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1、n 引例：运载问题有一辆最大货运量为10t的卡车，用来装载三种货物。每种货物的单位重量及相应的单位价值如表所示。问应如何装载才能使总的价值最大？货物编号123单位重量345单位价值456件 数n 问题分析：此问题是一个最优化问题，优化目标是卡车装载的总价值最大；装载当然越多越好，但又受到卡车本身的最大货运量的限制；所以此问题可以归结为如下的线性规划问题：其中xi为整数（i1，2，3）分别表示装载第i种货物的件数。n 线性规划问题的一般形式线性规划模型的结构目标函数 ：max，min约束条件：,=,; n 线性规划问题的标准形式标准形式的矩阵表示法：其中，称为决策向量，称为资源向量，称为价值向量
2、， 为系数矩阵.n 化为规划标准形的方法：1目标函数：2约束方程：加入松弛变量（）或减去剩余变量（）（不会影响目标函数）3决策变量：， 无约束 ，其中。n 优化问题求解可以用MATLAB命令linprog求解：格式为：X=linprog (f,A,b)其中参数含义如下min fx s.t : A*x = bn 案例2：生产计划的制定某工厂在计划期内要安排生产甲、乙两种产品。已知制造甲产品需要A型配件5个，B型配件3个；制造乙产品需要A型配件2个，B型配件4个。而在计划期内该工厂只能提供A型配件180个，B型配件135个。又知道该工厂每生产一件甲产品可获利润20元，一件乙产品可获利润15元。问在
3、计划期内甲、乙产品应该各安排生产多少件，才能使总利润最大? n 求解过程：将该例所述情况列成表格，甲乙现有配件A52180B34135单位产品利润（元）2015如何如何建立数学模型？首先找出关键变量，设分别表示生产甲、乙产品的件数，其次找出目标函数，该工厂每生产件甲产品可获利润元，生产件乙产品可获利润元。若设总利润为Z，则 上式称为目标函数，要使总利润最大，只要在满足给定约束条件的情况下，确定出的值使Z最大。确定约束条件，在该例中生产受配件总数的限制。生产甲、乙两种产品共需要A型配件个，而在计划期内该厂只能提供A型配件180个，从而需B型配件3x1+4x2个，而在计划期内该厂只能提供B型配件1
4、35个，从而同时注意到产品数不能为负数，从而有综上所述，可以归纳为如下数学模型：将上述数学模型化为标准形式有：n 对于该例的Matlab程序为：f=-20,-15;A=5 2;3 4;-1 0;0 -1；b=180 135 0 0；X= linprog (f,A,b)；求得当时为最优，此时总利润为775（元）n 案例2：背包问题有一个徒步旅行者，已知他能承受的旅行背包的重量不超过a（kg）。设有n种物品可供他选择装入背包，这n种物品分别编号为1，2，n。其中第i种物品每件的重量为ai（kg），其使用价值（指一件第i种物品对旅行者来说所带来的好处的一种数量指标）为ci（i1，2，n）。问这位旅行
5、者应如何选择携带这n种物品的件数，使得总价值最大？n 分析：这是一个组合最优化问题，易将此问题归结为一个线性整数规划问题。n 建立线性规划模型设旅行者选择携带第种物品的件数为，不难看出，背包问题可以归结为如下的线性规划问题：n 案例3：高速公路问题(简化)A城和B城之间准备建一条高速公路，B城位于A城正南20公里和正东30公里交汇处，它们之间有东西走向连绵起伏的山脉。公路造价与地形特点有关，图3.1给出了整个地区的大致地貌情况，显示可分为三条沿东西方向的地形带。你的任务是建立一个数学模型，在给定三种地形上每公里的建造费用的情况下，确定最便宜的路线。 A 平原高地高山高地S 平原 B图3.1 高
6、速公路修建地段n 问题分析在建设高速公路时，总是希望建造费用最小。如果要建造的起点、终点在同一地貌中，那么最佳路线则是两点间连接的线段，这样费用则最省。因此本问题是一个典型的最优化问题，以建造费用最小为目标，需要做出的决策则是确定在各个地貌交界处的汇合点。n 模型假设1、 假设在相同地貌中修建高速公路，建造费用与公路长度成正比；2、 假设在相同地貌中修建高速公路在一条直线上。在理论上，可以使得建造费用最少，当然实际中一般达不到。n 变量说明：在第i个汇合点上的横坐标（以左下角为直角坐标原点），i1，2，4；x530（指目的地B点的横坐标）x=x1，x2，x3，x4Tli ：第i段南北方向的长度
7、（i1，2，5）Si：在第i段上地所建公路的长度（i1，2，5）由问题分析可知，C1：平原每公里的造价（单位：万元/公里）C2：高地每公里的造价（单位：万元/公里）C3：高山每公里的造价（单位：万元/公里）n 模型建立在A城与B城之间建造一条高速公路的问题可以转化为下面的非线性规划模型。优化目标是在A城与B城之间建造高速公路的费用。n 将上述数学模型化为标准形式有：n 模型求解这里采用Matlab编程求解。模型求解时，分别取Ci(i=1,2,3)如下。平原每公里的造价C1400万元/公里；高地每公里的造价C2800万元/公里；高山每公里的造价C31200万元/公里。n Matlab求解有约束规
8、划函数n 求解模型的程序（1）求解主程序 modelfunction x=mode %数学建模-高速公路clear allglobal C LC=400 800 1200;L=4 4 4 4 4;x=fmincon(objfun,1,1,1,1,zeros(1,4),ones(1,4)*30,mycon);optans=objfun(x)C=ones(3,1);len = objfun(x)x（2）模型中描述目标函数的Matlab程序objfun.mfunction obj=objfun(x)global C Lobj=C(1)*sqrt(L(1)2+x(1)2) + C(2)*sqrt(L(
9、2)2+(x(2)-x(1)2) + C(3)*sqrt(L(3)2+(x(3)-x(2)2) + C(2)*sqrt(L(4)2+(x(4)-x(3)2)+C(1)*sqrt(L(5)2+(30-x(4)2);（3）模型中描述约束条件的Matlab函数mycon.mfunction c,ceq=mycon(x)c(1)=x(1)-x(2);c(2)=x(2)-x(3);c(3)=x(3)-x(4);c(4)=x(4)-30;ceq=;输入主程序model.m，运行结果如下：modeloptans = 2.2584e+004len = 38.9350ans = 12.1731 14.3323 15.6677 17.8269注：实际建模时须查找资料来确定参数或者题目给定有数据.n 模型结果及分析通过求解可知，为了使得建造费用最小。建造地点的选择宜采取下列结果。x1=12.1731，x2=14.3233，x3=15.6677，x4=17.8269建造总费用为2.2584亿元;总长度为38.9350公里。33