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1、第五章思考题解答5.1 答：作.用于质点上的力在任意虚位移中做的功即为虚功，而虚位移是假想的、符合约束的、无限小的.即时位置变更，故虚功也是假想的、符合约束的、无限小的.且与过程无关的功，它与真实的功完全是两回事.从可知：虚功与选用的坐标系无关，这正是虚功与过程无关的反映；虚功对各虚位移中的功是线性迭加，虚功对应于虚位移的一次变分.在虚功的计算中应注意：在任意虚过程中假定隔离保持不变，这是虚位移无限小性的结果.虚功原理给出受约束质点系的平衡条件，比静力学给出的刚体平衡条件有更普遍的意义；再者，考虑到非惯性系中惯性力的虚功，利用虚功原理还可解决动力学问题，这是刚体力学的平衡条件无法比拟的；另外，
2、利用虚功原理解理想约束下的质点系的平衡问题时，由于约束反力自动消去，可简便地球的平衡条件；最后又有广义坐标和广义力的引入得到广义虚位移原理，使之在非纯力学体系也能应用，增加了其普适性及使用过程中的灵活性.由于虚功方程中不含约束反力.故不能求出约束反力，这是虚功原理的缺点.但利用虚功原理并不是不能求出约束反力，一般如下两种方法：当刚体受到的主动力为已知时，解除某约束或某一方向的约束代之以约束反力；再者，利用拉格朗日方程未定乘数法，景观比较麻烦，但能同时求出平衡条件和约束反力.5.2 答 因拉格朗日方程是从虚功原理推出的，而徐公原理只适用于具有理想约束的力学体系虚功方程中不含约束反力，故拉格朗日方
3、程也只适用于具有理想约束下的力学体系，不含约束力；再者拉格朗日方程是从力学体系动能改变的观点讨论体系的运动，而约束反作用力不能改变体系的动能，故不含约束反作用力，最后，几何约束下的力学体系其广义坐标数等于体系的自由度数，而几何约束限制力学体系的自由运动，使其自由度减小，这表明约束反作用力不对应有独立的广义坐标，故不含约束反作用力.这里讨论的是完整系的拉格朗日方程，对受有几何约束的力学体系既非完整系，则必须借助拉格朗日未定乘数法对拉格朗日方程进行修正.广义坐标市确定质点或质点系完整的独立坐标，它不一定是长度，可以是角度或其他物理量，如面积、体积、电极化强度、磁化强度等.显然广义坐标不一定是长度的
4、量纲.在完整约束下，广义坐标数等于力学体系的自由度数；广义力明威力实际上不一定有力的量纲可以是力也可以是力矩或其他物理量，如压强、场强等等，广义力还可以理解为；若让广义力对应的广义坐标作单位值的改变，且其余广义坐标不变，则广义力的数值等于外力的功由知，有功的量纲，据此关系已知其中一个量的量纲则可得到另一个量的量纲.若是长度，则一定是力，若是力矩，则一定是角度，若是体积，则一定是压强等.5.3 答 与不一定只相差一个常数，这要由问题的性质、坐标系的选取形式及广义坐标的选用而定。直角坐标系中质点的运动动能，若取为广义坐标，则，而，相差一常数，如定轴转动的刚体的动能，取广义坐标，而与相差一常数转动惯
5、量，又如极坐标系表示质点的运动动能，若取，有，而，二者相差一变数；若取有，而,二者相差一变数.在自然坐标系中，取，有，而，二者相差一变数.从以上各例可看出：只有在广义坐标为长度的情况下，与才相差一常数;在广义坐标为角量的情形下，与相差为转动惯量的量纲.为何比更富有物理意义呢？首先，对应于动力学量，他建立了系统的状态函数、或与广义速度、广义坐标的联系，它的变化可直接反应系统状态的改变，而是对应于运动学量，不可直接反应系统的动力学特征；再者，系统地拉格朗日函数中不含某一广义坐标时，对应的广义动量常数，存在一循环积分，给解决问题带来方便，而此时循环坐标对应的广义速度并不一定是常数，如平方反比引力场中
6、，不含，故有常数,但常数；最后，由哈密顿正则方程知,是一组正则变量:哈密顿函数中不含某个广义坐标时，对应的广义动量常数，不含某个广义动量时，对应的广义坐标常数5.4答只有对于完整系，广义坐标数等于自由度数，才能消去所有的约束方程，式（5.3.13）各才能全部相互独立，得到式（5.3.14），故拉格朗日方程只适用于完整系，非完整力学体系，描述体系的运动需要的广义坐标多于自由度数，各不全部独立，不能得到（5.3.14）式，但（5.3.13）式结合拉格朗日方程未定乘数法可用于非完整系。5.6 答 力学体系在平衡位置附近的动力学方程（5.4.4）得久期方程（本征值方程）（5.4.6）式，其中，久期方程
7、的各根（本征值）的性质决定体系平衡位置附近的小振动性质。因从本征方程（5.4.6）式中可求出个的本征值（），每一个对应一个独立的常数故个常数中只有个是独立的。5.7答多自由度体系的小振动，每一广义坐标对应于个主频率的谐振动的叠加。若通过坐标间线性变换使得每一广义坐标仅对应一个频率的振动，则变换后的坐标称之为简正坐标，对应的频率为简正频率，每一简正坐标对应一个简正频率，而简正频率数和力学体系的自由度数相等，故简正坐标数等于自由度数。 值得说的是，每一简正振动为整个力学体系所共有，反映的是各质点（整体）的振动之一，其他坐标都作为简正坐标的线性函数，由个简正振动叠加而成。这种方法在统计物理，固体物理
8、中都有运用。5.8答对一完整的稳定的力学体系在有阻尼的情况下，它们在平衡位置附近将作衰减运动。引入耗散函数则阻力 力学体系的运动方程改为其中，中是的函数，把在平衡位形区域展开成泰勒级数高级项很小，只保留头一项，则均为常数。代入运动方程得把代入上式得本征值方程在，的小阻尼情况下，本征值，且振动方程为显然是按指数率的衰减振动。5.9答：因，故由解得所以则而5.10答：拉格朗日方程只适用于完整系，哈密顿正则方程有保守系拉格朗日方程推出，故只能适用于完整的，保守的力学体系，对非保守体系（5.3.18）改写为其中为非有势力，或写为即。经勒让德变换后用课本上同样的方法可推得非保守系中的哈密顿正则方程5.1
9、1答：若哈密顿函数不显含时间，则；对稳定约束下的力学体系，动能不是速度的二次齐次函数，则,是以哈密顿正则变量表示的广义总能量，因不稳定约束的约束范例可以做功，但拉格朗日方程中不含约束力，故有此差异，此时并不是真正的能量；对稳定的，保守的力学体系，若含则是能量但不为常熟。5.12答：泊松括号是一种缩写符号，它表示已同一组正则变量为自变量的二函数之间的关系。若，则是物理学中最常用的泊松括号，用泊松括号可表示力学体系的运动正则方程用泊松括号的性质复杂微分运算问题化为简单的括号运算，这种表示法在量子力学，量子场论等课程中被广泛应用。每一正则方程必对应一个运动积分，利用泊松括号从正则方程=积分可以推出另
10、外一个积分，这一关系称为泊松定理。5.13 答：哈密顿原理是用变分的方法确定运动规律的，它是力学变分原理的积分形式。基本思想是在描述力学体系的维空间中，用变分求极值的方法，从许多条端点相同的曲线中挑选一条真是轨道确定体系的运动变化规律。因为对等时变分，故变分符号可置于积分号内也可置于积分号外，而不等时变分，故全变分符号不能这样。5.14答：力学体系的哈密顿函数中是否有循环坐标系或循环坐标的数目与坐标系（或参变数）的选取有关，故在正则方程形式不变的前提下，通过某种变数变换找到新的函数，使之多出现一些循环坐标，此即正则变换的目的及公用。由于每一循环坐标对应一个运动积分，正则变换后可多得到一些运动积
11、分，给解决问题带来方便，正则变换的关键是母函数的选取，其选取的原则是使中多出现循环坐标，但并无一定的规律可循，要具体问题具体分析。5.15答：哈密顿正则方程是个一阶微分方程的方程组，用泊松定理解之，由而已知运动积分求出其余的运动积分往往是已知解的线性组合或横等时，并不能给出新的解；而用正则变换可多得到一些循环坐标是正则方程立即有解，但母函数的选取往往很困难，哈密顿雅可毕理论的目的既是要弥补上述缺陷，通过一个特殊的正则变换，使得用新变量表示的哈密顿函数，此时全部为常数，这样哈密顿得主函数极为母函数，从而解决母函数难以寻找的困难。5.16答：对（5.9.8）式若为不稳定约束，只需以代替即可，故对（
12、5.9.8）式分离变量后推出的（5.9.12）中也只需以代即可用于不稳定约束。正则方程利用哈雅理论后得到结果十分普遍，可同时得出运动规律，轨道级动量，故比拉格朗日方程优越。5.17答：经典“牛顿力学”常用于几何的观点，运用形象化思维的方式，研究力学体系的受力情况及运动情况，然后通过运动非常及时物体的受力与运动变化间的相互联系和前因后果。这种方法形象，直观，物理意义鲜明，被广泛应用于工程实际。但由于它着眼于力，速度，加速度等矢量，给解决复杂的力学体系的运动问题带来许多不便；再者，它仅仅局限于纯力学体系的运动分析，其理论与方法难以建立与其它学科的联系。5.18答：十九世纪发展起来的“分析力学方法弥
13、补了上述缺陷，它用纯数学分析的方法用更具有概括性的抽象思维方式，从力学体系的一切可能的运动中挑选出实际运动的规律。这种方法尽管物理意义不如牛顿力学方法鲜明，但它给人们解决复杂力学体系的运动问题提供了有一方法；再者，由于广义坐标，广义力的引入使其理论在其它学科中也能广泛的应用。建立了经典物理学向近代物理学过渡的桥梁。下面通过分析力学与牛顿力学理论及方法的比较扼要阐述分析力学的优越性。牛顿力学的着眼点是力，实际力学体系除受到促使其运动状态改变的主动力，往往还存在很多限制其运动的约束条件体现这些约束的约束反作用力都要作为未知数出现于运动微分方程，使未知量增加给解算带来许多麻烦；分析力学着眼于功和能在
14、一定条件下，常常可以不考虑约束反作用力。如在理想条件下，用虚位移原理解决力学体系的平衡问题可撇开众多的未知未知约束力，直接得出平衡条件，比用牛顿力学中刚体受力的平衡方程方便得多；达朗伯虚位移原理解决力学体系的动力学问题，由于虚功的概念、广义坐标的引入，也可撇开约束力得解，比用牛顿方程即由此推出的动量定理，动量矩定理方便；拉格朗日方程、哈密顿原理即由此得到的分析力学一系列方程均具这一优点。从一分为二的观点来看，这也是分析力学的缺点不能求出约束反作用力。当把待求的约束反力或做功的约束反力作为主动力来看，分析力学的理论修改后仍能应用。牛顿力学用矢量的方法研究力学体系的运动，着眼于力、加速度、速度等矢
15、量，而矢量具有方向性、相对性，在坐标变换中很费事，故牛顿力学的动力学方程都与参考系极坐标系的选取有关；分析力学用标量描述力学体系的运动及变化规律，着眼于功和能广义坐标和广义速度等一系列标量，标量便于变换及叠加，标量形式的运动方程也是便于写出的，且由于广义坐标和广义力的引入，是指超出立宪的范围也能应用，给参变量的选用也带来了许多方便，提高了灵活性。如用拉格朗日方程，哈密顿原理或哈密顿正则方程推证极坐标系，球坐标系的质点运动方程，比用牛顿力学的方法简便，但分析力学不如牛顿力学方法直观物理意义也不如牛顿力学方法清晰。牛顿力学的动量守恒定律动量矩守恒定律总是以牛顿第三定律为先决条件的；而分析力学中循环
16、坐标对应的广义动量守恒原理并不以牛顿第三定律为先决条件，其先决条件是拉格朗日函数或哈密顿函数中不含某广义坐标。若拉格朗日函数中不含某广义坐标，则对应于拉格朗日动力学的广义动量守恒；若哈密顿函数中不含某广义坐标，则对应于哈密顿动力学的广义动量守恒。牛顿动力学的动量守恒定律，动量矩守恒定律都是广义动量守恒原理对应的某循环坐标下的特例。恩西力学的理论更具有概括性，广义动量守恒原理具有更普遍的意义。牛顿力学研究力学问题也用到共和能的概念，但其功能关系动能定理，功能原理，机械能守恒定律等，只不过提供了力学体系运动的某一方面特征，它的注意力集中于实际实现，而在实际实现的运动中，功能关系只能给出一个独立的方
17、程不能提供完全的解；分析力学则不然，它不只是注意实际实现的运动，而是以力学体系的一切可能存在的运动中挑选出真实的运动，故分析力学中的功能关系指的是一切可能出现的运动中的功能关系，比实际实现的运动中的功能关系要丰富的多，它可以给出一组与力学体系自由度数相等的运动方程，足以确定体系的运动。如用牛顿力学中的功能关系机械能守恒定律研究抛体运动（不计空气阻力），只能给出一个独立的方程，不能提供完全的解；而用拉格朗日方程则可以给出与自由度数相等的两个独立的运动方程，足以解决其运动。牛顿力学机械能守恒定律中的势能对应于所有的势力，包括主动力和约束反力，而分析力学中的拉格朗日函数或哈密顿函数中的势能只对应于广
18、义力，广义力只包含主动力，故两种势能不同。再者，分析力学中哈密顿函数H的守恒原理，在非稳定的约束情况下并非机械能，成为广义能量，只有在稳定的约束情况下才是机械能。故牛顿力学的机械能守恒定律要求有势力，而哈密顿函数的守恒原理要求不显含且为稳定约束，它们是从不同角度讨论机械能守恒的。分析力学的广义能量守恒比牛顿力学的机械能守恒有着更广泛的意义。牛顿力学定律不便于与其它形式的运动建立直接的联系，分析力学着眼于能量，便于进一步考虑能量的量子化问题，为从经典力学向近代物理学及其它领域过渡提供了方便的“跳板”。如哈密顿雅可比方程量子化得到的薛定谔方程，哈密顿正则方程量子化得到量子力学的海森堡方程，经典泊松
19、括号考虑量子化效应得到量子力学的泊松括号；哈密顿原理推广到量子力学的变分原理等。再者，能量便于与其运动形式转化，由于广义坐标概念的引入使得一系列分析力学的方程都适用于非力学体系；另外，分析力学是在多维的非欧几得空间中讨论问题的，故分析力学的理论及方法在物理学的各领域有广泛的应用，现代的场论都好似拉格朗日形成的，分析力学在物理学中有着重要的地位。最后讨论一下哈密顿动力学与拉格朗日动力学的关系。在处理实际问题中哈密顿动力学不如拉格朗日动力学方便，拉格朗日动力学中从拉格朗日函数可直接写出力学体系的运动方程拉格朗日方程；哈密顿动力学中则必须从拉格朗日函数转到哈密顿函数才可写出力学体系的运动方程哈密顿正
20、则方程，从哈密顿正则方程消去广义动量的结果其实不过是从另一途径达到拉格朗日方程，这样做的结果是绕了一个大圈子。第五章习题解答5.1解 如题5.1.1图杆受理想约束，在满足题意的约束条件下杆的位置可由杆与水平方向夹角所唯一确定。杆的自由度为1，由平衡条件：即mgy =0变换方程y=2rcossin-= rsin2故代回式即因在约束下是任意的，要使上式成立必须有：rcos2-=0又由于 cos=故cos2= 代回式得5.2解 如题5.2.1图三球受理想约束，球的位置可以由确定，自由度数为1，故。得由虚功原理 故因在约束条件下是任意的，要使上式成立，必须故又由 得： 由可得5.3解 如题5.3.1图
21、，在相距2a的两钉处约束反力垂直于虚位移，为理想约束。去掉绳代之以力T，且视为主动力后采用虚功原理，一确定便可确定ABCD的位置。因此自由度数为1。选为广义坐。由虚功原理：w又取变分得代入式得：化简得设因在约束条件下任意，欲使上式成立，须有：由此得5.4解 自由度，质点位置为。由由已知得故约束方程联立可求得 或 又由于故或5.5解 如题5.5.1图 按题意仅重力作用，为保守系。因为已知，故可认为自由度为1.选广义坐标，在球面坐标系中，质点的动能：由于所以又由于故取Ox为零势，体系势能为：故力学体系的拉氏函数为：5.6解 如题5.6.1图.平面运动，一个自由度.选广义坐标为，广义速度因未定体系受
22、力类型，由一般形式的拉格朗日方程在广义力代入得：在极坐标系下：故 将以上各式代入式得5.7解 如题5.7.1图又由于所以取坐标原点为零势面 拉氏函数代入保守系拉格朗日方程得代入保守系拉格朗日方程得5.8解：如图5.8.1图.(1)由于细管以匀角速转动，因此=可以认为质点的自由度为1.(2)取广义坐标.(3)根据极坐标系中的动能取初始水平面为零势能面，势能:拉氏函数(4)，代入拉氏方程得：(5)先求齐次方程的解.特解为故式的通解为在时： 联立得将代回式可得方程的解为：5.9解 如题5.9.1图.（1）按题意为保守力系，质点被约束在圆锥面内运动，故自有度数为2.（2）选广义坐标，.（3）在柱坐标系
23、中：以面为零势能面，则：拉氏函数-（4）因为不显含，所以为循环坐标，即常数对另一广义坐标代入保守系拉氏方程有得所以此质点的运动微分方程为（为常数）所以5.10解如题5.10.1图.（1）体系自由度数为2.（2）选广义坐标（3）质点的速度劈的速度故体系动能以面为零势面，体系势能：其中为劈势能.拉氏函数（4）代入拉格郎日方程得：代入拉格郎日方程得联立，得5.11 解 如题5.11.1图（1）本系统内虽有摩擦力，但不做功，故仍是保守系中有约束的平面平行运动，自由度（2）选取广义坐标（3）根据刚体力学其中绕质心转动惯量选为零势面，体系势能：其中C为常数.拉氏函数(4)代入保守系拉氏方程得：对于物体，有
24、5.12解 如题5.12.1图. （1）棒作平面运动，一个约束，故自由度.（2）选广义坐标（3）力学体系的动能根据运动合成又故设为绕质心的回转半径，代入得动能（4）由（其中）则因为、在约束条件下任意且独立，要使上式成立，必须：（5）代入一般形式的拉氏方程得：又代入一般形式的拉氏方程得：、两式为运动微分方程（6）若摆动角很小，则，代入式得：，代入式得：又故代入式得：（因为角很小，故可略去项）5.13解 如题5.13.1图(1)由于曲柄长度固定，自由度.(2)选广义坐标，受一力矩，重力忽略，故可利用基本形式拉格朗日方程：(3)系统动能（4）由定义式（5）代入得：得5.14.解 如题5.14.1图.
25、 （1）因体系作平面平行运动，一个约束方程：(2)体系自由度，选广义坐标.虽有摩擦，但不做功，为保守体系（3）体系动能：轮平动动能轮质心转动动能轮质心动能轮绕质心转动动能.以地面为零势面，体系势能则保守系的拉氏函数(1)因为不显含，得知为循环坐标.故=常数开始时：则代入得又时，所以5.15解 如题5.15.1图（1）本系统作平面平行运动，干限制在球壳内运动，自由度；选广义坐标，体系摩擦力不做功，为保守力系，故可用保守系拉氏方程证明（2）体系动能=球壳质心动能+球壳转动动能+杆质心动能+杆绕中心转动动能其中代入得以地面为零势面，则势能：（其中为常数）(3)因为是循环坐标，故常熟而代入式得联立、可
26、得（先由式两边求导，再与式联立）试乘并积分得：又由于当5.16解 如题图5.16.1.（1）由已知条件可得系统自由度.（2）取广义坐标.（3）根据刚体力学，体系动能：又将以上各式代入式得：设原点为零势能点，所以体系势能体系的拉氏函数(1)因为体系只有重力势能做工，因而为保守系，故可采用代入式得即（5）解方程得5.17解 如题5.17.1图（1）由题设知系统动能取轴为势能零点，系统势能拉氏函数 （2）体系只有重力做功，为保守系，故可采用保守系拉氏方程.代入拉氏方程得：又代入上式得即同理又代入上式得令代入式得：欲使有非零解，则须有解得周期5.18解 如题5.18.1图（1）系统自由度（2）取广义坐
27、标广义速度（3）因为是微震动，体系动能：以为势能零点，体系势能拉氏函数（4）即同理同理设代入式得欲使有非零解，必须解之又故可得周期5.19解 如题5.19.1图（1）体系自由度（2）取广义坐标广义速度（3）体系动能体系势能体系的拉氏函数（4）体系中只有弹力做功，体系为保守系，可用将以上各式代入式得： 先求齐次方程设代入式得要使有非零，必须即又故通解为：其中又存在特解有式可得式中及为积分常数。5.20解：以速度我广义速度，根据定义根据公式（5.5.10）又有得5.21解 取在转动坐标系的速度为广义速度，则在固定坐标系中的速度：，自由质点的动能，设质点势能为，则质点的拉氏函数根据定义：在转动坐标系
28、中：上式中为质点的位矢，为质点相对于固定坐标系的速度。5.22解：取在广义坐标根据教材（3.9.21）和（3.9.19）式得动能：势能：根据定义式故因为所以为第一积分.又故得为第二个第一积分.同理即得为第三个第一积分.5.23解如题5.23.1图, 由5.6题解得小球的动能根据定义得根据哈密顿函数的定义代入式后可求得:由正则方程得:代入得整理得5.24 如题5.24.1图, 小球的位置可由确定,故自由度选广义坐标,广义速度.小球动能又由式得设小球势能为V,取固定圆球中心O为零势点,则小球拉氏函数=根据定义有根据正则方程对式两边求时间导得：故小球球心切向加速度5.25解根据第二章2.3的公式有：
29、根据泊松括号的定义：所以同理可知：, 由得：同理可得：, 5.26解 由题5.25可知的表达式因为故同理可求得：即5.27证取广义坐标因为又因为所以5.28解 如题5.28.1图(1)小环的位置可以由角唯一确定，因此体系的自由度，取广义坐标，广义速度。小球的动能：以为势能零点，则小环势能 所以拉氏函数 （2）由哈密顿原理故所以又由于所以因为是任意的，所以有被积式为0，即化简得5.29解 参考5.23题，设，体系的拉氏函数根据哈密顿原理故 因为所以又因为因为是任意的，所以有5.30解 如题5.30.1图，复摆位置可由角度唯一确定，自由度，取广义坐标，设为复摆重心与悬点之间的距离。复摆的动能：取为势能零点，则势能：复摆的拉氏量：由哈密顿原： 故又因为 因为的任意性所以有： 根据已知很小，可求得：其中为初相位。周期5.31解如题5.31.1图，参考题5.9，体系拉氏函数根据哈密顿原理：故 因为代入式得：所以 又因为，且和的任意性所以所以运动微分方程为：常数5.32证因为母函数不是的显函数，为正则变换。5.33证由为母函数，故为正则变换。又且当，变为时5.34证：由又故由于代入式得得所以存在母函书使：因此，这种变换是正则变换.5.35解:由于故由得又有又又故当时,由式得:即当时,