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1、 学习热线：83218005 八年级数学寒假预习精选 思而学内部讲义 授课老师：马老师 姓名：_ 思之深邃 学无止境 第一讲：一元一次不等式知识梳理1.知识结构图概念基本性质不等式的定义不等式的解法一元一次不等式的解法一元一次不等式组的解法不等式实际应用不等式的解集知识点总结 1不等式 用不等号（ “”、 “” 、 “Oab；a-b=Oa=b；a-bOab）（重难点）不等式组图示解集（同大取大）（同小取小）（大小交叉取中间）无解（大小分离解为空）9解一元一次不等式组的步骤 (1)分别求出不等式组中各个不等式的解集； (2)利用数轴求出这些解集的公共部分，即这个不等式组的解集题型归纳和经典例题讲
2、解1.常见题型分类(加粗体例题需要作答) 定义类 1.下列不等式中，是一元一次不等式的是（ ）A. +12 B.x29 C.2x+y5 D. (x3)02.若是关于x的一元一次不等式，则该不等式的解集为 . 用不等式表示 a与6的和小于5； . x与2的差小于1； . 数轴题 1.a,b两个实数在数轴上的对应点如图所示：用“”或“”号填空：a_ b; |a|_|b|; a+b_0ab_ 0; a+b_ab; ab_a.2.已知实数a、b在数轴上对应的点如图所示，则下列式子正确的是（ ） A、ab0 B、 C、ab0 D、ab0 同等变换 1.与2x6不同解的不等式是（ ）A.2x+17B.4x
3、12 D.2x2m的解集是x2B.m2 C.m=2D.m27.如果不等式(a3)xb的解集是x，那么a的取值范围是_. 限制条件的解 1.不等式3(x2)x+4的非负整数解有几个.（ ）A.4 B.5 C.6 D.无数个2.不等式4x的最大的整数解为（ ）A.1 B.0 C.1 D.不存在含绝对值不等式 1. 不等式|x|的整数解是_.不等式|x|x+12a的解集是x1 B.m1 C.m1D.m1 字母不等式 1、已知关于的不等式2的解集为，则的取值范围是（ ）A0 B.1 C.0 D.12、（2010山东泰安）若关于的不等式的整数解共有4个，则的取值范围是（ ）ABCD3、关于x的方程的解为
4、正实数，则k的取值范围是 4、已知关于 x，y 的方程组的解满足xy，求p的取值5、若不等式组有解，则k的取值范围是( )(A)k2(B)k2(C)k1(D)1k26等式组的解集是x2，则m的取值范围是( )(A)m2(B)m2(C)m1(D)m17知(x2)22x3ya0，y是正数，则a的取值范围是_8 k满足_时，方程组中的x大于1，y小于19 若m、n为有理数，解关于x的不等式(m21)xn10已知方程组的解满足xy0，求m的取值范围强化训练1.当时，求关于x的不等式的解集2.当k取何值时，方程组的解x，y都是负数3.已知中的x，y满足0yx1，求k的取值范围4.已知a是自然数，关于x的
5、不等式组的解集是x2，求a的值5.关于x的不等式组的整数解共有5个，求a的取值范围6.k取哪些整数时，关于x的方程5x416kx的根大于2且小于10?7.已知关于x，y的方程组的解为正数，求m的取值范围8.若关于x的不等式组只有4个整数解，求a的取值范围9.（2009年山东烟台）如果不等式组的解集是，那么的值为 10.（2009年湖北恩施）如果一元一次不等式组的解集为则的取值范围是()A B C D11.（2009湖北荆门）若不等式组有解，则a的取值范围是（ ）A B C D12.（2009年湖北孝感）关于x的不等式组的解集是，则m = 13.（2009年湖南长沙）已知关于x的不等式组只有四个
6、整数解，则实数的取值范围是 第二讲：一元一次不等式的应用知识梳理用一元一次不等式组解决实际问题的步骤：审题，找出不等关系；设未知数；列出不等式；求出不等式的解集；找出符合题意的值；作答。分配问题1.把若干颗花生分给若干只猴子。如果每只猴子分3颗，就剩下8颗；如果每只猴子分5颗，那么最后一只猴子虽分到了花生，但不足5颗。问猴子有多少只，花生有多少颗？2.把一些书分给几个学生，如果每人分3本，那么余8本；如果前面的每个学生分5本，那么最后一人就分不到3本。问这些书有多少本？学生有多少人？3.将不足40只鸡放入若干个笼中，若每个笼里放4只，则有一只鸡无笼可放；若每个笼里放5只，则有一笼无鸡可放，且最
7、后一笼不足3只。问有笼多少个？有鸡多少只？4.一群女生住若干家间宿舍，每间住4人，剩下19人无房住；每间住6人，有一间宿舍住不满。果有x间宿舍，那么可以列出关于x的不等式组：能有多少间宿舍、多少名学生？你得到几个解？它符合题意吗？速度、时间问题1 爆破施工时，导火索燃烧的速度是0.8cm/s，人跑开的速度是5m/s，为了使点火的战士在施工时能跑到100m以外的安全地区，导火索至少需要多长？2.王凯家到学校2.1千米，现在需要在18分钟内走完这段路。已知王凯步行速度为90米/ 分，跑步速度为210米/分，问王凯至少需要跑几分钟？3.抗洪抢险，向险段运送物资，共有120公里原路程，需要1小时送到，
8、前半小时已经走了50公里后，后半小时速度多大才能保证及时送到？工程问题1 .一个工程队规定要在6天内完成300土方的工程，第一天完成了60土方，现在要比原计划至少提前两天完成，则以后平均每天至少要比原计划多完成多少方土？ 2 .用每分钟抽1.1吨水的A型抽水机来抽池水，半小时可以抽完；如果改用B型抽水机，估计20分钟到22分可以抽完。B型抽水机比A型抽水机每分钟约多抽多少吨水？3.某工人计划在15天里加工408个零件，最初三天中每天加工24个，问以后每天至少要加工多少个零件，才能在规定的时间内超额完成任务？ 价格问题1.商场购进某种商品m件，每件按进价加价30元售出全部商品的65%，然后再降价
9、10%，这样每件仍可获利18元，又售出全部商品的25%。(1)试求该商品的进价和第一次的售价；(2)为了确保这批商品总的利润率不低于25%，剩余商品的售价应不低于多少元？2.水果店进了某中水果1t，进价是7元/kg。售价定为10元/kg，销售一半以后，为了尽快售完，准备打折出售。如果要使总利润不低于2000元，那么余下的水果可以按原定价的几折出售？3.“中秋节”期间苹果很热销，一商家进了一批苹果，进价为每千克1.5元，销售中有6%的苹果损耗，商家把售价至少定为每kg多少元，才能避免亏本？4.学校图书馆准备购买定价分别为8元和14元的杂志和小说共80本，计划用钱在750元到850元之间（包括75
10、0元和850元），那么14元一本的小说最少可以买多少本？其他问题1.有一个两位数，其十位上的数比个位上的数小2，已知这个两位数大于20且小于40，求这个两位数2.一次知识竞赛共有15道题。竞赛规则是：答对1题记8分，答错1题扣4分，不答记0分。结果神箭队有2道题没答，飞艇队答了所有的题，两队的成绩都超过了90分，两队分别至少答对了几道题？3.某公司需刻录一批光盘（总数不超过100张），若请专业公司刻录，每张需10元（包括空白光盘费）；若公司自刻，除设备租用费200元以外，每张还需成本5元（空白光盘费）。问刻录这批光盘，是请专家公司刻录费用省，还是自刻费用省？ 4.考试共有25道选择题，做对一题
11、得4分，做错一题减2分，不做得0分，若小明想确保考试成绩在60分以上，那么，他至少做对X题，应满足的不等式是什么？ 5.有红、白颜色的球若干个，已知白球的个数比红球少，但白球的两倍比红球多，若把每一个白球都记作数2，每一个红球都记作数3，则总数为60，求白球和红球各几个？ 方案选择与设计1某厂有甲、乙两种原料配制成某种饮料，已知这两种原料的维生素C含量及购买这两种原料的价格如下表：原料维生素C及价格甲种原料乙种原料维生素C/（单位/千克）600100原料价格/（元/千克）84 现配制这种饮料10千克，要求至少含有4200单位的维生素C，并要求购买甲、乙两种原料的费用不超过72元，（1）设需用千
12、克甲种原料，写出应满足的不等式组。（2）按上述的条件购买甲种原料应在什么范围之内？2.红星公司要招聘A、B两个工种的工人150人，A、B工种的工人的月工资分别为600和1000元，现要求B工种的人数不少于A工种人数的2倍，那么招聘A工种工人多少时，可使每月所付的工资最少？此时每月工资为多少元？3.某工厂接受一项生产任务，需要用10米长的铁条作原料。现在需要截取3米长的铁条81根，4米长的铁条32根，请你帮助设计一下怎样安排截料方案，才能使用掉的10米长的铁条最少？最少需几根？4.某城市平均每天处理垃圾700吨，有甲和乙两个处理厂处理，已知甲每小时可处理垃圾55吨，需要费用550元，乙厂每小时可
13、处理垃圾45吨，需要费用495员。如果规定该城市每天用于处理垃圾的费用不得超过7370元，甲厂每天处理垃圾至少要多少吨？一元一次不等式单元测试卷一、填空题：（每小题3分，共30分）1、若,则2 2；若，则。（填“或=”号）2、不等式71的正整数解为： 。3、当_时，代数式的值至少为1。不等式6120。5、若方程 的解是正整数，则的取值范围是：_。6、的与12的差不小于6，用不等式表示为_。7、从小明家到学校的路程是2400米，如果小明早上7点离家，要在7点30分到40分之间到达学校，设步行速度为米/分，则可列不等式组为_，小明步行的速度范围是_。8、若关于的方程组的解满足，则P的取值范围是_。
14、9、若不等式组的解集是x3，则m的取值范围是 。10、当a 时，不等式的解集是，那么不等式(2)x的解集是 。二、选择题：（每小题3分，共27分） 1、若,则下列不等式中正确的是：（ ）A、0 B、 C、+81 C、333、如果不等式组的解集是，则n的取值范围是（ ）A、 B、 C、 D、4、不等式2+117 B、17 C、17 D、276、已知中，为正数，则的取值范围是（ ）A、2 B、3 C、4 D、57、一次函数的图象如图所示，当34 B、02 C、04 D、248、 已知a，b两数在数轴上的位置如图所示，设M=,N=,H=，则下 列各式正确的是（ ）A、MNH； B、HMN ；C、HN
15、M； D、MHN. 9、观察下列图像，可以得出不等式组的解集是（ ）A、x B、x0 C、0x2 D、x2三、解下列不等式（组），并把解集在数轴上表示出来：（每小题5分，共30分）1、 2、3、 4、5、 6、四、解答题（1题6分，2题7分，共13分）1、当为何值时，方程组的解是 （1）正数；（2）正整数2、关于，的方程组的解满足，均小于2。（1）求的取值范围 （2）化简五、（10分）我市移动通讯公司开设了两种通讯业务，A类是固定用户：先缴50元基础费，然后每通话1分钟再付话费0.4元；B类是“神州行”用户：使用者不缴月租费，每通话1分钟会话费0.6元（这里均指市内通话）。若果一个月内通话时间
16、为分钟，分别设A类和B类两种通讯方式的费用为，（1）写出、与之间的函数关系式。（2）一个月内通话多少分钟，用户选择A类合算？B类呢？（3）若某人预计使用话费150元，他应选择哪种方式合算？六、（10分）某厂有甲、乙两种原料配制成某种饮料，已知这两种原料的维生素C含量及购买这两种原料的价格如下表：原料维生素C及价格甲种原料乙种原料维生素C/（单位/千克）600100原料价格/（元/千克）84现配制这种饮料10千克，要求至少含有4200单位的维生素C，并要求购买甲、乙两种原料的费用不超过72元，（1）设需用千克甲种原料，写出应满足的不等式组。（2）按上述的条件购买甲种原料应在什么范围之内？第三讲：
17、因式分解知识点：分解因式概念：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因式【说明】 (1)因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆的运算.例如：(2)因式分解是恒等变形，因此可以用整式乘法来检验.例1：下列从左到右的变形中，哪些是分解因式？哪些不是分解因式？为什么？（1）3x+63（x+2）; （2）7x221x=7x(x-3);（3）8a3b212ab3c+abc4ab2（2a2b3b2c）+abc; （4）（x3）（x+3）=x29;（5）a24ab+b2=(a2b)2； （6）4x28x14x(x2)1.知识点：提取公因式法把多项式ma+mb+mc写成m与（a+
18、b+c）的乘积的形式，相当于把公因式m从各项中提出来，作为多项式ma+mb+mc的一个因式，把m从多项式ma+mb+mc各项中提出后形成的多项式（a+b+c），作为多项式ma+mb+mc的另一个因式，这种分解因式的方法叫做提公因式法（1）如果多项式的第一项系数为负数时，应把公因式的符号取“”号；（2）取多项式各项系数的最大公约数为公因式的系数；（3）取多项式各项都含有的相同的字母（或因式）的最低次幂作为公因式的因式；（4）取相同的多项式，多项式的指数取较低的；（5）公因式相差符号的，如（xy）与（yx）要先统一公因式，同时要防止出现符号问题例1：写出下列多项式各项的公因式（1）ma+mb （2
19、）4kx8ky （3）5y3+20y2 （4）a2b2ab2+ab 巩固练习：把下列各式分解因式（1）2a4b; （2）ax2+ax4a;（3）3ab23a2b; （4）2x3+2x26x;（5）7x2+7x+14; （6）12a2b+24ab2;（7）xyx2y2x3y3; （8）27x3+9x2y.例2：把下列各式分解因式（1）a（x3）+2b（x3）； （2）4(x+y)3-6(x+y)2巩固练习：把下列各式分解因式（1）x（a+b）+y（a+b） （2）3a（xy）（xy）（3）6（p+q）212（q+p） （4）8(a-b)4+12(a-b)5例3：填空（1）2a=_（a2）; （2
20、）yx=_（xy）;（3）b+a=_（a+b）; （4）（ba）2=_（ab）2;例4：把下列各式分解因式（1）a（xy）+b（yx）； （2）6(mn)312(nm)2.巩固练习：把下列各式分解因式（1）a（m2）+b（2m） （2）2（yx）2+3（xy） （3）mn（mn）m（nm）2 （4）1.5（xy）3+10（yx）2 （5）m（mn）（pq）n（nm）（pq） （6）（ba）2+a（ab）+b（ba）例5：先化简下面的代数式，再求值：a(1a)+(a1)(a+1)，其中a=+1例6：利用因式分解化简（1）2200622005 （2）7.6200.5+4.3200.51.9200.
21、5巩固练习：利用因式分解化简（1）10.9121.21； （2）2.3413.2+0.6613.226.4；（3）3200432003； （4）（2）101+（2）100；例7：探究817279913能被45整除吗？例8：已知多项式分解因式为，则的值为（）A BC D例9：先分解因式，再求值（1）15x2(y+4)30x(y+4)，其中x=2，y=-2; （2）a3b+2a2b2+ab3，其中a+b=-，ab=知识点：运用公式法平方差公式：a2b2=(a+b)(a-b)例1：把下列各式分解因式：（1）x216； （2）9 m 24n2； （4）9a2b2.巩固练习：把下列各式分解因式：（1）a
22、2b2m2 （2）2516x2;例2：把下列各式分解因式:（1）（m+n）2（mn）2; （2）16(a+b)2-9(a-b)2巩固练习：把下列各式分解因式：（1）（m+n）2n2 （2）49（ab）216（a+b）2（3）（2x+y）2（x+2y）2 （4）（x2+y2）2x2y2（5）（2mn）2（m2n）2; （6）（x1）+b2（1x）例3：把下列各式分解因式（1）2x38x. （2）3ax23ay4 （3）-6xy3+24x3y课堂练习 1分解因式（1）a281 （2）36x2 （3）116b2 （4）m 29n2 （5）0.25q2121p2 （6）169x24y2 （7）9a2p
23、2b2q2 （8）a2x2y2 （9）（m+n）2n2 （10）（2x+y）2（x+2y）2 （11）p412199931999能被1998整除吗?能被2000整除吗？完全平方公式：， （注：公式中的a,b可以是单项式，也可以是多项式.）点拔：判断一个多项式是否为完全平方式，要考虑三个条件，项数是三项；其中有两项同号且能写成两个数或式的平方；另一项是这两数或式乘积的2倍.例1：把下列完全平方式分解因式：（1）x2+2x+1； （2）4a2-12a+9 （3）x2x+ 巩固练习：把下列各式分解因式 (1) x2x+1 (2)m2+3 m n+9n2 (3)x212xy+36y2(4)16a4+2
24、4a2b2+9b4 (5)2xyx2y2 例2：把下列各式分解因式（1）（m+n）26（m +n）+9. （2）4(a-b)2+4(a-b)+1（3）412（xy）+9（xy）2 （4）（x+y）2+6（x+y）+9 例3：把下列各式分解因式：（1）3ax2+6axy+3ay2; （2）x24y2+4xy.课堂练习1分解因式（1）x2y22xy+1 ； （2）912t+4t2； （3）y2+y+; （4）25m280 m +64; （5）+xy+y2; （6）a2b24ab+4；2分解因式（3）4xy24x2yy3 （4）a+2a2a3 例4：计算下列各题：（1）5352446524； （2）
25、2022+202196+982例5：已知多项式9x2(m1)xy+49y2是完全平方式，求m的值例6：多项式16x2+9加上一个单项式后，使它能成为一个整式的完全平方的形式，则加上的单项式可以是(填一个你认为正确的一个即可)例7：若的值 课堂练习 1的值是_。2已知，则的值是 。3已知x+y=1，xy=-1，则x2+y2=_4若（ ）A、11 B、11 C、7 D、75.计算：(2xy)(2xy)y(y6x)2x6.已知，求的值 7.先化简，再求值：，其中()若9x2+mx+16是一个完全平方式，求m的值()如果x22(m3)x+25是完全平方式，求m的值课后巩固练习 1.若x2+2(m-3)
26、x+16是完全平方式，则m的值等于( )A.3B.-5C.7.D.7或-12.若(2x)n-81=(4x2+9)(2x+3)(2x-3)，则n的值是( )A.2B.4C.6D.83.把(a+b)-4(a2-b2)+4(a-b)2分解因式的结果是( )A.(3a-b)2B.(3b+a)2C.(3b-a)2D.(3a+b)24.把(5x-2y)2+(2x+5y)2分解因式为( )A.2(5x-2y)2B.-2(5x-2y)2C.29(x2+y2)D.以上都不对5.若多项式x2+pxy+qy2=(x-3y)(x+3y)，则p,q的值依次为( )A.-12,-9B.-6,9C.-9,-9D.0,-96.分解因式：4x2-9y2= .7.利用因式分解计算：= .8.若x=3.2，y=6.8，则x2+2xy+y2= .9.把多项式4-4(a-b)+(a-b)2分解因式的结果是 .10.计算：12-22+32-42+52-62+72-82+92-102= .11.分解因式.(1)(x+y)2-9y2； (2)a2-b2+a+b； (3)10b(x-y)2-5a(y-x)2； (4)(ab+b)2-(a+1)2；(5)(a2-x2)2-4ax(x-a)2； (6)(x+y+z)2-(x-y+z)2.12.已知x-y=1,xy=2，求x3y-2x2y2+xy3的值.