《[数学]抛物线--全面综合题目_尖子生必备。.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《[数学]抛物线--全面综合题目_尖子生必备。.doc（64页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、 高二年级上学期同步训练（抛物线）一.选择题（每题3分 共48分）1.抛物线的顶点在原点,对称轴是x轴,点(5,2)到焦点距离是6,则抛物线的方程为（ ）A. B.C. D.2.抛物线中，以(-1,1)为中点的弦所在直线的方程为：( ) A.x-4y-3=0 B.x+4y+3=0 C.4x+y-3=0 D.4x+y+3=03.直线与抛物线交于A、B两点，O为坐标原点，且则的值为( ) A. 2 B. -2 C. 1 D. -14.若点A的坐标为（3，2），F为抛物线的焦点，点P在该抛物线上移动，为使取得最小值，点P的坐标应为（ ）。 A.（0，0） B.（1，1） C.（2，2） D.（0.5
2、，1）5.若正三角形的顶点都在抛物线上，其中一个顶点在原点，则这个三角形的面积是( ) A. B. C. D.6.抛物线上有三点,是它的焦点,若 成等差数列,则 ( ) A.成等差数列 B.成等差数列C.成等差数列D.成等差数列7.已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，其上的点到焦点的距离为5，则抛物线方程为（ ） A BC D8.抛物线y2=-2px（p0）上横坐标为-4的点到焦点的距离为10，那么抛物线方程为（ ）A.y2=-8x B.y2=-12x C.y2=-16x D.y2=-24x9.过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，如果x1+x2=6
3、，那么|AB|=（ ）A.10 B.8 C.6 D.1210.过抛物线的焦点F作直线与抛物线交于A、B两点，A、B在抛物线准线上的射影分别为A1、B1，那么A1FB1的大小是（ ）A、450 B、900 C、600 D、不确定11.方程表示的曲线是A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.不能确定12.若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则的值为A. B. C. D.13.过抛物线的焦点F作一直线交抛物线于P，Q两点，若线段PF与FQ的长分别是，则 （ ）A B C D14.若方程仅表示一条直线，则的取值范围是（）. . .15.若AB为抛物线y2=2px (p0)的动弦，且|AB|=a (a2p)
4、，则AB的中点M到y轴的最近距离是 Aa Bp Cap DapABCDA1B1C1D116.如图所示，在正方体的侧面内有一动点到直线和直线的距离相等，则动点所在曲线形状为 （ ）ABA1B1ABA1B1ABA1B1ABA1B1A B C D二.填空题:（每题4分，共36分）17.抛物线上到其准线和顶点距离相等的点的坐标为 _18.已知圆，与抛物线的准线相切，则 _19.已知点A（0,1），M是抛物线上的动点，P是线段AM的中点，则点P的轨迹方程是。20.已知抛物线的焦点弦的两端点为,则式子的值一定等于 21.点M与点F的距离比它到直线:的距离小1,则点的轨迹方程是 _.22.焦点在直线3x-4
5、y-12=0上的抛物线的标准方程是_23.已知动圆M与 y轴相切，且与定圆C：相内切，则动圆圆心M的轨迹方程为 .24.过A（1，1），且与抛物线有一个公共点的直线方程为 。25.对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件；（1）焦点在y轴上； （2）焦点在x轴上；（3）抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；（4）抛物线的通径的长为5；（5）由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为（2，1）其中适合抛物线y2=10x的条件是(要求填写合适条件的序号) _三.解答题:每题6分，共42分）26.已知点A（2，8），B（x1，y1），C（x2，y2）在抛物线上，ABC的重心与此抛物线的焦点F重合（如
6、图）（1）写出该抛物线的方程和焦点F的坐标；（2）求线段BC中点M的坐标；（3）求BC所在直线的方程.（12分）27.过抛物线的顶点作互相垂直的二弦OA、OB。求(1)AB中点的轨迹方程。(2)证明：AB与x轴的交点为定点。 28.已知抛物线y2=4ax(0a1的焦点为F，以A(a+4,0)为圆心，AF为半径在x轴上方作半圆交抛物线于不同的两点M和N，设P为线段MN的中点（1）求MF+NF的值；（2）是否存在这样的a值，使MF、PF、NF成等差数列?如存在，求出a的值，若不存在，说明理由29.已知圆C：（x-3）2+y2=5和抛物线y2=2px在x轴上方有两个不同的交点A、B-2m-6m3m。
7、（1）求p的取值范围； （2）若ABC为直角三角形，求p的值。PQF30.如果探照灯的轴截面是抛物线（如图），表示平行于对称轴的光线经抛物线上的点的反射情况，设点的纵坐标为，当取何值时，从入射点到反射点的光线路程最短？O31.已知抛物线C：，过C上一点M，且与M处的切线垂直的直线称为C在点M的法线（1）若C在点M的法线的斜率为，求点M的坐标（x0，y0）；（2）设P（2，a）为C对称轴上的一点，在C上是否存在点，使得C在该点的法线通过点P？若有，求出这些点，以及C在这些点的法线方程；若没有，请说明理由.（12分）32.已知平面内的一个动点到直线的距离与到定点的距离之比为，设动点的轨迹为，点求动
8、点的轨迹的方程；若为轨迹上的动点，求线段中点的轨迹方程；过原点的直线交轨迹为于，求面积最大值。例6如图所示，直线和相交于点M，点，以A、B为端点的曲线段C上的任一点到的距离与到点N的距离相等，若AMN为锐角三角形，且，建立适当的坐标系，求曲线段C的方程例8已知直线过原点，抛物线的顶点在原点，焦点在轴的正半轴上，且点和点关于直线的对称点都在上，求直线和抛物线的方程例9如图，正方形的边在直线上，、两点在抛物线上，求正方形的面积例11如图，抛物线顶点在原点，圆的圆心是抛物线的焦点，直线过抛物线的焦点，且斜率为2，直线交抛物线与圆依次为、四点，求的值抛物线方程、几何性质基础训练一、 选择题：1. 顶点
9、在原点，焦点在y轴上，且过点P（4，2）的抛物线方程是（ ）A. x28y B. x24y C. x22y D. 2. 焦点为直线240与坐标轴的交点的抛物线的标准方程是（ ）A. =16 B. =8 或 =16 C. = 8 D. =8 或 =16 3. 抛物线的焦点坐标是（A）A(0, ) B.（0，） C.（0，） D.(0,)4. 顶点在原点，焦点在轴上的抛物线上一点（2，）到焦点的距离是5，则的值是（ ）A.4 B.4 C.2 D. 25. 已知为抛物线上一动点，为抛物线的焦点，定点，则的最小值为（ ）A.3 B.4 C.5 D.66过抛物线的焦点作直线交抛物线于、两点，若线段、的长
10、分别是、，则=（ ）A. B. C. D.7. 抛物线上的点到直线的距离最短的点的坐标是（ ）A（，） B.（，） C.(2,4) D.(1,1)8. 一抛物线型拱桥，当水面宽2m时，水面离拱顶3m，当水面宽4m时，水面（ ）A.上升1m B.下降1m C.上升2m D.上升3m9. 设椭圆，双曲线，抛物线（其中）的离心率分别为，则（ ）A. B. 0）上两点，O为坐标原点，若=,且AOB的垂心恰好是此抛物线的焦点，则直线AB的方程是（ ）A. B. C.3 D.二、填空题：11.设抛物线 =8的焦点为F，A为抛物线上的一点，且6，则点A的坐标是_.12. 若抛物线 =2（0）上一点M到准线和
11、到对称轴的距离分别是10和6，则该抛物线的方程是_. 13. 过点（0，2）和抛物线C: = 2只有一个公共点的直线有_条. 14. 正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线上，则这个正三角形的边长为_ 15. 设P是曲线上的一个动点，则点P到点（0，1）的距离与点P到轴的距离之和的最小值是_. 16. 过抛物线 =2（00),过焦点F的弦的倾斜角为（0）,且与抛物线相交于A、B两点.(1)求证:=;(2)求的最小值. 【2p】19. 已知直角的直角顶点为原点，、在抛物线上，（1）分别求、两点的横坐标之积，纵坐标之积；（2）直线是否经过一个定点，若经过，求出该定点坐标，若不经过，说
12、明理由；（3）求点在线段上的射影的轨迹方程 20. 若抛物线 =上总存在关于直线：1（1）对称的相异两点，试求的取值范围. 【（-2，0）】21. 已知一条曲线C在y轴右边，C上每一点到点F(1,0)的距离减去它到y轴距离的差都是1.()求曲线C的方程；()是否存在正数m，对于过点M（m，0）且与曲线C有两个交点A,B的任一直线，都有？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由。参 考 答 案：一、 选择题：ABCD BCDA BD二、填空题：11. ； 12. ； 13. 3 ； 14. ； 15.； 16. x=-1 .三、解答题：17. 答案：18. 解：设（，），B（，）（），AB
13、的方程为y=tan(x),与抛物线联立，消去y并整理得， （）,=,又由抛物线定义可得弦长=.(2) 0,由（1）知当时，2.19. 答案：（1）； ；（2）直线过定点；（3）点的轨迹方程为 20. 解析：设直线垂直平分抛物线的弦AB，设A（，）、B(，),则. 于是. 设AB的中点M（，则.又点M在抛物线内部. ,即.解得2 0，AOBO，将，代入得，。直线AB恒过定点（0，1）。当且仅当k=0时，取最小值1。结论五：对于抛物线，其参数方程为设抛物线上动点坐标为，为抛物线的顶点，显然，即的几何意义为过抛物线顶点的动弦的斜率例直线与抛物线相交于原点和点，为抛物线上一点，和垂直，且线段长为，求的
14、值解析：设点分别为，则，的坐标分别为练习：1. 过抛物线的焦点作一直线交抛物线于两点，若线段与的长分别是，则= 【解析：化为标准方程，得，从而取特殊情况，过焦点的弦垂直于对称轴，则为通径，即，从而，故】2.设抛物线的焦点为，经过点的直线交抛物线于两点点在抛物线的准线上，且轴证明直线经过原点【证明：抛物线焦点为设直线的方程为，代入抛物线方程，得若设，则轴，且点在准线；又由，得，故，即直线经过原点】3.已知抛物线的焦点是，准线方程是，求抛物线的方程以及顶点坐标和对称轴方程【解：设是抛物线上的任意一点，由抛物线的定义得整理，得，此即为所求抛物线的方程抛物线的对称轴应是过焦点且与准线垂直的直线，因此有
15、对称轴方程设对称轴与准线的交点为，可求得，于是线段的中点就是抛物线的顶点，坐标是】备选1.抛物线的顶点坐标是，准线的方程是，试求该抛物线的焦点坐标和方程解：依题意，抛物线的对称轴方程为设对称轴和准线的交点是，可以求得设焦点为，则的中点是，故得焦点坐标为再设是抛物线上的任一点，根据抛物线的定义得，化简整理得，即为所求抛物线的方程例2 已知为抛物线上两点，且，求线段中点的轨迹方程解析：设，据的几何意义，可得设线段中点，则消去参数得点的轨迹方程为经典抛物线的综合题及答案1.如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A、B两点， A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，-3）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点.（1）求这个二次函数的表达式（2）连结PO、PC，并把POC沿CO翻折，得到四边形POPC， 那么是否存在点P，使四边形POPC为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由（3）当点P运动到什么位置时，四边形 ABPC的面积最大并求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积.