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1、小学数学应用题解题方法大全36-40三十六、解工程问题的方法工程问题是研究工作量、工作效率和工作时间三者之间关系的问题。这三者之间的关系是： 工作效率工作时间=工作量工作量工作时间=工作效率工作量工作效率=工作时间根据上面的数量关系，只要知道三者中的任意两种量，就可求出第三种量。由于工作量的已知情况不同，工程问题可分为整数工程问题和分数工程问题两类。在整数工程问题中，工作量是已知的具体数量。解答这类问题时，只要按照上面介绍的数量关系计算就可解题，计算过程中一般不涉及分率。在分数工程问题中，工作量是未知数量。解这类题时，也要根据上面介绍的数量关系计算，但在计算过程中要涉及到分率。（一）工作总量是
2、具体数量的工程问题例1 建筑工地需要1200吨水泥，用甲车队运需要15天，用乙车队运需要10天。两队合运需要多少天？（适于四年级程度）解：这是一道整数工程问题，题中给出了总工作量是具体的数量1200吨，还给出了甲、乙两队完成总工作量的具体时间。先根据“工作量工作时间=工作效率”，分别求出甲、乙两队的工作效率。再根据两队工作效率的和及总工作量，利用公式“工作量工作效率=工作时间”，求出两队合运需用多少天。甲车队每天运的吨数：（甲车队工作效率）120015=80（吨）乙车队每天运的吨数：（乙车队工作效率）120010=120（吨）两个车队一天共运的吨数：80+120=200（吨）两个车队合运需用的
3、天数：1200200=6（天）综合算式：1200（120015+120010）=1200（80+120）=1200200=6（天）答略。*例2 生产350个零件，李师傅14小时可以完成。如果李师傅和他的徒弟小王合作，则10小时可以完成。如果小王单独做这批零件，需多少小时？（适于四年级程度）解：题中工作总量是具体的数量，李师傅完成工作总量的时间也是具体的。李师傅1小时可完成：35014=25（个）由“如果李师傅和他的徒弟小王合作，则10小时可以完成”可知，李师傅和徒弟小王每小时完成：35010=35（个）小王单独工作一小时可完成：35-25=10（个）小王单独做这批零件需要：35010=35（小
4、时）综合算式：350（35010-35014）=350（35-25=35010=35（小时）答略。*例3 把生产2191打毛巾的任务，分配给甲、乙两组。甲组每小时生产毛巾128打，乙组每小时生产毛巾160打。乙组生产2小时后，甲组也开始生产。两组同时完工时超产1打。乙组生产了多长时间？（适于四年级程度）解：两组共同生产的总任务是：2191-1602+1=1872（打）两组共同生产的时间是：1872（160+128）=6.5（小时）乙组生产的时间是：6.5+2=8.5（小时）综合算式：（2191-1602+1）（160+128）+2=1872288+2=6.5+2=8.5（小时）答略。一同生产用
5、了多少小时？（适于六年级程度）解：两台机器一同生产的个数是：108-45=63（个）第一台机器每小时生产：第二台机器每小时生产：两台机器一同生产用的时间是：63（4+5）=7（小时）综合算式：答略。（二）工作总量不是具体数量的工程问题例1 一项工程，甲队单独做24天完成，乙队单独做16天完成。甲、乙两队合做，多少天可以完成？（适于六年级程度）解：把这项工程的工作总量看作1。甲队单独做24天完成，做1天完成答略。例2 一项工程，由甲工程队修建需要20天，由乙工程队修建需要30解：把这项工程的工作总量看作1，由甲工程队修建需要20天，知甲工 答略。例3 一项工程，甲、乙合做5天可以完成，甲单独做1
6、5天可以完成。乙单独做多少天可以完成？（适于六年级程度）解：把这项工程的工作量看作1。甲、乙合做5天可以完成，甲、乙合需要多长的时间。=7.5（天）答：乙单独做7.5天可以完成。例4 有一个水箱，用甲水管注水10分钟可以注满，用乙水管注水8分钟可以注满。甲、乙两管同时开放2分钟后，注入水箱中的水占水箱容量的几分之几？（适于六年级程度）解：把水箱的容量看作1。用甲水管注水10分钟可以注满，则甲水管1的：答略。例5 一项工程，由甲、乙、丙三人各自单独做分别要用6天、3天、2天完成任务。如果三人合作需要几天完成任务？（适于六年级程度）解：甲、乙、丙三人各自单独做分别要用6天、3天、2天完成任务，=1
7、（天）答略。所以，乙单独做可以完成的时间是：综合算式：=6（天）答略。以完成？（适于六年级程度）解：甲队独做3天，乙队独做5天所完成的工作量，相当于甲乙两队合做3天，乙队再独做2天所完成的工作量。这时完成了全工程的：乙队单独做完成的时间是：答略。*例8加工一批零件，甲独做需要3天完成，乙独做需要4天完成。两人同时加工完成任务时，甲比乙多做24个。这批零件有多少个？（适于六年级程度）解：解这道题的关键是，求出24个零件相当于零件总数的几分之几。完成任务时甲比乙多做：综合算式：答略。*例9 一项工程，甲单独做20天完成，乙单独做30天完成。甲、乙合做了数天后，乙因事请假，甲继续做，从开工到完成任务
8、共用了14天。乙请假几天？（适于六年级程度）解：根据“甲单独做20天完成”和“从开工到完成任务共用了14天”，可知甲做了全工程的：乙做了全工程的：乙请假的天数是：14-9=5（天）综合算式：答略。*例10 一项工程，乙队单独做需要15天完成。甲、乙两队合做，比乙队单独做可提前6天完成。如果甲、乙两队合做5天后，再由甲队单独做，甲队还需要多少天才能完成？（适于六年级程度）解：设这项工程为1，则乙队每天做：两队合做时每天做：甲队每天做：两队合做5天后剩下的工作量是：甲队做剩的工作还需要的时间是：综合算式：答略。（三）用解工程问题的方法解其他类型的应用题例1 甲、乙两地相距487千米。李华驾驶摩托车
9、从甲地到乙地，需要1小时；王明骑自行车从乙地到甲地需要3小时。照这样的速度，两人分别从两地同时相向出发，经过几小时在途中相遇？一般解法：（适于四年级程度）用解工程问题的方法解：（适于六年级程度）把全程看作1。李华驾驶摩托车从甲地到乙地需要1小时，李华的速度就是1；王明骑自行车从乙地到甲地需要3小时，王明每1小时要行全程的例2 某学校食堂购进一车煤，原计划烧60天。由于改进了炉灶的构造，实际每天比原来少烧10千克，这样这车煤烧了70天。这车煤重多少千克？*一般解法：（适于四年级程度）1060（70-60）70=4200（千克）答：这车煤重4200千克。用解工程问题的方法解：（适于六年级程度）答略
10、。 一般解法：（适于六年级程度）答略。用解工程问题的方法解：（适于六年级程度）如果把这批零件的总数作为一项“工程”，以1表示，则这个工厂计划因此，实际需要的天数是：答略。（四）用份数法解工程问题例1 一项工程，甲队单独做9天完成，乙队单独做18天完成。甲、乙两队合做4天后，剩下的任务由乙队单独做。乙队还需要几天才能完成？（适于六年级程度）解：把整个工程的工作量平均分成918=162（份）甲队每天可以完成：1629=18（份）乙队每天可以完成：16218=9（份）甲、乙两队合做每天共完成：18+9=27（份）两队4天共完成：274=108（份）两队合做4天后，剩下的工程是：162-108=54（
11、份）剩下的任务由乙队单独做，需要的天数是：549=6（天）综合算式：918-(91818+9189)49=162-1089=6（天）答略。例2 一项工程，甲队单独做16天完成，乙队单独做20天完成。甲队先做7天，然后由甲、乙两队合做。甲、乙两队合做还要多少天才能完成？（适于六年级程度）解：把这项工程的总工作量看做1620份，则甲队每天做20份，乙队每天做16份。甲队先做7天，完成的工作量是：207=140（份）甲队做7天后，剩下的工作量是：1620-140=180（份）甲、乙两队合做，一天可以完成：20+16=36（份）甲、乙两队合做还需要的天数是：18036=5（天）答略。例3 一个水池装有
12、进、出水管各一个。单开进水管10分钟可将空池注满，单开出水管12分钟可将满池水放完。若两管齐开多少分钟可将空池注满？（适于六年级程度）解：把注满全池水所用的时间看作1012份，当进水管进12份的水量时，出水管可放出10份的水量，进出水相差的水量是：12-10=2（份）甲、乙两管齐开注满水池所用的时间是：10122=60（分钟）答：若两管齐开60分钟可将空池注满。（五）根据时间差解工程问题例1 师、徒二人共同加工一批零件，需要4小时完成。师傅单独加工这批零件需要5小时完成。师、徒二人共同加工完这批零件时，徒弟加工了30个。这批零件有多少个？（适于六年级程度）解：从时间差考虑，师、徒共同加工完的时
13、间与师傅单独加工完的时间相差5-4=1（小时）。这说明师傅1小时加工的零件数等于徒弟4小时加工的零件数。所以，师傅5小时加工的零件就是这批零件的总数：305=150（个）答略。例2 一份稿件需要打字，甲、乙两人合打10天可以完成。甲单独打15天可以完成。乙单独打需要几天完成？（适于六年级程度）解：从时间差考虑，甲、乙两人合打完成与甲单独打完，两者的时间差是15-10=5（天），这说明甲5天的工作量相当于乙10天的工作量。那么，甲15天的工作量，乙要工作：10515=30（天）答：乙单独打需要30天完成。例3 一辆快车和慢车同时分别从A、B两站相对开出，经过12小时相遇。已知快车行完全程需要20
14、小时。求两车相遇后慢车还要行多少小时才能到达A站？（适于六年级程度）解：从时间差考虑，两车相遇与快车行完全程的时间差是20-12=8（小时）。这说明快车8小时行的路程相当于慢车12小时行的路程。那么快车行12小时的路程，慢车要行多长时间？也就是两车相遇后慢车还要行驶而到达A点的时间。12812=18（小时）答略。三十七、解流水问题的方法流水问题是研究船在流水中的行程问题，因此，又叫行船问题。在小学数学中涉及到的题目，一般是匀速运动的问题。这类问题的主要特点是，水速在船逆行和顺行中的作用不同。 流水问题有如下两个基本公式：顺水速度=船速+水速 （1）逆水速度=船速-水速 （2）这里，顺水速度是指
15、船顺水航行时单位时间里所行的路程；船速是指船本身的速度，也就是船在静水中单位时间里所行的路程；水速是指水在单位时间里流过的路程。公式（1）表明，船顺水航行时的速度等于它在静水中的速度与水流速度之和。这是因为顺水时，船一方面按自己在静水中的速度在水面上行进，同时这艘船又在按着水的流动速度前进，因此船相对地面的实际速度等于船速与水速之和。公式（2）表明，船逆水航行时的速度等于船在静水中的速度与水流速度之差。根据加减互为逆运算的原理，由公式（1）可得：水速=顺水速度-船速 （3）船速=顺水速度-水速 （4）由公式（2）可得：水速=船速-逆水速度 （5）船速=逆水速度+水速 （6）这就是说，只要知道了
16、船在静水中的速度、船的实际速度和水速这三者中的任意两个，就可以求出第三个。另外，已知某船的逆水速度和顺水速度，还可以求出船速和水速。因为顺水速度就是船速与水速之和，逆水速度就是船速与水速之差，根据和差问题的算法，可知：船速=（顺水速度+逆水速度）2 （7）水速=（顺水速度-逆水速度）2 （8）*例1 一只渔船顺水行25千米，用了5小时，水流的速度是每小时1千米。此船在静水中的速度是多少？（适于高年级程度）解：此船的顺水速度是：255=5（千米/小时）因为“顺水速度=船速+水速”，所以，此船在静水中的速度是“顺水速度-水速”。5-1=4（千米/小时）综合算式：255-1=4（千米/小时）答：此船
17、在静水中每小时行4千米。*例2 一只渔船在静水中每小时航行4千米，逆水4小时航行12千米。水流的速度是每小时多少千米？（适于高年级程度）解：此船在逆水中的速度是：124=3（千米/小时）因为逆水速度=船速-水速，所以水速=船速-逆水速度，即：4-3=1（千米/小时）答：水流速度是每小时1千米。*例3 一只船，顺水每小时行20千米，逆水每小时行12千米。这只船在静水中的速度和水流的速度各是多少？（适于高年级程度）解：因为船在静水中的速度=（顺水速度+逆水速度）2，所以，这只船在静水中的速度是：（20+12）2=16（千米/小时）因为水流的速度=（顺水速度-逆水速度）2，所以水流的速度是：（20-
18、12）2=4（千米/小时）答略。*例4 某船在静水中每小时行18千米，水流速度是每小时2千米。此船从甲地逆水航行到乙地需要15小时。求甲、乙两地的路程是多少千米？此船从乙地回到甲地需要多少小时？（适于高年级程度）解：此船逆水航行的速度是：18-2=16（千米/小时）甲乙两地的路程是：1615=240（千米）此船顺水航行的速度是：18+2=20（千米/小时）此船从乙地回到甲地需要的时间是：24020=12（小时）答略。*例5 某船在静水中的速度是每小时15千米，它从上游甲港开往乙港共用8小时。已知水速为每小时3千米。此船从乙港返回甲港需要多少小时？（适于高年级程度）解：此船顺水的速度是：15+3
19、=18（千米/小时）甲乙两港之间的路程是：188=144（千米）此船逆水航行的速度是：15-3=12（千米/小时）此船从乙港返回甲港需要的时间是：14412=12（小时）综合算式：（15+3）8（15-3）=14412=12（小时）答略。*例6 甲、乙两个码头相距144千米，一艘汽艇在静水中每小时行20千米，水流速度是每小时4千米。求由甲码头到乙码头顺水而行需要几小时，由乙码头到甲码头逆水而行需要多少小时？（适于高年级程度）解：顺水而行的时间是：144（20+4）=6（小时）逆水而行的时间是：144（20-4）=9（小时）答略。*例7 一条大河，河中间（主航道）的水流速度是每小时8千米，沿岸边
20、的水流速度是每小时6千米。一只船在河中间顺流而下，6.5小时行驶260千米。求这只船沿岸边返回原地需要多少小时？（适于高年级程度）解：此船顺流而下的速度是：2606.5=40（千米/小时）此船在静水中的速度是：40-8=32（千米/小时）此船沿岸边逆水而行的速度是：32-6=26（千米/小时）此船沿岸边返回原地需要的时间是：26026=10（小时）综合算式：260（2606.5-8-6）=260（40-8-6）=26026=10（小时）答略。*例8 一只船在水流速度是2500米/小时的水中航行，逆水行120千米用24小时。顺水行150千米需要多少小时？（适于高年级程度）解：此船逆水航行的速度是
21、：12000024=5000（米/小时）此船在静水中航行的速度是：5000+2500=7500（米/小时）此船顺水航行的速度是：7500+2500=10000（米/小时）顺水航行150千米需要的时间是：15000010000=15（小时）综合算式：150000（12000024+25002）=150000（5000+5000）=15000010000=15（小时）答略。*例9 一只轮船在208千米长的水路中航行。顺水用8小时，逆水用13小时。求船在静水中的速度及水流的速度。（适于高年级程度）解：此船顺水航行的速度是：2088=26（千米/小时）此船逆水航行的速度是：20813=16（千米/小时
22、）由公式船速=（顺水速度+逆水速度）2，可求出此船在静水中的速度是：（26+16）2=21（千米/小时）由公式水速=（顺水速度-逆水速度）2，可求出水流的速度是：（26-16）2=5（千米/小时）答略。*例10 A、B两个码头相距180千米。甲船逆水行全程用18小时，乙船逆水行全程用15小时。甲船顺水行全程用10小时。乙船顺水行全程用几小时？（适于高年级程度）解：甲船逆水航行的速度是：18018=10（千米/小时）甲船顺水航行的速度是：18010=18（千米/小时）根据水速=（顺水速度-逆水速度）2，求出水流速度：（18-10）2=4（千米/小时）乙船逆水航行的速度是：18015=12（千米/
23、小时）乙船顺水航行的速度是：12+42=20（千米/小时）乙船顺水行全程要用的时间是：18020=9（小时）综合算式：18018015+（18010-18018）23=18012+（18-10）22=18012+8=18020=9（小时）答略。三十八、解植树问题的方法植树问题是研究植树地段的全长、间隔距离、株数三种数量之间的关系的应用题。植树应用题基本分为两类：沿路旁植树；沿周长植树。 沿路旁植树，因为首尾两端都要种一棵，所以植树棵数要比分成的段数多1；沿周长植树，因为首尾两端重合在一起，所以，植树的棵数和所分成的段数相等。解答植树问题的基本方法是：（1）沿路旁植树棵数=全长间隔+1间隔=全长
24、（棵数-1）全长=间隔（棵数-1）（2）沿周长植树棵数=全长间隔间隔=全长棵数全长=间隔棵数（一）沿路旁植树例1 有一段路长720米，在路的一边每间隔3米种1棵树。问这样可以种多少棵树？（适于三年级程度）解：根据棵数=全长间隔+1的关系，可得：7203+1=240+1=241（棵）答：可以种241棵树。例2 在某城市一条柏油马路上，从始发站到终点站共有14个车站，每两个车站间的平均距离是1200米。这条马路有多长？（适于三年级程度）解：根据全长=间隔（棵数-1）的关系，可得：1200（14-1）=120013=15600（米）答：这条马路长15600米。例3 要在612米长的水渠的一岸植树15
25、4棵。每相邻两棵树间的距离是多少米？（适于三年级程度）解：根据“间隔=全长（棵数-1）”的关系，可得：612（154-1）=612153=4（米）答：每相邻两棵树间的距离是4米。例4 两座楼房之间相距60米，现要在两座楼房之间栽树9棵。每两棵树的间隔是多少米？（适于三年级程度）解：因为在60米的两端是两座楼房，不能紧挨着楼房的墙根栽树，所以，把60米平均分成的段数要比树的棵数多1。由距离和段数便可求出两棵树之间的距离：60（9+1）=6010=6（米）答：每两棵树的间隔是6米。*例5 原计划沿公路一旁埋电线杆301根，每相邻两根间的距离50米。实际上在公路一旁只埋了201根电线杆。求实际上每两
26、根电线杆之间的距离。（适于四年级程度）解：题中所埋电线杆的根数比段数多1，因此在计算段数时，要从根数减去1，才得段数。50（301-1）（201-1）=50300200=75（米）答：实际上每两根电线杆之间的距离是75米。（二）沿周长植树例1 在周长是480米的圆形养鱼池周围，每隔12米栽一棵树。一共可以栽多少棵树？（适于三年级程度）解：根据棵数=全长间隔，可求出一共栽树的棵数：48012=40（棵）答：一共可以栽40棵树。例2 一个圆形湖的周长是945米，沿着湖的周长栽了270棵树。求相邻两棵树间的距离是多少米？（适于三年级程度）解：945270=3.5（米）答：相邻两棵树间的距离是3.5米
27、。例3 一块长方形场地，长300米，宽比长少50米。从这个长方形的一个角开始，沿长方形的周长栽树，每隔10米栽一棵。这块场地周围可以栽树多少棵？（适于四年级程度）解：先求出长方形场地的周长，再求可栽树多少棵。（300+300-50）210=550210=110010=110（棵）答：可以栽树110棵。*例4 有一个圆形花坛，绕它走一圈是120米。如果在花坛周围每隔6米栽一株丁香花，再在每相邻的两株丁香花之间等距离地栽2株月季花。可栽丁香花多少株？可栽月季花多少株？每2株紧相邻的月季花相距多少米？（适于四年级程度）解：根据棵数=全长间隔可求出栽丁香花的株数：1206=20（株）由于是在每相邻的2
28、株丁香花之间栽2株月季花，丁香花的株数与丁香花之间的间隔数相等，因此，可栽月季花：220=40（株）由于2株丁香花之间的2株月季花是紧相邻的，而2株丁香花之间的距离被2株月季花分为3等份，因此紧相邻2株月季花之间距离为：63=2（米）答：可栽丁香花20株，可栽月季花40株，2株紧相邻月季花之间相距2米。例5 在圆形水池边植树，把树植在距离岸边均为3米的圆周上，按弧长计算，每隔2米植一棵树，共植了314棵。水池的周长是多少米？（适于六年级程度）解：先求出植树线路的长。植树线路是一个圆的周长，这个圆的周长是：2314=628（米）这个圆的直径是：6283.14=200（米）由于树是植在距离岸边均为
29、3米的圆周上，所以圆形水池的直径是：200-32=194（米）圆形水池的周长是：1943.14=609.16（米）综合算式：（23143.14-32）3.14=（200-6）3.14=1943.14=609.16（米）答略。三十九、解时钟问题的方法研究时钟的长针（分针）与短针（时针）成直线、成直角与重合的问题，叫做时钟问题。 钟表的分针每小时走60个小格，而时针每小时只走5个小格；分针每分出题中所要求的时间。解题规律：（1）求两针成直线所需要的时间，有：（3）求两针重合所需要的时间，有：求出所需要的时间后，再加上原来的时刻，就得出两针形成各种不同位置的时刻。（一）求两针成直线所需要的时间*例1
30、 在7点钟到8点钟之间，分针与时针什么时候成直线？（适于高年级程度）解：在7点钟的时候，分针在时针后面（图39-1）：57=35（格）当分针与时针成直线时，两针的间隔是30格。因此，只需要分针追上时针：35-30=5（格）综合算式：*例2 在4点与5点之间，分针与时针什么时候成直线？（适于高年级程度）解：4点钟时，分针在时针的后面（图39-2）：54=20（格）当分针与时针成直线时，分针不仅要追上已落后的20格，还要超过时针30格，所以一共要追上：20+30=50（格）综合算式：（二）求两针成直角所需要的时间*例1 在6点到7点之间，时针与分针什么时候成直角？（适于高年级程度）解：分针与时针成
31、直角时，分针在时针前面15格或时针后面15格，因此，本题有两个答案。（1）6点钟时，分针在时针后面（图39-3）：56=30（格）因为两针成直角时，分针在时针后面15格，所以分针追上时针的格数是：30-15=15（格）综合算式：（2）以上是两针第一次成直角的时刻。当两针第二次成直角时，分针在时针前面15格，所以分针不仅追上时针，而且要超过时针：56+15=45（格）综合算式：*例2 在1点到2点之间，时针与分针在什么时候成直角？（适于高年级程度）解：1点钟时，分针在时针后面：51=5（格）当分针与时针成直角时，两针间隔是15格，因此，分针不仅要追上时针5格，而且要超过时针15格，分针实际追上时
32、针的格数是：5+15=20（格）综合算式：当分针走到时针前面45格（也就是走到时针后面15格）时，两针也成直角。因此，所需时间是：*例3 在11点与12点之间，时针与分针在什么时候成直角？（适于高年级程度）解：在11点钟时，分针在时针后面：511=55（格）第一次两针成直角时，分针是在时针后面45格，因此，分针需要追上时针的格数是：55-45=10（格）综合算式：（三）求两针重合所需要的时间在11点到1点之间，两针除在12点整重合外，其他每一点钟之间都有一次重合。*例1 3点钟到4点钟之间，分针与时针在什么时候重合？（适于高年级程度）解：在3点钟时，分针在时针后面：53=15（格）*例2在4点
33、与5点之间，两针什么时候重合？（适于高年级程度）解：在4点钟时，分针在时针后面54格，分针只要追上时针45格，两针就重。四十、几何变换法利用几何图形的变换解答几何题的方法叫做几何变换法。 在实际生产和生活中，几何形体往往不是以标准的形状出现，而是以比较复杂的组合图形出现，很难直接利用公式计算其面积或体积。如果在保持图形的面积或体积不变的前提下，对图形进行适当的变换，就容易找出计算其面积或体积的方法。（一）添辅助线法有些组合图形按一般的思考方法好像已知条件不足，很难解答。如果在图形中添加适当的辅助线，就可能找到解题的途径。辅助线一般用虚线表示。*例1 求图40-1阴影部分的面积。（单位：平方米）
34、（适于三年级程度） 解：图40-1中，右边两个部分的面积分别是20平方米和30平方米，所以可如图40-2那样添上三条辅助线，把整个长方形分成5等份。这样图中右边的五个小长方形的面积相等。同时，左边五个小长方形的面积也相等。左边每个小长方形的面积是：252=12.5（平方米）所以，阴影部分的面积是：12.53=37.5（平方米）答略。*例2 如图40-3，一个平行四边形被分成两个部分，它们的面积差是10平方厘米，高是5厘米。求EC的长。（单位：厘米）（适于五年级程度）解：如图40-4，过E点作AB的平行线EF，则AEF与ABE是等底等高的三角形。所以，AEF的面积与ABE的面积相等。 小平行四边
35、形EFDC的面积就是10平方厘米。因为它的高是5厘米，所以，EC=105=2（厘米）答：EC长2厘米。*例3 如图40-5，已知图中四边形两条边的长度和三个角的度数，求这个四边形的面积。（单位：厘米）（适于五年级程度）解：这是一个不规则的四边形，无法直接计算它的面积。如图40-6，把AD和BC两条线段分别延长，使它们相交于E点。这样，四边形ABCD的面积就可以转化为ABE的面积与DCE的面积之差。 在ABE中，A是直角，B=45，所以E=45，即ABE是等腰直角三角形。所以AB=AE=7（厘米），则ABE的面积是：772=24.5（平方厘米）在DCE中，DCE是直角，E=45，所以，CDE=4
36、5，即DCE是等腰直角三角形。所以，CD=CE=3厘米，则DCE的面积是：332=4.5（平方厘米）所以，四边形ABCD的面积是：24.5-4.5=20（平方厘米）答略。（二）分割法分割法是在一个复杂的几何图形中，添上一条或几条辅助线，把图形分割成若干个已学过的基本图形，然后分别计算出各图形的面积或体积，再将所得结果相加的解题方法。例1 计算图40-7的面积。（单位：厘米）（适于五年级程度）解：如图40-8，在图中添上一条辅助线，把图形分割为一个梯形和一个长方形，分别计算出它们的面积，再把两个面积相加。 2+（8-4）（6-4）2+48=6+32=38（平方厘米）答：图形的面积是38平方厘米。
37、例2 图40-9中，ABCD是长方形，AB=40厘米，BC=60厘米，E、F、G、H是各边的中点。求图中阴影部分的面积。（适于五年级程度）解：如图40-10，在图中添加辅助线EG，使阴影部分被分割成为两个面积相等的三角形。先计算出一个三角形的面积，再把它的面积乘以2。三角形的底是长方形的长，高是长方形的宽的一半。 60（402）22=6020=1200（平方厘米）答：阴影部分的面积是1200平方厘米。*例3 求图40-11中各组合体的体积。（单位：厘米）（适于六年级程度）解：如图40-12，把各组合体分割为几个基本形体，然后分别求出每个基本形体的体积，再用加法、减法算出各组合体的体积。（三）割
38、补法在计算一些不规则的几何图形的面积时，把图形中凸出来的部分割下来，填补到相应的凹陷处，或较适当的位置，使图形组合成一个或几个规则的形状，再计算面积的解题方法叫做割补法。例1 求图40-13阴影部分的面积。（单位：厘米）（适于六年级程度）成了一个梯形如图40-14，这个梯形的面积就是图40-13中的阴影部分的面积。 答：阴影部分的面积是45平方厘米。*例2 求图40-15中阴影部分的面积。（单位：米）（适于六年级程度）16162=512（平方米）答：阴影部分的面积是512平方米。*例3 图40-17中，ABCD是正方形，ED=DA=AF=2厘米。求图中阴影部分的面积。（适于六年级程度）解：经割
39、补，把图40-17组合成图40-18。很容易看出，只要从正方形的面积中减去空白扇形的面积，便得到阴影部分的面积。 答：图中阴影部分的面积是2.43平方厘米。（四）平移法在看不出几何图形面积的计算方法时，通过把图形的某一部分向某一方向平行移动一定的距离，使图形重新组合成可以看出计算方法的图形，从而计算出图形面积的解题方法叫做平移法。例1 计算图40-19中阴影部分的周长。（单位：厘米）（适于六年级程度）解：把图40-19中右边正方形中的阴影部分向左平移5厘米，图40-19中的阴影部分便转化为图40-20中的正方形。图40-20中阴影正方形的面积就是图40-19阴影部分的面积。 55=25（平方厘
40、米）答略。*例2 求图40-21中阴影部分的周长。（单位：厘米）（适于三年级程度）解：按图40-22箭头指示，把两条横向的线段向上平移到虚线处，再按图40-23箭头指示把垂直线段的一部分向右平移到虚线处，求图40-21阴影部分的周长便转化为求图40-24的周长和两条竖线长之和的问题了。 （5+4）2+22=92+4=22（厘米）答略。*例3 求图40-25S形水泥弯路面的面积。（单位：米）（适于三年级程度） 解：把图40-25中水泥弯路面左边的甲部分向右平移2米，使S形水泥路面的两条边重合，图40-25便转化为图40-26，S形水泥路面的面积转化为图40-26中的阴影部分的面积。S形水泥路的面
41、积是：302=60（平方米）答略。（五）旋转法将看不出计算方法的图形的一部分以某一点为中心旋转适当角度，使图形重新组合成能看出计算方法的形状，从而计算出图形面积的解题方法叫旋转法。*例1 计算图40-27阴影部分的面积。（单位：分米）（适于六年级程度）图40-27便转化为图40-28。图40-28中梯形的面积就是图40-27中的阴影面积。 答略。例2 图40-29中，小圆的半径是10厘米，中圆的半径是20厘米，大圆的半径是30厘米。求图中阴影部分的面积。（适于六年级程度）解：把图40-29中的小圆向逆时针方向旋转90度，把中环向顺时针方向旋转90度，图40-29便转化为图40-30。很明显，图
42、40-29阴影部分的面积就是整个大圆面积的四分之一。答略。*例3 计算图40-31的阴影面积。（单位：厘米）（适于六年级程度）解：把图40-31右边的半圆以两个半圆的公共点为中心，顺时针方向旋转180度，与左边的半圆组成一个圆（图40-32）。 此时，两个空白的三角形组成一个等腰直角三角形。这个等腰直角三角形的底边等于圆的直径10厘米，高等于圆的半径5厘米，三角形的面积可求，接着也就可以求出图中阴影部分的面积了。答略。（六）扩倍法扩倍法就是把组合图形扩大几倍后，先求扩大倍数后的面积或体积，然后再求原来的面积或体积。*例1 求图40-33的面积。（单位：厘米）（适于三年级程度） 解：此题用分割法
43、计算比较麻烦，而用扩倍法解答就容易多了。如图40-34那样把图40-33扩大为原来的2倍，就会看出图40-33的面积是：（30+40）302=1050（平方厘米）答略。例2 计算图40-35木块的体积。（单位：分米）（适于五年级程度）解：在图40-35的木块上再扣上同形状、同体积的木块，如图40-36。图40-35木块的体积就是图40-36长方体木块体积的一半儿。 310（3+2）2=1502=75（立方分米）答略。（七）缩倍法缩倍法与扩倍法正好相反，它是先将图形的面积缩小若干倍，计算出面积，再把面积扩大为原来那么大。例1 图40-37中，每个小正方形的面积都是2平方厘米，求图中阴影部分的面积。（适于五年级程度）解：将图40-37中小正方形的面积先缩小2倍，则每个小正方形的面积都是1平方厘米，边长都是1厘米。从大长方形面积减去三个空白三角形的面积（即、三个部分的面积），得阴影部分面积。35-332-212-522=15-4.5-1-5=4.5（平方厘米）把4.5平方厘米扩大2倍，得阴影部分的实际面积。4.52=9（平方厘米）答略。例2 图40-38正方形的面积是18平方厘米。求图中阴影部分的面积。（适于六年级程度）解：先将正方形面积缩小2倍，18平方厘米被转化为9平方厘米，则正方形的边长是3厘米。先算出