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1、第3课时 利用向量 求空间角 123 123 答案：B 123 123 【做一做2】 若直线l的方向向量与平面的法向量的夹角等于 120,则直线l与平面所成的角等于( ) A.120B.60C.150D.30 解析：因为直线l的方向向量与平面的法向量的夹角等于 120,所以它们所在直线的夹角为60,则直线l与平面所成的角 等于90-60=30. 答案：D 123 3.利用向量方法求二面角 (1)若二面角-l-的平面角的大小为,其两个面,的法向量分别 (2)二面角的大小还可以转化为两直线方向向量的夹角.在二面 角-l-的两个半平面,内,各取一条与棱l垂直的直线,则当直线的 方向向量的起点在棱上时
2、,两个方向向量的夹角即为二面角的大 小. 特别提醒 由于二面角的取值范围是0,而两个面的法向量的 方向无法从图形上直观确定,因此不能认为二面角的大小就是其两 个面法向量夹角的大小,需要结合具体图形判断二面角是锐二面角 还是钝二面角,从而求得其大小. 123 答案：C 123 思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“”,错误 的打 “”. (1)两条异面直线所成的角与两直线的方向向量所成的角相等. ( ) (2)直线与平面所成的角等于直线与该平面法向量夹角的余角. ( ) (3)二面角的大小就是该二面角两个面的法向量的夹角. ( ) (4)若二面角两个面的法向量的夹角为120,则
3、该 二面角的大小 等于60或120. ( ) 答案：(1) (2) (3) (4) 探究一探究二探究三思维辨析 利用向量方法求两异面直线线所成角 【例1】 如图所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1底面 ABC,AB=BC=AA1,ABC=90,点E,F分别是棱AB,BB1的中点,试求 直线EF和BC1所成的角. 思路分析建立空间直角坐标系,求出直线EF和BC1的方向向量的 坐标,求它们的夹角即得直线EF和BC1所成的角. 探究一探究二探究三思维辨析 探究一探究二探究三思维辨析 反思感悟 1.利用空间向量求两异面直线所成角的步骤. (1)建立适当的空间直角坐标系. (2)求出两条异面直线
4、的方向向量的坐标. (3)利用向量的夹角公式求出两直线方向向量的夹角. (4)结合异面直线所成角的范围得到两异面直线所成角. 2.求两条异面直线所成的角的两个关注点. (1)余弦值非负:两条异面直线所成角的余弦值一定为非负值,而 对应的方向向量的夹角可能为钝角. 探究一探究二探究三思维辨析 变式训练1如图,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2AB,则异面 直线A1B与AD1所成角的余弦值为 . 探究一探究二探究三思维辨析 利用向量方法求直线线与平面所成角 【例2】 正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为 a,侧棱长为 a, 求AC1与侧面ABB1A1所成的角. 思路分析利用正三
5、棱柱的性质,建立适当的空间直角坐标系,写 出有关点的坐标.求角时有两种思路:一种是由定义找出线面角;另 一种是利用平面ABB1A1的法向量n求解. 探究一探究二探究三思维辨析 探究一探究二探究三思维辨析 探究一探究二探究三思维辨析 探究一探究二探究三思维辨析 反思感悟 1.利用向量方法求直线与平面夹角的两种思路. (1)思路一:根据线面角的定义,若直线PA与平面相交于点 A,PO于点O,则AO即为直线PA在平面内的射影,这时直线与平面 (2)思路二:利用平面的法向量,将直线与平面所成的角转化为其 方向向量与平面法向量所成的锐角的余角进行求解. 以上两种思路中,思路一需要用到线面角的定义,在解题
6、中并不 实用,而思路二则不需要找出要求的角,只需利用法向量求解即可, 因此一般多采用思路二. 探究一探究二探究三思维辨析 探究一探究二探究三思维辨析 变式训练2在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为CC1的中点 ,则直线A1B与平面BDE所成的角为( ) 探究一探究二探究三思维辨析 答案：B 探究一探究二探究三思维辨析 利用向量方法求二面角 【例3】如图,在正方体ABEF-DCEF中,M,N分别为AC,BF的中点 ,求平面MNA与平面MNB所成锐二面角的余弦值. 思路分析有两种思路,一是先根据二面角平面角的定义,在图形 中作出二面角的平面角,然后利用向量方法求出夹角从而得到所成
7、二面角的大小;另一种是直接求出两个面的法向量,通过法向量的 夹角求得二面角的大小. 探究一探究二探究三思维辨析 探究一探究二探究三思维辨析 探究一探究二探究三思维辨析 探究一探究二探究三思维辨析 反思感悟 利用向量方法求二面角的大小时,多采用法向量法,即 求出两个面的法向量,然后通过法向量的夹角来得到二面角的大小 ,但利用这种方法求解时,要注意结合图形观察分析,确定二面角是 锐二面角还是钝二面角,不能将两个法向量的夹角与二面角的大小 完全等同起来. 探究一探究二探究三思维辨析 变式训练3如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中 ,AA1=BC=AB=2,ABBC,求二面角B1-A1C-C1的大小
8、. 探究一探究二探究三思维辨析 探究一探究二探究三思维辨析 探究一探究二探究三思维辨析 对空间角与向量夹角之间的关系理解不清致误 【典例】 在一个二面角的两个面内都和二面角的棱垂直的两个 向量分别为 (0,-1,3),(2,2,4),则这 个二面角的余弦值为 . 易错分析将向量夹角的余弦值等同于二面角的余弦值. 探究一探究二探究三思维辨析 纠错心得在一个二面角的两个面内和二面角的棱都垂直的两个 向量,其方向是不确定的,因此其夹角可能等于该二面角的大小,也 可能等于该二面角的补角. 探究一探究二探究三思维辨析 解析：由异面直线夹角的范围可得l1与l2所成的角为180- 120=60. 答案：60
9、 12345 1.平面的斜线l与它在这个平面上射影l的方向向量分别为 a=(1,0,1),b=(0,1,1),则斜线l与平面所成的角为( ) A.30 B.45C.60D.90 答案：C 12345 A.30 B.60C.120D.150 解析：由已知得直线l和平面法向量所夹锐角为60,因此l与所 成的角为30. 答案：A 12345 3.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G,H分别是 AA1,AB,BB1,B1C1的中点,则异面直线EF与GH所成的角等于( ) A.45 B.60 C.90 D.120 12345 12345 4.在三棱锥P-ABC中,ABBC,AB=BC= PA,点O,D分别是AC,PC 的中点,OP底面ABC,则直线OD与平面PBC所成角的正弦值为 . 12345 12345 5.如图,四棱锥P-ABCD中,PB底面ABCD,CDPD,底面ABCD为直 角梯形,ADBC,ABBC,AB=AD=PB=3.点E在棱PA上,且PE=2EA. 求二面角A-BE-D的余弦值. 12345