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1、高考备考精品：数学解题能力快速提升一不等式解题方法一、从与的大小说起【引例】 正实数中，对任意a，b，m，都有这就是“分数的基本性质”：分数的分子和分母乘以同一个正数，其值不变.这，连小学生都知道. 但， 我们的话题却要从这儿开始.【问题】对以上“性质”，如果将冒号后的文字改变一个字，将“乘”改成“加”，即变成这里的等号还能成立吗？请看下例.【例1】若ba0，m0，则有A. B.C.D.【解答】 （淘汰法）令a=1，b=2，m=3 淘汰B，C，D，答案为A.【例2】（变例1为解答题）若ba0，m0，试比较和的大小.【解1】 （比较法 作差变形判定符号）因为 【解2】 （综合法由因推果 由整式推
2、出分式）abmambab+amab+bma(b+m)b(a+m)【说明】 因果关系，步步清楚，只是在第三步时，对ab的无中生有，不易想到.【解3】 （分析法由果索因 由分式化为整式）欲使 只须a(b+m)b(a+m)只须ambm只须a）【说明】 a放大为b，则缩小为，结果是分值缩小.将缩成，目标是“约”去m.【解5】 （放缩法 从左到右）（ a0，m0，求证【法1】 （等式法 不等式变为方程）设 得 即x0，故有 .【说明】 这种等式法实为比较法的一种变式. 即作差法的另种形式.【法2】 （等式法未知数论设作因子）设 则 所以【说明】 这种等式法为比较法的另一种形式.即作商法的另种形式.【法3
3、】 （函数法视m为x，）设有函数 函数在0，m上是减函数，故是0，m上的增函数.（图右，其中a=1，b=2）f（0）0）是（0，+）上的减函数.【法4】 （不等式法 把证不等式化为解不等式）解不等式即 x=m为正数时，原不等式真.【说明】 证不等式可视为一种特殊形式的解不等式.如证a2-a+10，即x2-x+10的解为R，视参数为变量. 解出的参数值域符合题设的取值范围即可.【法5】 （极限法把参数m作极端处理）&nbs,p;当m0时，当m时，故有 【说明】 对于解答题来讲，这种解法的理由不充分，因为对于函数f (m)=的单调性并没讲清楚，没有交待f(m)是上的增函数.如果是确定性的选择题例1
4、，即与的大小关系是确定的，不需要讨论m的范围时，则这种极限法是很简便的.【小结】 真分数的“放大性”：真分数的分子和分母加上同一个正数，其值变大.以这种“放大性”为基础，可推出许多重要的分式不等式，如（1）|a+b|a|+|b|（2）数列an=是增数列；而数bn=是减数列.【练习】 1.正数中，再证.分别用函数法、方法程和解不等式法.2.用不同的方法证明.3.用不同的方法证明.三、千方百法 会战高考不等式【考题1】 （2006年赣卷第5题）对于R上可导的任意函数f（x），若满足（x1）f（x）0，则必有（ ）Af（0）f（2）2f（1）【分析】 从已知条件（x-1）f (x)0出发，可得如下的
5、不等式组或. 因此f(x)有两种可能：其一，f (x)为常数；其二，f(x)在区间上为减函数，在上为增函数.【解答】 （综合法）依题意，当x1时，f（x）0，函数f（x）在1，上是增函数；当x0，函数f(x)=ax-bx2.（）当b0时，若对任意xR都有f(x)1，证明a；（）当b1时，证明：对任意x0,1，|f(x)|1的充要条件是b-1a；（）当00，b0，a.【解】 先证必要性：对任意x0,1，|f (x)|1-1f(x)，据此可以推出-1f (1)，即a-b-1，ab-1；对任意x0,1，|f (x)|1f (x)1，因为b1，可以推出1，即 a-11，a；b-1a.再证充分性：因为b
6、1，ab-1，对任意x0,1，可以推出ax-bx2b(x-x2)-x-x-1.即 ax-bx21；因为b1，a，对任意x0,1，可以推出ax-bx21，即ax-bx21.-1f(x)1.综上，当b1时，对任意x0,1，|f(x)|1的充要条件是b-1a.【解】因为a0，00，0N时，对任意b0，都有【分析】 本题的第（）、（）、（）小题之间成梯式结构，（）是（）和（）的基础.从策略上看，如在（）上遇着困难，可承认（）的结论，并利用它迅速地解出（）和（）来.此题恰恰是第（）难，而（）、（）容易.对于（），已知为两个不等式，而求证一个不等式.其基本思路是，对已知不等式用综合法“下推”，对求证不等式
7、用分析法“上追”. 如：欲使 只须 =此时，“综合下推”的方向就清楚了.【解】 当n2时，即，于是有，所有不等式两边相加可得 由已知不等式知，当n3时有，【解】 又an0. 故有=0.【解】 （放大为了化简）令，则有，故取N=1024，可使当nN时，都有【说明】 本小题是条件不等式的证明，已知2个不等式，求证1个不等式.在分析综合放缩三法联合证明综合大题时，优先考虑分析法.随时思考待证的不等式需要什么，需要的东西如何从已知的不等式中得到.【练习】 对考题3，已知条件不变，对设问作如下改写（）设，利用数学归纳法证不等式（）利用上述结果，证明不等式二函数最值的求解方法一、二次函数最值寻根初中生研究
8、二次函数的最值，是从配方法开始的.设a0，f(x)=ax2+bx+c=初三学生已知，二次函数f(x)，在a0时，有最小值；a0，探索二次函数y=ax2+bx+c的单调区间.并指出函数的最值点.【解答】任取x10 ) 有减区间和增区间.显然，二次函数的最值点为，函数有最小值.【评说】从这里看到，二次函数的最点，就是两个“异性”单调区间的交接点.【练1】试研究一次函数没有最点，从而没有最值.【解】任取，则有（1）时，函数在R上为增函数.时，;时，.（2）时，函数在R上为减函数.时，;时，.所以，一次函数在R上没有最点，从而一次函数无最值（既无最大值，也无最小值）.【说明】一次函数定义在R上，定义域
9、内找不到这样的“点”，使得该点两边邻域是异性的两个单调区间.本例从反面看到：最点是单调区间的“变性”的“转折点”.二、从到高中生将“最点”变形为，并由此得到一个一次函数.精明的学生发现，这个一次函数与对应的二次函数有某种“关系”，甚至有学生在偷偷地利用这种“关系”.这种“关系”到了高三才彻底解决：函数正是函数的导函数，即.函数求“最根”的问题，正好是的导函数的“求根”问题.导函数的根，就是的驻点.很清楚，二次函数的驻点就是二次函数的最点.问题变得这么明朗：求的最点，就是求的根.俗说中“最根”，真的与“根”字巧合了.【例2】设，在同一坐标系中，分别作得和的图象（如右）.试说明的正负性与单调性的对
10、应关系.【解析】与相交于.（1）时，,递减；（2）时，,递增；（3）时，,得到最小值.故对应关系为：（1）负区与的减区对应；（2）正区与的增区对应；（3）零点与的最值对应.【练2】已知二次函数的导函数图象如右图的直线，则有（1）=（），增区间为（），减区间为（）；（2）的最（）值为（）；（3）若，求的解析式.【解答】从右图上看到（1）的根为，故有=1；（2）时，0，故的增区间为；时，0，函数递增；（2）时，0，函数递增.故在有极大值，在上有极小值.故，是的2个极点，前者为极大点，后者为极小点.又时，故函数既无最大值，也无最小值.从而无最点.【说明】这是三次函数有2个驻点，且都为极点的例子.而三
11、次函数无驻点或有驻点但不是极点的例子如下（练3）.【练3】研究下列三次函数的驻点、极点、最点和单调区间.（1）（2）【解析】（1）,函数无驻点，无极点，无最点.是上的增函数.（2）,有2个重合的驻点.（1）当时，函数递增，（2）当时，函数也递增.因此，驻点不能分出两个“相异”的单调区间，故不是的极点，无极点，当然也无最点.是R上的增函数.【说明】函数相重合的两驻点不成为极点，可理解为它们消去了“中间”的一个“相异”的单调区间后，将两边的“同性”的单调区进行了链接而成为一个单调区间.经过以上的讨论得知，定义在R上的三次函数，不管它有无驻点或极点，它是不会有最点的。四、极点何时为最点不重合的2个驻
12、点可以分别成为极点.那么，在什么条件下极点成为最点呢？驻点是极点的必要不充分条件，那么极点是最点的什么条件呢？我们研究，极点何时成为最点.【例4】已知的导函数，试探究的极点和最点.【解析】.有3个相异的根：它们都是的极点.易知原函数（R）易知为的减区间，为的增区间，为的减区间，为的增区间.的4个单调区间依次成“减增减增”的顺序，使得首、尾两个区间的单调性相异，从而使得在“两次探底”中得到最（小）点.比较三个极值的大小：得的最小值为，对应两个最小点和1.【说明】定义在一个开区间上的可导函数如果有n个极点：x1x2xn.当n为奇数时，有最点存在.最点在依次为奇数的极点中产生，通过奇数位上的极值比大
13、小可得.当n为偶数时，函数无最点.【练4】求函数的最值.【解析】函数是定义在一个开区间上的可导函数,令得的唯一驻点即为最点.时，函数递增,时，函数递减,故有最大值.【说明】本函数是二次函数的复合函数，用配方法求最值也很简便.,等号成立条件是.五、最值寻根的导数判定若定义在一个开区间上的函数有导函数存在，那么是否有最值的问题可转化为的导函数是否有最根的问题来研究：（1）若导函数无根，即，则无最值；（2）若导函数有唯一的根，即，则有最值.此时，导函数的根即是函数最根.（3）若导函数有多个的根，则应从多个驻点中依次判定极点、最点的存在性.【例5】在以下四个函数中，有最值存在的函数是A.B.C.D.【
14、解析】对于A，定义区间虽有两个，但都有，无最值；对于B，函数有重合的两驻点，无最值；对于C，无最值；对于D，.当时，令，得，有最值=1.本题答案为D.【练5】判断以下函数，是否有最值，如果有，求出最值.（1）（2）【解析】（1），无最值.（2）.当时，由，得.有最值，.当时，是增函数.当时，是减, 函数.故是的最大值.六、最根与高考题导数应用于高考，一般都在研究函数的单调性和函数最值问题，对可导函数来讲，这两个问题互相捆绑着，于是导数问题的“根本”则变成“最根”问题.【例6】已知可导函数在R上恒有，且不为常数，试研究的单调区间和函数最值.【解析】由可知时，函数为减函数;时，函数为增函数;由此可
15、知，是的唯一的根，故为最根.故有减区间，增区间，有最大值.【说明】本题是在研究“抽象函数”无具体解析式的一类函数的性质，只在满足性质条件下，通过“最根”的判定而确定了的单调区间和最值.有些不等式的证明，还可以通过构造函数，研究这个函数的“最值”而确认不等式是否成立.【练6】已知函数，.（1）求函数的最大值；（2）设，证明：.【解析】（1），故有唯一的最根，故的最大值为.（2），.设，则.当时，因此在内为减函数.当时，因此在上为增函数.从而，当时，有最小值，因为，所以，即.【说明】问题（2）的解决，是用“最根”证明不等式.七、余兴荒唐错误打从何来学生小新读完上文，很感兴趣，他模仿着【练4】的题型
16、，只是变了几个系数，结果成了下面的问题.【例7】研究函数有无最值.【小新解答】.令，得的唯一驻点为“最点”.因此有最值.【讨论】是最值吗？若为最大值，我们可以找到比它更大的；如果是最小值，我们可以找到比它更小的.解答错了！错在哪里？作为思考题留给读者.【提示】本函数的定义域不是“一个”开区间.三二项式的展开1、二项式(a+b)n展开追根n= 1根据乘法法则，分别有：（1）(a+b)1=a+b（2）(a+b)2=a2+2ab+b2（3）(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3（4）(a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4展开后，（2）的系数是（1）的系数“错位相加”，（3）的
17、系数是（2）的系数“错位相加”，（4）的系数是（3）的系数“错位相加”，（n）的系数是（n1）的系数“错位相加”. 草式如下.由此看到(a+b)n展开式的系数是由(a+b)1的系数“1+1”错位相加、累计(n-1)次的结果.【例2】设 (a+b)6=A0a6+A1a5b+A2a4b2+ +A6b6(a+b)7=B0a7+B1a6b+B2a5b2+ +B7b7试用Ai(i= 0，1，6)的代数式表示Bj(j=0，1，2，7)【解析】(a+b)7= (a+b)6(a+b)= (A0a6+A1a5b+ +A5ab5+A6b6) (a+b)=A0a7+ (A0+A1)a6b+ (A1+A2)a5b2+
18、 + (A5+A6)a b6+A6b7于是有B0=A0；B1=A0+A1；B2=A1+A2；B3=A2+A3；B4=A13+A4；B5=A4+A5；B6=A5+A6；B7=A6.【说明】 由（6）到（7）的系数“错位相加”草式如下.这是一个有趣的规律，它说明：二项式展开式的每个系数也是“二项式”，即展开式的每个系数都是一个二项式的和.一般地：Br+1=Ar+Ar+1(r= 0，1，n- 1)特别地：B0= 0 +A0=A0，Bn=An-1+ 0 =An-12、二项式含二项式看杨辉三角收藏上面的“错位加法”有意思，二项式中的二项式更有意思，如果把草式简化，只把各行的“加法结果”依次开列出来，就得
19、到我们熟悉的杨辉三角形（图右）.这个三角形可命名为“1+1三角形”.因为：（1）这个三角形是从1+1开始的；（2）三角形的任何一行数的和，自我相加之后变成了下一行各数之和.这个三角形可命名为“2打滚三角形”，因为从2开始，上行各数之和翻一倍，便成为下行各数之和.这个三角形还可命名为“二项式中的二项式三角形中”，因为这个三角形中的任何一个数，都等于这个数肩上2数之和. 如三角形中第5行的第3数10，就等于它的肩上两数第4行第2、3两数的和：10=4+6.二项式中的二项式“肩挑两数”中两数是唯一的吗？【例3】在杨辉三角形中，第5行第3数上的数10，写成肩上2数的和，可以是：A.10=4+6B.10
20、=3+7C.10=2+8D.10=5+5【解答】杨辉三角形中的任何一个数，都由1+1的错位加法形成，因为加法的结果有唯一性. 所以，第5行第3个数10，肩挑两数的结果4+6是唯一的. 答案为A.【说明】这个三角形还可以命名为“单肩串数三角形”.因为三角形中任何一个数都等于它的“一个肩上数斜向上顶住的一串数”.如三角形中第5行第3数10，它等于它右肩上的数6，并由6向左斜上方串联的一组数的和，即10=6+3+1它也等于它左肩上的数4，并由4向右斜上方串联的一组数的和，即10=4+3+2+1“单肩串数”实为“肩挑两数”性质推论. “单肩串数”实为“肩挑两数”递推的结果，例如数10，如果是右肩串数，
21、则是3次“肩挑两数”的结果.10=6+4=6+（3+1）=6+3+（1+0）=6+3+1+0“单肩串数”是“肩挑两数”的递推结果；从而是“错位加法”的累计结果（图右）.3、子集组合得展开式系数为了弄清二项式 (a+b)n= (a+b) (a+b)(a+b)=A0an+A1an-1b+An-1abn-1+Anbn展开时系数的形成过程，我们先回头看“和的平方”展开时，系数是怎样形成的.(a+b)2= (a+b) (a+b)我们视a为主字母，视b为系数，其中的2个b分别记作b1和b2，于是有(a+b)2= (a+b1) (a+b2)=a2+ (b1+b2)a+b1b2=a2+2ab+b2由此看到，最
22、高项a2的系数为1. 次高项a的系数是b1+b2，这是从集合b1，b2中，每次取1个元素所成的组合. 其组合数为=2.常数项b1b2，是从集合b1，b2每次取出2个元素所成的组合，组合数为=1.统一地看，最高项a2中不含b，因此可以看作，从集合b1，b2每次取出0个元素所对应的组合.组合数为=1.这样一来，“和的平方”展开式可写成 (a+b)2=a2+ab+b2有了这个基础，我们也可以用“组合数”表示二项式(a+b)n展开后各项的系数.【例4】试探索用组合数表示二项式(a+b)n=(a+b) (a+b)(a+b) =A0an+A1an-1b+An-1abn-1+Anbn展开式中各系数A0，A1
23、，An-1，An.【解答】对于an，它是从集合b1，b2，bn中每次取出0个元素的组合. 组合数为A0=.对于an-1b，它是从集合b1，b2，bn中，每次取出1个元素的组合，组合数为A1=.对于abn-1，它是从集合b1，b2，bn中，每次取出n-1个元素的组合，组合数为.对于bn，它是从集合b1，b2，bn中，每次取出n个元素的组合，组合数为.于是，二项式(a+b)n可展开成如下形式(a+b)n=an+an-1b+abn-1+bn这就是所谓的“二项式定理”.【说明】二项式展开后各项的系数依次为：，.其中，第1个数=1，从第2个数开始，后面的每一个数都可以用前面的那个数表示为这就是二项式展开
24、“系数递推”的依据. 二项式系数递推实际上是组合数由到的递推.4、加法定理来自二项式性质将杨辉三角形中的每一个数，都用组合符号表示出来，则得图右的三角形. 自然，“肩挑两数”的性质可写成组合的加法式.如这里，（1）相加两数和是“下标相等，上标差1”的两数；（2）其和是“下标增1，上标选大”的组合数.一般地，杨辉三角形中第n+1行任意一数，“肩挑两数”的结果为组合的加法定理：有了组合的加法定理，二项式(a+b)n展开式的证明就变得非常简便了.【例5】试用数学归纳法证明二项式定理(a+b)n=an+an-1b+abn-1+bn【证明】（1）当n=1时，a+b=a+b=a+b命题真.（2）假设n=k
25、时命题真，即(a+b)k=ak+ak-1b+abk-1+bk两边同乘以(a+b)，由“错位加法”可得(a+b)k+1=ak+1+()akb+()ak-1b2+()abk+bk+1=ak+1+akb+abk+bk+1综合（1），（2）可知，对任意的nN+，二项式(a+b)n展开式成立.5、n始于1r始于0二项式定理将(a+b)的乘方式展开成一个数列的和：(a+b)n=an+an-1b+an-rbr+bn=an-rbr展开式中的r从0取到n，故展开式共有n+1项，其中关于r的通项an-rbr不是它的第r项，而是第r+1项. 故二项式展开式的通项公式为Tr+1=an-rbr初学者经常误成Tr=an-
26、rbr在通项公式中弄清了“n与r的关系”后，以下考题可以做到“一挥而就”.【例6】已知，求展开式中x9的系数.【分析】x9的系数与x9的二项式系数虽然不是一回事，但仍可用通项公式an-rbr求出对应的r来.【解答】设展开式的第r+1项能化简得到x9项.则有Tr+1=(x2)9-r=令18-3r= 9得r=3故x9的系数为【说明】数学解题，切忌拘泥公式. 如本题中求r的值，不一定要硬套通项公式. 事实上，展开式按x的降幂排列：第1项的指数是18，第2项的指数是15，依次递减，指数为9的项是第4项，故有r= 3.由此直接得x9的系数为. 这样的计算量大为减少.6、数形趣遇算式到算图二项式定理与杨辉
27、三角形是一对天然的数形趣遇，它把数形结合带进了计算数学. 求二项式展开式系数的问题，实际上是一种组合数的计算问题. 用系数通项公式来计算，称为“式算”；用杨辉三角形来计算，称作“图算”.【例7】（2007全国甲卷理13文16）的展开式中常数项为.【式算】先考虑展开后的常数项Tr+1=x8 r=（1）令8 2r= 0，得r= 4，得= 70；（2）令8 2r= 2，得r= 5，得= 56.故求得的展开式中常数项为70 256 = 42【图算】常数项产生在展开后的第5、6两项. 用“错位加法”很容易“加出”杨辉三角形第8行的第5个数. 简图如下：146411510105115201561 35 3
28、5217056图上得到=70，=56.故求得展开式中常数项为70 256 = 42【点评】“式算”与“图算”趣遇，各扬所长，各补所短.杨辉三角形本来就是二项式展开式的算图. 对杨辉三角形熟悉的考生，比如他熟悉到了它的第6行：1，6，15，20，15，6，1那么他可以心算不动笔，对本题做到一望而答.杨辉三角形在3年内考了5个（相关的）题目，这正是高考改革强调“多想少算”、“逻辑思维与直觉思维并重”的结果. 这5个考题都与二项式展开式的系数相关，说明数形结合思想正在高考命题中进行深层次地渗透.四函数周期性的求解1、正弦函数的周期三角函数，以正弦函数y= sinx为代表，是典型的周期函数.幂函数y=
29、x 无周期性，指数函数y=ax无周期性，对数函数y=logax无周期，一次函数y=kx+b、二次函数y=ax2+bx+c、三次函数y=ax3+bx2+cx+d无周期性.周期性是三角函数独有的特性.（1）正弦函数y=sinx的最小正周期在单位圆中，设任意角的正弦线为有向线段MP.正弦函数的周期性动点P每旋转一周，正弦线MP的即时位置和变化方向重现一次.同时还看到，当P的旋转量不到一周时，正弦线的即时位置包括变化方向不会重现.因此，正弦函数y=sinx的最小正周期2.（2）y=sin（x）的最小正周期设0，y=sin（x）的最小正周期设为L.按定义y= sin （x+L） = sin（x+ L）
30、= sinx.令x=x则有 sin （x+ L） = sinx因为sinx最小正周期是2，所以有例如 sin2x的最小正周期为sin的最小正周期为（3）正弦函数y=sin（x+）的周期性对正弦函数sinx的自变量作“一次替代”后，成形式y= sin （x+）.它的最小正周期与y= sinx的最小正周期相同，都是.如的最小周期与y= sin（3x）相同，都是.于是，余弦函数的最小正周期与sinx的最小正周期相同，都是2.2、复合函数的周期性将正弦函数y= sinx进行周期变换xx，sinxsinx后者周期变为而在以下的各种变换中，如（1）初相变换sinx sin（ x+）；（2）振幅变换sin（
31、x+）Asin（ x+）；（3）纵移变换Asin（ x+） Asin（ x+）+m；后者周期都不变，亦即Asin（ x+） +m与sin（x）的周期相同，都是.而对复合函数f（sinx）的周期性，由具体问题确定.（1）复合函数f（sinx）的周期性【例题】研究以下函数的周期性：（1）2 sinx；（2）（2）的定义域为2k，2k+，值域为0，1，作图可知， 它是最小正周期为2的周期函数.【解答】（1）2sinx的定义域为R，值域为，作图可知，它是最小正周期为2的周期函数.【说明】从基本函数的定义域，值域和单调性出发，通过作图，还可确定，logax，sinx，sin（sinx）都是最小正周期2的
32、周期函数.（2）y= sin3x的周期性对于y= sin3x=(sinx)3，L=2肯定是它的周期，但它是否还有更小的周期呢？我们可以通过作图判断，分别列表作图如下.图上看到，y= sin3x没有比2更小的周期，故最小正周期为2.（3）y= sin2x的周期性对于y= sin2x= (sinx)2，L=2肯定是它的周期，但它的最小正周期是否为2？可以通过作图判定，分别列表作图如下.图上看到，y= sin2x的最小正周期为，不是2.（4）sin2nx和sin2n-1x的周期性y= sin2x的最小正周期为，还可通过另外一种复合方式得到.因为 cos2x的周期是，故 sin2x的周期也是.sin2
33、x的周期，由cosx的2变为sin2x的. 就是因为符号法“负负得正”所致.因此，正弦函数sinx的幂符合函数sinmx，当m=2n时，sinmx的最小正周期为；m= 2n1时，sinmx的最小正周期是2.（5）幂复合函数举例【例1】求y=|sinx|的最小正周期.【解答】最小正周期为.【例2】求的最小正周期.【解答】最小正周期为2.【例3】求的最小正周期.【解答】最小正周期为.【说明】正弦函数sinx的幂复合函数.当q为奇数时，周期为2；q为偶数时，周期为.3、周期函数的和函数两个周期函数，如 sinx和 cosx，它们最小正周期相同，都是 2. 那么它们的和函数，即 sinx+ cosx的
34、最小正周期如何？和函数的周期与原有函数的周期保持不变. 这个结论符合一般情况.对于另一种情况，当相加的两个函数的最小正周期不相同，情况将会如何？（1）函数 sinx+ sin2x的周期性sinx的最小正周期为2，sin2x的最小正周期是，它们之间谁依赖谁，或依赖一个第三者？列表如下.表上看到函数sinx+sin2x的最小正周期是2.（2）函数 sinx+ sin2x的周期性依据上表，作sinx+sin2x的图像如右.从图上看到，函数的最小正周期为2. 由sinx，sin2x的最小正周期中的大者决定，因为前者是后者的2倍.从图上看到，sinx+sin2x仍然是个“振动函数”，但振幅已经不是常数了.（3）函数sinx+sinx的周期性sinx的最小正周期为2，sinx的最小正周期是3.们之间的和sinx+ sinx的最小正周期也由“较大的”决定吗？即“和函数”的周期为3吗？不妨按周期定义进行检验. 设则x0+3=因此3不是sinx+ sinx的最小正周期.