[理学]数学物理方法学习指导.doc

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1、第五章 傅里叶变换内容：傅里叶级数、傅立叶积分和傅里叶变换及其基本性质，函数要求：了解的傅立叶级数、傅立叶积分和傅里叶变换基本概念及其应用，重点掌握定义在有限区间上函数的傅里叶级数展开和函数5-1 傅里叶级数 一、周期函数的傅里叶展开（简介）1三角函数（正弦和余弦函数）族的正交性1，；，2、周期函数的展开为傅里叶级数以2l为周期，（5.1.1）取上述三角函数族作为基本函数族展开为级数（5.1.2）称为傅里叶级数两个问题：（1）傅里叶级数中的系数； 验证性证明：（5.1.2）两边同乘或再从-l到l积分，（2）级数的收敛性。收敛定理（狄里希利条件）：设函数是以2l为周期的周期函数，如果它满足：若函

2、数 满足：（1）在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点（非无穷间断点）；（2）在一个周期内至多只有有限个极值点； 则的傅里叶级数收敛，且当x是的连续点，级数收敛于；当x是的间断点，级数收敛于付。3、傅里叶级数的物理意义，随时间变化的周期信号展开为不同频率的简谐振动的叠加。例1（自学）交流电压，经过半波整流，负圧被削减，在一个周期内试研究半波整流电压的傅里叶变换级数要区分k=1和两种情况，二、奇函数和偶函数的傅里叶展开（简介）1奇函数的傅里叶展开若周期函数是奇函数这叫作傅里叶正弦级数。例2（自学）设函数是以2l为周期的周期函数，它在-l, l上的表达式为将展开为傅里叶级数解：是奇函数时，级数收

3、敛于f(x)xl-l-2l2l例3锯齿波在-l, l上的表达式为将展开为傅里叶级数解：2偶函数的傅里叶展开若周期函数是偶函数这叫作傅里叶余弦级数。例4三角波在-l, l上的表达式为将展开为傅里叶级数解：三、定义在有限区间上函数的傅里叶展开（重点）函数只在某个有限区间，如区间（0, l）有定义，在区间以外无定义。周期性延拓扩大函数的定义区间，使其成为某种周期函数，在区间（0, l）上，对作傅里叶级数展开，这个级数在区间（0, l）上代表。延拓的方法可以有无数种。可根据对函数在边界（区间（0, l）的端点）上的行为提出限制。奇延拓，当边界上要求，取为奇的周期函数，展开为傅里叶正弦级数。，偶延拓，当

4、边界上要求，取为偶的周期函数，展开为傅里叶余弦级数。，例5在区间（0, l）定义的函数是，试根据边界条件要求： (1)；(2) ； (3) ；(4) 把它展开为傅里叶级数。f(x)xl-l-2l2l解：(1)，作周期性奇延拓，在-l, l上的表达式为与例3相同的锯齿波相同f(x)xl-l-2l2l(2) ，作周期性偶延拓，在-l, l上的表达式为与例4相同的三角波相同f(x)xl-l-2l2l(3) （难点）要求以为中心作偶延拓，要求以为中心作奇延拓，以4l为周期，在整个数轴上延拓为偶函数，同时又满足在本例中对于本例f(x)xl-l-2l2l(4) （难点）要求以为中心作奇延拓，要求以为中心作

5、奇延拓，以4l为周期，在整个数轴上延拓为奇函数，同时又满足可以证明，满足要求，其中对于本例注意：在本例中（2）的结果也满足（4）的要求，但这只是对函数的巧合，换成其它函数，如，则就不行了。f(x)xl-l-2l2lf(x)xl-l-2l2l四、复数形式的傅里叶级数（简介）复指数函数族5-3 d函数一、d 函数的定义问题：怎样用数学函数表示质点的质量密度、点电荷的电荷密度、瞬时力的冲量密度？例如，均质细杆，质量为m均匀分布在长为l的线段-l/2, l/2上，则其密度可表示为m=1, 杆的质量时，细杆变为处的质点，其密度质点在处，二、函数的主要性质（1）是偶函数（2）阶跃函数与（3）函数的挑选性

6、（4）用函数表示连续分布的物理量到短时间段上的瞬时作用力记为时间区间a, b上的持续力（5）函数的定标性证三、函数是一种广义函数数学物理方程数学物理方程从物理问题中导出的数学偏微分方程，有时也包括积分方程、微分积分方程 。本课程介绍物理学中常见的三类偏微分方程及有关定解问题和这些问题几种常用解法。这三类偏微分方程是：波动方程输运方程稳定的场方程第七章 数学物理定解问题教学目的：掌握根据物理规律和物理现象导出数学物理方程，写出定解条件的方法。教学内容：1.导出数学物理方程，包括 1)波动方程(均匀弦横向振动和均质杆纵向振动)；2)输运方程(扩散、热传导现象)；3)稳定场分布方程。(2课时)2定解

7、条件，1)初始条件；2)边界条件(第一、二、三类)。(1.5课时)3. 达朗贝尔公式(简介)。(0.5课时)重点：导出数学物理方程, 第一、二类边界条件。难点：边界条件，方程中各偏导数的物理涵义。定解问题： 1)数学物理方程物理规律用偏微分方程表示出来泛定方程 2)边界条件区域边界所处的物理状况 3)初始条件初始时刻的物理状态 边界条件初始条件定解条件71数学物理方程的导出一、 波动方程1 匀弦的微小横振动弦的静态特点：质量分布均匀，线密度为，自重可不计，完全柔软，平衡时沿x轴绷紧。u(x,t)弦的运动特点：受外界扰动后，弦上质点在与x轴垂直的方向产生微小位移；相邻小元段弦之间有弹性力作用，弹

8、性拉力的方向始终沿弦的切线方向，由于元段弦之间相邻的弹性力作用，任一小段弦有横向运动时必然带动相邻元段弦运动。平衡位置在x处的质元在t时刻的位移记为u(x,t)。用牛顿定律讨论区间x,x+dx上小元段弦的运动(先假设除元段弦之间的张力外，不受其它外力作用)x x+d x1 T1U(x,t)T22考虑微小振动，很小，其中，如果弦在振动过程中还受到外加横向力作用，设单位长度弦上所受的横向外力为F(x,t)，则其中 2 均匀杆的纵振动杆的质量分布均匀，密度为，并假设杆上各段的横截面积S相同，杆的长度方向于x方向一致，杆上任一质点可沿杆长方向移动(纵向位移)，设t时刻平衡位置在x处的质点的位移为u(x

9、, t)。由于杆上的质点相互连接在一起，当杆上任一小段有纵向位移时它会带动相邻质点移动，并使邻近小段杆压缩或伸长，同时，这邻段杆自己也被邻段杆压缩或伸长，这样 ，任一小段的纵向位移必然会传播到整根杆，这就是波动。把细杆分为许多极小的小段，拿区间(x, x + dx)上的小段B为代表加以研究。在小段杆的每个端面上受到的压力（或拉力）记为T，应力为P（单位横截面积上受到的力）。假设不受其它外力作用。在振动过程 中，小段B的两端受的力和位移分别为A B C A B C u u+dux x+dx xT(x) T(x+ dx)根据牛顿运动定律在力学中，应力P遵循胡克定律，在测量金属细丝的杨氏模量实验中，

10、把胡克定律简单地表述为，是金属丝的长度，是伸长量，在现在研究的问题中，因此，胡克定律应表示为即其中。这是一维细杆的波动方程，推广到三维情况如果除内力外，杆还受外力作用，称为受迫纵振动。设杆的单位长度上每单位横截面积上（也就是单位体积）所受的纵向外力为F(x, t)这里，相应的三维情况二、输运方程在这里，我们研究热传导问题和物质的扩散问题，两者归结为输运问题。当空间温度不均匀时，就会发生热传导；物质的浓度分布不均匀时，就会发生扩散运动。实质上两者都是扩散问题，只不过前者是能量的扩散，后者是物质（质量或分子数）扩散，两者遵循相似的物理规律。热传导（或物质的扩散）就是热量（或物质）的流动，流动的强度

11、分别用热流强度和扩散流强度表示，两者都记为，表示单位时间里垂直流过单位横截面积的热量（或物质的量）。用表示空间的温度（或物质的浓度）分布。1热传导方程在热传导问题中，热量的流动遵循傅里叶热传导定律：叫作热传导系数，是温度梯度，“”表示热量从高温向低温流动。考虑小体积，单位时间内净流入的热量为，是包围小体积的闭曲面。假设小体积内没有热源或热汇（吸收热量，转化为其他形式的能量或用于物质的状态变化，不改变温度），热量流入小体积内，必然导致温度的变化，单位时间内温度的变化为，当为常数，物质分布均匀（密度为常数）时，根据能量守恒定律，热平衡方程为 如果在物体内部存在热源，热源强度(单位时间内在单位体积中

12、产生的热量)为，单位时间内内净增加的热量为如果热量仅沿x方向传导，如热传导发生在横截面积为S、侧面绝热、沿x轴方向放置的均质细杆中，一维热传导方程为有热源时2扩散方程在扩散问题中，物质的流动所遵循的规律为：为扩散流强度，D叫作热扩散系数，是浓度梯度，“”表示物质从高浓度向低浓度方向流动。同样考虑小体积，单位时间内净流入内的物质的量为，假设小体积内没有源或汇（其他物质转化为这种物质称之为源，这种物质转化为其他物质称之为汇），质量流入小体积内，必然导致这种物质的浓度度发生变化，单位时间内浓度的变化为，根据质量守恒定律：（假设D为常数） 如果在物体内部存在源，源的强度(单位时间内在单位体积中产生物质

13、的量)为，单位时间内内净增加的量为如果仅在x方向有扩散，则一维扩散方程为有源时三、稳定的场方程1稳定的温度(浓度)分布场稳定不随时间变化，即稳定的温度场 泊松方程无热源时 拉普拉斯方程2静电场是电荷密度，是真空中的介电常数(电容率)，=0时72定解条件数学物理方程是同一类现象的共同规律，反映的是该类现象的普遍性的一面，但是就物理现象而言，各个具体问题还有其特特殊性的一面，也就是说仅仅只有数学物理方程，还不能确定各个具体问题中的物理量。其实，在质点力学中我们对这个问题已经有了深刻的理解，质点运动遵循牛顿定律，但是仅有还不能确定位移和速度，要确定某时刻这两个具体的物理需要知道早一些时刻或初始时刻的

14、状态，即它的“历史”。在高等数学中，要求解常微分方程确定的解，必须给定初始条件。数学物理方程是偏微分方程，物理量的值与空间变量和时间变量有关，要确定这些物理量，就要研究对象所处的特定“环境”“和历史”，即边界条件和初始条件.一、 初始条件对于随着时间而发展变化的问题，必须虑到研究对象的特定“历史”，就是说，追溯到早先某个所谓“初始”时刻的状态，即初始条件。对于输运过程(扩散、热传导)，初始状态指的是所研究的物理量的初始分布(初始浓度分布、初始温度分布)，因此，初始条件是t=0时，u的值，即其中是巳知函数。但对于振动过程(弦、杆、膜的振动，较高频率交变电流沿输线传播声振动和声波，电磁波)，只给出

15、初始“位移”还不够的，还需要给出初始“速度”从数学的角度看，就时间t这个自变数而言，输运过程的泛定方程中只出现一阶导数ut，是一阶微分方程，所以只需要知道t=0时u的值，即一个初始条件(7.2.1)；振动过程的泛定方程则出现t二阶的导数utt ，是二阶微分方程，所以需要两个初始条件.注意：初条件应当给出整个系统的初始状态，而不是系统中个别地点的初始状态。u h0 l/2 l x例 一根长为l而两端固定弦，用手把它的中点朝横向拔开距离h(图78)，然后放手任其振动。所谓初始时刻，就是放手的那个瞬间，初始条件就是放手那个瞬间的弦的位移和速度，初始速度显然为零，即至于初始位移如写成那就错了，因为这只

16、是弦的中点的初始位移，其他各点的位移并不是h。考虑到弦的初始形状是由两段直线衔接而成，初始位移应是的分段函数最后，谈一谈“没有初始条件的问题”，没有外源，只是由于初始时刻的不均匀分布引起的输运叫作自由输运，在自由输运过程中，不均匀的分布逐渐均匀化，随着分布的逐渐均匀化，输运过程也步衰减，因此，一定时间以后，自由输运就衰减到可认为巳消失，没有外加力，只是由于初始偏离或初始速度引起的振动叫作自由振动，上节推导自由振动方程时没有计及阻尼作用(该节习题3要求计及阻尼作用)，而实际一阻尼是不可避免的，自由振动不可避免逐渐衰减，因此，一定时间以后自由振动就衰减到可以认为巳消失，这样，在周期性外源引起的输运

17、问题或周期性外力作用下的振动问题中，经很多周期之后，初始条件引起的自由输运或性外源或外力所引起，处理这类问题时，我们完全可以忽略初始条件的影响，这类问题也就叫作没有初始条件的影响。二、 边界条件边界条件边界上的物理状况。常见的线性边界条件分为三类：第一类边界条件，直接规定了所研究的物理量在边界上的数值，在与时间有关的问题中一般是时间的函数，它对边界上的物理量在任一时间上的数值作了规定。在长为的弦的横向振动或细杆纵向振动中，就是和端的位移值， 如果弦的两端固定，则， 在热传导问题中就是边界上温度值。如杆两端温度值分别为定值N1、N2，则， 第二类边界条件，规定了所研究的物理量在边界外法线方向上方

18、向导数的数值，在与时间有关的问题中一般也是时间的函数， 这也就是对边界上的物理量在任一时间对空间变量偏导数的数值作了规定。在一维有界空间问题中， 在第二类边界条件问题中要注意导数的物理涵义。在细杆的纵向振动问题中，相对伸长与力T联系在一起，在输运问题中或，分量形式 ，偏导数、与热流、联系在一起，“-”号表示热流动的方向沿减小的方向，即热流从高温流向低温。例：作纵振动的杆若一端(取)固定，另一端(取)自由，则有，。u 0 l xu 0 l x如杆的端点受力作用，写边界条件时要小心注意力的方向和的符号。判例如杆的两端和同时端受拉力F0作用，两端都有（如图），则，。如果改为杆的两端同时端受压力F0作

19、用，两端都有，结果应是、。在一维热导问题中，若某端()绝热，。若的一端有热流流入，热流方向与x的正方向相同，。若的一端有热流流入，热流方向与x的正方向相反，。如果改为(或)的一端有热流流出，则又怎么样？特别提醒：（1）关键词：“自由”、“固定”、“绝热”；（2）边界条件所考虑的是在运动时间范围内的边界状态。例如：在本节习题1、2（P128）和81节习题5（P160）都讲到受力，但这三个“”所起的作用是不相同的，习题1和习题5中的“”是在运动过程前受到力，运动开始后“”消失，与边界条件无关。在习题1中，“”与边界毫无关系，是在运动前作用在点，与该点两边弦中的张力组成平衡力，决定时弦上各点的位移；

20、在习题5中，“”是作用在边界上，如果写成则是错误的，因为本题要求的是“放手后的振动”，在振动过程中已经不存在了，边界条件只能是，这里的决定初始时刻杆的状态，即，。在习题2中，“”始终作用在边界上，第三类边界条件，规定了所研究的物理量及其外法向导数的线性组合在边界上的数值。衔接条件作业P161，1，2，3。74达朗贝尔公式无界区域一维振动方程，无边界条件，只有初始条件，即定解问题满足泛定方程的通解为其中是两个任意函数。意义：是以速度a沿x负方向传播的行波，是以速度a沿x正方向传播的行波。（说明：偏微分方程不同于常微分方程，通解中出现任意函数，而不是任意常数，大多数情况下偏微分方程很难求出通解）满

21、足定解条件的特解为1、通解泛定方程可写为作变换即先对积分，得对积分，2、确定和由初始条件可得对第二式积分 达朗贝尔公式习题2.（参照P139141，根据7.1.10式写出初始条件）电压情况：，式中电流情况：如果改成第八章分离变数（傅里叶级数）法81齐次方程的分离变数法教学要求：本节是本章基础，也是学习本课程的基础，要求学生全面掌握本节的教学内容。本节介绍具有齐次边界条件的一维振动方程和一维输运方程的分离变数（傅里叶级数）解法，请读者注意，这两种方程的第一、第二类齐次边界条件分为四种情况，即： ， ， ， 分别有不同的解。这种解法可推广到解直角坐标系中的拉普拉斯方程。一、 分离变数法求解波动方程

22、 例1泛定方程 (8.1.1)边界条件 (8.1.2)初始条件 (8.1.3)1分离变数令 (8.1.4)代入(8.1.1)（对偏微分方程分离变数）和(8.1.2) (8.1.5)用a2XT遍除(8.1.5) (8.1.6) (8.1.7) 对边界条件分离变数 (8.1.8) (8.1.9) 本征值问题（注意：仅当边界条件是齐次的，才有和）2解本征值问题问题：取为何值？分0三种情况考察(8.1.9)(1) ，方程(8.1.9)的解是由条件(8.1.7)确定常数C1、C2，(2) ，方程(8.1.9)的解是同样，由条件(8.1.7)确定常数C1、C2，可见0、=0，只有，没有意义，应排除。(3)

23、 ，方程(8.1.9)的解是由条件(8.1.7)确定常数C1、C2，如，则仍然有，应予排除。，于是，亦即. (n=1,2,3,) 本征值 (8.1.10)本征函数 (8.1.11)3求满足泛定方程和边界条件的一般解 (8.1.12).(n=1,2,3,) 本征解 (8.1.13) 一般解 (8.1.14)说明：解的物理意义，利用有关三角公式可得其中。是两个传播方向相反的简谐波的叠加驻波，(8.1.14)式正是一系列驻波的叠加。4由初始条件确定系数(8.1.14)是满足泛定方程(8.1.1)和边界条件(8.1.2)的一般解，还不是一个确定的解，其中、为任意常数。满足(8.1.1) (8.1.3)

24、定解问题的确定解就是要选取确定的系数、，使满足边界条件(8.1.3)。为此，以(8.1.14)代入(8.1.3) (8.1.15)实例P154图78 小结求解过程：(1) 分离变数：偏微分方程变分离变数常微分方程和，齐次边界条件分离变数条件条件与方程构成本征值问题；(2)求解本征值问题本征值和本征函数；(3)把本征值代入常微分方程本征解，运用叠加原理通解；(4)求系数定解。（参见P147）特别强调：(1)如果边界条件是非齐次的，就得不到条件，分离变数求解就无法进行下去，只有在齐次边界条件情况下，才能有本征值问题；(2)对于不同齐次边界条件，将得到不同的本征值问题，有不同的本征值和本征函数，得到

25、不同的本征解。（请看例2）例2 定解问题 偏微分方程与例1相同，同理可得 (8.1.16)对边界条件分离变数（边界条件不同）本征值问题： (8.1.17)(注意：由于边界条件不同，(8.1.17)式不同于(8.1.9)式).分0三种情况考察(8.1.16)(1) ， (8.1.17)只有零解，即，应排除。(2) ，方程(8.1.16)的解是由边界条件确定常数、，得为任意常数（注意：=0是满足本征值问题(8.1.17)的本征值，对应的本征函数是，这是本例与例1的重要区别） (3) ，确定常数C1、C2，如，则仍然有，应予排除。，于是，亦即. (n=1,2,3,). (n=1,2,3,)把=0与情

26、况的本征值和本征函数合在一起，本征值 . (n=0,1,2,3,) (8.1.18)本征函数 . (n=0,1,2,3,) (8.1.19)（注意与例1不同）再解T的方程，n=0时 本征解：.一般解： (8.1.20) (见P187(8.1.31)式)例3（自学） 定解问题 令 同理可得 (8.1.21) (8.1.22)(注意：由于边界条件不同，(8.1.22)式不同于(8.1.7) 、(8.1.16)式)求解本征值问题(8.1.21)、(8.1.22)。如果0时再由条件(8.1.22)确定常数C1、C2，如，则仍然有，应予排除。，于是，亦即本征值 . (k=0,1,2,3,) 本征函数 .

27、 (k=0,1,2,3,) (8.1.23) .(k=0,1,2,3,) (k=0,1,2,3,) (8.1.24)例4：（自学）定解问题 仿照上述解法，可得本征值 . (k=0,1,2,3,) 本征函数 . (k=0,1,2,3,) (8.1.23) .(k=0,1,2,3,) 二、 分离变数法求解输运方程例5（自学）：定解问题 令 同理可得 本征值问题与例1相同本征值 . (n=1,2,3,) 本征值函数 . (n=1,2,3,) (n=1,2,3,) 例6：定解问题 分离变量：令 这是与例2相同的本征值问题本征值 . (n=0,1,2,3,) 本征函数 . (n=0,1,2,3,) 解关

28、于t 的方程，得例7(P149例2) 解：分离变量，得： 求解本征值问题，如果，只能得到无意义的零解，0时， ，亦即本征值 . (k=0,1,2,3,) 本征函数 . (k=0,1,2,3,) (k=0,1,2,3,)小结：34解有界空间内一维齐次波动方程和热传导方程定解问题边界条件分离变量本征值问题本征值本征函数X(x)Tn(t)U (x,t)Tn(t)U (x,t)35简单非齐次边界条件的处理习题9 厚度为l的无限大平板，定解问题: 令t较大时，k较大的项很小，三、 分离变数法求解二维拉普拉斯方程1 平面直角坐标系求解二维拉普拉斯方程例8 (8.1.40)以分离变数形式的试探解，先对微分方

29、程分离变量，对边界条件分离变量，(8.1.41)本征值问题： (8.1.42)本征值 . (n=1,2,3,) (8.1.43) 本征函数 . (n=1,2,3,) (8.1.44)本征解： (8.1.45)确定系数A和B，以(8.1.45)代入非齐次边界条件 （注：本例中有两个边界条件，其中有一个变量的边界条件是齐次的，如果两个边界条件都是非齐次的，则不能对边界条件分离变数，不能得到本征值问题(8.1.42)，需要先对边界条件进行处理，使其中一个变数的边界条件变为齐次的，然后再分离变数。P152例3介绍了对简单边界条件的处理方法）2 平面极坐标系中求解二维拉普拉斯方程在处理圆形区域问题时，用

30、极坐标系中求解往往比较方便，二维拉普拉斯方程在平面极坐标系中的形式为 (8.1.50)平面极坐标系中的二维拉普拉斯方程定解问题： (8.1.51)以分离变数形式的试探解代入(8.1.50)式 (8.1.52) (8.1.53)(8.1.51)中没有明显的齐次边界条件，但常微分方程(8.1.53)式隐含着一个附加条件： (8.1.54)这叫做自然的周期条件，(8.1.53)和(8.1.54)构成本征值问题， (8.1.55)容易证明， (为积分常数) ，综合起来，有本征值 (8.1.56)本征函数 (8.1.57)(8.1.56)代入(8.1.52) (8.1.57) (8.1.57)是欧勒型常

31、微分方程，作代换方程化为其解为本征解为， . ， (8.1.58)在圆域内，一般有附加条件时u有限，在圆域外，如果有附加条件 时，u为有限值(并否都有这一附加条件)，则例9习题16（留作练习）定解问题 在圆域内的拉氏问题，隐含着一个附加条件：时u有限，故本题解的形式为由边界条件确定积分常数本题的解为： 例10P154例4(物理理论叙述参见教材)本题可规结为下列定解问题（取导体的电势，导体为等势体，自然有，教材中有问题，待讨论）通解 (8.1.62)确定(8.1.62)式中的系数，先把(8.1.62)式代入齐次边界条件(8.1.60).一个傅里叶级数等于零，意味着所有的傅里叶级数的系数等于零，即

32、 (8.1.63)在研究非齐次边界条件(8.1.61)，很大时,远小于，可略去，因此(8.1.62)代入(8.1.61)的结果是， (8.1.64)对变量两边比较系数：，在(8.1.63)中联立，得对于，不能确定、，由得保留常数；最后得柱外的静电势为结果讨论：上式电势的物理意义。右边第二项是无导体时原匀强产生的电势，第三项是在外电场作用下导体表面感应电荷产生的电势。由电磁学知识可知，第一项原无限长直圆柱形导体所带电荷产生的势，圆柱形导体单位长度带电荷为时，。(参见教材P157158)习题提示习题1、2、4、5、7、9、11、12、13、16比较简单， 16题可加上边界条件时u有限，把“圆形域内

33、”改为“圆形域外”。习题4 习题5 习题7 习题12 定解问题 习题17 定解问题: 分离变数的方法与习题16相同，本征值问题不同0、=0，只有，应排除。时，本征值 本征函数 一般解为 因为在半圆内u有界，时，u亦有界，所以Dn=0在圆周上，即时最后可解得 平面极坐标系中拉普拉斯方程球坐标系中轴对称情况下拉普拉斯方程方程，分离变量本征值问题本征值本征解通解在圆内，时u有限，在圆外，如果时u有限，83 非齐次边界条件的处理教学要求：非齐次边界条件的一般处理方法，重点掌握本节介绍的特殊处理法，即把非齐次边界条件转化为齐次边界条件，同时微分方程仍为齐次的，方便求解。以前处理方程都是对齐次边界条件，在

34、实际问题中常有非齐次边界条件出现，对于非齐次边界条件如何处理？一、 一般处理方法当定解问题是线性的，叠加原理成立，可以把定解问题的解分为两部分，即令其中满足所给定解问题中的非齐次边界条件，则为满足齐次边界条件的部分解。如果能用简单的方法找到，则把求解非齐次边界条件的定解问题转化为齐次边界条件问题。1.第一类边界条件例1 自由振动问题怎样选取一个函数，使其满足非齐次边界条件？有多种选择，只要同时满足和。为了简单起见，不妨取为x的线性函数，即将此式代入上述边界条件解得：令：代入原定解问题尽管的方程一般是非齐次的，但边界条件是齐次,可按求82求解.注意的初始条件也不同于的初始条件2第二类非齐次边界条

35、件例2代入原定解问题3第一、第二类组合非齐次边界条件（1）原定解问题转化为（2）二、特殊处理方法上述处理方法将非齐次的边界条件转变为齐次边界条件，缺点是的泛定方程一般变为非齐次方程，求解麻烦,能否能较为简便的方法，在边界条件转变为齐次边界条件的同时泛定方程仍为齐次的?例3 弦的x=0端固定,x=l端受迫作谐振动,弦的初始位移和初始速度都是零,求弦的振动,这个定解问题是x=l端为非齐次边界条件。即弦是在x=l端受迫作谐振动情况下的振动,它是否有一个特解,同时满足齐次方程和非齐次边界条件,且跟x=l端同步振动,就是说其时间部分的函数,因此特解的分离变数形式应 代入泛定方程,得分为两个定解问题，求解，容易解得：解的定解问题 这样化成了齐次方程定解问题,可用分离变数法求解。（见教材）补充例题1根据一般处理方法，令：，w的边界条件化为齐次，但，求解w也是麻烦的，稍微仔细观察一下则可发现，若令：，最后解得补充例题2解：习题（P175）1原定解问题转化为代入边界条件习题3，与例3相似，取特解的分离变数形式为 代入泛定方程,得分为两个定解问题，求解，（时将会产生共振）解的定解问题 求系数见教材答案注：如果本题改为代入泛定方程,得