[理学]2009概率论与数理统计试题及答案.doc

《[理学]2009概率论与数理统计试题及答案.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《[理学]2009概率论与数理统计试题及答案.doc（54页珍藏版）》请在三一文库上搜索。

1、考研数学冲刺概率论与数理统计一、基本概念总结1、概念网络图2、最重要的5个概念（1）古典概型（由比例引入概率）例1：3男生，3女生，从中挑出4个，问男女相等的概率？ 例2：有5个白色珠子和4个黑色珠子，从中任取3个，问其中至少有1个是黑色的概率？（2）随机变量与随机事件的等价（将事件数字化） 例3：已知甲、乙两箱中装有两种产品，其中甲箱中装有3件合格品和3件次品，乙箱中仅装有3件合格品。从甲箱中任取3件产品放入乙箱后，求：（1） 乙箱中次品件数X的数学期望。 （2） 从乙箱中任取一件产品是次品的概率。 例4：将一枚均匀硬币连掷三次，以X表示三次试验中出现正面的次数，Y表示出现正面的次数与出现反

2、面的次数的差的绝对值，求（X，Y）的联合分布律。（3）分布函数（将概率与函数联系起来） （4）离散与连续的关系 例5：见“数字特征”的公式。（5）简单随机样本（将概率和统计联系在一起）样本是由n个同总体分布的个体组成的，相当于n个同分布的随机变量的组合（n维随机变量）。例6：样本的是已知的，个体（总体）的未知，矩估计：，完成了一个从样本到总体的推断过程。二、做题的18个口诀（概率15个，统计3个）1、概率（1）题干中出现“如果”、“当”、“已知”的，是条件概率。 例7：5把钥匙，只有一把能打开，如果某次打不开就扔掉，问第二次打开的概率？（2）时间上分两个阶段的，用“全概公式”或者“贝叶斯公式”

3、。例8：玻璃杯成箱出售，每箱20只，设各箱含0，1，2只残次品的概率分别为0.8, 0.1和0.1。一顾客欲购买一箱玻璃杯，由售货员任取一箱，而顾客开箱随机地察看4只；若无残次品，则买下该箱玻璃杯，否则退回。试求：（1）顾客买此箱玻璃杯的概率；（2）在顾客买的此箱玻璃杯中，确实没有残次品的概率。（3）“只知次数，不知位置”是“二项分布”。 例9：抛5次硬币，其中有3次正面朝上的概率？ 例10：1对夫妇生4个孩子，2男2女的概率？（4）“先后不放回取”“任取”，是“超几何分布”。 例11：5个球，3红2白，先后不放回取2个，2红的概率？ 例12：5个球，3红2白，任取2个，2红的概率？ （5）“

4、先后放回取”是“二项分布”。 例13：5个球，3红2白，先后放回取5个，2红的概率？（6）求随机变量函数的分布密度，从分布函数的定义入手。 例14：设X的分布函数F(x)是连续函数，证明随机变量Y=F（X）在区间（0，1）上服从均匀分布。（7）二维随机变量的概率分布从两个事件相交的本质入手。 ，。（8）二维连续型随机变量的边缘分布由画线决定积分的上下限。例15：设二维连续型随机变量（X，Y）在区域D上服从均匀分布，其中求X的边缘密度。（9）求二维连续型随机变量的函数分布或者某个区域内的概率，由画图计算相交部分（正概率区间和所求区域的交集）的积分。例16：设随机变量（X，Y）的分布密度为试求U=

5、X-Y的分布密度。（10）均匀分布用“几何概型”计算。例17：设随机变量（X，Y）的分布密度为：，试求P(X+Y1)。（11）关于独立性：对于离散型随机变量，有零不独立；对于连续型随机变量，密度函数可分离变量并且正概率密度区间为矩形。（12）二维随机变量的期望E(X)、E(Y)和方差D(X)、D(Y)，由边缘分布来求。例19：设，为两个随机事件,且, , , 令 求() 二维随机变量的概率分布;() 与的相关系数 ; () 的概率分布. （13）相关系数中的E(XY)，对于离散型随机变量，根据XY的一维分布来求；对于连续型随机变量，按照函数的期望来求。例20： 连续型随机变量：E(XY)（14

6、）应用题：设Y为题干中要求期望的随机变量，a为最后题目所求，然后找Y与X的函数关系，再求E(Y)。 例21：市场上对商品需求量为XU（2000，4000），每售出1吨可得3万元，若售不出而囤积在仓库中则每吨需保养费1万元，问需要组织多少货源，才能使收益的期望最大？（15）切比雪夫大数定律要求“方差有界”，辛钦大数定律要求“同分布”。2、统计（1）似然函数是联合密度或者联合分布律。连续型：离散型：例22：设总体X的概率分别为其中（0）是未知参数，利用总体X的如下样本值：3， 1， 3， 0， 3， 1， 2， 3求的矩估计值和最大似然估计值。（2）“无偏”求期望，“有效”求方差，“一致”不管它。

7、 例23：设是总体的一个样本，试证（1）（2）（3）都是总体均值u的无偏估计，并比较有效性。（3）标准正态、分布区间估计和假设检验取关于y轴对称的分位数，、分布取面积对称的分位数。三、选择题常考的5个混淆概念1、乘法公式和条件概率例24：100个学生，60个男生，40个女生，棕色头发30个，棕色头发的男生10个，任取一个学生，是棕色头发的男生的概率？已知取了一个男生，是棕色头发的概率？2、独立和互斥设A, B，则A和B相互独立与A和B互斥矛盾。例25：对于任意二事件A和B，（A） 若AB=，则A，B一定不独立。（B） 若AB=，则A，B一定独立。（C） 若AB，则A，B一定独立。（D） 若AB

8、，则A，B有可能独立。3、独立和不相关 独立是不相关的充分条件。 (X,Y)为二维正态分布时，独立和不相关互为充分必要条件。4、X，Y分别为正态分布，不能推出（X，Y）为二维正态分布；也不能推出 X+Y 为一维正态分布。例26：已知随机变量X和Y分别服从正态分布N（1，32）和N（0，42），且X与Y的相关系数，设（1）求Z的数学期望E（Z）和方差D（Z）；（2）求X与Z的相关系数；（3）问X与Z是否相互独立？为什么？例27：设随机变量X和Y都服从正态分布，且它们不相关，则（A）X与Y一定独立。（B）（X，Y）服从二维正态分布。（C）X与Y未必独立。（D）X+Y服从一维正态分布。5、几个大数定

9、律的区别 切比雪夫大数定律要求“方差有界”，辛钦大数定律要求“同分布”。例28：设X1,X2,Xn，是相互独立的随机变量序列，Xn服从参数为n的指数分布（n=1,2, ），则随机变量序列 X1,22X2,n2Xn，：(A) 服从切比雪夫大数定律。(B) 服从辛钦大数定律。(C) 同时服从切比雪夫大数定律和辛钦大数定律。(D) 既不服从切比雪夫大数定律，也不服从辛钦大数定律。四、解答题常考的6个题型1、全概和贝叶斯公式 例29：在电源电压不超过200V、在200240V和超过240V三种情形下，某种电子元件损坏的概率分别为0.1、0.001和0.2，设电源电压XN（220，252），试求（1）

10、该电子元件损坏的概率；（2） 该电子元件损坏时，电源电压在200240V的概率。表中（x）是标准正态分布函数。2、二项分布例30：设测量误差XN（0，102）。试求在100次独立重复测量中，至少有三次测量误差的绝对值大于19.6的概率，并用泊松分布求出的近似值（要求小数点后取两位有效数字）。附表：3、二维随机变量例31：设二维随机变量（X，Y）的概率分布为YX 0 10 0.4a1 b0.1若随机事件X=0与X+Y=1互相独立，则A、a=0.2, b=0.3B、a=0.1, b= C、a=0.3, b=0.2D、a=0.4, b=0.1 例32：设随机变量在区间上服从均匀分布，在的条件下，随机

11、变量在区间上服从均匀分布，求() 随机变量和的联合概率密度；() 的概率密度； () 概率4、数字特征例33：一辆送客汽车，载有m位乘客从起点站开出，沿途有n个车站可以下车，若到达一个车站，没有乘客下车就不停车。设每位乘客在每一个车站下车是等可能的，试求汽车平均停车次数。例34：今有两封信欲投入编号为I、II、III的3个邮筒，设X，Y分别表示投入第I号和第II号邮箱的信的数目，试求（1）（X，Y）的联合分布；（2）X与Y是否独立；（3）令U=max (X,Y), V=min(X,Y)，求E（U）和E（V）。例35：设为独立同分布的随机变量，且均服从N（0，1）。记 求：（I） （II） (I

12、II) 5、应用题例36：设由自动线加工的某种零件的内径X（毫米）服从正态分布N（，1），内径小于10或大于12为不合格品，其余为合格品。销售每件合格品获利，销售每件不合格品亏损。已知销售利润T（单元：元）与销售零件的内径X有如下关系。，问平均内径取何值时，销售一个零件的平均利润最大？6、最大似然估计例37：设随机变量的分布函数为， 其中参数. 设为来自总体的简单随机样本，() 当时, 求未知参数的矩估计量；() 当时, 求未知参数的最大似然估计量；() 当时, 求未知参数的最大似然估计量。 五、考试的2个技巧1、填空题和选择题的答题技巧例38：设随机变量独立同分布，则行列式，的数学期望。例3

13、9：将一枚硬币独立地掷两次，引进事件：=掷第一次出现正面，=掷第二次出现正面，=正、反面各出现一次，=正面出现两次，则事件（A）相互独立。（B）相互独立。（C）两两独立。（D）两两独立。自测题（第一章）一、选择题（毎小题3分,共15分）：1. 在某学校学生中任选一名学生，设事件表示“选出的学生是男生”，表示“选出的学生是三年级学生”，表示“选出的学生是篮球运动员”，则的含义是（）.（A）选出的学生是三年级男生；（B）选出的学生是三年级男子篮球运动员；（C）选出的学生是男子篮球运动员； （D）选出的学生是三年级篮球运动员；2. 在随机事件中，和两事件至少有一个发生而事件不发生的随机事件可表示为（

14、）.（A）（B）（C）（D）3甲乙两人下棋，甲胜的概率为0.6，乙胜的概率为0.4，设为甲胜，为乙胜，则甲胜乙输的概率为（）.（A）（B）（C）（D）0.64下列正确的是（）.（A）若，则（B）若，则（C）若，则 （D）若10次试验中发生了2次，则5设、互为对立事件，且，则下列各式中错误的是（）.（A） （B） （C）（D）解：1. 由交集的定义可知，应选（B）2. 由事件间的关系及运算知，可选（A）3. 基本事件总数为，设A表示“恰有3个白球”的事件，A所包含的基本事件数为=5，故P(A)=，故应选（D）。4. 由题可知A1、A2互斥，又0P(B)1，0P(A1)1，0P(A2)0， 所以=

15、A，因而P(|A)=P(A|A)=1，故选（A）二、填空题（毎小题3分, 共15分）：1、代表三件事，事件“、至少有二个发生”可表示为 2已知，则= 3、二个事件互不相容，则 4对同一目标进行三次独立地射击，第一、二、三次射击的命中率分别为，则在三次射击中恰有一次击中目标的概率为 5设、两两相互独立，满足，且已知，则 解：1. AB+BC+AC2. A、B相互独立， P(AB)=P(A)P(B) P(AB)=P(A)+P(B)P(AB)=0.2+0.50.1=0.63. A、B互不相容，则P(AB)=0，P(AB)=P(A)P(AB)=0.84. 设A、B、C分别表示事件“第一、二、三次射击时

16、击中目标”，则三次射击中恰有一次击中目标可表示为，即有 P() =P(A)=0.365. 甲产品滞销或乙产品畅销。三、判断题（正确的打“”，错误的打“”，毎小题2分,共10分）:1. 设、为任意两个互不相容事件，则对任何事件和也互不相容 2概率为零的事件是不可能事件 3. 设、为任意两个事件，则 4. 设A表示事件“男足球运动员”，则对立事件表示“女足球运动员” 5. 设，且为任一事件，则与互不相容，且相互独立 解：1. 正确2. 不正确3. 正确4. 不正确5. 不正确四、（6分）从1,1,2,3,3,3,4,4,5,6这10个数中随机取6个数，求取到的最大数是4的概率解：设A表示事件“12

17、名中国人彼此不同属相”，每个人的属相有12种可能，把观察每个人的属相看作一次试验，由乘法原理，这12个属相的所有可能排列数为1212，而事件A所包含的形式有种，则=0.000054。五、（6分）3人独立地去破译一个密码，他们能破译的概率分别为若让他们共同破译的概率是多少？解：设Ai表示“第i人能译出密码”，i=1, 2, 3，A1，A2，A3相互独立，A表示“密码译出”，则 P (A)=1P( 六、（10分）已知一批产品的次品率为4%，今有一种简化的检验方法，检验时正品被误认为是次品的概率为0.02，而次品被误认为是正品的概率为0.05，求通过这种检验认为是正品的一个产品确实是正品的概率解：设

18、A表示通过检验认为该产品为正品，B表示该产品确为正品依题意有 七、（10分）假设有3箱同种型号零件，里面分别装有50件，30件和40件，而一等品分别有20件，12件及24件.现在任选一箱从中随机地先后各抽取一个零件（第一次取到的零件不放回），试求先取出的零件是一等品的概率；并计算两次都取出一等品的概率解：设B1、B2、B3分别表示选出的其中装有一等品为20，12，24件的箱子，A1、A2分别表示第一、二次选出的为一等品，依题意，有P(A1)=P(B1)P(|B1)+P(B2)P(A1|B2)+P(B3)P(A1|B3) =0.467P()=0.220 八、（10分）设1. 若，求；2. 若，求

19、；3. 若，求解：1. P(B)=P(B)P(AB) 因为A，B互斥，故P(AB)=0，而由已知P(B)= P(B)=P(B)=2. P(A)=，由AB知：P(AB)=P(A)= P(B)=P(B)P(AB)=3. P(AB)= P(B)=P(B)P(AB)=九、（10分）一批产品10件，出厂时经两道检验，第一道检验质量，随机取2件进行测试，若合格，则进入第二道检验，否则认为这批产品不合格，不准出厂；第二道检验包装，随机取1件，若合格，则认为包装合格，准予出厂两道检验中，1件合格品被认为不合格的概率为0.05，一件不合格品被认为合格的概率为0.01，已知这批产品中质量和包装均有2件不合格，求这

20、批产品能出厂的概率解：设表示报名表是第i个地区考生的(i=1, 2, 3)，Aj表示第j次抽到的报名表是男生表(j=1, 2)，则P(H1)=P(H2)=P(H3)=P(A|)=； P(A|H)=； P(A1|H3)=(1) =P()=(2) 由全概率公式得 P(A2|H1)=，P(A2|H2)=，P(A2|H3)= P(A2|H1)=，P(A|H2)=，P(A2|H3)= P(A2)= P(A2)=因此，十、（8分）设，试证事件与相互独立证明： 0P(A)1， 0P(B)0 故选(D)3解 XN f(x)=由4个结论验得(B)为正确答案4解 = 故选(D)5解 因为F(x)必须满足条件0F(

21、x) 1，而只有取时，才会使0F(x) 1满足,故选(A)二、填空题（每小题3分, 共15分）:1二维随机变量（）的联合分布律为:1210.220.3则与应满足的条件是 ，当相互独立时，= 2二维随机变量（）的联合密度为：，则的边缘概率密度为 3连续型随机变量的概率密度为，则常数 4设，已知(2.5)=0.9938，则 5设是相互独立的随机变量，且，则= 1解 =1 =1 即有=0.5当X，Y相互独立 P(X=1, Y=1)= P(X=1)P(Y=1) =(+0.2)(+) =0.22解 (x)=3解 =1k=34解 XN(10, 0.022) P9.95X10.05=P=25解 X, Y相到

22、独立 f(x, y)=fX(x)fY(y)三、（12分）随机变量的概率密度为，试求（1）系数；（2）的分布函数；（3）落在内的概率解 (1) =1, 即=1 (2) 当x-时, F(x)=0当|x|时，当x时，=1 (3) 四、（12分）假设一设备开机后无故障工作的时间服从参数为的指数分布设备定时开机，出现故障时自动关机，而在无故障的情况下工作2h便关机，试求设备每次开机无故障工作的时间的分布函数解：(1)X可能的取值为0, 1, 2, 3设Ai=第i个元件出故障) i=1, 2, 3=(1-0.2)(1-0.3)(1-0.5)=0.28=0.20.70.5+0.80.30.5+0.80.70

23、.5=0.47同理P(X=2)=P(=0.22=0.03 X的分布律：X0123P0.280.470.220.03(2) 由(1)及分布函数的定义知当x0时，F(x)=0当0x1时，F(x)=P(X=0)=0.28当1x2时，F(x)=P(X=0)+P(X=1)=0.75当2x0时,有FY(y)=P(Yy)=P(X2y)=P(-X)=将FY(y)关于y求导数，即得y的概率密度为 六、（12分）随机变量和均服从区间0，1上的均匀分布且相互独立1写出二维随机变量（）的边缘概率密度和联合概率密度2求解：(1)由题意得： 又 X,Y相互独立 f(x, y)=fX(x)fY(y)=(2) =七、（12分

24、）已知随机变量的分布律为:-1011/41/21/4011/21/2且已知（1）求（）的联合分布律；（2）是否相互独立？为什么？解：(1)由P(XY=0)=1，可见PX=-1, Y=1=PX=1, Y=1=0易见 =0于是，得X和Y的联合分布：XY-10100100(2) P(X=0, Y=0)=0而P(X=0)P(Y=0)= P(X=0) P(Y=0)P(X=0, Y0) X, Y不独立八、（12分）设是两个相互独立的随机变量，其概率密度分别为:求随机变量的概率密度函数设Z的密度函数为fZ(z)，则由卷积公式得a) 当z0时，f(t)=0，f(z)=0b) 当0z1时，z-10时有非零值，f

25、Y(zx)仅在zx0，即x0时 f(z)=，即 f(z)=。（2）E(XY)=E(X)E(Y)=11=1（X、Y均服从=1的指数分布）。八、（10分）设随机变量服从泊松分布，证明：证明： X()，且E(X)=6=，则D(X)=6根据切比雪夫不等式，有 P3X9=P|Z6|31。九、（10分）为连续型随机变量，概率密度满足：当时，证明：证明： axb， a=a。容易证明 D(X)E(xc)2，取c= D(X) =。54一、填空题（满分15分）1.已知,且A与B相互独立，则 。2.设随机变量X服从参数为的泊松分布，且，则 。3.设,且，则 4.已知DX=2，DY=1，且X和Y相互独立，则D(X-2

26、Y) 5.设是从中抽取容量为16的样本方差，则 1. 2. 3. 0.3 4. 6 5. 二、选择题（满分15分）1.已知事件A，B满足，且，则 。 （A）0.4， （B）0.5， （C）0.6， （D）0.72.有个球，随机地放在n个盒子中（n），则某指定的个盒子中各有一球的概率为 。 （A） （B） （C） (D) 3.设随机变量X的概率密度为，则c 。 （A） （B）0 （C） （D）14.掷一颗骰子600次，求“一点” 出现次数的均值为 。 （A）50 （B）100 （C）120 （D）1505.设总体X在上服从均匀分布，则参数的矩估计量为 。 （A） （B） （C） （D）1. C

27、2. A 3. C 4. B 5. D三、计算题（满分60分）1.某商店拥有某产品共计12件，其中4件次品，已经售出2件，现从剩下的10件产品中任取一件，求这件是正品的概率。2.设某种电子元件的寿命服从正态分布N（40，100），随机地取5个元件，求恰有两个元件寿命小于50的概率。（，）, 令，则.因此 .3.在区间（0，1）中随机地取两个数，求事件“两数之和小于”的概率。, 所以 故 .4.一台设备由三个部件构成，在设备运转中各部件需要调整的概率分别为0.2，0.3，0.4，各部件的状态相互独立，求需要调整的部件数X的期望EX和方差DX。.，.5.从一正态总体中抽取容量为10的样本，假定有2

28、的样本均值与总体均值之差的绝对值在4以上，求总体的标准差。（ ，而 ，故 ， ，.6.设某次考试的考生成绩服从正态分布，从中随机地抽取36位考生的成绩，算得平均成绩为66.5分，标准差为15分，问在显著性水平0.05下，是否可认为这次考试全体考生的平均成绩为70分？并给出检验过程。（，） ，设，则，故拒绝域为 ,即 .由于不在拒绝域内，故接受，即可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70分.四、证明题 1.设A，B是两个随机事件，0P(A)1，0P(B)1， ，证明：A与B相互独立。 ，所以 . 2.设总体X服从参数为的泊松分布，是X的简单随机样本，试证：是的无偏估计。 ，故， 因此是的无偏估计

29、.概率论与数理统计试题（1）一 、 判断题（本题共15分，每小题3分。正确打“”，错误打“”） 对任意事件A和B，必有P(AB)=P(A)P(B) ( ) 设A、B是中的随机事件,则(AB)-B=A ( ) 若X服从参数为的普哇松分布，则EX=DX ( ) 假设检验基本思想的依据是小概率事件原理 （ ） 样本方差=是母体方差DX的无偏估计 （ ） ； ； ； ； 。二 、（20分）设A、B、C是中的随机事件，将下列事件用A、B、C表示出来 （1）仅发生，B、C都不发生；（2）中至少有两个发生； （3）中不多于两个发生； （4）中恰有两个发生；（5）中至多有一个发生。解（1）（2）或；（3）或；

30、（4）；（5）或三、（15分） 把长为的棒任意折成三段，求它们可以构成三角形的概率解 设三段可构成三角形，又三段的长分别为，则，不等式构成平面域.-5分aS 发生a/2 不等式确定的子域，-10分所以Aaa/20 -15分四、（10分） 已知离散型随机变量的分布列为 求的分布列.解 的分布列为 .五、（10分）设随机变量具有密度函数 ， x，求X的数学期望和方差.解 ，（因为被积函数为奇函数）-4分 -10分六、（15分）某保险公司多年的资料表明，在索赔户中，被盗索赔户占20%，以表示在随机抽查100个索赔户中因被盗而向保险公司索赔的户数，求. x 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 (x

31、) 0.500 0.691 0.841 0.933 0.977 0.994 0.999解 Xb(k;100,0.20), EX=1000.2=20, DX=1000.20.8=16.-5分-10分 =0.994+0.933-1 .-15分七、（15分）设是来自几何分布:,的样本，试求未知参数的极大似然估计. 解 -5分 -10分解似然方程 ，得的极大似然估计 。-15分概率论与数理统计期末试题（2）与解答一、填空题（每小题3分，共15分）1 设事件仅发生一个的概率为0.3，且，则至少有一个不发生的概率为_.2 设随机变量服从泊松分布，且，则_.3 设随机变量在区间上服从均匀分布，则随机变量在区间内的概率密度为_.4 设随机变量相互独立，且均服从参数为的指数分布，则_，=_.5 设总体的概率密度为