%。第三次再加入同样多的水后盐水浓度是多少？8. 在装满100克浓度为80%的盐水杯中倒出40克盐水后，再用清水将杯加满；搅拌后再倒出40克盐水，然后再用清水加满。如此反复三次后，杯中盐水的浓度是多少？9. 有甲、乙两个瓶子，甲瓶中装了200毫升清水，乙瓶里装了200毫升纯酒精。第一次把20毫升纯酒精由乙瓶倒入甲瓶，第二次把甲瓶中20毫升溶液倒回乙瓶。问此时甲瓶中含酒精多，还是乙瓶中含水多？10. 在甲、乙、丙三缸酒精溶液中，纯酒

37、精含量分别占48%、62.5%和。已知三缸酒精溶液总量是100千克，其中甲缸酒精溶液的量等于乙、丙两缸酒精溶液的总量。三缸溶液混合，所含酒精的百分数将达到56%。那么，丙缸中纯洒精的量是多少千克？11. 下图中（a）、（b）、（c）、（d）为水槽，而A、B、C、D、E、F、G、H为能进行开、关的水管，在图中还注明了关于各个管分流的比例。首先将水管C、D、E、F、G、H关闭，分别由A流出质量分数为10%的盐水200克，由B流出质量分数为5%的盐水800克，接着关闭A、B水管，打开C、D、E、F、G、H水管。在水槽（d）中积存的盐水为多少克？其中含盐多少克？第7讲 最大和最小问题专题简析：在数学中

38、，经常会碰到在一定的条件下求最大值和最小值的问题。这类问题没有固定解法，往往要对所给的条件认真分析、准确判断、合理地推想，最后才能得到准确答案。在解答这类问题时，常常用到下面的规律：1. 当两数和一定时，两数的差愈小，两数的积愈大；当两数相等时，这两数积最大。2. 若几个数的和一定，当几个数相等时，它们的积最大。3. 周长一定的长形中，正方形的面积最大。周长一定边数相等的多边形中，正多边形的面积最大。周长一定的正多边形中，边数愈大面积愈大，且圆的面积最小。4. 若两数的乘积一定，那么当两数相等时它们的和最小。5. 将数分成若干个数的和，当时，分拆成，此时这些数的乘积最大为；当时，分拆成，此时这

39、些数的乘积最大为；当时，分拆成，此时这些数的乘积最大为。例1 下面等式中，B应是什么数是时，才能使A最大？。拓展一 用一根长16分米的铁丝弯成一个长方形，当长与宽各是多少时，长方形的面积最大，最在的面积是多少？拓展二 比较下面两个乘积的大小： 拓展三 把1.5，3.7，6.5，2.9，4.6分别填入下图的内，再在每个中填入和它相连的3个中的数的平均数，最后把3个中的数的平均数填入“”内。请找出一种填法，使中的数尽可能大。拓展四 一个整数乘13后，乘积的最后三位数是123，那么这样的整数中最小的是多少？拓展五 一个五位数，五个数字各不同，且是13的倍数，则符合以上条件的最小数是多少？例2 把15

40、分成几个自然数的和，再求出这些自然数的乘积，要使得乘积尽可能大，这个乘积是几？拓展一 把19分拆成几个自然数的和，使这些自然数的乘积最大。拓展二 把14分成几个自然数的和，怎样分能使这些数的乘积最大。拓展三 将2001拆分成若干个互不相等的自然数的和，且使这些自然数乘积最大，该乘积是多少？例3 要砌一个面积为72平方米的长方形猪圈，长方形的边长是以米为单位的自然数，这个猪圈的围墙最少长多少米？拓展一 用铁丝扎一个长方体模型，为了使长方体的体积恰好是216立方厘米，长方体的长、宽、高各是多少厘米时，所用的铁丝长度最短？这根铁丝最短是多少厘米？拓展二 农场计划挖一个面积为432平方米的长方形养鱼池

41、，鱼池周围两侧分别有3米和4米的堤堰（如图），要想使占地总面积最小，水池的长和宽各应为多少米？例3 一把钥匙开一把锁。现有4把钥匙4把锁，但不知道哪把钥匙开哪把锁，最多要试多少次才能配好全部的钥匙和锁？拓展 一把钥匙只能开一把锁，现有8把钥匙和8把锁，最多试多少次才能配好全部钥匙和锁？练习：1. 从19这9个自然数中选出8个数填在下面8个“”内，使算式的结果尽可能大。这个最大的结果是 （）（+）2. 长方形的面积为144平方厘米，当它的长和宽分别为多少厘米时，周长最短？3. 一个长方体所有棱长的和是96厘米，当它的长、宽、高各是多少时，长方体的体积才最大？体积最大是多少？4. 如果四个人的平均

42、年龄是30岁，且在四人中没有小于21岁的，那么年龄最大的人可能是多少岁？5. 一把钥匙开一把锁。现有10把钥匙10把锁，但不知道哪把钥匙开哪把锁，最多要试多少次能配好全部的钥匙和锁？6. 25只乒乓球中有一只是次品，次品较正品轻一些。现有一个天平，问最少称 次，一定能把这个次品找到。7. 从多位数123456789101112100中找出100个数字，使剩下的数字（顺序不变）组成的多位数最大。8. 只有1和它本身为约数的数叫质数。设一个长方形的长、宽均为质数个单位，并且周长是36个单位。这个长方形的面积最多可以是多少个平方单位？9. 把13分成若干个自然数的和，如何分才能使它们的乘积最大？10

43、. 已知长方体的长、宽、高均为整数厘米，相邻两个面的面积是180平方厘米和84平方厘米。求表面积最小的长方体的体积。11. 把20分成几个自然数的和，要使得这些自然数的乘积尽可能大，则这个乘积应是几？12. 从1，2，3，1999这些自然数中最多可以取多少个数，使其中任意两个数之差都不等于5？13. 一次数学考试的满分是100分，6位同学在这次考试中平均得分是91分。这6位同学的得分互不相同，其中1位同学仅得了65分。那么，得分排在第3名的同学至少得多少分？14. 布袋中有同样大小的球若干个，其中红球10个，黄球20个，白球15个，黑球30个。从袋中至少摸出 个球，才能保证摸出的球中至少有5个

44、同色的球。从袋中至少摸出 个球，才能保证摸出的球中有4种颜色。15. 小从从家（A点处）去河边挑水，然后把水挑到积肥潭里（B点处）请你帮他找一条最短路线，并写出过程。16. 唐老鸭与米老鼠进行10000米赛跑，米老鼠的速度是每分钟125米，唐老鸭的速度是每分钟100米。唐老鸭手中掌握着一种迫使米老鼠就以原速度的10%倒退一分钟，然后再按原来的速度继续前进。如果唐老鸭想在比赛中获胜，那么它通过摇控器发出指令的次数至少应是多少次？17. 右图是小红从家到学校经过的所有街道，观察小红从家到学校怎样走路程最短，并找出共有几条最短路线。模拟试卷一一、选择题。1.一个数分别与相邻两个奇数相乘，得到的两个乘积相差40 ，这个数是（ ）A.10 B.20 C.30 D.402.某项工作,甲单独干15天可以完成。线甲做了6天后剩下的工作由乙完成，用了18天。若这项工作全部由乙单独完成需要多少天？A.9 B.10 C.20 D.303.正方形的一组对边增加6厘米，另一组对边减少4厘米，结果得到的长方形与原正方形的面积相等，原正方形的面积是（ ）平方米。A.24 B.84 C.72 D.1444.99999898999982的末尾有（ ）0。A