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1、3.1.2 空 间向量的 数乘运算 12 1.空间向量的数乘运算 (1)定义:实数与空间向量a的乘积a仍然是一个向量,称为向量 的数乘运算. (2)向量a与a的关系 12 (3)空间向量的数乘运算律 若,是实数,a,b是空间向量,则有 分配律:(a+b)=a+b;(+)a=a+a; 结合律:(a)=()a. 名师点拨 对空间向量数乘运算的理解 (1)a是一个向量. (2)a=0=0或a=0. (3)因为a,b可以平移到同一平面内,所以a,b,a+b,a+b都在这 个平面内,因而平面向量的数乘运算律适用于空间向量. 12 12 2.共线向量与共面向量 12 12 名师点拨 共线向量的特点及三点共
2、线的充要条件 (1)共线向量不具有传递性 因为零向量0=0a,所以零向量和空间任一向量a是共线(平行)向 量,这一性质使共线向量不具有传递性,即若ab,bc.则ac不一定成 立.因为当b=0时,a0,0c,但a与c不一定共线. 12 答案：C 12 【做一做3】 对于空间的任意三个向量a,b,2a-b,它们一定是( ) A.共面向量 B.共线向量 C.不共面向量 D.既不共线也不共面的向量 解析：因为2a-b=2a+(-1)b,所以2a-b与a,b共面. 答案：A 12 答案：(1) (2) (3) (4) 探究一探究二探究三思维辨析 空间间向量的数乘运算 【例1】 已知ABCD为正方形,P是
3、ABCD所在平面外的一点,P在 平面ABCD上的射影恰好是正方形ABCD的中心O,Q是CD的中点, 求下列各式中x,y的值. 思路分析先根据题意画出图形,再利用三角形法则或平行四边形 法则表示出指定向量,然后根据对应向量的系数相等,求出x,y即可. 探究一探究二探究三思维辨析 探究一探究二探究三思维辨析 反思感悟 1.对向量进行分解或对向量表达式进行化简时,要准确 运用空间向量加法、减法的运算法则,要熟悉数乘向量运算的几何 意义,同时还要注意将相关向量向选定的向量进行转化. 2.在ABC中,若D为BC边的中点,则 ,这一结论 可视为向量形式的中点公式,应用非常广泛,应熟练掌握. 探究一探究二探
4、究三思维辨析 探究一探究二探究三思维辨析 探究一探究二探究三思维辨析 空间间共线线向量定理及其应应用 探究一探究二探究三思维辨析 探究一探究二探究三思维辨析 反思感悟 利用空间向量共线定理可解决的主要问题. 1.判断两向量是否共线:判断两向量a,b(b0)是否共线,即判断是 否存在实数,使a=b. 2.求解参数:已知两非零向量共线,可求其中参数的值,即利用“若 ab,则a=b(R)”. 3.判断或证明空间中的三点(如P,A,B)是否共线: 探究一探究二探究三思维辨析 探究一探究二探究三思维辨析 探究一探究二探究三思维辨析 空间间共面向量定理及其应应用 探究一探究二探究三思维辨析 探究一探究二探
5、究三思维辨析 反思感悟 证明共面问题的基本方法 (1)证明两个空间向量共面时,可以利用共面向量的充要条件,也 可直接利用共面向量的定义,通过线面平行、直线在平面内等进行 证明. (2)证明空间四点P,M,A,B共面时,可以通过以下几种条件进行证 明. 探究一探究二探究三思维辨析 探究一探究二探究三思维辨析 混淆共面向量与共线向量的相关结论致误 A.A,B,C,D四点共线 B.A,B,C,D四点共面 C.A,B,C,D不一定共面 D.无法确定A,B,C,D四点的位置关系 探究一探究二探究三思维辨析 答案：B 探究一探究二探究三思维辨析 探究一探究二探究三思维辨析 跟踪训练下面关于空间向量的说法正
6、确的是( ) A.若向量a,b平行,则a,b所在的直线平行 B.若向量a,b所在直线是异面直线,则a,b不共面 解析：可以通过平移将空间任意两个向量平移到一个平面内,因 此空间任意两个向量都是共面的,故B,C都不正确.注意向量平行与 直线平行的区别,可知A不正确,可用反证法证明D是正确的. 答案：D 12345 答案：B 12345 2.若x是实数,则“a=xb”是“向量a,b共线”的( ) A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 解析：当a=xb时,向量a,b一定共线,但当b=0时,向量a,b共线,这时 不能表示为a=xb. 答案：A 12345 解析：根据共面向量定理知A,B,C均错,只有D能使其一定共面. 答案：D 12345 12345 12345