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1、立体几何中的向量方法 专题讲座共五讲20121223第一讲平行与垂直方法总结1位置关系：（1）两条异面直线相互垂直 证明方法：证明两条异面直线所成角为90；证明两条异面直线的方向量相互垂直。（2）直线和平面相互平行证明方法：证明直线和这个平面内的一条直线相互平行；证明这条直线的方向向量和这个平面内的一个向量相互平行；证明这条直线的方向向量和这个平面的法向量相互垂直。（3）直线和平面垂直证明方法：证明直线和平面内两条相交直线都垂直，证明直线的方向量与这个平面内不共线的两个向量都垂直；证明直线的方向量与这个平面的法向量相互平行。（4）平面和平面相互垂直证明方法：证明这两个平面所成二面角的平面角为9
2、0；证明一个平面内的一条直线垂直于另外一个平面；证明两个平面的法向量相互垂直。 考点1.利用空间向量证明空间垂直问题利用空间向量证明空间线线、线面、面面垂直问题是高考考查的重点内容，考查形式灵活多样，常与探索性问题、平行问题、空间角问题结合，考查形式可以是小题，也可以是解答题的一部分，或解答题的某个环节，题目容易，是高考中的重要得分点.例1(2010辽宁理19）已知三棱锥PABC中，PA面ABC，ABAC，PA=AC=，N为AB上一点，AB=4AN,M,S分别为PB,BC的中点.证明：CMSN；审题要津：本题空间坐标系易建立，可用坐标法.证明：设PA=1，以A为原点，射线AB，AC，AP分别为
3、x，y，z轴正向建立空间直角坐标系如图，则P（0,0,1），C（0,1,0），B（2,0,0），M（1,0,），N（,0,0），S（1,0）,因为， 所以CMSN . 【点评】对坐标系易建立的空间线线垂直判定（证明）问题，常用向量法，即通过证明所证直线的方向向量的数量积为0证明两直线垂直.例2(2010天津理19) 在长方体中，、分别是棱,上的点，=, = .证明平面审题要津：本题空间坐标系易建立，可用坐标法.解析：如图所示，建立空间直角坐标系，点A为坐标原点，设,依题意得, ,已知,于是=0，=0.因此，,又所以平面 【点评】对坐标系易建立的空间线面垂直问题，通常用向量法，先求出平面的法向量
4、和直线的方向向量，证明平面法向量与直线的方向向量平行或者直接用向量法证明直线与平面内两条相交直线垂直，再用线面垂直判定定理即可.例3 （2010年山东文）在如图所示的几何体中，四边形是正方形，平面，、分别为、的中点，且.求证：平面平面.审题要津：本题空间坐标系易建立，可用坐标法.解析：以A为原点，向量,分别为轴、轴、轴的正方向，如图建立坐标系，设AM=1，则AD=AB=PD=2,则B(0,2,0),C(2,2,0),D(2,0,0),P(2,0,2), M(0,0,1),则E(0,1,),G(1,1,1),F(2,1,1)，=(-1,0,),=(1,0,0),设平面EFG的法向量=（，），则=
5、0且=0，取=1，则=0，=（0，1,0）,易证面PDC的法向量为=(2,0,0), =0, 平面平面【点评】对于易建立空间坐标系的面面垂直问题，常向量法，即先建立坐标系，求出两个平面的法向量，通过证明这两个平面的法向量垂直，即得面面垂直.考点2.利用空间向量处理空间平行关系空间线线、线面、面面平行关系问题是高考考查的另一个重点内容，考查的形式灵活多样，常与探索性问题、垂直问题、空间角问题结合，可以是小题，也可以是解答题的一个小题，题目的难度一般不大，是高考中的得分点之一.证直线和平面平行定理：已知直线平面，且C、D、E三点不共线，则a的充要条件是存在有序实数对使.（常设求解若存在即证毕，若不
6、存在，则直线AB与平面相交）.例1（2010 湖南理18）在正方体，E是棱的中点。在棱上是否存在一点F，使平面?证明你的结论。审题要津：本题坐标系易建立，可用向量法求解.解析：以A为坐标原点，如图建立坐标系，设正方形的棱长为2，则B(2,0,0),E(0,2,1),(0,0,2),(2,0,2)，=(2,2,1),=（2，0，2），设面的法向量为=（，），则=0且=0，取=1，则=1，=，=（1，1）,假设在棱上存在一点F，使平面，设F(，2，2)（02）,则=（，2，2）， 则=0， 解得=1， 当F为中点时，平面.【点评】对于易建立坐标系的线面平行问题的向量解法，有两种思路：（1）用共面向
7、量定理，证明直线的方向向量能用平面内两条相交直线的方向向量表示出来，即这三个向量共线，根据共面向量概念和直线在平面外，可得线面平行；（2）求出平面法向量，然后证明法向量与直线的方向向量垂直即可.对于探索性问题，通常先假设成立，设出相关点的坐标，利用相关知识，列出关于坐标的方程，若方程有解，则存在，否则不存在.注意，（1）设点的坐标时，利用点在某线段上，设出点分线段所成的比，用比表示坐标可以减少未知量，简化计算;(2)注意点的坐标的范围.例2在三棱柱中，侧棱垂直于底面，在底面ABC中=,D是BC上一点，且面，为的中点，求证：面面.审题要津：本题的坐标系容易建立，可用向量法.解析：以B点为原点，如
8、图建立坐标系，设AB=，BC=，=，则A（,0,0），(0，)，(0,0, )，(，0，)， (0，)，设D(0，0)（0），=(，0)，=(，)，=(，0，)，=（0，），设面的法向量为=(，)，则=0且=0，取=，则=，=，则=（，）， 又面，=0，解得=， =（，），设面的法向量为=(,),则=0且=0，取=1，则=，=，则=(，1)，=， ， 面面.【点评】对面面平行问题的向量方解法有两种思路，（1）利用向量证明一个面内两条相交直线分别与另一个平面平行，根据面面判定定理即得；（2）求出两个平面的法向量，证明这两个法向量平行，则这两个面就平行. 专题训练一 证明空间线面平行与垂直1. 如
9、图, 在直三棱柱ABCA1B1C1中，AC3，BC4，AA14，点D是AB的中点， （I）求证：ACBC1； （II）求证：AC 1/平面CDB1；解析：（1）证明线线垂直方法有两类：一是通过三垂线定理或逆定理证明，二是通过线面垂直来证明线线垂直；（2）证明线面平行也有两类：一是通过线线平行得到线面平行，二是通过面面平行得到线面平行.答案:解法一：（I）直三棱柱ABCA1B1C1，底面三边长AC=3，BC=4AB=5， ACBC，且BC1在平面ABC内的射影为BC， ACBC1；（II）设CB1与C1B的交点为E，连结DE， D是AB的中点，E是BC1的中点，ABCA1B1C1Exyz DE/
10、AC1， DE平面CDB1，AC1平面CDB1， AC1/平面CDB1；解法二：直三棱柱ABCA1B1C1底面三边长AC3，BC4，AB5，AC、BC、C1C两两垂直，如图，以C为坐标原点，直线CA、CB、C1C分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则C（0,0，0），A（3,0，0），C1（0,0，4），B（0,4，0），B1（0,4，4），D（，2,0）（1）（3,0，0），（0，4,0），0，ACBC1.（2）设CB1与C1B的交战为E，则E（0,2，2）.（，0,2），（3,0，4），DEAC1.点评：转化转化2平行问题的转化：面面平行线面平行线线平行；主要依据是有关的定义及判定
11、定理和性质定理2. （two）如图所示，四棱锥PABCD中，ABAD，CDAD，PA底面ABCD，PA=AD=CD=2AB=2，M为PC的中点。(1)求证：BM平面PAD；(2)在侧面PAD内找一点N，使MN平面PBD；(3)求直线PC与平面PBD所成角的正弦。解析：本小题考查直线与平面平行，直线与平面垂直，二面角等基础知识，考查空间想象能力和推理论证能力.答案：（1）是的中点，取PD的中点，则，又四边形为平行四边形，（4分） （2）以为原点，以、 所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如图，则，在平面内设， 由 由 是的中点，此时（8分） （3）设直线与平面所成的角为，设为 故直线与平面所
12、成角的正弦为（12分）解法二： （1）是的中点，取PD的中点，则，又四边形为平行四边形，（4分） （2）由（1）知为平行四边形，又 同理， 为矩形 ，又 作故交于，在矩形内， 为的中点当点为的中点时，（8分） （3）由（2）知为点到平面的距离，为直线与平面所成的角，设为，直线与平面所成的角的正弦值为点评：（1）证明线面平行只需证明直线与平面内一条直线平行即可；（2）求斜线与平面所成的角只需在斜线上找一点作已知平面的垂线，斜线和射影所成的角，即为所求角；（3）证明线面垂直只需证此直线与平面内两条相交直线垂直变可.这些从证法中都能十分明显地体现出来第二讲-空间夹角利用空间向量处理异面直线夹角、线面
13、角、二面角等空间角问题 异面直线夹角、线面角、二面角等空间角问题是高考考查的热点和重点，常与探索性问题、平行问题、垂直等问题结合，重点考查综合利用空间向量、空间平行与垂直的有关定理、空间角的相关概念解决空间角问题的能力，是立体几何中的难点，难度为中档难度.（二）、知识梳理，方法定位（学生完成复资P132页填空题，教师准对问题讲评）1空间中各种角包括：异面直线所成的角、直线与平面所成的角以及二面角。 （1）异面直线所成的角的范围是。求两条异面直线所成的角的大小一般方法是通过平行移动直线，把异面问题转化为共面问题来解决。具体步骤如下：利用定义构造角，可固定一条，平移另一条，或两条同时平移到某个特殊
14、的位置，顶点选择在特殊的位置上；证明作出的角即为所求的角；利用三角形来求角。（2）直线与平面所成的角的范围是。求直线和平面所成的角用的是射影转化法。DBAC具体步骤如下：找过斜线上一点与平面垂直的直线；连结垂足和斜足，得出斜线在平面的射影，确定出所求的角；把该角置于三角形中计算。注：斜线和平面所成的角，是它和平面内任何一条直线所成的一切角中的最小角，即若为线面角，为斜线与平面内任何一条直线所成的角，则有；（3）确定点的射影位置有以下几种方法：斜线上任意一点在平面上的射影必在斜线在平面的射影上；如果一个角所在的平面外一点到角的两边距离相等，那么这一点在平面上的射影在这个角的平分线上；如果一条直线
15、与一个角的两边的夹角相等，那么这一条直线在平面上的射影在这个角的平分线上；两个平面相互垂直，一个平面上的点在另一个平面上的射影一定落在这两个平面的交线上；利用某些特殊三棱锥的有关性质，确定顶点在底面上的射影的位置：a.如果侧棱相等或侧棱与底面所成的角相等，那么顶点落在底面上的射影是底面三角形的外心；b. 如果顶点到底面各边距离相等或侧面与底面所成的角相等，那么顶点落在底面上的射影是底面三角形的内心(或旁心)；c. 如果侧棱两两垂直或各组对棱互相垂直，那么顶点落在底面上的射影是底面三角形的垂心；（4）二面角的范围在课本中没有给出，一般是指，解题时要注意图形的位置和题目的要求。作二面角的平面角常有
16、三种方法棱上一点双垂线法：在棱上任取一点，过这点在两个平面内分别引棱的垂线，这两条射线所成的角，就是二面角的平面角；面上一点三垂线法：自二面角的一个面上一点向另一面引垂线，再由垂足向棱作垂线得到棱上的点（即垂足），斜足与面上一点连线和斜足与垂足连线所夹的角，即为二面角的平面角；空间一点垂面法：自空间一点作与棱垂直的平面，截二面角得两条射线，这两条射线所成的角就是二面角的平面角。斜面面积和射影面积的关系公式：(为原斜面面积,为射影面积,为斜面与射影所成二面角的平面角)这个公式对于斜面为三角形,任意多边形都成立.是求二面角的好方法.当作二面角的平面角有困难时,如果能找得斜面面积的射影面积,可直接应
17、用公式,求出二面角的大小。（5）用法向量求二面角如图，有两个平面与，分别作这两个平面的法向量与，则平面与所成的角跟法向量与所成的角相等或互补，所以首先必须判断二面角是锐角还是钝角。（6）法向量求直线与平面所成的角要求直线a与平面所成的角，先求这个平面的法向量与直线a的夹角的余弦，易知=或者。 第二课时 用向量法求空间夹角热点考点题型探析题型1：异面直线所成的角（1）两条异面直线所成的角求法：先通过其中一条直线或者两条直线的平移，找出这两条异面直线所成的角，然后通过解三角形去求得；通过两条异面直线的方向量所成的角来求得，但是注意到异面直线所成角得范围是，向量所成的角范围是，如果求出的是钝角，要注
18、意转化成相应的锐角。例1、在正方体ABCD中，M是棱DD1的中点，点O为底面ABCD的中心，P为棱A1B1上任意一点，则异面直线OP与AM所成角的大小为_例2、如图，正方体ABCD中，E、F分别是AB、CC1的中点，则异面直线A1C与EF所成角的余弦值为_A1B1C1D1ABCDExyz例3、已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，点E为棱AB的中点。求：D1E与平面BC1D所成角的大小（用余弦值表示）解析：建立坐标系如图，则、，。不难证明为平面BC1D的法向量， 。 D1E与平面BC1D所成的角的余弦值为。反思归纳：将异面直线间的夹角转化为空间向量的夹角。例4、2012全国卷 三棱柱A
19、BCA1B1C1中，底面边长和侧棱长都相等，BAA1CAA160，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为_解析 由题意知，.又CAA1BAA1BAC60，设边长、侧棱长为1，则2()22223，所以|，同理可得|.21，所以cos.例5、2012上海卷 如图13所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PA底面ABCD.E是PC的中点，已知AB2，AD2，PA2，求：(1)三角形PCD的面积；(2)异面直线BC与AE所成的角的大小图13解：(1)因为PA底面ABCD，所以PACD.又ADCD，所以CD平面PAD.从而CDPD.因为PD2，CD2.所以三角形PCD的面积为222.(2)解
20、法一：如图所示，建立空间直角坐标系，则B(2,0,0)，C(2,2，0)，E(1，1)(1，1)，(0,2，0)，设与的夹角为，则cos，.由此知，异面直线BC与AE所成的角的大小是.解法二：取PB中点F，连接EF、AF，则EFBC，从而AEF(或其补角)是异面直线BC与AE所成的角在AEF中，由EF、AF、AE2知AEF是等腰直角三角形，所以AEF.因此，异面直线BC与AE所成的角的大小是.题型2：直线与平面所成的角直线和平面所成的角求法：“一找二证三求”，三步都必须要清楚地写出来。向量法，先求直线的方向量于平面的法向量所成的角，那么所要求的角为或。直线与平面所成角(为平面的法向量).例1、
21、（ 2010全国）正方体ABCD-中，B与平面AC所成角的余弦值为_审题要津：本题是正方体中的线面关系问题，可用空间向量法求解.解析：如图建立坐标系，设正方体棱长为1，与面的夹角为，则D(0,0,0),C(0,1,0)，B(1,1,0),A(1,0,0),(0,0,1),(1,1,1), =（1，1,0），=(1,0,1),=(0,0,1),设面的法向量=（，），则0=且0=，取=1，则=1，=1， =（1,1,1），=，=【点评】对于线面夹角问题，若容易建立坐标系，则常用坐标法，建立坐标系，求出线面夹角问题中三位直线的方向向量和平面法向量，设线面角为，则直线方向向量在平面法向量方向上的投影的
22、长度与直线方向向量的模之比就是线面夹角的正弦值，即=.例2、（09年高考试题）如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，底面是等腰直角三角形，ACB90，侧棱AA12，D、E分别是CC1与A1B的中点，点E在平面ABD上的射影是ABD的重心G。求A1B与平面ABD所成角的大小（结果用余弦值表示）；GDDA1C1B1CBKxyzAE解析：如图所示，建立坐标系，坐标原点为C，设CA2a，则A(2a，0，0)，B(0，2a，0)，D(0，0，1)，A1(2a，0，2)，E(a，a，1)， G() ， ， a1， 为平面ABD的法向量，且。 A1B与平面ABD所成角的余弦值是。反思归纳：先处理平面的法向量，
23、再求直线的方向向量与法向量夹角间的夹角转化为线面角。例3、2012全国卷 如图11，四棱锥PABCD中，底面ABCD为菱形，PA底面ABCD，AC2，PA2，E是PC上的一点，PE2EC.(1)证明：PC平面BED；(2)设二面角APBC为90，求PD与平面PBC所成角的大小图11解：方法一：(1)因为底面ABCD为菱形，所以BDAC，又PA底面ABCD，所以PCBD.设ACBDF，连结EF.因为AC2，PA2，PE2EC，故PC2，EC，FC，从而，.因为，FCEPCA，所以FCEPCA，FECPAC90，由此知PCEF.PC与平面BED内两条相交直线BD，EF都垂直，所以PC平面BED.(
24、2)在平面PAB内过点A作AGPB，G为垂足因为二面角APBC为90，所以平面PAB平面PBC.又平面PAB平面PBCPB，故AG平面PBC，AGBC.BC与平面PAB内两条相交直线PA，AG都垂直，故BC平面PAB，于是BCAB，所以底面ABCD为正方形，AD2，PD2.设D到平面PBC的距离为d.因为ADBC，且AD平面PBC，BC平面PBC，故AD平面PBC，A、D两点到平面PBC的距离相等，即dAG.设PD与平面PBC所成的角为，则sin.所以PD与平面PBC所成的角为30.方法二：(1)以A为坐标原点，射线AC为x轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.设C(2，0,0)，
25、D(，b,0)，其中b0，则P(0,0,2)，E，B(，b,0)于是(2，0，2)，从而0，0，故PCBE，PCDE.又BEDEE，所以PC平面BDE.(2)(0,0,2)，(，b,0)设m(x，y，z)为平面PAB的法向量，则m0，m0，即2z0，且xby0，令xb，则m(b，0)设n(p，q，r)为平面PBC的法向量，则n0，n0，即2p2r0且bqr0，令p1，则r，q，n.因为面PAB面PBC，故mn0，即b0，故b，于是n(1，1，)，(，2)，cosn，n，60.因为PD与平面PBC所成角和n，互余，故PD与平面PBC所成的角为30.题型3：二面角平面与平面所成的角求法：“一找二证
26、三求”，找出这个二面角的平面角，然后再来证明我们找出来的这个角是我们要求的二面角的平面角，最后就通过解三角形来求。通过射影面积来求（在其中一个平面内找出一个三角形，然后找这个三角形在另外一个平面的射影，那么这个三角形的射影面积与原三角形面积之比即为cos，注意到我们要求的角为或）；向量法，先求两个平面的法向量所成的角为，那么这两个平面所成的二面角的平面角为或。利用法向量求二面角的平面角定理：设分别是二面角中平面的法向量，则所成的角就是所求二面角的平面角或其补角大小（方向相同，则为补角，反方，则为其夹角）.二面角的平面角或（，为平面，的法向量）.例1、(2010天津理19) 在长方体中，、分别是
27、棱,上的点，,（1）求异面直线与所成角的余弦值；（2）求二面角的正弦值。审题要津：本题坐标系易建立，可以向量法.解析：如图所示，建立空间直角坐标系，点A为坐标原点，设,依题意得,(1)证明：易得,于是, 所以异面直线与所成角的余弦值为 (2)解：设平面的法向量=，则=0且=0，不妨令=1,可得=(1,2,1),设平面的法向量=（，）则=0且=0，取=1,则=2，=1，则=（1,2,1）于是，从而，所以二面角的正弦值为【点评】（1）对异面直线夹角问题，先求出两条异面直线的方向向量分别为、，在求出、的夹角，设两异面直线的夹角，利用=求出异面直线的夹角，注意：（1）异面直线夹角与向量夹角的关系；(2
28、)对二面角的大小问题，先求出平面、的法向量、，再求出、的夹角，在内取一点A，在内取一点B，设二面角大小为，若与同号，则=，若与异号，则=，注意二面角大小与法向量夹角的关系.例2、（two）如图6，正三棱柱的底面边长为3，侧棱，D是CB延长线上一点，且。求二面角的大小。1、解析：（1）取BC的中点O，连AO。由题意：平面平面，平面，以O为原点，建立如图6所示空间直角坐标系，则 ， ， ， ，由题意 平面ABD， 为平面ABD的法向量。设 平面的法向量为 ，则， ， ，即 。 不妨设 ，由，得。 故所求二面角的大小为。评析：（1）用法向量的方法处理二面角的问题时，将传统求二面角问题时的三步曲：“找
29、证求”直接简化成了一步曲：“计算”，这表面似乎谈化了学生的空间想象能力，但实质不然，向量法对学生的空间想象能力要求更高，也更加注重对学生创新能力的培养，体现了教育改革的精神；（2）此法在处理二面角问题时，可能会遇到二面角的具体大小问题，如本题中若取时，会算得，从而所求二面角为，但依题意只为。因为二面角的大小有时为锐角、直角，有时也为钝角。所以在计算之前不妨先依题意判断一下所求二面角的大小，然后根据计算取“相等角”或取“补角”。例3、2012浙江卷 如图15所示，在四棱锥PABCD中，底面是边长为2的菱形，BAD120，且PA平面ABCD，PA2，M，N分别为PB，PD的中点(1)证明：MN平面
30、ABCD；(2)过点A作AQPC，垂足为点Q，求二面角AMNQ的平面角的余弦值图15解：(1)因为M，N分别是PB，PD的中点，所以MN是PBD的中位线，所以MNBD.又因为MN平面ABCD，所以MN平面ABCD.(2)方法一：连结AC交BD于O.以O为原点，OC，OD所在直线为x，y轴，建立空间直角坐标系Oxyz，如图所示在菱形ABCD中，BAD120，得ACAB2，BDAB6.又因为PA平面ABCD，所以PAAC.在RtPAC中，AC2，PA2，AQPC，得QC2，PQ4.由此知各点坐标如下，A(，0,0)，B(0，3,0)，C(，0,0)，D(0,3,0)，P(，0,2)，M，N，Q.设
31、m(x，y，z)为平面AMN的法向量由，知取z1，得m(2，0，1)设n(x，y，z)为平面QMN的法向量由，知取z5，得n(2，0,5)于是cosm，n.所以二面角AMNQ的平面角的余弦值为.方法二：在菱形ABCD中，BAD120，得ACABBCCDDA，BDAB.又因为PA平面ABCD，所以PAAB，PAAC，PAAD.所以PBPCPD.所以PBCPDC.而M，N分别是PB，PD的中点，所以MQNQ，且AMPBPDAN.取线段MN的中点E，连结AE，EQ，则AEMN，QEMN，所以AEQ为二面角AMNQ的平面角由AB2，PA2，故在AMN中，AMAN3，MNBD3，得AE.在直角PAC中，
32、AQPC，得AQ2，QC2，PQ4.在PBC中，cosBPC，得MQ.在等腰MQN中，MQNQ，MN3，得QE.在AEQ中，AE，QE，AQ2，得cosAEQ.AMNQ的平面角的余弦值为.例4、2012安徽卷 平面图形ABB1A1C1C如图14(1)所示，其中BB1C1C是矩形，BC2，BB14，ABAC，A1B1A1C1.图14现将该平面图形分别沿BC和B1C1折叠，使ABC与A1B1C1所在平面都与平面BB1C1C垂直，再分别连接A1A，A1B，A1C，得到如图14(2)所示的空间图形对此空间图形解答下列问题(1)证明：AA1BC；(2)求AA1的长；(3)求二面角ABCA1的余弦值18解
33、：(向量法)：(1)证明：取BC，B1C1的中点分别为D和D1，连接A1D1，DD1，AD.由BB1C1C为矩形知，DD1B1C1，因为平面BB1C1C平面A1B1C1，所以DD1平面A1B1C1，又由A1B1A1C1知，A1D1B1C1.故以D1为坐标原点，可建立如图所示的空间直角坐标系D1xyz.由题设，可得A1D12，AD1.由以上可知AD平面BB1C1C，A1D1平面BB1C1C，于是ADA1D1.所以A(0，1,4)，B(1,0,4)，A1(0,2,0)，C(1,0,4)，D(0,0,4)故(0,3，4)，(2,0,0)，0，因此，即AA1BC.(2)因为(0,3，4)，所以5，即A
34、A15.(3)连接A1D，由BCAD，BCAA1，可知BC平面A1AD，BCA1D，所以ADA1为二面角ABCA1的平面角因为(0，1,0)，(0,2，4)，所以cos，.即二面角ABCA1的余弦值为.(综合法)(1)证明：取BC，B1C1的中点分别为D和D1，连接A1D1，DD1，AD，A1D.由条件可知，BCAD，B1C1A1D1，由上可得AD面BB1C1C，A1D1面BB1C1C.因此ADA1D1，即AD，A1D1确定平面AD1A1D.又因为DD1BB1，BB1BC，所以DD1BC.又考虑到ADBC，所以BC平面AD1A1D，故BCAA1.(2)延长A1D1到G点，使GD1AD，连接AG
35、.因为AD綊GD1，所以AG綊DD1綊BB1.由于BB1平面A1B1C1，所以AGA1G.由条件可知，A1GA1D1D1G3，AG4，所以AA15.(3)因为BC平面AD1A1D，所以ADA1为二面角ABCA1的平面角在RtA1DD1中，DD14，A1D12，解得sinD1DA1，cosADA1cos.即二面角ABCA1的余弦值为.例5、2012山东卷 在如图15所示的几何体中，四边形ABCD是等腰梯形，ABCD，DAB60，FC平面ABCD，AEBD，CBCDCF.(1)求证：BD平面AED；(2)求二面角FBDC的余弦值图15解：(1)证明：因为四边形ABCD是等腰梯形，ABCD，DAB6
36、0，所以ADCBCD120.又CBCD，所以CDB30，因此ADB90，ADBD，又AEBD，且AEADA，AE，AD平面AED，所以BD平面AED.(2)解法一：取BD的中点G，连接CG，FG，由于CBCD，因此CGBD，又FC平面ABCD，BD平面ABCD，所以FCBD，由于FCCGC，FC，CG平面FCG，所以BD平面FCG，故BDFG，所以FGC为二面角FBDC的平面角在等腰三角形BCD中，由于BCD120，因此CGCB.又CBCF，所以GFCG，故cosFGC，因此二面角FBDC的余弦值为.解法二：由(1)知ADBD，所以ACBC.又FC平面ABCD，因此CA，CB，CF两两垂直，以
37、C为坐标原点，分别以CA，CB，CF所在的直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设CB1.则C(0,0,0)，B(0,1,0)，D，F(0,0,1)因此，(0，1,1)设平面BDF的一个法向量为m(x，y，z)，则m0，m0，所以xyz，取z1，则m(，1,1)由于(0,0,1)是平面BDC的一个法向量，则cosm，所以二面角FBDC的余弦值为.例6、2012广东卷 如图15所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，PA平面ABCD，点E在线段PC上，PC平面BDE.(1)证明：BD平面PAC；(2)若PA1，AD2，求二面角BPCA的正切值图15证明：(1)PCBD
38、.PABD.PAPCP，PA平面PAC，PC平面PAC，BD平面PAC.(2)法一：如图所示，记BD与AC的交点为F，连接EF.由PC平面BDE，BE平面BDE，EF平面BDE，PCBE，PCEF.即BEF为二面角BPCA的平面角由(1)可得BDAC，所以矩形ABCD为正方形，ABAD2，ACBD2，FCBF.在RtPAC中，PA1，PC3，即二面角BPCA的正切值为3.法二：以A为原点，、的方向分别作为x、y、z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示设ABb，则：A(0,0,0)，B(b,0,0)，C(b,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,1)于是(b,2，1)，(b，2,0)因为PC
39、DB，所以b240，从而b2.结合(1)可得(2，2,0)是平面APC的法向量现设n(x，y，z)是平面BPC的法向量，则n，n，即n0，n0.因为(0,2,0)，(2,2，1)，所以2y0,2xz0.取x1，则z2，n(1,0,2)令n，则cos，sin，tan3.由图可得二面角BPCA的正切值为3.（三）、小结：本课要求大家理解和掌握运用向量法解决立体几何中：1、线面角的求法： 2、二面角的求法：AB，CD分别是二面角的两个面内与棱l垂直的异面直线，则二面角的大小为。3、设分别是二面角的两个平面的法向量，则就是二面角的平面角或其补角。教师引导学生反思归纳回顾，进一步深化理解。第三课时 用向
40、量法求空间的距离热点考点题型探析2空间的距离（1）点到直线的距离：点到直线的距离为点到直线的垂线段的长，常先找或作直线所在平面的垂线，得垂足为，过作的垂线，垂足为连，则由三垂线定理可得线段即为点到直线的距离。在直角三角形中求出的长即可。点到平面的距离：点到平面的距离为点到平面的垂线段的长常用求法作出点到平面的垂线后求出垂线段的长；转移法，如果平面的斜线上两点，到斜足的距离，的比为，则点，到平面的距离之比也为特别地，时，点，到平面的距离相等；体积法（2）异面直线间的距离：异面直线间的距离为间的公垂线段的长常有求法先证线段为异面直线的公垂线段，然后求出的长即可找或作出过且与平行的平面，则直线到平面
41、的距离就是异面直线间的距离找或作出分别过且与，分别平行的平面，则这两平面间的距离就是异面直线间的距离根据异面直线间的距离公式求距离。（3）直线到平面的距离：只存在于直线和平面平行之间为直线上任意一点到平面间的距离。（4）平面与平面间的距离：只存在于两个平行平面之间为一个平面上任意一点到另一个平面的距离。以上所说的所有距离：点线距，点面距，线线距，线面距，面面距都是对应图形上两点间的最短距离。所以均可以用求函数的最小值法求各距离。3空间向量的应用abEF（1）用法向量求异面直线间的距离如右图所示，a、b是两异面直线，是a和b 的法向量，点Ea，Fb，则异面直线 a与b之间的距离是 ；ABC（2）
42、用法向量求点到平面的距离如右图所示，已知AB是平面的 一条斜线，为平面的法向量，则 A到平面的距离为；（3）用法向量求直线到平面间的距离首先必须确定直线与平面平行，然后将直线到平面的距离问题转化成直线上一点到平面的距离问题。（4）用法向量求两平行平面间的距离首先必须确定两个平面是否平行，这时可以在一个平面上任取一点，将两平面间的距离问题转化成点到平面的距离问题。求距离：求距离的重点在点到平面的距离，直线到平面的距离和两个平面的距离可以转化成点到平面的距离，一个点到平面的距离也可以转化成另外一个点到这个平面的距离。四、教学过程ABCDOS图2（一）热点考点题型探析题型1：异面直线间的距离异面直线
43、间的距离 (是两异面直线，其公垂向量为，分别是上任一点，为间的距离).例1、如图2，正四棱锥的高，底边长。求异面直线和之间的距离？分析：建立如图所示的直角坐标系，则， ，。，。令向量，且，则，。异面直线和之间的距离为：。题型2：点面距离（2）点到平面的距离求法：“一找二证三求”，三步都必须要清楚地写出来。等体积法。向量法，利用公式（其中A为已知点，B为这个平面内的任意一点，这个平面的法向量）利用法向量求点到面的距离定理：如图，设n是平面的法向量，AB是平面的一条射线，其中，则点B到平面的距离为.例2、如图，已知为边长是的正方形，分别是，的中点，垂直于所在的平面，且，求点到平面的距离。解法一：连结，又，分别是，的中点，