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1、摘要摘要在机械行业，逆向工程(Reverse Engineering)是在没有设计图纸或者设计图纸不完整以及没有CAD模型的情况下，按照现有零件的模型(产品原型或油泥模型)，利用各种数字化技术及CAD技术重新构造CAD模型而复制或创造实物产品的过程。在与制造业密切相关的航空航天、汽车、造船及模具等工业领域，未来追求对产品功能和外形等方面的日益严格的要求，这使得自由曲面零件在现代工业中得到了越来越广泛的应用。论文首先分析了逆向工程关键技术，自由曲面测量规划，测点数据的处理等。三坐标曲面测量是以自由曲面为研究对象，以获取自由曲面精确数据信息模型为目标。曲面自适应采样是基于CAD模型驱动的数控测量系
2、统所要解决的首要问题。在截面线法测量的基础上，对阶梯式跟踪法、直线式跟踪法、仿形式跟踪法和圆弧外延点位控制测头自动跟踪曲面进行分析比较。针对实际生产中大量的数学模型未知的曲面，在现有数学模型未知曲面自动跟踪测量预测算法的基础上，首次提出了基于时间序列的曲面自适应采样方法，并通过仿真验证了方法可行。针对工程实际中大多应用B样条曲面，论文第四章分析了测量点的分布对曲线曲面的拟合精度的影响。得出按等弦高准则进行数字化所得到的拟合误差均匀，并且给出了采点数与拟合精度之间关系的方法。最后对本文的研究内容和主要工作进行了总结。关键词反求工程；数字化；自由曲面；自由曲线；自适应；AbstractIn mec
3、hanical engineering, Reverse engineering means the process of using all kinds of digitizing and CAD technology, according to the existing models(product prototype or grease models), to reconstruct CAD models, or duplicate and create products without CAD models and design drawings, or the design draw
4、ing is fragmented. Especially in the aeronautical, automotive, shipbuilding, die and mould, and aerospace manufacturing industries that frequently encounter complex surfaces, since shorter lead time has become a competitive advantage. To satisfy the tremendous need for product shape design and funct
5、ional modification, reverse engineering has played an important role in recent years.In the first part of this dissertation, the key technology of reverse engineering such as measuring planning for freeform surfaces and measured data processing is analyzed. Freeform surfaces are the main research ob
6、jects of three-coordinate surface measuring technology, which aims at obtaining the precise data information model of freeform surfaces. The adaptive measuring for freeform surfaces is the primary issue in numerical control system based on CAD driving models. Using the cross-section curves measuring
7、, several adaptive digitizing approaches including ladder tracing, line tracing, profile tracing techniques and arc length extrapolation are analyzed and compared. Later, an adaptive measuring method for freeform surfaces based on time series is firstly proposed, the methodology was tested and verif
8、ied by computer simulation.As B-spline surfaces are widely used in engineering, the effect of the distribution of measuring points on fitting accuracy was analyzed using B-spline curves(surfaces) in chapter 4. We also got a conclusion that the fitting accuracy was near to uniform based on the princi
9、ple of equal chord height,later,the relation between fitting accuracy and the number of measure points was promoted.Finally, the research contents and conclusions of this dissertation were summarized.Keywords reverse engineering; digitize; freeform surface; freeform curve; adaptive;不要删除行尾的分节符，此行不会被打
10、印45- -目录目录摘要IAbstractII第1章 绪论11.1 本课题的背景11.1.1 反求工程概述11.1.2 自由曲线曲面数字化与反求工程31.2 自由曲面测量技术的现状41.2.1 数字化方法分类41.2.2 自由曲面的数字化算法研究概况71.3 本论文研究的主要内容8第2章 数学模型已知的数字化方法研究92.1 引言92.2 数学模型已知的数字化92.3 按给定精度确定曲面采样点112.4 本章小结12第3章 数学模型未知的数字化方法研究133.1 未知自由曲面测量规划方法133.1.1 截面线法133.1.2 测头的运动方式143.1.3 测头自动跟踪方法143.2 步长搜索终
11、止准则183.3 基于时间序列分析的测点自适应数字化203.3.1 基本概念203.3.2 自回归模型阶数的确定213.3.3 自由曲线的自适应数字化223.3.4 自由曲面自适应数字化233.4 圆弧外延法与时间序列预测法比较273.5 本章小结28第4章 自由曲线曲面数字化算法评定294.1 自由曲线曲面的数学基础294.1.1 均匀B样条曲线294.1.2 非均匀B样条曲线304.1.3 B样条曲面304.2 拟合精度的确定314.3 测点拟合准确度的比较314.3.1 无噪声输入的情形324.3.2 有噪声输入的情形334.4 拟合精度确定采样点344.4.1 拟合精度与采样点数的关系
12、344.4.2 实验分析354.5 本章小结35哈尔滨工业大学硕士学位论文原创性声明37结论38参考文献39附录43攻读学位期间发表的学术论文44致谢45千万不要删除行尾的分节符，此行不会被打印。在目录上点右键“更新域”，然后“更新整个目录”。打印前，不要忘记把上面“Abstract”这一行后加一空行第4章 自由曲线曲面数字化算法评定第1章 绪论1.1 本课题的背景1.1.1 反求工程概述反求工程技术是先进制造技术中信息传递的重要捷径。反求工程最初起源于航空航天和汽车工业。因为这两个领域对空气动力学性能要求很高，在产品开发的初始阶段就要认真考虑空气动力性能。常规的设计流程首先根据造型需要设计出
13、实物模型，经过反复修改直到获得满意结果为止。这样再从符合我们需要的模型得到CAD模型就需要反求工程技术。反求工程是从实物模型或产品的样件，经过对产品的表面数据采集，得到产品的三维数据，然后对这些数据进行处理，重建出产品的CAD模型。非接触曲面数字化系统得到的是大规模密集散乱数据点，数据点之间通常没有相应的显式拓扑关系，常被形象地称为“数据云”。根据数字化设备所采用的机械驱动装置和数据采集原理的不同，采集到的数据分布有完全散乱和呈一定规则分布两种类型。完全散乱数据是指数据没有任何规律、随意地分布;呈一定规则分布的数据是指其测量过程是按照一定的路径测量的，测量点之间的相邻信息也是显然的，如按照轮廓
14、或层面进行测量将得到一系列扫描线，每条扫描线包含一系列的点。因此逆向工程是将实物模型转变为CAD模型相关的数字化技术、数据预处理技术、几何模型重建技术及CNC加工技术的总称，一般分成四步:数据获取;数据预处理(滤波，除噪，压缩等)和误差修正;数据分割和散乱数据拓扑关系建立;曲面重建和CAD模型生成或直接生成CNC加工路径。而数据预处理技术、几何模型重建技术及CNC加工技术可总称为数据处理技术。逆向工程的过程可以分为:数据获取，测量数据的预处理，多个数据点云的融合，通过形成三角网格建立物体的拓扑结构，简化网格，点云数据的分割，拟合曲面，建立B-rep模型，曲面拼接形成最终的CAD模型。最关键的一
15、步是点云数据的分割:需要将数据点集按照它们的基本几何特征和功能特征分割。反求工程的应用非常广泛。不管是在航空航天、汽车、模具制造业，还是在工业设计、医学、电子商务等领域都有重要的应用价值。概括起来，主要有：5,8-14 (1)航天航空领域和汽车工业，当要设计需要通过实验测试才能定型的工件模型时，通常采用逆向工程的方法。这类零件一般具有复杂的自由曲面外型，如何将最终模型的外形精确地输入计算机建立数学模型，即逆向工程问题。(2)外形设计人员一般难以直接通过计算机进行复杂物体(如复杂曲面外形产品、人体和其他动植物外形等)的三维几何设计，而更倾向于用豁土、木质材料或泡沫塑料进行初始外形设计。这就需要通
16、过反求工程将实物模型转化为三维CAD模型。(3)由于工艺、美观、使用效果等方面的原因，人们经常要对已有的构件做局部修改。在原始设计没有三维CAD模型的情况下，若能将实物零件通过数据测量与处理产生与实际相符的CAD模型，对CAD模型进行修改以后再进行加工，将显著提高生产效率。因此，反求工程在改型设计方面可以发挥不可替代的作用。(4)以现有产品为基础进行产品的创新设计己经成为新产品设计的一种理论或理念。利用反求工程技术建立现有产品的CAD模型，同时利用先进的CAD/CAE/CAM技术进行再创新设计，提高新产品研发速度。(5)某些大型设备，如航空发动机、汽轮机组等，常会因为某一零部件的损坏而停止运行
17、，通过反求工程手段，可以快速生产这些零部件的替代零件，从而提高设备的利用率和使用寿命。(6)借助于工业CT技术，反求工程不仅可以产生物体的外部形状，而且可以快速发现、度量、定位物体的内部缺陷，从而成为工业产品无损探伤的重要手段。(7)利用反求工程手段，可以方便地产生基于模型的计算机视觉。(8)通过实物模型产生其CAD模型，可以使产品设计充分利用CAD技术的优势，并适应智能化、集成化的产品设计制造过程中的信息交换。(9)一些特殊领域的应用，如艺术品、考古文物的复制，医学领域中人体骨骼、关节等的复制、假肢制造，特种服装、头盔的制造时需要首先建立人体的几何模型等，这些情况下都必须从实物模型出发得到C
18、AD模型。(10)在数字化模型检测方面，对加工后的零件通过逆向工程重构出几何模型，使产生的模型与初始的几何模型在计算机上进行数据比较，可以提高检测精度。(11) 在激光内雕行业，可以直接从手工设计艺术模型进行数字化后，对数字化点进行修改处理后输入到激光输入通道进行内雕。一般来说，产品逆向工程包括形状反求、工艺反求和材料反求等几个方面，在工业领域的实际应用中，主要包括以下几个内容:新零件的设计，主要用于产品的改型或仿型设计。已有零件的复制，再现原产品的设计意图。损坏或磨损零件的还原。数字化模型的检测，例如检验产品的变形分析、焊接质量等，以及进行模型的比较。逆向工程技术为快速设计和制造提供了很好的
19、技术支持，它己经成为制造业信息传递的重要而简洁途径之一15。这一研究具有广阔的应用前景，尤其是对于提高我国航空、航天、汽车、摩托车和模具工业产品的快速CAD设计与制造水平，增强产品设计与制造中的高新技术含量，提高产品的市场竞争能力，具有重要的实际意义和经济价值。可见，反求工程技术具有广阔的应用领域，尤其是随着快速原型(RP，Rapid Prototyping)技术在制造业中推广和应用，作为RP技术的前端数据处理方法，RE/RP的结合己成为产品创新设计与制造的重要技术手段16-19，尤其是对于提高我国航空、航天、汽车、摩托车、模具工业产品的快速CAD设计与制造水平，加快产品开发速度，提高产品市场
20、竞争能力，具有重要的实际意义和经济价值。1.1.2 自由曲线曲面数字化与反求工程在工业领域，传统的产品开发过程采用正向设计的思维进行，即从市场需求中抽象出产品的概念描述，据此建立产品的CAD模型，然后对其进行数控编程和数控加工，最后得到产品的实物原型。概括地说，正向设计工程是由概念到CAD模型，再到实物模型的开发过程。但在很多场合，产品开发是从已有的实物模型着手，如产品的泥塑、木模样件，或者缺少CAD模型的产品零件等，从这些模型获取三维信息的过程即为数字化处理过程。数字化过程是反求工程的第一步。Tamas Varady在反求工程综述文献5中，将反求工程分为数据测量(数字化)、数据预处理、数据分
21、块与曲面重构、CAD 模型构造等四个基本步骤，其流程如图1-1所示。数据测量数据预处理数据分块与曲面重构CAD 模型构造图1-1 数字化在反求工程中的位置Fig.1-1 Digitizing process in reverse engineering获取的模型三维数字化信息，经过去噪、数据分块、数据压缩、数据平滑等数据处理过程，最后进行曲面重构，构造实物的CAD模型，再从CAD模型生成NC代码进行实体加工成为产品，整个过程称为反求工程(RE, Reverse Engineering)，亦称逆向工程。它是相对于传统正向工程而言的。广义的反求工程主要包括实物反求、软件反求、影像反求、工艺反求和材
22、料反求等诸多方面，是一个复杂的系统工程1,2。但通常所说的反求只局限于实物反求，即对已存在的实物模型，经过测量建模修改来设计新产品的过程。目前，大多数有关“反求工程”问题的研究都集中在几何形状、即重建产品实物的CAD模型方面3-7。本课题所讨论的反求均指实物反求。1.2 自由曲面测量技术的现状1.2.1 数字化方法分类目前可应用于自由曲面测量的方法和设备有许多种，这些测量方法和设备中，有的在自由曲面反求技术出现之前就已在工业界得到广泛应用，如CMM, CT, MRI等，有些则是为了解决自由曲面测量而专门开发的方法和设备，在现有自由曲面测量的测量仪器中，其原理和方法不同，因而各具优缺点，尤其值得
23、一提的是每种方法都有其侧重的工程应用领域和背景，为此本文对这些方法加以分析。数据获取技术即3D数字化技术，是将实物模型包含的表面几何信息精确地转换成CAD/CAM系统能够接受的数字信息，数字化技术包括数字化设备和高效、准确的数字化策略两个方面。数字化方法有很多种，主要有：a. 三坐标侧量机21三坐标测量机可以配备触发式测量头和连续扫描式测量头，对被测件进行单点测量和扫描测量。三坐标测量机具有测量精度高的优点，但其测量速度和效率较低，不能对松软物体进行测量，而且需要对测量数据进行测头半径补偿。然而由于三坐标测量机能够对被测件的几何量进行精密测量，它在反求工程中仍然有较广应用。目前，通过在三坐标测
24、量机上配备激光扫描测头，实现坐标测量机的非接触式测量，大大地提高了三坐标测量机的应用范围。b. 激光扫描测量法22-23激光扫描测量法，又称光切法，是一种基于线结构光和三角测量原理的非接触式测量方法。该方法沿着扫描方向顺序采集测量数据，在测量时不与被测件发生接触，因而可以对松软物体进行测量，而且测量速度快，测量数据无需进行测头半径补偿。这些优势使激光扫描测量法在反求工程中占据了重要位置。c. 投影光栅法投影光栅法也是一种基于线结构光和三角测量原理的非接触式测量方法，与激光扫描测量法不同的是，投影光栅法通过图像处理的方法，一次得到整幅图像上像素的三维坐标。该方法测量速度快，无需运动平台，具备大规
25、模采集表面数据的能力，在飞机、汽车等大型复杂曲面零件的表面测量中具有广阔的应用前景。d. 层切法24-25层切法采用铣削的方法将被测件一层一层地剥离，然后在每层上用CCD摄像头摄取断层图像，并提取边界轮廓。该方法最大的优势是能够获得被测件内表面数据，不足之处在于被测件在测量过程中被破坏。e. 工业计算机断层扫描成像法26工业计算机断层扫描成像法。又称工业CT法，利用CT扫描设备对被测件进行层析扫描，获取被测件在各个切片层上的内外轮廓数据。该方法同样能够获得被测件内表面数据，而且不破坏被测件，但目前测量精度还比较低。总体上，这些数字化方法可分为接触式和非接触两种50，见图1-2。接触式测量有点位
26、触发式和连续扫描式两种。非接触包括超声波法、电磁法和光学法。光学测量法应用最广，按原理可分为三角形法、测距法、干涉测量法、线结构光法和CCD图象分析法。非接触中最常用的是光学测量法52-53。触发式接触测头测量精度高但测量速度慢，一般只适用于零件的表面形状检测，或需要数量较少的表面数字化的场合；装有连续扫描测头的连续式数字化方法是最适合于生产车间环境的数字化方法，而且能保证较短的扫描时间和最佳的测量精度，但易损伤被测表面，而且不能对软质材料和超薄物体进行测量，但对复杂曲面的精细部分或接触测头不可及的地方测量不到52。 总之，接触式方法对物体表面的颜色和光照没有要求，物体边界的测量相当精确，测量
27、精度高，但缺点是测量速度满，效率低；不能对软质材料和超薄物体进行测量，对细微部分测量精度也受到影响，应用范围受到限制；需要人工干预，不能实现全自动测量；由于测量的半径而存在三维补偿问题。而且接触测头获取的只是特征点，不能反映整个零件的形状，特别是对自由曲面形状的物体，需要大量的数据点。数字化技术接触式非接触式触发式连续扫描式超声波法电磁法光学法三角形法干涉测量法测距法线结构光法CCD图象分析法图1-2 数字化方法分类Fig.1-2 Classification of digitizing methods非接触式测量速度快，可实现细微部分扫描，但相对于接触式，它的精度较低。在国内应用情况看，逆向
28、工程中数据的获取手段主要依靠接触式，但由于对速度和效率的需求日益突出，加上非接触式测量通过何理改变传感器的设计结构可以克服接触式测量方法的缺陷，所以非接触式应用非常迅速。线结构光法和CCD图象分析法的非接触式测量方法的测量效率高，不易损伤测头，不存在测量力，适合测量软体表面，但测量精度低，测点散乱，增加了对测量结果进行建模的难度52。激光扫描测量可以在短时间内获取大量的数据点，输入到CAD系统与其相结合，可以快速获取曲面的信息点。而且激光束与被测量表面垂直时，其测量精度可超过接触测头的测量精度。1.2.2 自由曲面的数字化算法研究概况逆向工程技术包括两个关键技术:数据获取技术，即对实物模型的数
29、字化；和数据处理技术。数字化技术的核心问题是规划测量路径，减少人工干涉，自动测量获取自由曲面的几何形状数据点。尽管激光扫描设备近几年得到了广泛应用，但只有有限的研究与对未知自由曲面的数字化有关。理论上的研究大连理工大学卢杰持的工作比较早，但是针对点接触测头的。卢杰持对CAD模型未知的曲面的跟踪提出了两种算法。一种是递增速度旋转算法，即由中断控制测头的状态，在跟踪过程中以恒定角增量旋转速度矢量；一种是曲面切线估算法，即估算接触点处的切向量，反馈给测头定位伺服系统产生自动跟踪命令。第一种算法，跟踪过程中不需要知道测头的坐标位置和坐标位置的反馈信息，但跟踪过程可能出现不连续而且测量机容易产生摆动:第
30、二种算法，跟踪过程连续而且不易出现摆动，但跟踪过程中需要位置坐标的反馈信息和控制系统微处理器进行更多的实时计算，但因为待测实物的测量点也需要位置坐标信息，因此这里不认为是一个很重要的缺点。应用激光扫描测头获取数据即数字化时，需要确定扫描方向、零件定位、扫描路径和校准方法等参数20,47。为了实现测量点沿测量进给方向的自适应布置，需要对测量点沿测量进给方向的进给步距进行规划。对最常采用的决曲跟踪式扫描方式，还需要实时地对测头在Z向的位置进行调整。因此测量规划方法是数字化技术的关键，其主体指导思想是数字化规划能反映曲面的几何信息，保证数字化精度的情况下尽量减少数据点。数据点根据曲面的曲率分布，曲率
31、大的地方数据点密集，曲率小的地方数据点相应减少。华中理工大学的王平江37提出基于速度圆矢量分解算法并运用最小二乘法测点预测算法实现未知曲面的等速度测量。该方法在待测曲面光滑连续时可得到较好的跟踪测量效果，但如果待测曲面变化剧烈，将得到较差的预测结果，致使跟踪效果差，严重者将导致系统振荡，跟踪失败。Smith K. B.和Zheng Y F.39引入曲率有界的数字化平面曲线概念，采用等曲率外推方法实现数字化曲线的外推。由平面曲线的局部有界性确定最不利的外推情况，依据传感器的工作范围、入射角、采样弧长误差和最小曲率半径确定采样步长。该方法没有考虑到曲面倾斜的影响。来新民46在此方法的基础上，建立采
32、样步长、曲面切线倾角、采样过程中基本参数(测头参考距离与被测曲面距离的偏移值和采样弧长与采样步长的差值)之间的关系，从而提出步长自适应采样规划方法，弥补等间距扫描的不足。M Chang和P P Lin47提出模糊逻辑控制方法随被测曲面的曲率变化采集表面信息，其优点是可以根据曲面曲率的变化自动改变数字化点的间隔，特别是对于曲率变化剧烈的曲面可以保证测量的连续性和稳定性。王恒奎48也根据模糊控制原理提出模糊控制的测点预测方法，并做了仿真实验。李剑45提出曲面零件的多模分段自适应测量规划方法实现对测头的自适应调整和测点的自适应布置。C K Song和S W Kiml49采用类似于程序设计中的“自顶向
33、下，逐步求精”的方法进行测点规划，首先对待测曲面进行等间距均匀粗测，根据测量结果是否满足精度要求来决定是否作进一步的“求精”测量，具体地，对获得的均匀分布的初始测点数据利用最小角最大原则进行三角划分，再对每一个三角形判断其重心的Z坐标与该位置实际的Z坐标的差值是否在指定的误差范围内，不在则对该三角形进行细测和更深一层的三角划分，若在则搜索下一三角形，重复上述过程直至所有的三角形都达到指定的精度要求。该方法虽然充分利用了待测曲面的几何特性，但对测点的处理比较繁琐，很难实现实时测量。1.3 本论文研究的主要内容论文的主要研究内容为：第一章 介绍课题研究的背景，综述国内外有关自由曲面数字化方法、测量
34、规划、测点数据处理、曲面重建及商用反求软件分析比较和自由曲面的测量、重建和数控加工一体化技术的相关研究概况，分析该领域目前存在的问题，确定本论文主要研究内容。第二章 介绍目前已知曲面数字化方法，并且引入等弦高准则对已知曲面进行了离散化。第三章 截面线法测量的基础上，对阶梯式跟踪法、直线式跟踪法、仿形式跟踪法和圆弧外延点位控制测头自动跟踪曲面进行分析。针对实际生产中大量的数学模型未知的曲面，在现有数学模型未知曲面自动跟踪测量预测算法的基础上，首次提出了基于时间序列的曲面自适应采样方法，并通过仿真验证了方法可行。最后比较了圆弧外延法与时间序列预测法的优缺点。第四章 分析了测量点的分布对曲线曲面的拟
35、合精度的影响。得出采用等角度准则所得到的拟合误差均匀，并且给出了采点数与拟合精度之间关系的方法。最后对本文的研究内容和主要工作进行了总结。第2章 数学模型已知的数字化方法研究2.1 引言自由曲线曲面数字化是指采用先进测量设备,获取实物模型表面若干组点的几何坐标值的过程。自由曲线曲面的测量是反求工程中的关键技术之一。对自由曲线曲面的测量过程是一个数字化过程。机械制造业中涉及到大量的自由曲面的设计制造与检测，如汽车车身覆盖件、齿面、汽轮机叶片、飞机机翼等，而这些问题都直接关系到自由曲面的数字化，即用一系列离散的采样点提取曲面原始形状信息。曲面数字化可分为两类，一是数学模型已知曲面的数字化, 如自由
36、曲面检测；二是数学模型未知曲面的数字化，如自由曲面零件开发设计或零件复制。对于数学模型已知的数字化，目前研究相对较成熟。2.2 数学模型已知的数字化“曲面曲线点集测点集”的分解是实现曲面数字化的基本思想。等间距扫描采样是简单易行的采样路径规划方法。针对曲面数学模型已知的曲面，Pahk等34初步探讨了模具型面检测随曲率变化的布点方法；Koster35提出了曲面的法线沿参数线以常速变化的布点准则；Li36实现了参数域上依据曲率测度的采样网格规划，并对理论曲面p(u,v)=(u,v,0.35(sin(2u)+sin(2v),u,v0,1 进行了测点自适应规划，并给出了仿真过程和结果，如图所示。基本原
37、理是质点系平衡定理，这种方法是建立在矩形域上的，不适用于更具几何不变性的物理域上的规划，且需要事先给定采点数目，不能在给定采样精度下自适应地选取最少的采样点。对于数学模型已知的数字化，目前采用的方法是基于形状特征的采样规划36。其原理如下：考察如图2-1所示的质点系。若质点m1 和m3 分别位于x轴上x1 和x3 处, 则质点系的质心在x 轴上的位置为：x2=(m1x1+m 3x3)/(m1+m 3)(2-1)上式可进一步写成：(2-2)显然, 当m1m3 时，x2应接近于质点m1。该原理可以应用于自由曲面数字化网格的自适应产生。自由曲面可表示为如下参数形式p(u,v)=(x(u,v)，y(u
38、,v)，z(u,v) (2-3)式中u,v为曲面的参数。若曲面用M个采样点离散,则在物理域上采样点的集合D=1, 2, ,M ,参数域上采样点集合C=ci|iD。式中,ci=(ui,vi)T。若Ni 为第i个采样点的邻域集合,则所有邻域集合的集合N为N =Ni|iD。式中iNi，且若iNj , 则jNi。Ni 可以定义为网格的四邻域或八邻域, 也允许采用非均匀的邻域形式。令r(c)为反映曲面局部曲率的形状函数, r(c)0,若将形状函数r(c)看成质点的质量, 并将式(2-2)推广为(2-4)即 i D(2-5)上式确定了与形状函数相适应的采样集合C。显然，在形状函数r(c)较大的地方，曲面越
39、弯曲，所需采样点也就越多。(1)算法原理根据微分几何，对曲面方程(2-3)求偏导：pu=,pv=, puu=, puv=, pvv=曲面p(u,v)的第一基本形式为：1 = dp2 = Edu2 + 2Fdudv + Gdv2 (2-6)其中E=pu2, F= pupv ,G=pv2 。曲面p(u,v) 的第二基本形式为：2=p”nds2 = Ldu2 + 2Mdudv + Ndv2(2-7)其中p”= d2p/ds2, L= puun, M= puvn, N= pvvn 。点p 沿p方向法曲率kn 的绝对值为:kn=2/1=k1cos2+k2sin2(2-8)令k(u,v)=, 形状函数r(c)取为r(c)= r(u,v)=q+(2-9)其中q0,q的大小影响到曲面上离散点间形状函数r(c)的比值。由式(2-5)得:ci=(2-10)式(2-10)可以通过迭代求解ci:cit+1=(2-11)其中= r(cjt)/迭代求解过程中, 收敛准则取为| ct+1- ct|5V时表示测头超出了测量系统的线性测图3-2 测头读数与机床示值的关系Fig.3-2 The relation between the meas