[数学]高考数学难点归纳01 集合思想及应用.doc

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1、难点1 集合思想及应用集合是高中数学的基本知识，为历年必考内容之一，主要考查对集合基本概念的认识和理解，以及作为工具，考查集合语言和集合思想的运用.本节主要是帮助考生运用集合的观点，不断加深对集合概念、集合语言、集合思想的理解与应用.难点磁场()已知集合A=(x,y)|x2+mxy+2=0,B=(x,y)|xy+1=0,且0x2,如果AB,求实数m的取值范围.案例探究例1设A=(x,y)|y2x1=0,B=(x,y)|4x2+2x2y+5=0,C=(x,y)|y=kx+b,是否存在k、bN,使得(AB)C=，证明此结论.命题意图：本题主要考查考生对集合及其符号的分析转化能力，即能从集合符号上分

2、辨出所考查的知识点，进而解决问题.属级题目.知识依托：解决此题的闪光点是将条件(AB)C=转化为AC=且BC=，这样难度就降低了.错解分析：此题难点在于考生对符号的不理解，对题目所给出的条件不能认清其实质内涵，因而可能感觉无从下手.技巧与方法：由集合A与集合B中的方程联立构成方程组，用判别式对根的情况进行限制，可得到b、k的范围，又因b、kN,进而可得值.解：(AB)C=，AC=且BC= k2x2+(2bk1)x+b21=0AC=1=(2bk1)24k2(b21)04k24bk+10,即b214x2+(22k)x+(5+2b)=0BC=,2=(1k)24(52b)0k22k+8b190,从而8

3、b20,即b2.5 由及bN,得b=2代入由10和20组成的不等式组，得k=1,故存在自然数k=1,b=2,使得(AB)C=.例2向50名学生调查对A、B两事件的态度，有如下结果：赞成A的人数是全体的五分之三，其余的不赞成，赞成B的比赞成A的多3人，其余的不赞成；另外，对A、B都不赞成的学生数比对A、B都赞成的学生数的三分之一多1人.问对A、B都赞成的学生和都不赞成的学生各有多少人？命题意图：在集合问题中，有一些常用的方法如数轴法取交并集，韦恩图法等，需要考生切实掌握.本题主要强化学生的这种能力.属级题目.知识依托：解答本题的闪光点是考生能由题目中的条件，想到用韦恩图直观地表示出来. 错解分析

4、：本题难点在于所给的数量关系比较错综复杂，一时理不清头绪，不好找线索.技巧与方法：画出韦恩图，形象地表示出各数量关系间的联系.解：赞成A的人数为50=30，赞成B的人数为30+3=33，如上图，记50名学生组成的集合为U，赞成事件A的学生全体为集合A；赞成事件B的学生全体为集合B.设对事件A、B都赞成的学生人数为x,则对A、B都不赞成的学生人数为+1,赞成A而不赞成B的人数为30x，赞成B而不赞成A的人数为33x.依题意(30x)+(33x)+x+(+1)=50,解得x=21.所以对A、B都赞成的同学有21人，都不赞成的有8人.锦囊妙计1.解答集合问题，首先要正确理解集合有关概念，特别是集合中

5、元素的三要素；对于用描述法给出的集合x|xP,要紧紧抓住竖线前面的代表元素x以及它所具有的性质P；要重视发挥图示法的作用，通过数形结合直观地解决问题.2.注意空集的特殊性，在解题中，若未能指明集合非空时，要考虑到空集的可能性，如AB,则有A=或A两种可能，此时应分类讨论.歼灭难点训练一、选择题1.()集合M=x|x=,kZ,N=x|x=,kZ,则( )A.M=NB.MNC.MND.MN=2.()已知集合A=x|2x7,B=x|m+1x2m1且B,若AB=A，则( )A.3m4B.3m4C.2m4D.20,b0,当AB只有一个元素时，a,b的关系式是_.三、解答题5.()集合A=x|x2ax+a

7、=x|x=f(x),B=x|ff(x)=x.(1)求证：AB;(2)如果A=1，3，求B.难点2 充要条件的判定充分条件、必要条件和充要条件是重要的数学概念，主要用来区分命题的条件p和结论q之间的关系.本节主要是通过不同的知识点来剖析充分必要条件的意义，让考生能准确判定给定的两个命题的充要关系.难点磁场()已知关于x的实系数二次方程x2+ax+b=0有两个实数根、，证明：|2且|2是2|a|4+b且|b|0),若p是q的必要而不充分条件，求实数m的取值范围.命题意图：本题以含绝对值的不等式及一元二次不等式的解法为考查对象，同时考查了充分必要条件及四种命题中等价命题的应用，强调了知识点的灵活性.

8、知识依托：本题解题的闪光点是利用等价命题对题目的文字表述方式进行转化，使考生对充要条件的难理解变得简单明了.错解分析：对四种命题以及充要条件的定义实质理解不清晰是解此题的难点，对否命题，学生本身存在着语言理解上的困难.技巧与方法：利用等价命题先进行命题的等价转化，搞清晰命题中条件与结论的关系，再去解不等式，找解集间的包含关系，进而使问题解决.解：由题意知：命题：若p是q的必要而不充分条件的等价命题即逆否命题为：p是q的充分不必要条件.p:|1|2212132x10q:x22x+1m20x(1m)x(1+m)0 *p是q的充分不必要条件，不等式|1|2的解集是x22x+1m20(m0)解集的子集

9、.又m0不等式*的解集为1mx1+m，m9，实数m的取值范围是9，+.例2已知数列an的前n项Sn=pn+q(p0,p1),求数列an是等比数列的充要条件.命题意图：本题重点考查充要条件的概念及考生解答充要条件命题时的思维的严谨性.知识依托：以等比数列的判定为主线，使本题的闪光点在于抓住数列前n项和与通项之间的递推关系，严格利用定义去判定.错解分析：因为题目是求的充要条件，即有充分性和必要性两层含义，考生很容易忽视充分性的证明.技巧与方法：由an=关系式去寻找an与an+1的比值，但同时要注意充分性的证明.解：a1=S1=p+q.当n2时，an=SnSn1=pn1(p1)p0,p1,=p若an

10、为等比数列，则=p=p,p0，p1=p+q，q=1这是an为等比数列的必要条件.下面证明q=1是an为等比数列的充分条件.当q=1时，Sn=pn1(p0,p1)，a1=S1=p1当n2时，an=SnSn1=pnpn1=pn1(p1)an=(p1)pn1 (p0,p1)=p为常数q=1时，数列an为等比数列.即数列an是等比数列的充要条件为q=1.锦囊妙计本难点所涉及的问题及解决方法主要有：(1)要理解“充分条件”“必要条件”的概念：当“若p则q”形式的命题为真时，就记作pq，称p是q的充分条件，同时称q是p的必要条件，因此判断充分条件或必要条件就归结为判断命题的真假.(2)要理解“充要条件”的

11、概念，对于符号“”要熟悉它的各种同义词语：“等价于”，“当且仅当”，“必须并且只需”，“，反之也真”等.(3)数学概念的定义具有相称性，即数学概念的定义都可以看成是充要条件，既是概念的判断依据，又是概念所具有的性质.(4)从集合观点看，若AB，则A是B的充分条件，B是A的必要条件；若A=B，则A、B互为充要条件.(5)证明命题条件的充要性时，既要证明原命题成立(即条件的充分性)，又要证明它的逆命题成立(即条件的必要性).歼灭难点训练一、选择题1.()函数f(x)=x|x+a|+b是奇函数的充要条件是( )A.ab=0B.a+b=0C.a=bD.a2+b2=02.()“a=1”是函数y=cos2

12、axsin2ax的最小正周期为“”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既非充分条件也不是必要条件二、填空题3.()a=3是直线ax+2y+3a=0和直线3x+(a1)y=a7平行且不重合的_.4.()命题A：两曲线F(x,y)=0和G(x,y)=0相交于点P(x0,y0),命题B：曲线F(x,y)+G(x,y)=0(为常数)过点P(x0,y0),则A是B的_条件.三、解答题5.()设，是方程x2ax+b=0的两个实根，试分析a2且b1是两根、均大于1的什么条件？6.()已知数列an、bn满足：bn=,求证：数列an成等差数列的充要条件是数列bn也是等差数列.7.()已知

13、抛物线C：y=x2+mx1和点A(3，0)，B(0，3)，求抛物线C与线段AB有两个不同交点的充要条件.8.()p:2m0,0n0.即有4+b2a(4+b)又|b|44+b02|a|4+b(2)必要性：由2|a|4+bf(2)0且f(x)的图象是开口向上的抛物线.方程f(x)=0的两根，同在(2，2）内或无实根.，是方程f(x)=0的实根，同在(2，2）内，即|2且|2.歼灭难点训练一、1.解析：若a2+b2=0,即a=b=0,此时f(x)=(x)|x+0|+0=x|x|=(x|x+0|+b)=(x|x+a|+b)=f(x).a2+b2=0是f(x)为奇函数的充分条件，又若f(x)=x|x+a

14、|+b是奇函数，即f(x)=(x)|(x)+a|+b=f(x),则必有a=b=0,即a2+b2=0.a2+b2=0是f(x)为奇函数的必要条件.答案：D2.解析：若a=1,则y=cos2xsin2x=cos2x,此时y的最小正周期为.故a=1是充分条件，反过来，由y=cos2axsin2ax=cos2ax.故函数y的最小正周期为,则a=1,故a=1不是必要条件.答案：A二、3.解析：当a=3时，直线l1:3x+2y+9=0;直线l2:3x+2y+4=0.l1与l2的A1A2=B1B2=11，而C1C2=941,即C1C2,a=3l1l2.答案：充要条件4.解析：若P(x0,y0)是F(x,y)

15、=0和G(x,y)=0的交点，则F(x0,y0)+G(x0,y0)=0，即F(x,y)+G(x,y)=0，过P(x0,y0);反之不成立.答案：充分不必要三、5.解：根据韦达定理得a=+,b=.判定的条件是p:结论是q:(注意p中a、b满足的前提是=a24b0)(1)由，得a=+2,b=1,qp(2)为证明pq,可以举出反例：取=4,=,它满足a=+=4+2,b=4=21,但q不成立.综上讨论可知a2,b1是1,1的必要但不充分条件.6.证明：必要性：设an成等差数列，公差为d,an成等差数列. 从而bn+1bn=a1+nda1(n1) d=d为常数. 故bn是等差数列，公差为d.充分性:设b

16、n是等差数列，公差为d,则bn=(n1)dbn(1+2+n)=a1+2a2+nanbn1(1+2+n1)=a1+2a2+(n1)an得：nan=bn1an=,从而得an+1an=d为常数，故an是等差数列.综上所述，数列an成等差数列的充要条件是数列bn也是等差数列.7.解：必要性：由已知得，线段AB的方程为y=x+3(0x3)由于抛物线C和线段AB有两个不同的交点，所以方程组*有两个不同的实数解.消元得：x2(m+1)x+4=0(0x3)设f(x)=x2(m+1)x+4,则有充分性：当3x时，x1=0方程x2(m+1)x+4=0有两个不等的实根x1,x2,且0x1x23,方程组*有两组不同的

17、实数解.因此，抛物线y=x2+mx1和线段AB有两个不同交点的充要条件3m.8.解：若关于x的方程x2+mx+n=0有2个小于1的正根，设为x1,x2.则0x11,0x21,有0x1+x22且0x1x21,根据韦达定理：有2m0;0n1即有qp.反之，取m=0方程x2+mx+n=0无实根，所以pq综上所述，p是q的必要不充分条件.难点3 运用向量法解题平面向量是新教材改革增加的内容之一，近几年的全国使用新教材的高考试题逐渐加大了对这部分内容的考查力度，本节内容主要是帮助考生运用向量法来分析，解决一些相关问题.难点磁场()三角形ABC中，A(5，1)、B(1，7)、C(1，2)，求：(1)BC边

18、上的中线AM的长；(2)CAB的平分线AD的长；(3)cosABC的值.案例探究例1如图，已知平行六面体ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且C1CB=C1CD=BCD.(1)求证：C1CBD.(2)当的值为多少时，能使A1C平面C1BD？请给出证明.命题意图：本题主要考查考生应用向量法解决向量垂直，夹角等问题以及对立体几何图形的解读能力.知识依托：解答本题的闪光点是以向量来论证立体几何中的垂直问题，这就使几何问题代数化，使繁琐的论证变得简单.错解分析：本题难点是考生理不清题目中的线面位置关系和数量关系的相互转化，再就是要清楚已知条件中提供的角与向量夹角的区别与联系.技巧与方法：利用

19、abab=0来证明两直线垂直，只要证明两直线对应的向量的数量积为零即可.(1)证明：设=a, =b,=c,依题意，|a|=|b|，、中两两所成夹角为，于是=ab，=c(ab)=cacb=|c|a|cos|c|b|cos=0,C1CBD.(2)解：若使A1C平面C1BD，只须证A1CBD，A1CDC1，由=(a+b+c)(ac)=|a|2+abbc|c|2=|a|2|c|2+|b|a|cos|b|c|cos=0,得当|a|=|c|时，A1CDC1，同理可证当|a|=|c|时，A1CBD，=1时，A1C平面C1BD.例2如图，直三棱柱ABCA1B1C1，底面ABC中，CA=CB=1，BCA=90，

20、AA1=2，M、N分别是A1B1、A1A的中点.(1)求的长；(2)求cos的值；(3)求证：A1BC1M.命题意图：本题主要考查考生运用向量法中的坐标运算的方法来解决立体几何问题.属级题目.知识依托：解答本题的闪光点是建立恰当的空间直角坐标系Oxyz,进而找到点的坐标和求出向量的坐标.错解分析：本题的难点是建系后，考生不能正确找到点的坐标.技巧与方法：可以先找到底面坐标面xOy内的A、B、C点坐标，然后利用向量的模及方向来找出其他的点的坐标.(1)解：如图，以C为原点建立空间直角坐标系Oxyz.依题意得：B(0，1，0)，N(1，0，1)|=.(2)解：依题意得：A1(1，0，2)，C(0，

21、0，0)，B1(0，1，2).=(0，1，2)=10+(1)1+22=3|=(3)证明：依题意得：C1(0，0，2)，M()A1BC1M.锦囊妙计1.解决关于向量问题时，一要善于运用向量的平移、伸缩、合成、分解等变换，正确地进行向量的各种运算，加深对向量的本质的认识.二是向量的坐标运算体现了数与形互相转化和密切结合的思想.2.向量的数量积常用于有关向量相等，两向量垂直、射影、夹角等问题中.常用向量的直角坐标运算来证明向量的垂直和平行问题；利用向量的夹角公式和距离公式求解空间两条直线的夹角和两点间距离的问题.3.用空间向量解决立体几何问题一般可按以下过程进行思考：(1)要解决的问题可用什么向量知

22、识来解决？需要用到哪些向量？(2)所需要的向量是否已知？若未知，是否可用已知条件转化成的向量直接表示？(3)所需要的向量若不能直接用已知条件转化成的向量表示，则它们分别最易用哪个未知向量表示？这些未知向量与由已知条件转化的向量有何关系？(4)怎样对已经表示出来的所需向量进行运算，才能得到需要的结论？歼灭难点训练一、选择题1.()设A、B、C、D四点坐标依次是(1，0)，(0，2)，(4，3)，(3，1)，则四边形ABCD为( )A.正方形B.矩形C.菱形D.平行四边形2.()已知ABC中，=a，=b，ab0，SABC=,|a|=3,|b|=5,则a与b的夹角是( )A.30B.150C.150

23、D.30或150二、填空题3.()将二次函数y=x2的图象按向量a平移后得到的图象与一次函数y=2x5的图象只有一个公共点(3，1)，则向量a=_.4.()等腰ABC和等腰RtABD有公共的底边AB，它们所在的平面成60角，若AB=16 cm,AC=17 cm,则CD=_.三、解答题5.()如图，在ABC中，设=a， =b， =c, =a,(01), =b(0bc,a+b+c=0,(a,b,cR).(1)求证：两函数的图象交于不同的两点A、B；(2)求线段AB在x轴上的射影A1B1的长的取值范围.命题意图：本题主要考查考生对函数中函数与方程思想的运用能力.属于题目.知识依托：解答本题的闪光点是

24、熟练应用方程的知识来解决问题及数与形的完美结合.错解分析：由于此题表面上重在“形”，因而本题难点就是一些考生可能走入误区，老是想在“形”上找解问题的突破口，而忽略了“数”.技巧与方法：利用方程思想巧妙转化.(1)证明：由消去y得ax2+2bx+c=0=4b24ac=4(ac)24ac=4(a2+ac+c2)=4(a+c2a+b+c=0,abc,a0,c0,0,即两函数的图象交于不同的两点.(2)解：设方程ax2+bx+c=0的两根为x1和x2,则x1+x2=,x1x2=.|A1B1|2=(x1x2)2=(x1+x2)24x1x2abc,a+b+c=0,a0,cacc,解得(2,)的对称轴方程是

25、.(2,)时，为减函数|A1B1|2(3,12),故|A1B1|().例2已知关于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0.(1)若方程有两根，其中一根在区间(1，0)内，另一根在区间(1，2)内，求m的范围.(2)若方程两根均在区间(0，1)内，求m的范围.命题意图：本题重点考查方程的根的分布问题，属级题目.知识依托：解答本题的闪光点是熟知方程的根对于二次函数性质所具有的意义.错解分析：用二次函数的性质对方程的根进行限制时，条件不严谨是解答本题的难点.技巧与方法：设出二次方程对应的函数，可画出相应的示意图，然后用函数性质加以限制.解：(1)条件说明抛物线f(x)=x2+2mx+2m+1与x轴的

26、交点分别在区间(1，0)和(1，2)内，画出示意图，得.(2)据抛物线与x轴交点落在区间(0，1)内，列不等式组(这里0m0,f(x)在区间p,q上的最大值M，最小值m,令x0= (p+q).若p,则f(p)=m,f(q)=M;若px0,则f()=m,f(q)=M;若x0q,则f(p)=M,f()=m;若q,则f(p)=M,f(q)=m.2.二次方程f(x)=ax2+bx+c=0的实根分布及条件.(1)方程f(x)=0的两根中一根比r大，另一根比r小af(r)0;(2)二次方程f(x)=0的两根都大于r (3)二次方程f(x)=0在区间(p,q)内有两根(4)二次方程f(x)=0在区间(p,q

27、)内只有一根f(p)f(q)0,或f(p)=0(检验)或f(q)=0(检验)检验另一根若在(p,q)内成立.(5)方程f(x)=0两根的一根大于p,另一根小于q(pq).3.二次不等式转化策略(1)二次不等式f(x)=ax2+bx+c0的解集是：(,),+a0时，f()f() |+|+|,当a0时，f()|+|;(3)当a0时，二次不等式f(x)0在p,q恒成立或(4)f(x)0恒成立歼灭难点训练一、选择题1.()若不等式(a2)x2+2(a2)x40),若f(m)0,则实数p的取值范围是_.4.()二次函数f(x)的二次项系数为正，且对任意实数x恒有f(2+x)=f(2x),若f(12x2)

28、0且a1)(1)令t=ax,求y=f(x)的表达式；(2)若x(0,2时，y有最小值8，求a和x的值.6.()如果二次函数y=mx2+(m3)x+1的图象与x轴的交点至少有一个在原点的右侧，试求m的取值范围.7.()二次函数f(x)=px2+qx+r中实数p、q、r满足=0,其中m0,求证：(1)pf()0,则f(0)0,而f(m)0,m(0,1),m10,f(m1)0.答案：A二、3.解析：只需f(1)=2p23p+90或f(1)=2p2+p+10即3p或p1.p(3, ).答案：(3，）4.解析：由f(2+x)=f(2x)知x=2为对称轴，由于距对称轴较近的点的纵坐标较小，|12x22|1

29、+2xx22|,2x0.答案：2x0三、5.解：(1）由loga得logat3=logty3logta由t=ax知x=logat，代入上式得x3=,logay=x23x+3，即y=a (x0).(2)令u=x23x+3=(x)2+ (x0),则y=au若0a1,要使y=au有最小值8，则u=(x)2+在(0，2上应有最大值，但u在(0，2上不存在最大值.若a1,要使y=au有最小值8，则u=(x)2+,x(0,2应有最小值当x=时，umin=,ymin=由=8得a=16.所求a=16,x=.6.解：f(0)=10(1)当m0时，二次函数图象与x轴有两个交点且分别在y轴两侧，符合题意.(2）当m

30、0时，则解得0m1综上所述，m的取值范围是m|m1且m0.7.证明：(1),由于f(x)是二次函数，故p0,又m0,所以，pf()0.(2)由题意，得f(0)=r,f(1)=p+q+r当p0时，由(1）知f()0若r0,则f(0)0,又f()0,所以f(x)=0在(0，)内有解;若r0,则f(1)=p+q+r=p+(m+1)=()+r=0,又f()0,所以f(x)=0在(,1)内有解.当p0时同理可证.8.解：(1）设该厂的月获利为y,依题意得y=(1602x)x(500+30x)=2x2+130x500由y1300知2x2+130x5001300x265x+9000，(x20)(x45)0，

31、解得20x45当月产量在2045件之间时，月获利不少于1300元.(2）由(1）知y=2x2+130x500=2(x)2+1612.5x为正整数，x=32或33时，y取得最大值为1612元，当月产量为32件或33件时，可获得最大利润1612元.参考答案难点磁场解：由得x2+(m1)x+1=0AB方程在区间0，2上至少有一个实数解.首先，由=(m1)240,得m3或m1,当m3时，由x1+x2=(m1)0及x1x2=10知，方程只有负根，不符合要求.当m1时，由x1+x2=(m1)0及x1x2=10知，方程只有正根，且必有一根在区间(0，1内，从而方程至少有一个根在区间0，2内.故所求m的取值范

32、围是m1.歼灭难点训练一、1.解析：对M将k分成两类：k=2n或k=2n+1(nZ),M=x|x=n+,nZx|x=n+,nZ,对N将k分成四类，k=4n或k=4n+1,k=4n+2,k=4n+3(nZ),N=x|x=n+,nZx|x=n+,nZx|x=n+,nZx|x=n+,nZ.答案：C2.解析：AB=A，BA,又B,即2m4.答案：D二、3.a=0或a4.解析：由AB只有1个交点知，圆x2+y2=1与直线=1相切，则1=,即ab=.答案：ab=三、5.解：log2(x25x+8)=1,由此得x25x+8=2，B=2,3.由x2+2x8=0，C=2,4,又AC=，2和4都不是关于x的方程x

33、2ax+a219=0的解，而AB ,即AB,3是关于x的方程x2ax+a219=0的解，可得a=5或a=2.当a=5时，得A=2，3，AC=2，这与AC=不符合，所以a=5(舍去)；当a=2时，可以求得A=3，5，符合AC=，AB ，a=2.6.解：(1)正确.在等差数列an中，Sn=,则(a1+an),这表明点(an,）的坐标适合方程y(x+a1),于是点(an, )均在直线y=x+a1上.(2)正确.设(x,y)AB,则(x,y)中的坐标x,y应是方程组的解，由方程组消去y得：2a1x+a12=4(*)，当a1=0时，方程(*)无解，此时AB=；当a10时，方程(*)只有一个解x=,此时，方程组也只有一解,故上述方程组至

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