[理学]高数试卷0208年.doc

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1、2002级高等数学I试题（A卷）一填空题（每小题2分，共26分）1设，则= 。2. 已知, 则= 。3. 设 在1, 3上具有连续导数，则_。5. 当时，已知和是等价无穷小，则=_，6、 (1 , 3 )为曲线的拐点，则=_，b=_。7. 是函数的_间断点。8. 已知, 则=_.9. 设是由方程所确定的隐函数，则=_.12. 曲线上曲率最大的点为_。13. 极限的结果为_。.二、计算题(每小题4分，共24分)1. 2 3. 4 5. 6. 三、(6分)求在上的最大与最小值，并证明：。五、(6分)已知曲线的参数方程，求。六、(6分)求由曲线所围图形的面积。七、(6分)设，证明：，其中满足不等式。

2、 答案一、1. 2. 3. 5. 6. 7. 跳跃 8. 9. 12. 13. 二、1 2 3.4.5. 6. 令 原式=三、,得，又，所以，最大值为,最小值，从而有，在0,2上积分得： 。五、，.六、交点：，S=。七、由拉格朗日定理：设,则 ,其中，解出，,(因)所以单增，从而2002级高等数学I试题（B卷）一 填空题（每小题3分，共30分）1 极限=2 设=_.3 的n阶麦克劳林展开式为(带皮亚诺型余项)_.4. =_7. =_(p0)。8、当为_时, 广义积分收敛。9. 极限的结果是_。10. 是函数的_间断点(请填:跳跃、可去、无穷、振荡之一)。二、计算题: (每小题5分，共30分)1

3、. 2. 3. 4. 5. 6. 已知，求三、(6分)求由曲线所围图形的面积。四、(6分)求函数的极值，并说明是极大值，还是极小值。五、(7分)设，求。六、(7分)求证不等式：。 八、(7分)设在区间0, 1上可导，且满足关系式,证明在内存在一点使得。答案一、1、; 2、; 3、; 4、; 7、1; 8、; 9、0; 10、跳跃二、1、 2、; 3、; 4、; 5、令，; 6、 三、交点为(0 ,0), (3, -3), S= 四、,令,得不取极值,取极小值,取极大值五、, 六、令,即证令,即证八、令,由,得,使从而,由Rolle定理, ,使得,即2003级高等数学(I)试题（A卷）2a=a

4、图1 图2 图3一单项选择题（每小题2分，共12分）1当时，是_.（A）无穷大量；（B）无穷小量；（C）无界量；（D）有界量，但不是无穷小量。2在上是的原函数，则下列式子正确的是_.（A） ； （B） ；（C）； （D）。3已知，则下列说法正确的是_.（A） ； （B）；（C）； （D）。4已知函数在的图形(如图1），则下列说法正确的是_.（A） ，； （B），（C），； （D），。5曲线与x轴、所围成的三部分为A、B、C（如图2），它们的面积分别为2、12、4，设=M，=N，则下列说法正确的是_.（A） 函数f(x)未知，M，N不可求； （B）M=18，N=6；（C）M=12，N=18； （

5、D）M=6，N=18。6. 是函数的 。（A）. 连续点；（B）. 可去间断点；（C).跳跃间断点；（D）. 第二类间断点二填空题（每小题2分，共12分）1设，则= _ 。2. 的n阶麦克劳林展开式为_。3. _。4. _。5. 曲线y=sinx在点（，1）处的曲率=_。6.函数在上的最大值为_。三、求极限(每小题4分，共8分) 1. 2. 四、求导数(每小题4分，共8分) 1； 2. .五、求积分(每小题4分，共8分） 1 ；2.六、(8分)求函数的极值。七、(8分)设，计算积分。八、(10分)阿基米德（Archimedes,公元前287-212)很早就发现了螺线（后人称之为阿基米德螺线）的

6、一周与极轴所围成的图形面积S1和圆的面积S2（半径为）之间的关系（如图3），请你计算S1的大小以及图中螺线一周的弧长，并指出S1是S2的几分之几。九、(6分)设函数在上具有连续导函数，且，证明：，其中。2003级高等数学（I、A）答案一、B、C、C、C、D、C二、1； 2.(Langrange余项也对）; 3. 1; 4.; 5.1; 6. 8.三、1； 2. .四、1； 2. 五、1； 2. 令, 原式=.六、令，得驻点，极大值：；极小值：七、，原式=。八、= 或 九、；故2003级高等数学(I)试题（B卷）一单项选择题（每小题2分，共10分）1当时，是_.（A）无穷大量；（B）无穷小量；（

7、C）无界量；（D）有界量，但不是无穷小量。2在上是的原函数，则下列式子正确的是_.（A） ； （B） ；（C）； （D）。3已知, 且，则下列说法正确的是_.（A）；（B）；（C）;（D）很小4广义积分=（ ） （A）； （B）； （C）； （D）发散.5. 是函数的 。A . 连续点； B. 可去间断点； C. 跳跃间断点； D. 第二类间断点二填空题（每小题2分，共14分）1设，则在x=3处的微分_。2._。3. 曲线y=cosx在点（，0）处的曲率=_。4. =_。5. 曲线的水平渐近线为_。6._。7设，则_.三、求极限(每小题4分，共8分) 1. 2. 四、求导数(每小题4分，共8分

8、) 1； 2. .五、求积分(每小题4分，共8分） 1 ；2.六、(6分)已知，求。七、(6分)求证不等式：。八、（6分）求函数的极值。九、(8分)求由曲线与所围图形的面积。十、(6分)设函数在0，1上二阶可导，并且，证明：在0，1 上必有。2003级高等数学（I、B）答案一、B、C、C、C、B二、15；2. 1; 3. 0; 4.; 5.; 6. ；7.三、116； 2. .四、1； 2. 五、1； 2. 令, 原式=.六、原式=七、令，.单增，得证。八、令，得，定义域为：极大值为：；极小值为：。九、交点为和。十、；两式相减，得2004级高等数学I试题（A卷）一单项选择题（每小题2分，共10

9、分）1在原点_.不连续；连续，但不可导；可导但导数不为零；导数为零。2 在取得极小值，则_. 以上都不正确。3 是的_. 连续点；可去间断点；跳跃间断点；第二类间断点。4 设在区间上有定义，下列说法正确的是_. 若在内连续，则在上可积； 若在上可积，则在上连续； 若在上恒大于零，则在上可积； 若在上可积，则在上有界。5 对广义积分，下列说法正确的是_.当时，收敛； 当时，发散；一定收敛； 当时，收敛二填空题（每小题3分，共15分）1 函数的微分是_.2 设的拐点_.3 当时，和是同阶无穷小，则4 积分5 设是在上的最大值，则极限三 求极限（每小题5分，共10分） 1 已知证明存在，并且求此极限

10、。2 四 求导数（每小题5分，共10分） 1 已知求 2已知求 五 求积分（每小题5分，共10分） 1 2 六 （8分）设，把展开成带型余项的阶麦克劳林公式，并求七 （8分）计算由曲线和轴所围平面区域的面积；并求此平面区域绕轴旋转而得立体体积。八 （5分）设的导函数在上连续，证明： 九（4分）若用极限定义证明 答案一 二 1 2 3 4 4 5三 1 注意到，假设，则，故数列单调增加。注意到，假设，则由单调有界原理，数列的极限存在。2 四 1 2五 1 2 六 七 面积；体积2005级高等数学I试题（A卷）一 填空题（每小题2分，共20分）1 若 , 则_。2 的拐点为 _。3 设 ，为可微函

11、数，则 _。4 已知 ，当时，比是_无穷小（填 高阶、低阶、同阶）。5 极限 _。6 设 ，则_。7 心形线 弧长为 _（用积分表示出来即可）。8 积分 _。9 设 在处的阶Taylor公式是 ，则 当 时 系数_。10 已知 则极限 _。二 计算（每小题6 分,共 12分）1 已知 ，求极限 。2 找出函数的间断点，并且指出间断点的类型。三 计算（每小题6 分,共 12分）1 若 ， 求 。2 若圆 与均过（0，0）点，且在（0，0）点有相同的一阶和二阶导数，试确定此圆的方程。四 计算（每小题6 分,共 12分）1 求的单调区间和极值。2 曲线与直线在处相切，其中，求使得，所围区域的面积最小

12、。五 计算（每小题6 分,共 12分）1 。2 已知 ，试用A 表示定积分。六 证明 （每小题6 分,共 12分）1 若数列，证明 数列极限存在。2 设函数在上连续，在内可导，且，试证明存在使得。七 附加题（10分）本题目不记入总分，本题目分数仅供培优班选拔学生参考下面证明中可直接用“若 存在，则一定存在”这一事实。设在点附近有定义，1 若 存在，则 。2 若 和都存在，则。3 举例说明 当存在时，可以不存在。4 举例说明当 存在时，可以不存在。答案一1 ； 2 ； 3 ；4 同阶；5 ； 6 ；7 ；8 ； 9 ； 10 。二 1 解 2解 函数的间断点是全体整数， ，所以是跳跃间断点；，所

13、以是可去间断点；其他间断点是第二类间断点。三1 解 ；2解 由于在圆上，因此，在（0，0）点有相同的一阶和二阶导数分别为， 圆的方程两边对x 求导得 于是圆的方程为 四1 ，因此在上单调下降，因此在单调上升，因此上单调下降。是极小值点，极小值为 0； 是极大值点，极大值为 2 设切点为 ，则切线的方程为 因此 时面积最小，最小值点为 五 1 2 分部积分可得 六 1 证明 由于被积函数为正的连续函数，因此单调增加，又由单调有界必有极限原理，数列极限存在。2 证明 设在上最大值和最小值分别为，于是由连续函数的性质，存在使得。在满足罗尔定理的条件，于是存在使得。七1 证明 由于存在，则一定存在。令

14、，则2 证明 又若都存在则在点右连续，于是3 例如 ，存在，但不存在。4 例如，存在，但不存 2005级高等数学I试题（B卷）一 填空题（每小题3分，共30分）1设 则 _2设函数为可微函数，则 _。3 函数 的拐点为_4 已知 ，当时 比是_无穷小（填 高阶、低阶、同阶）。5 已知，则 _。6 积分 = _7 设 在处的阶Taylor公式是，则 _.8 曲线 弧长为 _（用积分表示出来即可）。9 广义积分_。10 已知 ，则极限 _。二 计算 （每小题 7分，共 14 分）1 求极限 。2 找函数的间断点，并且指出间断点的类型。三 计算 （每小题 7分，共 14 分）1 求 曲线 在处的切线

15、方程。2 已知 确定隐函数，求 。四 计算 （每小题 7分，共 14 分）1 2 五计算（每小题 7分，共 14 分）1 已知 函数 ，确定使得在区间上满足Lagrange中值定理的条件。2 求的极值点和极值六 计算或证明（每小题 7分，共 14 分） 1 求 曲线 所围平面区域的面积。2 如果函数在内可导，且当时，（M是常数），证明 答案一 1 2 3 （0，0） 4 同阶 5 二 计算 1 2 为第二类间断点；为跳跃间断点三 1 2 四 1 2 五 1 2 为驻点；为导数不存在的点。时，；时，故在取得极小值时，故在不取极值。六 1 该曲线的参数方程为，由对称性 2006级高等数学I试题A卷

16、一 填空题 （每题3分，共30分）1的定义域为，则的定义域为（ ）。2当时与是等价无穷小量，则（ ）。3设，则（ ）。4（ ）。5函数单调增加区间是（ ）。6曲线的斜渐近线为（ ）。7是的一个原函数，。则（ ）。8设具有连续的二阶导数，则（ ）。9（ ）。10（ ）。二计算题（每题6分，共36分）1求 2求3设可微，且，试求。4设函数由下述参数方程确定，求。5求积分 6 求积分三解答题（10分）试讨论方程的实根。四应用题（15分）1（8分）已知是周期为5的连续函数，它在的某邻域内满足关系式，其中是当时比高阶的无穷小，且在处可导，求曲线在点处的切线方程。2（7分）设曲线与轴的交点为P，过P点作该

17、曲线的切线，求切线与该曲线及轴围城的区域绕轴旋转一周所成的旋转体体积。五证明题（9分）设在上不恒为零，且其导数连续，并且有，试证明存在，使。A卷答案一填空题1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 29. 10. 二计算题234 5令 ， 则6三解答题解 令，则，由得当；当。所以是在的极大值点，且极大值。因为是在但唯一驻点，则极大值是最大值。（1） 若时，没有零点，即方程无根。（2） 若时，有唯一零点，即方程有唯一的根。（3） 若时，在有唯一零点，即方程唯一的根；，在有唯一零点，即方程唯一的根。这时方程有两个根。四1由连续性，有即，故因此又即也即，故由函数的周期性，故所求切线方程为2五证

18、明题（1）当时，上任一点均可取做。（2）当时，因为在上连续，所以在上连续。于是，存在，使得。又由题设有从而，。又，且，故结论成立。2006级高等数学试卷B一 填空题（每题3分，共30分）:1已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）。2当时，把以下的无穷小：（1） （2） （3） （4）按的低阶至高阶重新排列是（ ）（以编号表示）。3函数的间断点为（ ），它是（ ）间断点。4设可导，且满足条件，则曲线在处的切线斜率为（ ）。5设，则（ ）。6已知在内可导，且，又设，则（ ）。7曲线的斜渐近线为（ ）。8设有一个原函数，则（ ）。9（ ）。10（ ）。二计算题（每题6分，共36分）:1求极限 2

19、求极限3设，存在，求。4设函数是由方程组确定的，求。5求积分6求积分三解答题（10分）:讨论函数在内零点的个数。四应用题（15分）:1已知两曲线与在点处的切线相同，写出此切线方程，并求极限。2设有曲线，过原点作其切线，求由此曲线，切线及轴围成的平面图形绕轴旋转一周所得旋转体的体积。五证明题（9分）:证明: 。高等数学B试题答案一填空题1. 2. (4),(1),(3),(2) 3.,第一类间断点。 4.25. 6. 7. 8.9. 10.二计算题1因为当时，。所以23两边对x求导得 （1） 再将（1）式两边对x求导，得 故 将 代入，得4 5令，则 6三解答题解：令， 在区间单调减少，在区间单

20、调增加，在点达到最小值，于是当时，方程在和各有一个根，即有两个零点。四应用题1由于两曲线在处相切，故有 于是切线方程为2解：设切点为，则过原点的切线方程为 再把点代入，解得则切线方程为故五证明：令, , , , 求和得 .2007级高等数学I试题A一 填空 (每小题3分，共15分)1 当时， 关于是三阶无穷小 ，则 _, _。2 若曲线为，则曲线在相应的点的切线方程为_。3 设 ，则 _。 4 .积分_。5 .曲线 上相应于从到的一段弧长为_。二选择填空(每小题2分，共10分)1 .函数的定义域是（ ）。A、 ； B、； C、； D、。2方程在区间内（ ）。A、无实根； B、有唯一实根； C、

21、有两个实根； D、有三个实根。3. 已知函数 ，下面说法正确的是（ ）。A、 和都存在； B、 和都不存在； C、不存在，但存在； D、 存在，但不存在。4. 定积分作适当变换后应等于（ ）。 A、 ； B、 ； C、 ； D、5. 若是上的可微函数，且 ，则A、 2 ； B、； C、 1 ； D、 。三 极限计算(每小题6分，共12分)1 计算数列极限 。 2 计算 。四 计算(每小题6分，共12分)1 求由方程所确定的函数的二阶导数。2 求在区间内间断点，并指出间断点的类型。五 积分计算(每小题6分，共12分)1 计算 。 2 用代换求积分 。六 (6分) 求由和轴所围区域绕轴旋转一周的旋

22、转体体积。七 (6分) 相互垂直相交的两条河道宽分别为 米、米，问能在两条河道中顺利行驶的船只最长不得超过多少米？八 (7分) 函数在上有二阶导数, 且， 曲线与在内有一个交点, 证明存在 使得。2007级高等数学I试卷A答案一 填空 1 ； 2 ，3 ， 4 . 5 . 二选择填空 B D D A C三 1 2 计算 四 1 解 方程两边对求导得 ，而 ，于是于是 2 解 当时函数无定义，且，于是是可去间断点当时函数无定义，且，于是是可去间断点当时函数无定义，且，于是是第二类间断点五 1解 令 得于是 2 解 令得于是六 解 七 bal船的最大长度是l的最小值令得 当取最小，求出最小值即可。

23、船的最大长度为八 证明 令 则 ，由已知存在使得 于是由罗而定理存在 使得再次使用罗而定理存在 使得 2008级高等数学I试卷A一、填空题（每小题2分，共12分） 1 极限的值是 2 设隐函数由方程确定，则 3. 的垂直渐近线是_ . 4. 5 曲线y =在上的拐点是 6 由曲线, 轴及和所围平面区域的面积是 二、单项选择（每小题2分，共10分）1 数列单调且有界是该数列收敛的 （ ）。（A）必要条件 ； （B）充分条件；（C）充要条件； （D）既非充分又非必要条件。2.当时，与（ ）是同阶无穷小量.（A）； （B）； （C）； （D）3设在连续，则是的 （ ）.（A）原函数的一般表达式； （

24、B）一个原函数；（C）上的积分与一个常数之差； （D）上的定积分.4 设曲线处处有切线，且满足 ，则该曲线在点（1，）处的切线斜率为 （ ） （A） 2 ; （B） ; （C） ; （D） 。5 曲线在区间上是（ ） （A）单调上升且下凸的 ；（B） 单调上升且下凹的；（C）单调下降且下凸的； （D）单调下降且下凹的。三、计算极限或判断连续性（每小题6分，共12分）1. ; 2. 求的间断点,并指出间断点的类型.，四 求导计算（每小题5分，共10分）1 设 ，求。 2 设, 求.五、计算积分（每小题6分，共12分）1. . 2. 六 计算广义积分(6分)。七 (6分)设,讨论方程 的根的存在情

25、况.。八 (6分)应用题 有一容器开口向上，其侧壁是由抛物线绕轴旋转而成旋转曲面，当匀速向容器内注入水时，试证明水面升高的速度与当时液面的高度成反比九 (6分)证明题 设函数满足条件 (i)， (ii) 。试证明 (1)在上存在使得； (2) 令，则存在且极限值为(1)中的。2008级高等数学I试卷A答案一、 填空题（每小题2分，共12分）1 ； 2 ； 3 ； 4 5 1； 6 。二、单项选择（每小题2分，共10分） B B B A D三、计算极限或判断连续性（每小题6分，共12分）1 解 。2 函数的间断点为 而 ； ； 于是 分别是跳跃、可去、无穷间断点。四 求导计算（每小题5分，共10分）1 ； 2 五、计算积分（每小题6分，共12分）1. 2 解 令 六 计算广义积分(6分)。七 (6分)设,讨论方程 的根的存在情况。解 于是驻点为， 在上单调减少，在单调增加，于是是在上的最大值。当时，而，此时方程有两个根。当时有唯一的根， 当时，没有根。八 (6分)应用题 证明:首先必须求出在液面高度为时，容器内液体的体积与的函数关系由于侧壁轴截线方程为，从而可知，所以有 由于注水速度为常数，即，于是，九 证明 令，则在上连续，且，； 应用零点存在定理，在上存在使得集。（2）由而 ，于是2009级高等数学I试卷A2009级高等数学I试卷A答案34