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1、79第十章 曲线积分与曲面积分10.1 第一类曲线积分内容概要名称主要内容第一类曲线积分1.平面曲线：2.空间曲线： 常用的性质1. 若,则2. 的弧长计算(平面曲线)1.，其中具有一阶连续的导数，则 ， 2. ， ，其中具有一阶连续的导数，则， 3. ，其中具有一阶连续的导数，则， 4，则计算(空间曲线),，其中具有一阶连续的导数，则 常用的结论例题分析1. 计算，其中为连接，的闭折线。知识点：第一类曲线积分.思路: 由三段直线段组成，故要分段积分.解： 如图 则，注：利用被积函数定义在上，故总有， .注：1)，对弧长的曲线积分是没有方向性的，积分限均应从小到大.2)对段的积分可化为对的定积
2、分，也可化为对的定积分，但段，段则只能化为对（或对）的定积分. 2.计算，其中为圆周.知识点：第一类曲线积分.思路: 为圆周用极坐标表示较简单.解：的极坐标方程： .3. 计算曲线积分，其中为曲线,应于从到的一段弧.知识点：第一类曲线积分.思路: 空间曲线，用空间间曲线第一类曲线积分公式.解：原式= .1. 计算曲线积分，其中为球面与平面的交线。知识点：第一类曲线积分.思路: 的参数方程不易求出，不好用空间间曲线第一类曲线积分公式，但满足，故总有.解： 即 原式= 注：1)利用被积函数定义在上，故总有，是常用的一种简化运算的方法.2) 为平面上的一个圆，圆心，半径为. 课后习题全解习题10-1
3、 1. 设在面内有一分布着质量的曲线弧L，在点处它的线密度为，用对弧长的曲线积分分别表达： 1) 该曲线弧对轴、轴的转动惯量和； 2) 该曲线弧的质心坐标和.知识点：第一类曲线积分的概念及物理意义.思路: 面内的一段曲线，其线密度为，则1)线段的质量为： 2)线段关于轴和轴的静力矩为： 3)线段对轴和轴的转动惯量：，解：由第一类曲线积分的概念及物理意义得 (1) , (2) 2. 计算，其中。 解：法一：原式= 法二：原式= .(利用性质2) 3. 计算，其中为连接，两点的直线。 解：直线方程为： 原式= 4计算，其中L为内摆线的弧。 解：摆线的参数方程为： 原式 5. 计算曲线积分，其中为螺
4、旋线上相应于从到的一段弧。解： 原式 6. 计算曲线积分，其中为折线,这里,依次为点，.解：如图， 原式= ： ：，：，原式= . 7. 计算，其中为对数螺线在圆的内部。解：依题意： 得 .8. 计算曲线积分，其中为球面与平面的交线。解： 即 法一： 的参数方程为：原式= 法二： 原式= 9. .求半径为、中心角为的均匀圆弧（线密度的质心.解：取扇形的角平分线为轴，顶点为原点建立平面直角坐标系，则圆弧的方程为：由图形的对称性和知，而 故质心在（）.10. 求螺旋线，对轴的转动惯量，设曲线的密度为常数.解： .11. 设螺旋形弹簧一圈的方程为，其中，它的线密度. 求： (1) 螺旋形弹簧关于轴的
5、转动惯量; (2) 螺旋形弹簧的重心.解: (1).(2) 螺旋形弹簧关于平面的静力矩分别为： 同法得： ., . 提高题1. 计算，其中为正向圆周，直线及轴在第一项限内所围成的扇形的整个边界. 解：与在第一象限的交点为.如图： ; ; .则 原式2. 计算，其中为圆柱面与锥面的交线.解：，参数方程为 又故.(此题请核查)10.2 第二类曲线积分内容概要名称主要内容第二类曲线积分1.平面曲线：2.空间曲线： 常用的性质1其中表曲线的某一方向(正向), 表曲面的另一方向(负向)2.若,则计算(平面曲线)，起点，终点，其中具有一阶连续的导数，则计算(空间曲线),起点，终点，其中具有一阶连续的导数，
6、则 例题分析1. 计算，其中是为顶点的正方形的正向边界. 知识点：第一类曲面积分.思路: 如图由四段直线段组成，故要分段积分.解： 如图 则变化从到变化从到变化从到变化从到.2计算曲线积分，其中为曲线上对应于从到的一段弧.知识点：第一类曲面积分.思路: 空间曲线，用空间间曲线第一类曲线积分公式.解：原式 .课后习题全解习题10-2 1.计算，其中为与轴所围成的闭曲线，依顺时针方向.解：如图 其中变化从到， 变化从到,原式2.计算，其中为圆周上对应于从到的一段弧.解： 原式 3.计算曲线积分，其中为从经到点的那一段.解：变化从到原式.4.计算曲线积分，其中为圆周（按逆时针方向绕行）.解：圆的极坐
7、标方程为： ，从变到原式= .5.计算，设，式中方向依参数增加的方向. 解：原式 .6.计算，其中为上对应于从到的一段弧.解：原式 .7.计算，其中是从点到点的直线.解：直线的方向向量为， 故其参数方程为：从变到原式 .8.计算，其中为圆柱面与的交线，从轴正向看为逆时针方向.解：的参数方程为：,从变到原式9.在过点和的曲线族中，求一条曲线，该曲线从O到A的积分的值最小。解：从变到, 令得（负号舍去） 为所求曲线。10.计算，其中分别为路线：(1) 直线; (2)抛物线: ; (3)三角形解：（1）直线方程：, 即从变到,原式(2) 抛物线: 从变到原式 (3) , 从变到 从变到原式= 11.
8、设为曲线上相应于从变到的一段曲线弧,把对坐标的曲线积分化为对弧长的曲线积分。解： , , , 12.计算沿空间曲线对坐标的曲线积分，其中是与相交的圆，其方向沿曲线依次经过1，2，7，8挂限。解：的参数方程：从变到, 注：利用13.设轴与重力的方向一致，求质量为的质点从位置沿直线移到时重力所作的功。解： F=0,0,mg,g为重力加速度;记dr=, ,则功 14.质点沿以为直径的半圆周，从点运动至点的过程中，受到变力的作用，的大小等于点与原点之间的距离，其方向垂直于线段，且与轴正向的夹角小于，求变力对质点所作的功。解：依题意，从A点到B点半圆周的方程：从变到则功 提高题1.计算，其中为上半椭圆周
9、（按逆时针方向）.解：的参数方程为： ,从变到原式注：此题可用直角坐标系求解，较用参数方程繁.10.3 格林公式及其应用内容概要名称主要内容格林公式设及它们的一阶偏导数在闭域上连续，则 其中是闭域的边界曲线，且取正向. 面积曲线积分与路径无关的等价条件1. 域内 处处成立.2. 沿域内的任一闭路积分为零，即3. 在域内存在函数，使曲线积分的牛顿莱布尼茨公式若域内，则内任意两点例题分析1. 计算 1) ; 2) .其中, , 是折线，是由到的直线段，如图.知识点：格林公式.思路: 1)，应用格林公式方便. 2) 这题并非闭路，不能直接用格林公式，为此增加辅助曲线构成可应用格林公式的闭曲线，随后再
10、减去补上的这些曲线段上的线积分. 补上的这些曲线段上的线积分本身应易于计算.今补上（如图）.解：1) 2) 如图 其中 （见本题1） 由变到， .注：应用格林公式时，除连续条件外，还要求： 1) 和是正向关系，本题1)的方向是反向的，故先改成正向，随后再用格林公式. 2) 注意公式中前是号，如本题改写成，此时不能误认为，而应是.2. 计算 ，其中为圆周的逆时针方向.知识点：格林公式.思路: ，应用格林公式方便,. 但因围的区域内含被积函数不连续的点，故要把不连续的点挖掉.解： 在包围的区域内作顺时针方向的小圆周变化从到 在与包围的区域上， 及格林公式，有 注：因围的区域内含被积函数不连续的点，
11、故此题不能直接用格林公式。课后习题全解习题10-3 1. 利用格林公式计算积分 其中为正向圆周曲线.解： 原式= 2. 利用格林公式计算积分，其中顶点为和的正方形区域的正向边界。解：设围的区域为D: , 原式= .3. 计算，其中是沿逆时真方向的椭圆。 解：设围的区域为D， 原式= 注：利用二重积分的被积函数的奇偶性及积分区域的对称性有.4. 利用曲线积分，求星形线所围成图形的面积。解：由公式 5. 求双纽线所围区域的面积。解：双纽线的极坐标方程为： 由图形的对称性知：6. 计算 ，其中为圆周的顺时针方向。解：参数方程为：变化从到原式注：因围的区域内含被积函数不连续的点，故此题不能用格林公式。
12、7. 计算，其中是在圆周上由到的一段弧。解：设,连接则围区域D , ，原式8. 计算，其中是位于第一象限中的直线与位于第二象限中的圆弧构成的曲线，方向是由到再到.解：连接则围区域, 9.计算，其中从沿摆线到.解：设连接则围区域 10. 计算，其中为包围有界闭区域得简单曲线，的面积为，n为的外法线方向.解：设沿逆时针方向的任意点的单位切向量(分别是与轴、轴正向夹角).则 .11.计算，其中为单位圆周的正向.解：在包围的区域内作顺时针方向的小椭圆周变化从到 在与包围的区域上，及格林公式，有 12. 计算，其中为曲线 的正向。解：在包围的区域内作顺时针方向的小圆周变化从到 在与包围的区域上，及格林公
13、式，有 13. 计算. 解：, 线积分与路径无关。 原式.14. 证明曲线积分 在整个面内与路径无关，并计算积分值。解：法一： 被积式是函数 的全微分，从而题设积分与路径无关。且 原式法二： 线积分与路径无关。 原式=15. 利用曲线积分，求下列微分表达式的原函数：(1) ;(2) ;(3) .解：(1), 是某函数的全微分.(2) 是某函数的全微分 .(3) 是某函数的全微分 16. 设有一变力在坐标轴上的投影为，改变力确了一个力场.证明质点在此场内移动时，场力所作的功与路径无关.证明： 上述线积分之值，即功之值与路径无关。 证闭。17. 试求指数，使曲线积分在区域内与路径无关，并求此积分.
14、解： 令,有 时上述曲线积分与路径无关.提高题1. 计算，其中L是沿由到 的曲线段.见图.解：如图添加园弧段 变化从到 ，则 注：连接直线，由变到，则 ，为什么？原因是围的区域内含被积函数不连续的点，不能说明积分与路径无关.但，故不包含原点的任何闭曲线积分为. 为使域内不出现原点，一般可将平面域沿负轴剪开，（即联的任意曲线均不准通过负轴），在沿负轴剪开的域中，积分与路径无关.2. 设在有连续导函数，求其中L是从点到 的直线段.解：在沿负轴剪开的域中，积分与路径无关.取路径如图，10.4 第一类曲面积分内容概要名称主要内容第一类曲面积分 计算1. 2. 3. 常用的结论曲面的面积例题分析1. 计
15、算，其中是，及坐标平面所围成的闭曲面. 知识点：第一类曲面积分.思路: 块曲面组成的闭曲面,故应分块进行计算,本题共有曲面五块,且是三个积分的组合,故应共计算15个积分.解：如图,则，在面上的投影为 用极坐标表示，则为： 同理：，是球面一部分，方程为，在化为二重积分运算时，可向不同的坐标面投影，故可有不同的计算途径：法一：向面上的投影，则曲面：是双值函数，为是曲面表达成单值函数，将曲面分成两块， 它们在面上的投影为 ， 法二：向面上的投影，则曲面：是单值函数， 在面上的投影为 用极坐标表示，则为： 同理也可投影到平面来计算.显然法二比法一稍简单些，它避免了曲面的分块.法三：是球面一部分，而被积
16、函数定义在上，故总有 （应用曲面的面积）最后 .注：利用被积函数定义在上，故总有，代入简化积分运算。这是常用的一种简化运算的方法. 课后习题全解习题11-4 1. 在对面积的曲面积分化为二重积分的公式中，有因子，试说明这个因子的几何意义.解：设，则法向量，法向量与轴的夹角为，该夹角的余弦为 故是曲面的法向量余弦的倒数.2.计算，其中为曲面在柱体内部分.解： 在面上的投影为 用极坐标表示，则为： 原式 注：利用3. 计算，其中为锥面及平面所围成的区域的整个边界曲面.解： 在面上的投影为 用极坐标表示，则为：设为平面，为锥面对，对， 原式4. 计算，. 其中为圆柱面介于与之间的部分解：在面上的投影
17、为 由，可得 如图分为两个曲面原式 注：利用5. 计算，其中为平面在第一卦限中的部分 解：其在面上的投影为即为：原式 6. 计算，其中为平面及三个坐标面所围的四面体的表面.解：，其中在面上的投影为 即为：其中,在面上的投影为 即为：其中，在面上的投影为其中，在面上的投影为 同上法得. 7. 计算，其中为球面上的部分. 解：在面上的投影为用极坐标表示，则为： 原式 8. 计算，所其中为柱面被曲面所截下的部分.解：在面上的投影为由，可得分为两个曲面， 原式9.求平面被三个坐标面所有限部分的面积.解：依题意求，其中在面上的投影为 .10. 求曲面被平面所截那部分的面积.解：依题意求，其中在面上的投影
18、为 11. 求抛物面壳的质量，此壳的面密度的大小.解：抛物线面壳在面上的投影为用极坐标表示，则为：所求的质量 12. 试求半径为的上半球壳的重心，已知其上各处密度等该点到铅垂直径的距离.解：以球心为坐标原点，铅锤直径为z轴建立右手坐标系，则上半球面方程为，密度 ，由对称性：在面上的投影为用极坐标表示，则为：， 故则 故 ，重心坐标为：. 13. 求面密度为的均匀半球壳对于轴的转动惯量.解： 半球壳上任一点与轴的距离，半球壳在面上的投影为用极坐标表示，则为：， 注：利用提高题1. 计算，其中为圆柱面,与所围成的闭曲面. 解：在面上的投影为 由，可得 分为两个曲面原式2. 计算，其中为锥面被柱面所
19、截得的有限部分. 解：在面上的投影为 用极坐标表示，则为： 注：利用10.5 第二类曲面积分内容概要名称主要内容第二类曲面积分 性质1其中表曲面的某一侧(正侧), 表曲面的另一侧(负侧)2.若,则计算1. 其中为的法向量与轴的夹角,当时锐角时取正号, 当时钝角时取负号.2. 其中为的法向量与轴的夹角,当时锐角时取正号, 当时钝角时取负号.3. 其中为的法向量与轴的夹角,当时锐角时取正号, 当时钝角时取负号.例题分析1.计算，其中是柱面 ,平面及坐标平面所构成的闭曲面的外侧表面. 知识点：曲面积分.思路: 由多块曲面组成的闭曲面,故应分块进行计算,本题共有曲面五块,且是三个积分的组合,故应共计算
20、15个积分.解： 如图 则，在面上的投影为(方向与轴正向成角) ，在面上的投影为(方向与轴正向成角) 同，.，在面上的投影为 用极坐标表示，则为： (方向与轴正向相同) ,在面上的投影为 在面上的投影为故 注：1) 在面上的投影为为圆无面积故投影到面上，此时要表为的函数：,与轴成锐角,故积分取正号.投影到面上，此时要表为的函数：,与轴成锐角, 故积分取正号.2) 此题可用10.6高斯公式更方便，请看10.6例题分析.课后习题全解习题10-51.设为球面，若以其球面的外侧为正侧，试问的左侧（即其法线与轴成钝角的一侧）是正侧吗？的左侧是正侧吗？解：因的左侧为球面的内侧，故不是正侧，而的左侧是球面的
21、外侧，故是正侧。2.在球面上取、三点为顶点的球面三角形（AB、BC、CA 均为大圆弧），若球面密度为，求此球面三角形块的质量.解：设此球面三角形块的质量，则 将投影到平面上, 围的区域.用极坐标表示，则为： 从而 .3计算，其中为球面的外侧.解： 由对称性可知 其中， 在面上的投影为用极坐标表示，则为： 注： 此题用10.6高斯公式更方便4计算，其中是柱面 被平面及所截得的在第一卦限内的部分的前侧. 解：柱面与面垂直，故，将分别向面投影，得矩形域 原式 5设为连续函数，计算曲面积分其中是平面在第四卦限部分的上侧. 解：平面的法向量,单位法向量 所以原式 ：原式.6计算,其中为球面的外侧.解：注
22、：同第3题7计算,其中为下半球面的上侧， 为正常数. 解：方向与轴成钝角,(积分取正号)在面上的投影为 用极坐标表示，则为： 令 其中,与轴成钝角,(积分取负号).,与轴成锐角,(积分取正号).在面上的投影为 用极坐标表示，则为： 原式=10.6 高斯公式 通量与散度内容概要名称主要内容高斯公式 设在闭域上具有一阶连续偏导数，则 其中是闭域的边界曲面，且取外侧.设向量场向量场通过曲面流向指定侧的通量向量场的散度例题分析1. 计算，其中是柱面 ,平面及坐标平面所构成的闭曲面的外侧表面. 知识点：高斯公式.思路: 闭曲面围的立体上应用高斯公司(对闭曲面上的第二类曲面积分可考虑应用高斯公司).解：设
23、为围的立体, 在上投影， 用极坐标表示，则为：利用高斯公式得原式2.计算，其中是平面上的曲线， 绕轴旋转而成的旋转曲面的下侧. 知识点：高斯公式.思路: 非闭曲面，一般可直接化二重积分计算，但计算较烦，可设法利用高斯公式.为此增加辅助曲面构成闭曲面. 解：如图作辅助平面：方向向上，则和构成一个方向为外侧的闭曲面.设为围的立体，在上投影利用高斯公式得：, ，在面上的投影为 (方向与轴正向一致) 课后习题全解习题10-6 1.利用高斯公式计算其中为球面的外侧.解：设球面坐标系: 球面坐标系下利用高斯公式得原式由球面坐标系 同法得， 故原式 . 2. 计算,其中为球面的内侧.解：设,球面坐标系: 球
24、面坐标系下,利用高斯公式得原式 .3. 计算,其中是介于平面及之间圆柱体的整个表面的外侧. 解：设为围的立体, 利用高斯公式得原式4. 计算,其中为上半球体的表面外侧.解：设由球面坐标系（同3题）, 利用高斯公式得 原式 5. 平面与平面所围立体的全表面的外侧.解：设为围的立体, 利用高斯公式得原式 6. 设有连续的导数，计算 其中是，所围立体的外侧.解：设为围的立体，在上投影利用高斯公式得原式 7. 计算,其中为抛物面位于内的部分的上侧.解：设为平面：方向向下，为围的立体， 在上投影 用极坐标表示，则为：利用高斯公式得 又故原式8. 求下列向量A穿过曲面流向指定侧的流量：(1) =+, 为圆
25、柱的全表面，流向外侧；(2) =, 是以点为球心，半径的球，流向外侧.解： (1)设为围的立体，(2)设为围的立体， 9. 求下列向量场A的散度：(1) =+(2) =+解： （1）（2）10. 证明: 若为包围有界域的光滑曲面，则 其中称为拉普拉斯算子，是关于曲面沿外法线 方向的方向导数. 证明：设 则 证毕11. 利用高斯公式推证阿基米德原理: 浸没在液体中的物体所受体液的压力的合力（及浮力）的方向铅直向上，其大小等于这物体所排开的液体的重力.证明： 取液面为面，轴铅直向上，设液体密度为，在物体表面上取面积元素，处的外法向方向余弦为则面积微元所受液体的压力（浮力）在三条坐标轴上的分离元素分
26、别为：故所收的总压力的各分力为上述各分力元素在上的曲面积分，由高斯公式算得： ，所以 证毕 提高题1.计算，其中是平面上的曲线， 绕轴旋转而成的旋转曲面的下侧. 解：如图作辅助平面：方向向上，则和构成一个方向为外侧的闭曲面.设为围的立体，利用高斯公式得：, ，在上投影 (方向与轴正向一致) . 2.计算,其中为球面的内侧解：如图作辅助平面：,：方向均为内侧则和,构成一个方向为内侧的闭曲面，设为及围的立体，则球面坐标系: 球面坐标系下利用高斯公式得 . 10.7 斯托克斯公式 环流量与旋度内容概要名称主要内容斯托克斯公式 设在曲面上具有一阶连续偏导数，则其中是曲面的边界曲线，的方向与的侧符合右手
27、系法则.设向量场向量场沿曲线按所取方向的环流量向量场的散度例题分析1. 计算，其中为圆周，若从轴正向看去，取逆时针方向.知识点：斯托克斯公式.思路: （简单） 或平面的法向量（简单） 用斯托克斯公式计算方便.解：设,记为平面被所围部分的上侧， 法一：则在面上的投影为：,由斯托克斯公式得：原式.法二：平面的法向量 由斯托克斯公式得原式2. 计算，其中为圆周，若从轴正向看去，取逆时针方向.知识点：斯托克斯公式.思路: 平面的法向量解：记为平面被所围部分的上侧，则的法向量,设由斯托克斯公式得：原式 注：为一圆，圆心，半径为. 课后习题全解习题10-71. 计算，其中为圆周，若从轴正向看去，取逆时针方
28、向.解：记为平面被题设圆所围部分的上侧，的单位法向量为 则由斯托克斯公司得原式由对称性知为一圆，圆心，半径为 故.2. 计算，其中为椭圆若从轴正向看去，取逆时针方向.解：记为平面被题设椭圆所围部分的上侧，的单位法向量为则由斯托克斯公司得原式 注：为平面上的一椭圆面，长轴，短轴.3. 计算，其中为圆周，若从轴正向看去，圆周取逆时针方向.解：记为平面上被题设所围部分的上侧，的单位法向量为则由斯托克斯公司得 原式 4. 计算，其中是螺线从到的一段曲线.解：连接，则线段曲线构成封闭曲线。设表示 为边界曲线的任意曲面的正侧， 根据斯托克斯公式，有 即 5. 计算，其中为曲线，方向取从正向看去为顺时针方向
29、.解：设表示围的曲面的下侧， 根据斯托克斯公式 在上的投影关于轴对称，而为的奇函数，故 在上的投影 极坐标下 原式 .6. 求向量场= + 在点处的散度及旋度.解： 7. 物体以一定的角速度以逆时针方向绕轴旋转，求角速度v和加速度w在空间点和时刻的散度和旋度.解： 而， 8. 求向量场A= (c为常数)沿闭曲线（从轴正向看去，依逆时针方向）的环流量.解：法一：是面上的正向圆周：环流量法二：记为平面被所围部分的上侧平面的法向量 由斯托克斯公式得9. 求向量H= 沿着闭曲线的环流量，其中不围绕轴解：记为 所围不过轴曲面，环流量10. 设数量场具有二阶连续偏导数，试证明=0解：设数量场为 11. 设
30、数量场具有二阶连续偏导数，试证明=0证明下列等式（其中为梯度算子，为拉普拉斯算子）:(1) (2) 证明：(1) (2) 12. 验证曲线积分与路径无关,并求其值.解：设 则因 ，故曲线积分与路径.原式13. 设数量场具有二阶连续偏导数，试证明=0验证曲线积分与路径无关,并求其值.解：设 则 因 ，故曲线积分与路径.求值有两种方法：法一 原式法二： 取点由的折线为积分路径,则 14. 证明为全微分，并求其原函数.解：设 则 因 故为全微分,求原函数有两种方法：法一 原函数法二： 取点由的折线为积分路径,则.15. 证明: 是有势场，并求这个场的势. 解： 场为有势场. 提高题1. 计算，其中为
31、平面截立体的表面所得的截，若从轴的正向看去取逆时针方向. 解：记为平面被所围部分的上侧，则的法向量,设由斯托克斯公式得：原式 因为在上 ，且在面上的投影为，故原式. 总习题十1. 计算，其中为由及所围成区域的边界.解： 其中 2. 计算，其中为摆线一拱: 解：2.计算球面上的三角形的均匀围线的重心坐标. 解：由图形的对称性知： 球面坐标系: 球面上的三角形围线的方程为：, ,故所求重心坐标为.4计算，其中为圆周及轴所围成的在第一象限内的区域的整个边界（按逆时针方向）.解： 法一：的极坐标方程：法二：设围的区域为D: 极坐标表示，则为：由格林公式得原式5.计算，其中为有限闭折线ABCA, 这里，
32、A、B、C依次为点，.解： 设表示围的曲面的上侧原式6.在过点与的曲线轴中，求一条曲线，使沿该曲线从O到A的积分的值最小.解： ，解得（负号舍去），此为在内的唯一驻点， 且故在处取得最小值，所求曲线是.7.一力场由沿横轴正方向的常力F所构成，试求当一质量为m的质点沿圆周按逆时针方向移过位于第一象限的那一段弧时场力所作的功. 解： 记，则功 .8.计算，其中为维安妮曲线,若从轴正方向看去，此曲线沿逆时针方向进行.解：的参数方程为： 注：由得极坐标表示：代入得：9. 计算，其中L是：(1) 不包围且不通过原点的任意闭曲线；(2) 以原点为中心、为半径的圆周取顺时针方向；(3) 包围原点的任意闭曲线
33、(无重点)取正向.解： 设围的区域为， (1)在内连续，由格林公式，有(2) 参数方程为：变化从到原式=注：因围的区域内含被积函数不连续的点，故此题不能用格林公式。（3）在包围的区域内作顺时针方向的圆周变化从到 在与包围的区域上由及格林公式，有10. 计算,其中是以、为顶点的三角形区域.思路: 此题用二重积分直接算要分块，较繁，现应用格林公式将二重积分化为第二类区线积分.为此，令即可.解： 如图区域的边界为 设，则，.11. 计算，其中为沿过、的圆周从到的一段弧.(此题目书上叙述不清，我根据答案修改，清查看是否合适)解：, 线积分与路径无关。 =12. 设在右半平面中有一力场，为可微函数，且，求使质点在此场内移动时所做的功与路径无关，再计算质点由移动到常力所做的功.解：场力所作的功 场力所作的功与路径无关 即 两边同时积分解得： 为任意常数 为所求. 此时 所求的功.13.