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1、第2课时 利用向量证 明空间中的 垂直关系 垂直关系与方向向量、法向量的关系 【做一做1】 直线l1,l2的方向向量分别为 a=(1,2,-2),b=(-2,3,2), 则( ) A.l1l2 B.l1与l2相交,但不垂直 C.l1l2 D.不能确定 解析：因为ab=0,所以ab,故l1l2. 答案：C 【做一做2】 设平面的法向量为(1,2,-2),平面的法向量(-2,- 4,k),若,则k=( ) A.2B.-5 C.4D.-2 解析：因为,所以-2-8-2k=0,解得k=-5. 答案：B 思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“”,错误 的打 “”. (1)若两直线方向向
2、量的数量积为 0,则这 两条直线一定垂直相 交. ( ) (2)若一直线与平面垂直,则该 直线的方向向量与平面内的所有 直线的方向向量的数量积为 0. ( ) (3)两个平面垂直,则其中一平面内的直线的方向向量与另一平 面内的直线的方向向量垂直. ( ) (4)确定直线的方向向量,可以用空间一个基底表示,也可以建立 空间直角坐标系,写出方向向量的坐标.( ) (5)若两平面,的法向量分别为 u1=(1,0,1),u2=(0,2,0),则平面, 互相垂直. ( ) 答案：(1) (2) (3) (4) (5) 探究一探究二探究三 利用向量方法证证明线线线线 垂直 【例1】 如图,PA平面ABCD
3、,四边形ABCD是矩形,PA=AB=1,点 F是PB的中点,点E在边BC上移动.求证:无论点E在边BC上的何处, 都有PEAF. 思路分析只需证明直线PE与AF的方向向量互相垂直即可. 探究一探究二探究三 探究一探究二探究三 探究一探究二探究三 反思感悟 利用向量方法证明线线垂直的方法 利用向量方法证明线线垂直,其思路是证明两条直线的方向向量 互相垂直,具体方法有以下两种. (1)坐标法:建立空间直角坐标系,写出相关点的坐标,求出两直线 方向向量的坐标,然后通过数量积的坐标运算法则证明数量积等于 0,从而证明两条直线的方向向量互相垂直; (2)基向量法:利用空间向量的加法、减法、数乘运算及其运
4、算 律,结合图形,将两直线所在的向量用基向量表示,然后根据数量积 的运算律证明两直线所在的向量的数量积等于0,从而证明两条直 线的方向向量互相垂直. 探究一探究二探究三 变式训练1在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为AC的中点.求证: (1)BD1AC; (2)BD1EB1. 证明以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建 立如图所示的空间直角坐标系. 探究一探究二探究三 探究一探究二探究三 利用向量方法证证明线线面垂直 【例2】 在棱长为 1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,M分别为 棱 AB,BC,B1B的中点.求证:D1M平面EFB1. 探究一探究
5、二探究三 探究一探究二探究三 探究一探究二探究三 探究一探究二探究三 探究一探究二探究三 反思感悟 利用空间向量证明线面垂直的方法 (1)基向量法:选取基向量,用基向量表示直线所在的向量,在平面 内找出两个不共线的向量,也用基向量表示,然后根据数量积运算 律分别证明直线所在向量与两个不共线向量的数量积均为零,从而 证得结论. (2)坐标法:建立空间直角坐标系,求出直线方向向量的坐标以及 平面内两个不共线向量的坐标,然后根据数量积的坐标运算法则证 明直线的方向向量与两个不共线向量的数量积均为零,从而证得结 论. (3)法向量法:建立空间直角坐标系,求出直线方向向量的坐标以 及平面法向量的坐标,然
6、后说明直线方向向量与平面法向量共线, 从而证得结论. 探究一探究二探究三 变式训练2如图,在四棱锥P-ABCD中,ABCD,ABAD, AB=4,AD=2 ,CD=2,PA平面ABCD,PA=4.求证:BD平面 PAC. 证明因为AP平面ABCD,ABAD,所以以A为坐标原点,AB,AD,AP 所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系. 探究一探究二探究三 探究一探究二探究三 利用向量方法证证明面面垂直 【例3】如图,在四棱锥E-ABCD中,AB平面BCE,CD平面 BCE,AB=BC=CE=2CD=2,BCE=120. 求证:平面ADE平面ABE. 思路分析建立空间直角坐标系,求出
7、平面ADE和平面ABE的法向 量,然后通过证明两个法向量垂直即可证得两个平面垂直. 探究一探究二探究三 探究一探究二探究三 探究一探究二探究三 反思感悟 用向量方法证明面面垂直的关键是正确求得两个平面 的法向量,求平面的法向量时,一般采用待定系数法,但如果根据题 目条件明显发现某条直线与一个平面垂直,那么这条直线的方向向 量即为该平面的法向量. 探究一探究二探究三 变式训练3在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1平面 ABC,ABBC,AB=BC=2,AA1=1,E为BB1的中点,求证:平面AEC1平 面AA1C1C. 证明由题意知直线AB,BC,B1B两两垂直,以B为原点,分别以 BA,BC
8、,BB1所在直线为x,y,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系, 探究一探究二探究三 1234 1.已知a=(4,-1,0),b=(1,4,5),c=(-3,12,-9)分别是三条直线l1,l2,l3的一 个方向向量,则( ) A.l1l2,但l1与l3不垂直 B.l1l3,但l1与l2不垂直 C.l2l3,但l2与l1不垂直 D.l1,l2,l3两两互相垂直 解析：因为ab=(4,-1,0)(1,4,5)=4-4+0=0,ac=(4,-1,0)(-3,12,-9)=-12 -12=-240,bc=(1,4,5)(-3,12,-9)=-3+48-45=0,所以ab,a与c不垂直 ,bc.即l1l2,l2l3,但l1不垂直于l3. 答案：A 1234 2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是BB1,CD的中点,则( ) A.平面AED平面A1FD1 B.平面AED平面A1FD1 C.平面AED与平面A1FD相交但不垂直 D.以上都不对 答案：B 1234 3.若直线l的方向向量是a=(1,0,-2),平面的法向量是b=(-1,0,2),则 直线l与的位置关系是 . 解析：因为ab,所以l. 答案：l 1234 4.在四面体ABCD中,AB平面BCD,BC=CD,BCD=90, ADB=30,E,F分别是AC,AD的中点,求证:平面BEF平面ABC. 1234