[理学]经管学类线性代数练习册及答案.doc

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1、线性代数练习册 班级： 学号： 姓名： 习题 1-1 线性方程组的消元法和矩阵的初等变换 1.用消元法求解线性方程组 ： （1） 547 22 2224 321 321 321 xxx xxx xxx （2） 5532 342 2 4321 4321 421 xxxx xxxx xxx 2. 将下列矩阵化成最简形矩阵： （1） 7931 1813 1511 线性代数练习册 班级： 学号： 姓名： （2） （3） 2102 2121 2111 5471 2121 2224 （4） 5） 112101 9171 5111 8312 71053 11051 1631 3211 线性代数练习册 班级：

2、 学号： 姓名： 第一章 复习题 1.选择题 （1） 线性方程组 解的情况是（ ） 0 1 21 21 xx xx A. 无解 B. 只有 0 解 C. 有唯一解 D. 有无穷多解 （2） 若线性方程组的增广矩阵为，则当（）时线性方程组 012 21 A 无 A B0 C1 D2 1 2 （3） 线性方程组满足结论（ ） 9 5 63 21 2 1 x x (A) 有惟一解 (B) 有解0 (C) 有无穷多解 (D) 无解 2. 解线性方程组 22 02 2 321 321 31 xxx xxx xx 3.将下列矩阵化成最简形矩阵： （1） 14064 7250 0111 3121 线性代数练

3、习册 班级： 学号： 姓名： （2） 5643 1312 1201 (3) 5212 1321 8113 0201 (4) 011213 25132 24121 51111 线性代数练习册 班级： 学号： 姓名： 习题习题 2-12-1 n n 阶行列式的定义阶行列式的定义 一 填空题 1 排列 5317246 的逆序数是，为排列_ 2 排列 n（n-1） （n-2） 。 。 。 。 。321 的逆序数为_ 3 四阶行列式中项应带号 31 122344 a a a a_ 4 五阶行列式中项应带号 312314426556 a a a a a a_ 5 的代数余子式应表示为 123 456 78

4、9 21 A_ 6 = 2 2 aa bb _ 7 = 124 031 142 _ 二利用定义计算下列行列式的值 1 12345 52678 67000 23000 59000 2 0100 0001 1000 0010 线性代数练习册 班级： 学号： 姓名： 3已知 030 0002 1, 000 4000 x x x 求的值 4 . 00.01 00.20 . 01 .00 0.00 n n 5 010.0 002.0 . 000.1 0.00 n n 线性代数练习册 班级： 学号： 姓名： xy yx yx yx Dn 000 000 000 000 2605 2321 1213 141

5、2 习题习题 2-22-2 行列式的性质（一）行列式的性质（一） 一 利用行列式的性质计算下列各题 1 2 357 100 023 124 031 142 3 5 efcfbf decdbd aeacab 线性代数练习册 班级： 学号： 姓名： 6 7 二 证明 2222 2222 2222 2222 )3()2() 1( )3()2() 1( )3()2() 1( )3()2() 1( dddd cccc bbbb aaaa 1502 3213 5314 0422 )()( 111 accbba abcabc cba 线性代数练习册 班级： 学号： 姓名： 习题习题 2-22-2 行列式的性

6、质（行列式的性质（2 2） 一 试将下列式化为三角形行列式求值 1 2531 1313 2 0115 1423 3 1234 2341 3412 4123 二 计算下列行列式 1 2164 7295 4173 2152 121 2543 1432 321 nn n 线性代数练习册 班级： 学号： 姓名： 2 计算 n 阶行列式 11121 21222 12 . . . n n nnnn ababab ababab ababab 3 0. 0. 0. . .0 xxx xxx xxx xxx 4 2 2 2 111 222 333 . n n n nnn 线性代数练习册 班级： 学号： 姓名：

7、习题习题 2-32-3 CramerCramer 法则法则 一 利用 Cramer 法则解下列方程组 1 1234 134 123 1234 22 244 321 224 xxxx xxx xxx xxxx 2 123 123 123 2431 5229 310 xxx xxx xxx 线性代数练习册 班级： 学号： 姓名： 3 如果齐次线性方程组有非零解, k 应取什么值? 4 问 , 取何值时, 齐次线性方程 有非零解? 0)4(2 0)6(2 022)5( zkx ykx zyxk 02 0 0 321 321 321 xxx xxx xxx 线性代数练习册 班级： 学号： 姓名： 第二

8、章第二章 复习题复习题 一一 选择题 1 111213111213 21222313132331 313233212223 222 0;222 222 aaaaaa DaaaMDaaaD aaaaaa ；那么 A2MB2M C8MD8M 2 11121311111213 2122231212122231 31323331313233 423 D=1D423;D 423 aaaaaaa aaaaaaa aaaaaaa ；那么 A8B12 C24D24 3 下列 n 阶行列式的值必为零的是 行列式主对角线的元素全为零 A 三角形行列式主对角线有一个元素为零 B 行列式零元素的个数多于 n 个 C

9、行列式非零元素的个数小于 n 个 D 4如果 30 40 50 A0B1 C1D3 xkyz yz kxyz kk kk 有非零解，则 5 0 20 20 kxz xkyz kxyz 当时，仅有零解 线性代数练习册 班级： 学号： 姓名： A0B1 C2D2 kk kk 二填空题 1 3421536215 _ 2809230092 行列式 2 若为五阶行列式中带正号的一项，则 12335454ij a a a a a_;_ij 3若均为整数，而, a b 0 00, 10001 ab ba 则a=_; b=_ 4 3 4133 31 2336 26 x xx x x xx 中的系数为_ 5，

10、ij 1234 5678 4A 2348 6789 若阶行列式为；为其代数余子式 13233343 210412_AAAA则 三.计算下列行列式 2100.0 1210.0 0121.0 1. 0012.0 0000.2 线性代数练习册 班级： 学号： 姓名： 11 1 1 1 1 2. . 1 111 nn n nn n n aaan aaan D aaan 1 2 3 11111 11111 3.11111(0,1,2, ) 1 1111 1 i n a a aain a 11121 21222 12 12 12 4. 12 n n n nnnn x yx ynx y x yx ynx y

11、 D x yx ynx y 线性代数练习册 班级： 学号： 姓名： 5231 011 1 5 7101 8111 D 6 n xaaaa axaaa Daaxaa aaaax 线性代数练习册 班级： 学号： 姓名： 7 11 11 11 n n D n n 8 0001 0000 0000 1000 a a Da a 三 证明题 1 证明 1 11 1221 10.00 01.00 . 000.1 . nn nn nnn x x xa xaxa x aaaaxa 线性代数练习册 班级： 学号： 姓名： 2. 证明0 ) 3()2() 1( ) 3()2() 1( ) 3()2() 1( ) 3

12、()2() 1( 2222 2222 2222 2222 dddd cccc bbbb aaaa 3. 当为奇数时，证明 D=0.n 0 0 0 321 22312 11312 nnn n n aaa aaa aaa 4 证明 n 阶行列式 210000 121000 1 000121 000012 n Dn 线性代数练习册 班级： 学号： 姓名： 习题习题3-13-1 矩阵的概念及运算矩阵的概念及运算 一设矩阵， ，求。 1 11 1 11 A 123 12 4 B 2 ,23ABAB 二计算下列矩阵的乘积 1 2 13 210 01 114 40 32 211 01 010 24 3. 4

13、. 123124 246124 469124 11 22 n 5 6 11 00 n 00 00 00 n a b c 三填空 线性代数练习册 班级： 学号： 姓名： 1两矩阵即可以相加又可以相乘的条件是_ 2若为同阶方阵，则的充分必要条件是 ,A B 22 ()()AB ABAB 四设矩阵，讨论下列哪些矩阵运算有意义： 1 4 1 21 2 3 , B, C2 5 3 44 5 6 3 6 A （1） （2） （3） （4） ACBABCBACBCA 五设均为阶方阵，且，证明：的充分必要条件,A Bn 22 ,AA BB 2 ()ABAB 是0ABBA 六某单位准备建一电脑机房，需要购买指定

14、型号的计算机 30 台，激光打印机 5 台，电脑 桌椅 20 套，已问得三家公司的报价： 计算机（元/台）打印机（元/台）电脑桌椅（元/台） 甲60003500420 乙58004000500 丙59003800450 如果决定只在一家选购，应选哪家？ 线性代数练习册 班级： 学号： 姓名： 习题习题3-23-2 特殊矩阵特殊矩阵 方阵乘积的行列式方阵乘积的行列式 一.选择题 （1） 对任意阶方阵总有（ ）n,A B A. B. ABBAABBA C. D. ()T TT ABA B 222 ()ABA B （2） 设是两个阶方阵，若则必有（ ）,A Bn0AB A且B或0A 0B 0A 0B

15、 C且D或0A 0B 0A 0B （3） 设均为阶方阵，则必有（ ）,A Bn AB()T TT ABB AABAB CD()TABAB()T TT ABA B （4） 下列结论中，不正确的是 （ ） (A)设为阶矩阵，则An 2 ()()AEAEAE (B)设均为矩阵，则,A B1n TT A BB A (C)设均为阶矩阵，且满足，则,A Bn0AB 222 ()ABAB (D)设均为阶矩阵，且满足，则,A BnABBA,( ,) kmmk A BB Ak mN （5） 设，则（ ） 200 001 010 A 5 A (A)32 (B)32 (C)10 (D)-10 二.设，.求（1）；（

16、2）. 120 340 121 A 231 2 40 B T AB4A 线性代数练习册 班级： 学号： 姓名： 三设是 31 矩阵，是的转置，若,求。 T 111 111 111 T T 四 （1）设为同阶对称矩阵，证明也为对称矩阵.,A BABBA （2）设是实对称矩阵，且，证明:A 2 0A 0A 线性代数练习册 班级： 学号： 姓名： 习题习题3-33-3 逆矩阵逆矩阵 一填空题 （1） 矩阵的伴随矩阵_. 12 34 A * A （2）设三阶方阵的行列式，则的伴随矩阵的行列式_。Adet( )3A A * A * det()A （3）若都是方阵，且，则_。,A B2,1AB 1 A B

17、 （4）设是4阶方阵，则_。A2A * A （5）已知，且，则_。2A 1 331 1 404 4 513 A * A （6）若，且不是单位阵，则_ 2 AAAA （7）设矩阵，则（ ） 200 011 012 A 1 A （8）设，为三阶非零矩阵，且,则 122 41 311 Aa B0AB a 二选择题 （1）设阶方阵满足，则必有（ ）n, ,A B CABCE ABACBECBAE CDBACEBCAE （2）设为阶可逆矩阵，下列运算中正确的是（ ）An AB(2 )2 TT AA 11 (3 )3AA CD 111 ( ) ) () TTT AA 1 ()TAA （3）设，均为阶可逆矩

18、阵，则下列各式中不正确的是（ ）ABn A. B. ()T TT ABAB 111 ()ABAB C. D. 111 ()ABB A ()T TT ABB A 三计算题 线性代数练习册 班级： 学号： 姓名： （1）设是三阶方阵，且求.A 1 , 27 A 1 (3 )18)AA （2）设， ，矩阵满足方程，求. 112 223 433 A 100 211 122 B X T AXBX （3）已知矩阵满足，其中， ， XAXBC 100 053 021 A 23 35 B ，求矩阵. 23 12 12 C X 线性代数练习册 班级： 学号： 姓名： （4）已知三阶方阵的逆矩阵为，试求伴随矩阵的

19、逆矩阵。A 1 111 121 113 A A （5）设且，求 1210 , 1402 PB APPB n A 四证明题 （1）设方阵满足，证明可逆，并求其逆阵。A 2 20AAEA （2）设是阶方阵，证明An0A 1 * n AA 线性代数练习册 班级： 学号： 姓名： （3）若对称矩阵为非奇异矩阵，则也是对称矩阵.A 1 A （4）已知，证明：可逆，且。0 m A EA 11 () m EAEAA （5）设是阶非零矩阵，是其伴随矩阵，且满足，证明可逆。An * A ijij aAA 线性代数练习册 班级： 学号： 姓名： 习题习题3-43-4 分块矩阵分块矩阵 一填空题 （1）设3阶矩阶且

20、，则_. 12 (, ),(, )AB 2A 1B AB （2）设行矩阵，,且，则 123 ,Aa a a 123 ,Bb b b 121 121 121 T A B _. T AB （3）若，则_ 10 32 A 830 520 003 B AO C OB C （4）设3阶方阵按列分块为（其中是的第 列） ，且，又设A 123 (,)Aa a a i aAi5A ，则 12132 (2,34,5)BaaaaaB （5）设为阶矩阵，为阶矩阵，且，若，则AmBn,Aa Bb 03 0 A C B _ C 二计算题 （1）设，且,求，和矩阵。 4200 2000 0073 0051 A BAABA

21、 1 AB 线性代数练习册 班级： 学号： 姓名： （2）设为阶矩阵，分别为对应的伴随矩阵，分块矩阵,A Bn * ,A B,A B 0 0 A C B 求的伴随矩阵。CC （3）设是阶可逆矩阵，是矩阵，且，用分块矩阵的CnDn 12 000 000 n D 乘法，求一个矩阵，使得3)nn A n C AE D 线性代数练习册 班级： 学号： 姓名： 习题习题3-53-5 初等矩阵初等矩阵 1设，将 A 表示成 3 个初等矩阵的乘积。 40 53 A 2设，且，求。 033 110 123 A 2ABABB 3设为阶方阵，满足，若，求矩阵。,A BnABAB 130 210 002 B A 线

22、性代数练习册 班级： 学号： 姓名： 4 设矩阵。矩阵满足，其中是的伴随矩阵， 111 111 111 A X *1 2A XAX * AA 求矩阵。X 5 已知，其中，求矩阵。XAXB 01011 111,20 10153 AB X 线性代数练习册 班级： 学号： 姓名： 习题习题3-63-6 矩阵的秩矩阵的秩 一填空题 （1）设矩阵，且，为的一个阶子式，则_.m nA( )R ArDA1r D （2）设矩阵，其中则_. 1 11 21 3 2 1222 3 3 13 23 3 ababab Aa ba ba b a ba ba b 0(1,2,3) ii abi( )R A （3）矩阵的秩

23、等于_. 111 011 001 （4）设3阶方阵的秩为2，矩阵A ， 010 100 001 P 100 010 101 Q 若矩阵，则 .BPAQ( )R B （5） 已知 11610 251 121 Ak k ，且其秩为2，则k _ 二选择题 （1）设是阶阵，且，则由( )可得出.AnABACBC A. B. C. D. 为任意阶矩阵0A 0A ( )R AnAn （2）设为34矩阵，若矩阵的秩为2，则矩阵的秩等于（ ）AA3 T A A1B2 C3D4 （3）已知有一个阶子式不等于零，则 ( )Ar( )R A A. B. C. D. r1r rr 三计算题 （1）设矩阵，求矩阵的秩。

24、 12102 24266 21023 33334 A A 线性代数练习册 班级： 学号： 姓名： （2）设矩阵的秩为2，求. 121 2310 41 a A ab , a b （3）若，为使矩阵的秩有最小秩，则应为何值？ 124 21 110 A A （4）已知矩阵， ，求的值. 132 111 1753 k Ak ( )2R A k 四设为阶矩阵， ，求。An( )1R An * ()R A 线性代数练习册 班级： 学号： 姓名： 第三章第三章 复习题复习题 一选择题 （1）设是阶方阵，是矩阵，则下列矩阵运算中正确的是( )AnX1n A. B. C. D. T X AXXAXAXA T X

25、AX （2）设矩阵，中，则有（ 111 222 333 abc Aabc abc 222 111 333 abc Babc abc 010 100 001 P ） A.B. C.D. 2 APB 2 P ABAPBPAB （3）设阶方阵，且，则 ( ).nA0A *1 ()A A. B. A A * A A C. D. 1 A A * A A （4）设，均为阶可逆矩阵，则下列各式中不正确的是（ ）ABn A. B. ()T TT ABAB 111 ()ABAB C. D. 111 ()ABB A ()T TT ABB A （5）设是方阵，如有矩阵关系式，则必有（ ）AABAC A. B. 时0

26、A BC0A C. 时D. 时0A BC0A BC （6）设，则（ ） 200 011 002 A 1 A AB CD 1 00 2 010 1 01 2 1 00 2 11 0 22 1 00 2 1 00 2 1 01 2 1 00 2 1 00 2 010 11 0 22 （7）设矩阵的秩为 2，则（ ） 111 121 231 A A.2B.1 线性代数练习册 班级： 学号： 姓名： C.0D.-1 （8）设均为3阶矩阵，若可逆， ，那么（ ）,A BA( )2R B ()R AB A0B1 C2D3 二填空题 （1）设，为三阶非零矩阵，且。则 122 43 311 At B0AB t

27、 （2）设均为3阶方阵，且，则 .,A B3,2AB T AB （3）设，则 . 200 001 010 A 5 A （4）设，为的伴随矩阵，则_. 210 110 002 A * AA * A （5）设为阶方阵，且，则 Andet( )2A 1* 1 det() 3 AA (6)，则_ 1112 2332 1121 A ( )R A 三计算题 (1)设矩阵 1 2*1 ()CA AA BAA 其中，, . A 110 011 111 123 456 789 B 为的伴随矩阵.计算 * AAdet( )C (2)，求 101 210 325 A 1 A 线性代数练习册 班级： 学号： 姓名：

28、（3）设矩阵，求矩阵使其满足矩阵方程. 423 110 123 A B2ABAB （4）设矩阵，求矩阵方程的解. 500 012 037 A 1001 2021 B XABX （5）试求矩阵方程中的未知矩阵。 13214 30125 11113 X X 线性代数练习册 班级： 学号： 姓名： （6）已知,其中,求及APPB 100100 000,210 001211 BP A 10 A 四阶方阵满足，其中给定，证明可逆，并求其逆矩阵。nA 2 240AAEAA 线性代数练习册 班级： 学号： 姓名： 练习练习 4-1 线性方程组有解的条件线性方程组有解的条件 1若方程组有非零解，则方程组必（

29、） 0AxbAx （）有唯一解； （）不是唯一解； AB （）有无穷多解； （）无穷多解CD 2线性方程组只有零解，则（ ）. .AX 0AXb b()0 A. 有唯一解 B. 可能无解 C. 有无穷多解 D. 无解 3.设线性方程组有唯一解，则相应的齐次方程组（ ） bAX OAX A无解 B有非零解 C只有零解 D解不能确定 4非齐次线性方程有无穷多解的充要条件是（ ） ，其中bXA nm )(bAA A B秩nm nA )( C秩（A）=秩 D秩（A）=秩)(AnA )( 5.设线性方程组AX=b中，若R(A, b) = 4，R(A) = 3，则该线性方程组（ ） A有唯一解 B无解 C

30、有非零解 D有无穷多解 6.若线性方程组有非零解，则 0 0 21 21 xx xx 7.设，且非齐次方程组有唯一解向量，则增广矩阵的秩 nn ij aA bAx Ab _.r 8.已知的逆矩阵，那么方程组 33 ij aA 245 403 531 1 A 的解 3 2 1 332233131 322223121 312213111 xaxaxa xaxaxa xaxaxa 3 2 1 x x x 9.取什么值时，线性方程组有解？有解时，何时有唯一解？何时ba, 42 3 4 321 321 321 xbxx xbxx xxax 有无穷个解？ 线性代数练习册 班级： 学号： 姓名： 10.已知

31、线性方程组 ， 23345 622 023 54321 5432 54321 54321 xxxxx bxxxx xxxxx axxxxx 为何值时，方程组有解；有解时，求出通解ba, 11. 已知齐次线性方程组 ( i ) 和( ii ) 0 0532 032 321 321 321 axxx xxx xxx 0) 1(2 0 32 2 1 321 xcxbx cxbxx 同解，求a，b，c的值。 线性代数练习册 班级： 学号： 姓名： 练习练习 4-24-2 向量组的线性相关性向量组的线性相关性 1.对任意的，下列向量组中一定线性无关的是（ ） cba, (A)，； a 1 b 2 c 3

32、 (B），；ba, 1 cb, 2 ac, 3 (C) ，； 3 , 1 1 ab, 3 , 2 2 c , 0 , 0 3 （D) ，0 , 0 , 1 1 a0 , 1 , 0 2 b1 , 0 , 0 3 c 2.向量组线性相关，则=（ ) 1 , 2 , 0 , 0(),1 , 0 , 2 , 2(),1 , 0 , 0(),0 , 1 , 1 , 1 ( 4321 aakaak ） A、-1 B、-2 C、0 D、1 3.向量组（ ）件是线性相关的充分必要条 s aaa, 21 A、 中含有零向量 s aaa, 21 B、中有两个向量的对应分量成比例 s aaa, 21 C、中每一个

33、向量都可用其余个向量线性表示 s aaa, 21 1s D、中至少有一个向量可由其余个向量线性表示 s aaa, 21 1s 4.向量组 1=（1，0，0） ，2=（0，0，1） ，下列向量中可以由 1，2线性表出的是（ ） A （2，0，0）B （-3，2，4） C （1，1，0） D （0，-1，0） 5.设行向量组，线性相关，且，则= ) 1 , 1 , 1 , 2(), 1 , 2(aa), 1 , 2 , 3(a) 1 , 2 , 3 , 4(1aa 6.证明：若维向量，不能由线性表示，不能由，线性表示，则，n0 1 2 1 3 1 2 1 ，线性无关； 2 3 线性代数练习册 班级

34、： 学号： 姓名： 7.已知，讨论是否可由)5 , 2 ,()6 , 2 , 3( 1 )9 , 3 , 7( 2 ) 3 , 1 , 5( 3 线性表示 321 , 8.判断下列向量组的线性相关性 (1)( , ) ,( , ,) ,( ,) ; 123 31 21 57713 20 TTT (2) ( , ,) ,( , , ,) ,( , ,) ;( , ,) 1234 12 481 3 9 271 4 16 6411 11 TTTT (3) ( , , , ) ,( , , ,) ,( , , , ) ; 123 1 2 1 11 1 213 4 5 1 TTT 线性代数练习册 班级：

35、 学号： 姓名： 练习练习 4-34-3 向量组的秩向量组的秩 1.设为矩阵，则有（ ） Anm （）若，则有无穷多解； Anm bAx （）若，则有非零解；Bnm 0Ax （）若有阶子式不为零，则有唯一解；CAnbAx （）若有阶子式不为零，则仅有零解DAn0Ax 2.的极大线性无关组是（ ） 1 0 0 , 1 1 1 , 0 0 1 , 0 1 1 4321 A B C D 21, 42, 431 , 321 , 3.已知矩阵经初等行变换，化为，则必有（ ） 4321 A 1100 2110 3111 （A） （B） 3214 3214 23 （C） （D）线性无关 3214 2 4321 , 4.求向量组，)2, 3 , 1, 4( 1 )4, 6 , 2, 8( 2 )2, 4 , 1, 3( 3 的所有极大线性无关组)4, 8 , 2, 6( 4 5.已知向量，求该向)4, 2 , 1 , 1 ( 1 ) 1 , 3 , 3, 2( 2 )0 , 2 , 1 , 1 ( 3 )2