[数学]初三数学上册.doc

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1、第23章 一元二次方程第23章 一元二次方程一元二次方程概念（第1课时）教案编写 任小菊 审定 何雄课 题一元二次方程教学目标1、知道一元二次方程的定义，能熟练地把一元二次方程整理成一般形式（0）2、在分析、揭示实际问题的数量关系并把实际问题转化为数学模型（一元二次方程）的过程中使学生感受方程是刻画现实世界数量关系的工具，增加对一元二次方程的感性认识。重点难点一元二次方程的概念和一般形式.正确理解和掌握一般形式中的a0 ，“项”和“系数” .教学过程一 情境引入：（1）情境1：正方形桌面的面积是2m2，求它的边长？解：设正方形桌面的边长是xm (1)（2）情境2：绿苑小区住宅设计，准备在每两幢

2、楼房之间,开辟面积为900平方米的一块长方形绿地，并且长比宽多10米，那么绿地的长和宽各为多少？分析：设长方形绿地的宽为x米，不难列出方程 x(x10)900整理可得 x210x900=0.（2）（3）情境3：学校图书馆去年年底有图书5万册，预计到明年年底增加到7.2万册.求这两年的年平均增长率.解：设这两年的年平均增长率为x，我们知道，去年年底的图书数是5万册，则今年年底的图书数是5（1x）万册；同样，明年年底的图书数又是今年年底的（1x）倍，即5（1x）(1x)5(1x)2万册.可列得方程 5（1x）2=7.2,整理可得 5x210x2.2=0.（3）（4）情境4：长5米的梯子斜靠在墙上，

3、梯子的底端与墙的距离是3米。如果梯子底端向右滑动的距离与梯子顶端向下滑动的距离相等，求梯子滑动的距离。解：设梯子滑动的距离是X米。根据勾股定理，滑动前梯子的顶端离地面4米，则滑动后梯子的顶端离地面（4X）米，梯子的底端与墙的距离是（3X）米。根据题意得 (4)3思考、讨论这样情境1至情境4分别归结为解方程（1）至（4）.显然，这四个方程都不是一元一次方程.那么这四个方程与一元一次方程的区别在哪里？它们有什么共同特点呢？（ 学生分组讨论，然后各组交流 ）共同特点：（1） 都是整式方程 （2） 只含有一个未知数 （3） 未知数的最高次数是2二、 一元二次方程的概念上述几个整式方程中都只含有一个未知

4、数，并且未知数的最高次数是2，这样的方程叫做一元二次方程.通常可写成如下的一般形式：ax2bxc0(a、b、c是已知数，a0)。 其中叫做二次项，叫做二次项系数；叫做一次项，叫做一次项系数，叫做常数项。特殊形式：；类比一元一次方程的去括号，移项，合并同类项，进行同解变形，化为一般形式后再写出各项系数，注意方程一般形式中的“-”是性质符号负号，不是运算符号减号.l 一元二次方程的根的概念类比一元一次方程的根的概念获得一元二次方程的根的概念下面哪些数是方程x2+5x+6=0的根？-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4三、 例题讲解与练习巩固1例1：下列方程中哪些是一元二次方程？试说明理由。 2

5、例2：将下列方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项：1） 2） 3） 说明：一元二次方程的一般形式（0）具有两个特征：一是方程的右边为0；二是左边的二次项系数不能为0。此外要使学生意识到：二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项都是包括符号的。3课堂练习：（1）把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项。（2）根据题意列出方程：（1）剪出一张面积是240平方厘米的长方形彩纸，使它的长比宽多8厘米，这张彩纸的长是多少？（2）一枚圆形古钱币的中间是一个边长为1厘米的正方形孔。已知正方形面积是圆面积的，求圆的半径。4例3：若是关于x

6、的一元二次方程，则（）5例4：是关于的一元二次方程，则m的值为。变式：若方程是关于的一元二次方程，则m的值为。四、本课小结：1、只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程。2、一元二次方程的一般形式为（0），一元二次方程的项及系数都是根据一般式定义的，这与多项式中的项、次数及其系数的定义是一致的。3、在实际问题转化为数学模型（ 一元二次方程 ）的过程中，体会学习一元二次方程的必要性和重要性。达标检测：1关于x的方程(2m1)x2(m1)x=5m是一元二次方程，则m的取值范围是_2若关于x的方程kx23x1=0是一元二次方程，则k满足的条件是_.3已知关于x的方程(3

7、m1)x2(m1)x=m，当m_时，是一元二次方程4关于x的方程x2ax3a=0的一个根是2，则a的值是_5把方程(x3)(x1)=x(1x)整理成ax2bxc=0的形式是_；6、将下列方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项 （1） （2）x(2x1)3x(x2)=0 （3）7已知关于x的一元二次方程（m2）x23xm24=0有一个解是0，求m的值.8三个连续奇数，较小两个数的积比较大数的4倍少1若设中间的一个奇数为n根据题意列出方程9根据题意列出一元二次方程(可设一个未知数的量是x，另一个量用含有x的代数式表示，列出方程程后不必求解) (1)一个矩形的面积是18 c

8、m2，它的宽比长少3 cm求这个矩形的长和宽；（2）在块长为20米、宽为20米的矩形土地中间，种植面积为55l平方米的矩形绿地，在绿地四周铺设宽度相等的鹅卵石道路(如图)，求鹅卵石道路的宽?教学后记- 3 -第23章 一元二次方程一元二次方程的解法一 第2课时课 时教 学目 标(1)、理解直接开平方法解一元二次方程的依据是平方根的意义。(2)、会用直接开平方法,因式分解法解一元二次方程。 教 学 设 想教学重点 掌握直接开平方法及因式分解法某些一元二次方程。教学难点 灵活应用 教 学 过 程一、 复习旧知，引入新课平方根定义二、 讲解新课1.了解直接开平方法解一元二次方程的概念。生试一试:解方

9、程：x2=9 x24=0 :完成后指出 ：直接开平方法。,因式分解法2. 初步掌握直接开平方法,因式分解法解一元二次方程。提问：解下列方程：1、x2144=0； 2、x23=0；3、x2+16=0； 4、x2=0。（1、x1=12，x2=12；2、x1= ，x2= ；3、无解负数没有平方根；4、x=00有一个平方根，它是0本身）。3. 深刻掌握直接开平方法解一元二次方程例解方程：(1) 3x227=0 (2) （x+3）2=2。练习：解下列方程：1、（x+4）2=3； 2、（3x+1）2=3。（1、x1=4，x2=+ 4 ； 2、无解。） 2. 课堂练习课本P22课内练习第1,2两题。三、课堂

10、小结（1）开平方法可解下列类型的一元二次方程：x2=b（b0）；（xa）2=b（b0）。根据平方根的定义，要特别注意：由于负数没有平方根，所以，上列两式中的b0，当b0时，方程无解。（2） 因式分解法四、课外作业：课本P31的作业题教后反思录- - 5 - -第23章 一元二次方程一元二次方程的解法二（第3课时）一、学习目标：1正确理解因式分解法的实质2熟练掌握运用因式分解法解一元二次方程二、教学重点、难点重点：用因式分解法解一元二次方程式；难点：理解 “或”、“且”的含义三、学习过程（一）复习：解下列方程：（1） （2）思考：对于上面的方程我们还有其他的解法吗？把你的发现告诉你的同学。介绍因

11、式分解法。（二）新课：例1 解下列方程：（1）3x22x=0； （2）x23x.3）（4x2）2x（2x1）（4）（5）（3x2）2=4（x-3）2.（6）(x1)24 (x1)4=0课上练习：解下列方程（1）x22x0； （2）x（x1）5x0. （3） （4）用因式分解法解下列方程(1) x23x10=0(2) (x+3)(x1)=5(3) （2x1）（x3）=4三、巩固练习：解下列方程：1、 2、3、 4、(4x3)2=(x+3)25、(x5)(x+2)=18 6、小结1因式分解法的条件是方程左边易于分解，而右边等于零，关键是熟练掌握因式分解的知识，理论依旧是“如果两个因式的积等于零，那

12、么至少有一个因式等于零”2因式分解法解一元二次方程的步骤是：（1）化方程为一般形式；（2）将方程左边因式分解；（3）至少有一个因式为零，得到两个一元二次方程；（4）两个一元一次方程的解就是原方程的解3因式分解的方法，突出了转化的思想方法，鲜明地显示了“二次”转化为“一次”的过程四、达标检测；1、方程的根是 ；2、方程的根是 ；3、方程的根是 ；4、方程的解是 （ ）A） B） C） D）5、若，则的值为（ ） B）1 C）7 D）76、解下列方程：1）、 2）、 3）、 4）、 5）、 (6)x27x10=0(7)（x3）（x2）=6(8) (x5)217(x5)30=0（9）2x23=7x五

13、、课后演练：六、课后补充：例1 （1） 若m是关于x的方程x2nxm=0的根，且m0,求mn的值。（2）若方程2x22mxm21=0有一个根为0，求m例2 应用一元二次方程根的定义，你能解出下列问题吗?一个三角形的两边长分别为3cm和7cm，第三边长是整数acm，且a满足a210a+21=0，求三角形的周长。例3、若ABC的边长都是方程x210x+21=0的根，求ABC的周长。例4、解方程： (x5)217(x5)30=0教学后记：- 7 -第23章 一元二次方程一元二次方程的解法三-配方法（第4课时）教学目标1、 会用配方法解一元二次方程。2、 经历探究将一般一元二次方程化成（形式的过程，进

14、一步理解配方法的意义。3、 在用配方法解方程的过程中，体会转化的思想。重点与难点重点：使学生掌握配方法，解一元二次方程。难点：把一元二次方程转化为（xh）2=k（k0）的形式。教学过程一、情境创设1、 知识回顾 a2+2ab+b2 = a2-2ab+b2 = 2、填一填 3、用直接开平方法解下列方程：（1） （2）4、想一想如何解下列方程二、探索活动问题1、请你思考方程与 有什么关系，如何解方程呢？ 问题2、能否将方程转化为（的形式呢？由此可见，只要先把一个一元二次方程变形为（xh）2= k的形式（其中h、k都是常数），如果k0，再通过直接开平方法求出方程的解，这种解一元二次方程的方法叫做配方

15、法。解一元二次方程的基本思路 二次方程 一次方程把原方程变为(x+h)2k的形式(其中h、k是常数）。 当k0时，两边同时开平方，这样原方程就转化为两个一元一次方程。 当k0,当b2-4ac0时即2、思考：当b2-4ac0时，方程有实数根吗？ 3、小结：一般地,对于一元二次方程,如果,那么方程的两个根为这个公式叫做一元二次方程的求根公式，利用求根公式，我们可以由一元二次方程的系数、 的值，直接求得方程的根，这种解一元二次方程的方法叫做公式法.三、例 解下列方程：（1） x27x18 = 0 （2） x232x （3）（x2）（13x）=6 （4） x2 - x -= 0四、练习:1、解下列方程

16、：（1）x23x4 = 0 （2）2x2+x1 = 0 （3）x22x =3 （4）x(x（6） = 0 2、两个连续正偶数的积等于168，求这两个偶数。五、小结、1、由配方法解一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a0) 若 b2-4ac0得求根公式 : 、2、用公式法解一元二次方程的一般步骤：1）把方程化成一般形式，并写出a，b，c的值。2）求出b2-4ac的值。3）代入求根公式 : (a0, )、4）写出方程的解： x1=?, x2=?3、当 b2-4ac=0时，一元二次方程有两个相等的实数根。 当 b2-4ac0 即 4k+10 k k0 k0 k0k且k0（2）方程有两个相等的实数根

17、。=0，即4k+1=0k=（3）方程无实根0，即4k+10k且k0。 （ ）（3）若关于x的方程kx2-(2k+1)x+k=0有实数根，则k的范围为k且k0。（ ）例4.已知关于x的方程,x2-2mx-2m-4=0证明:不论m为何值,这个方程总有两个不相等的实数根例5 、 已知：a、b、c是ABC的三边，若方程b(x21)2ax+c(x2+1)=0有两个等根，试判断ABC的形状.四、练习1、已知a,b,c是 ABC的三边，且关于x的方程x2-2cx+a2+b2=0有两个相等的实数根求证：这个三角形是直角三角形2、已知关于x的方程： 2x2-(4k+1)x+2k2-1=0 想一想，当k取什么值时

18、： （1）方程有两个不相等的实数根， （2）方程有两个相等的实数根， （3）方程没有实数根，3、一元二次方程有两个不等的实数根,则m的取值范围是_4、当k为何值时，关于x的方程kx2+kx+2-k=0有两个相等的实数根？ 此时方程的根是多少呢?五、小结1.求判别式时，应该先将方程化为一般形式.2.应用判别式解决有关问题时，前提条件为 “方程是一元二次方程”，即二次项系数不为0.达标检测1、下列方程中，没有实数根的方程是（ ）A.x2=9 B.4x2=3(4x-1)C.x(x+1)=1 D.2y2+6y+7=02、关于x的方程k2x2+(2k-1)x+1=0有实数根，则下列结论正确的是 ( )

19、A.当k=时，方程两根互为相反数 B.当k=0时，方程的根是x=-1 C.当k=1时，方程两根互为倒数 D.当k时，方程有实数根3、关于x的方程x2+2x+1=0有两个不相等的实数根，则k( )A.k-1 B.k-1 C.k1 D.k04、若方程有实数根，则的范围是_。5、如果方程9x2-(k+6)x+k+1=0有两个相等的实数根，那么k= .6、当k为何值时，关于x的方程kx2（2k1）xk3 = 0有两个不相等的实数根？教学后记：- 22 -实际问题与一元二次方程一（第9课时） 教学内容 根据面积与面积之间的关系建立一元二次方程的数学模型并解决这类问题 教学目标 掌握面积法建立一元二次方程

20、的数学模型并运用它解决实际问题 利用提问的方法复习几种特殊图形的面积公式来引入新课，解决新课中的问题 重难点关键 1重点：根据面积与面积之间的等量关系建立一元二元方程的数学模型并运用它解决实际问题 2难点与关键：根据面积与面积之间的等量关系建立一元二次方程的数学模型 教具、学具准备 小黑板 教学过程一、复习引入1.一元二次方程的解法:2列方程解应用题的步骤二.例题分析例1书29页例7生交流,列出不同的方程练习 在宽90m，长为100m的矩形耕地上修三条同样宽的耕作道路，使耕地面积为，道路宽应为多少？例2、利用旧墙为一边(旧墙长为7m)，再用13米长的篱笆围成一个面积为20m的长方形场地，则长方

21、形场地的长和宽分别是多少米？练习、要建一个面积为130 m的仓库,仓库的一面靠墙(墙长16 m)，并在与墙平行的一边开一道1 m宽的门，现有能围成32 m长的木板，求仓库的长与宽.三.练习书30页1.2题四、小结五、作业37页7题，9题一块长和宽分别为60米和40米的长方形铁皮，要在它的四角截去四个相等的小正方形，折成一个无盖的长方体水槽，使它的底面积为800平方米.求截去正方形的边长。教学后记：第23章 一元二次方程一元二次方程的应用题二（第10课时）教学目标： 1、使学生会列出一元二次方程解有关变化率的问题。2、培养学生分析问题、解决问题的能力，提高数学应用的意识。重点难点：本节课的重点和难点都是列出一元二次方程，解决有关变化率的实际问题。教学过程：一、创设问题情境百分数的概念在生活中常常见到，而量的变化率更是经济活动中经常接触，下面，我们就来研究这样的问题。问题：某商品经两次降价，零售价降为原来的一半，已知两次降价的百分率一样。求每次降价的百分率。（精确到0.1%）二、探索解决问题 分析：“两次降价的百分率一样”，指的是第一次和第二次降价的百分数是一个相同的值，即两次按同样的百分数减少，而减少的绝对数是不相同的，设每次降价的百分率为，若原价为，则第一次降价后的零售价为，又以这个价格为基础，再算第二次降价后的零售价。