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1、 7.3两条直线的位置关系7.3两条直线的位置关系（一）两条直线的位置关系斜截式一般式方程平行相交重合垂直（二）到角和夹角1到的角（1）定义：两条直线与相交，将绕着 交点 按 逆时针 方向旋转到与直线重合所转的最小值 ，叫做到的角；（2）到角的取值范围是 （3）到角公式：当时tan= 2与的夹角（1）定义：两条直线与相交所构成的四个角中，最小的正角 叫做直线与的夹角；（2）夹角的取值范围是 （3）夹角公式：当时tan= （三）点与直线的位置关系设点，直线，则（1）点在直线上： （2）点在直线外： （3）点到直线的距离 （4）两条平行直线间的距离 距离公式：（四）直线系方程1与直线平行的直线系方
2、程为 2与直线平行的直线系方程为 3与直线垂直的直线系方程为 4与直线垂直的直线系方程为 5过两条直线与交点的直线系方程为 为参数不包括在内）为参数）6定点直线系：（五）对称问题1几种特殊的对称（1）点关于轴的对称点的坐标为 ；点关于轴的对称点的坐标为 ；点关于坐标原点的对称点的坐标为 ；点关于直线的对称点的坐标为 ；点关于直线的对称点的坐标为 ；点关于直线的对称点的坐标为 ；点关于直线的对称点的坐标为 ；（2）直线关于轴的对称直线的方程为 直线关于轴的对称直线的方程为 直线关于坐标原点的对称直线的方程为 直线关于直线的对称直线的方程为 直线关于直线的对称直线的方程为 2关于点对称（1）点关于
3、点对称（2）直线关于点对称3关于直线对称（1）点关于一般直线对称（2）直线关于直线对称（六）恒定点问题：大橡皮（七）一个方程表示两条直线问题：点与直线的位置关系已知点和在直线：的两侧，求的取值范围。是直线上一点，是直线外一点，则方程所表示的直线与的关系是（ 、）(A)重合 (B)平行 (C)垂直 (D) 不能确定B两条直线位置关系的判定与运用已知两直线，当为何值时， 与（1）相交；（2）平行；（3）重合。若直线与直线互相平行，则实数的值为 若直线与直线互相垂直，则的值为 1或-3若直线与互相垂直，则的值为 3设a,b,c分别是中所对边的边长，则直线与的位置关系是（ ）(A)平行 (B) 重合
4、(C) 垂直 (D) 相交但不垂直C下面三条直线不能构成三角，求的取值范围。 三条直线能构成三角形的条件是 直线与两坐标轴正向围成的四边形有一个外接圆，则的值为 1如图，ABC为正三角形，边BC，AC上各一点D、E，、BE交于P.求证：APCP. 备课说明：数形结合在代数中常常是寻求代数式的几何背景，即将代数问题几何化，而解析法则是通过坐标系将几何问题代数化.已知直线与直线互相垂直。求：a的值。 错解 直线的斜率分别为： 。 因为，所以。解出a=-1。 评述 上述解法的错误原因在于没有考虑直线斜率不存在的情况，应该讨论a=1和时的情形。当a=1时，；时，与不垂直。例3的正确答案应该是：a=-1
5、或a=1。两条直线所成的交点两条直线与的交点在第一象限，则实数的取值范围是 (-1,2)两直线和的交点在第四象限，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 答案. C 由已知直线与直线的交点位于第一象限。 求：k的取值范围。 分析 两直线的交点坐标即为两个方程组的解所确定。解 据题意：x0，y0。由x0，解得 由y0，解得 所以两条直线所成的角求直线到直线的角及它们夹角的正弦值。已知三条直线，设与的夹角为，与的夹角为，则 105已知的三边所在直线方程是，求：（1）的大小；（2）的平分线所在直线方程；（3）BC边上的高所在直线方程。已知的顶点A（3，4），B（6，0），求的平分线AT所在直线
6、方程。法一：角平分线定理，定比分点，两点式法二：到角公式，点斜式法三：动点到两条直线的距离相等点到直线的距离若点（1，1）到直线的距离为，则的最大值为 过点A（2，1）的所有直线中，距离原点最远的直线方程是 直线l经过点P（-2，1），且点A（-1，-2）到l的距离等于1，求直线l的方程. 4x+3y+5=0或x=-2 已知：点A(1，5)，B(5，3)，C(6，6)，直线l经过点C，且与A，B两点的距离相等。求直线l的方程。 解(1)当A，B两点位于直线1的同侧时，由于点A，点B到l距离相等，所以l/AB，即。 因此1的方程为：y6=(x6)。且x+2y18=0。 (2)当A，B两点位于直线
7、l的两侧时，由于点A，点B到l距离相等。 所以l经过线段朋的中点D(3，4)。 由两点式得直线1的方程为 整理得2x3y+6=0。 综上所述，所求直线l的方程为 x+2y18=0或2x3y+6=0。 评述 分类讨论的思想。在几何中往往是依据图形的不同位置展开，此例中是按照点A，B与1的不同位置关系进行讨论。例1、 过点引一条直线，使A(2,3),B()到它的距离相等，求这条直线的方程。解：设此直线的方程为，直线过点且A(2,3),B()到它的距离相等，从而有，解得A=4B或3ABC=0；A=4B,C=6B或2A=3B,7A=3C直线的方程为，即。两条平行直线间的距离直线过点（3，0），直线过点
8、（0，4），且，求 （1）与之间的距离d的取值范围；（2）当d取最大值时两条直线的方程。若动点，分别在直线和上移动，则AB的中点M到原点的距离的最小值为 求经过点A（2，3）且被两直线和截得的线段长为的直线方程。 分析 所求直线l经过点P(2，3)，要想使问题解决，或求出它的斜率，或者再找到一个位于直线1上的点，此题难点是如何将条件转化为有用的信息。 解一：两平行线3x+4y+8=o和3x+4y-7=o之间的距离 因为，所以1与3x+4y+8=0的夹角为45。 设直线1的斜率为k。则有 解出 因此l的方程为：y3=7(x2)或，即 评述 转化的思想内涵十分丰富。本例中使用转化思想主要体现在将条
9、件？转化，从而导出所求直线的斜率。解二：例2、 若求过点P（1,2）且与直线平行的直线的方程。分析：由于所求直线与直线平行，所以可用一般式建立所求直线的方程，再用待定系数法求出C，从而写出所求的直线方程。解：设所求直线方程为，因为它过点（1,2），将点（1,2）代入直线方程，解得C=8，从而所求的直线方程为：。交点直线系方程求经过点P（1，2）和两条直线与的交点的直线方程。求经过两条直线和的交点，且垂直于直线的直线方程。 解：设所求直线所在的直线系方程为： 即为 因为与直线垂直 所以 得所求直线方程为平行直线系方程已知的三个顶点，求：（1）AB边上的高所在直线方程；（2）中位线EF（EFAC）
10、所在直线方程。求经过点P（1，2）且与A（3，3）和B（5，2）距离相等的直线方程。正方形的中心在处，一条边所在直线的方程是，求其他三边所在直线的方程。正方形的中心在处，一条边所在直线的方程是，求其他三边所在直线的方程。 分析：由正方形的几何性质：对边平行，邻边垂直，可利用直线系方程求解。 解：设边AB的方程为 ，且 可设边CD的方程为 边AD、BC的方程为 又中心到AD、BC、CD的距离都是，且 化得或 或（舍去） 其它三边的方程为恒定点问题若k为任意非零实数，则直线必过定点。解：由有令及有过定点（1，1）不论m为何值，直线恒过定点 （2,3）求证：无论为何值，直线都过第一象限。不论m为何值
11、，直线(m-1)x-y+2m+1=0恒过定点. (-2,3) 例3. 求证无论为何值，直线都过第一象限。 证明：按参数进行整理得： 这是过直线与交点的直线系方程。 联立 可见直线恒过第一象限内一点，故无论为何值，该直线恒过第一象限。若直线与直线的交点在第一象限，求实数的取值范围。 解：可化为 表示过定点的直线系方程 为直线AB，与两轴的交点是，如图，两直线交点在第一象限其实就是动直线与线段AB相交。 即求证：无论为何值，直线与点的距离都小于。 证明：将直线系方程按整理得： 该直线系恒过二直线和的交点，又，得。 而过点M垂直于PM的直线方程为，但不论为何值，直线系方程都不能表示直线，所以。已知圆
12、，直线（为任意实数）。 （1）求证不论取什么实数，直线与圆C恒相交。 （2）求直线被圆C截得的线段的最短长度及此时的值。 分析：本题的常规思路是联立直线和圆的方程解方程组，然后考察判别式是否恒成立，或者求出圆心到直线的距离，再证明，这两种方法理论上都可行，但运算量大，且很难得到正确结论。若注意到所给直线为直线系，再考虑到它过定点的话，此题便可迅速获解。 略解：（1）将直线的方程按整理得 该直线系恒过二直线与的交点 易知点M在圆C内，又点M在直线上，所以不论取什么实数，直线与圆C恒相交。 （2）要使弦长最短，只需圆心C到直线的距离最大，即当时，圆心C到直线的距离最大，此时弦长最短，易求得最短长度
13、为，此时。 小结：从以上部分例题的分析和解答可以看出，无论是直线系方程的正用，还是逆用，都会收到常规思维和解法所意想不到的效果，不仅过程简化，结果准确而且美感十足。点关于点对称问题平行四边形两条邻边所在直线方程是和，且对角线的交点是（2，2），则此平行四边形的另外两条边所在直线的方程是 已知的两顶点坐标，一内角平分线所在直线的方程为 求顶点A的坐标。(2,6)直线过点P(0,1)，且被直线和直线截得的线段AB的中点为P，求直线的方程。经过点M（1，-1）的直线l分别与直线2x-y+1=0和3x+y-6=0相交于A、B两点，若点M分为2：1，求直线l的方程. X-3y-4=0直线关于点对称问题求
14、直线关于点对称的直线的方程。解：设所求直线l上任意一点为，由已知得点M关于点（1，3）对称的点一定在直线上。根据有代入上，得故所求直线方程为点关于直线对称问题从点M(2,2)射出一条光线，经过x轴反射后经过点N，求反射点P的坐标。一条光线从点P（5，3）射出，被直线反射，入射光线到的角为，且求入射光线和反射光线所在直线的方程。光线由点（2,3）射到直线x+y+1=0上，反射后过点Q(1,1)，则反射光线所在直线的方程为 已知的顶点，过点B的内角平分线的方程是，过点C的中线方程是，求顶点B和BC边所在直线的方程。点A(4，0)关于直线5x+4y+21=0的对称点是( )。 A（-6，8） B（-
15、8，-6）C（6，8） D（-6，-8） 分析 点A与点A关于直线l对称，那么AAl且AA的中点应该在直线 解 设A()，AA中点为()。则 解得=-6，=-8。所以选D。 评述 由于题目是以选择题形式呈现，可将各选择支逐一代入题目验证，由于A，B，C所给点分别与A点连线的中点都不在5x+4Y+21=0上，均予以排除，故选D。已知中，A(1, 3)，AB、AC边上的中线所在直线方程分别为和，求各边所在直线方程。分析：B点应满足的两个条件是：B在直线上BA的中点D在直线上由可设，进而由确定值。解：设则AB的中点D在中线CD：上，解得故B(5, 1)同样，因点C在直线上，可以设C为，求出根据两点式
16、，得中AB：BC：AC：点关于直线对称问题-最值已知M（1，0）和N（-1，0），点P为直线2x-y-1=0上的动点，则的最小值为_已知M（1，0）和N（-1，0），点P为直线2x-y-1=0上的动点，则的最大值为_已知M（2，0）和N（3，1），点P为直线x-y-1=0上的动点，则的最小值为_已知M（2，0）和N（3，1），点P为直线x-y-1=0上的动点，则的最大值为_已知M（1，0）和N（-1，0），点P为直线2x-y-1=0上的动点，则的最小值为_已知点，在直线上求一点P，使最小，并求这个最小值。ABCA1A2在直线上求一点M，使它到点A（4，1）和B（0，4）的距离之差最大，并求此最
17、大值。以点为顶点，试在x轴上找一点B，在直线上找一点C构成,使其周长最小。解：直线关于直线对称问题和直线关于x轴对称的直线方程是 关于y轴对称的直线方程是 ; 关于直线对称的直线方程是 若直线与直线关于直线对称，则 ； A、B是x轴上两点，点P的横坐标为2，且若直线PA的方程为x-y+1=0,则直线PB的方程为（ ）B （A）2x-y+1=0 (B)x+y-5=0(C)2x+y-7=0 (D)2y-x-4=0如果直线l与直线x+y-1=0关于y轴对称，那么直线1的方程是_。 解 以(x，y)代原方程中的(x，y)，得到所求直线方程为x+y1=0，即xy+1=0。 评述 应该熟悉已知直线关于x轴
18、、y轴、y=x、y=x对称的直线方程的求法。求直线x+7y6=0关于直线x+y2=0对称的直线方程。 分析 以任意一条直线l为对称轴，求直线关于1对称的直线方程可以借助于求轨迹的方法。具体操作程序是：在上任取一点P()求点P关于l的对称点Q。(用表示)，利用点Q在直线1？上，将点Q坐标代入1？的方程，即得出直线1？的方程。 解 在所求直线上任取一点P()，设点P关于x+y2=0的对称点Q()。则 解得 即7x+y10=0为所求直线的方程。 评述 此法适用面广，例如求曲线：=4(x2)关于直线x+y2=0对称的曲线，按上述方法轻而易举获解。已知ABC中，B(1,2),BC边上的高线AD方程为x-2y+1=0 ,j角A平分线y=0,求AC,BC边所在直线方程。解： AC:y= - (x+1)由BCAD,所以 BC方程为 其他综合的三个顶点是，。如果直线l：将三角形OAB的面积分成相等的两部分，且。求和b应满足的关系。12、解：设和AB交于P，和x轴交于Q点，则由，有依题意： 第 43 页