[经济学]金融经济学讲义.doc

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1、金融经济学10讲第一讲 金融经济学的基本思想一、从数理经济学、数理金融学、数学（公理化方法）的关系 瓦尔拉斯提出的一般均衡理论（1874），将一般经济均衡的观点数学化：考虑一个经济体中的参与者，他们可以被分为生产者和消费者两类；二者分别追求利润最大化和效用最大化；商品的供求关系通过价格调整达到均衡状态；由于商品的供求都是价格的函数，因此均衡价格意味着在这一价格体系下，供给等于需求；通过求解方程组可以得到一组均衡价格。尽管瓦尔拉斯给出一般均衡的线性方程组过于浅显，但其思想确是数理经济学的开端；他的后继者通过引入更为高深的数学工具，从而更为严格的讨论了宏观经济学中的一般均衡问题，其中最为著名的是阿

2、罗和德布鲁（1954年，一般均衡的存在性的证明）。可以看出：数学方法在处理经济问题中所显示的强大威力，为什么？其根源是数学的严格性、逻辑性；经济问题与纯数学有很大差异，但其内在的逻辑性仍需要数学方法去揭示。数学本身是一种“语言”，没有语言，我们无法说清楚所研究的问题。金融学中的问题与经济学中的问题有所不同，前者关注的对象是金融资产（工具），后者关注的则是一般的商品。投资者买卖金融资产的主要目的是盈利，而买入商品的主要目的是消费，这导致了数理经济学的一般方法在处理金融问题时需要修正。马科维茨（1952）提出的投资组合理论是现代金融理论的开端，它首先明确了金融资产的两个基本特征：风险、收益；并指出

3、：投资者的总是在二者之间作出权衡。其学生夏普（1964）提出了著名的资本资产定价模型，首次给出了令人信服的金融资产定价方法。此后的金融学朝着微观金融的方向发展，其核心是资产的定价问题（还有一些派生的问题，如风险管理问题），较为著名的理论有：罗斯（1976）的套利定价理论、公司财务的MM定理、法玛的有效市场理论、布莱克-肖尔斯的期权定价理论。这些理论构成了金融经济学的主要内容。什么是公理化方法？这个概念来源于数学，数学中的每个分支都是从一些不能证明的公理出发的，如平面几何中的公理；数学中的定理是在公理的基础上进行逻辑证明后的结论；承认公理的正确性，就必须承认定理的正确性。一个学科的公理体系是否应

4、当满足一些条件？这些条件是：相容性、独立性、完备性。在经济学和金融学的理论中，一般只在很少的地方讨论公理体系的上述三个性质，但了解公理体系的本质仍是非常重要的。并非所有的学者都承认金融经济学的方法，反对的声音主要来自于业界，例如：巴菲特说过：“投资不需要高等数学，加减乘除就足够了”彼得.林奇也说：“投资是艺术，不是科学”。在投资大师们看来：证券的未来价格不需要通过高深的数学方法就可以估计出来，金融经济学的许多理论都是无用的，甚至是错误的。我们如何看待这些观点？首先：金融经济学的方法、理论被证明是正确的，为主流的经济学家所接受。其次：价值和价格之间存在很大差异，理论更关注价值，实务则关注价格。第

5、三：不同的观点正式金融问题复杂性的表现，影响金融资产价格的因素中不可量化的部分，如投资者情绪，可能造成价格的大幅波动。因此，所有的理论只能在一定程度上解释金融市场，都有其局限性，对理论不能盲从。第四：注重理论的学习，同时应充分认识理论与实务的重大差异。二、什么是金融衍生工具金融经济学中经常涉及到衍生工具的定价，实际中的保险产品往往含有某些嵌入的衍生工具，因此了解衍生工具的含义是非常必要的。我们首先应当明确金融市场中的基础资产，它们包括：股票、债券、外汇、原油、黄金等等。所有的衍生资产都是附加在某种基础资产之上的，其价格的波动与基础资产价格的波动密切相关，且往往远大于基础资产价格波动的幅度。常见

6、的衍生工具有：远期、期货、期权、互换四类。三、有效市场假设（EMH）（萨缪尔森）与价格波动有效市场：价格总是完全反应可接受信息的市场成为有效的（法玛）。有效市场:人们不能利用所述的信息集得到额外的收益，而有关的非公开信息如果得到披露，也不会引起价格得到价格的变动。（1） 若有效：信息集只包括价格或收益滋生的历史（公共信息），它是技术分析无效（2） 半强有效:信息集包括所有市场产于这都一致的信息（公开信息），它使基本分析无效（3） 强有效：信息集包括所有对某个市场参与者一直的信息(私人信息)，它使一切“黑箱操作”无效。三种有效市场的定义及其在实践中的指导作用。积极的投资策略与消极的投资策略。四、

7、无套利假设、线性定价法则什么是无套利假设；无钱投入就无钱产出线性定价法则的含义是什么；若干份A证券与若干份B证券在一起的证券组合的总价值，应该等于A证券价格的同样倍数与B证券价格的价值之和。衍生品定价的二叉树方法，等价鞅测度。等价鞅测度：（完整的）无套利假设等价于存在对未来的不确定性的一种估计。五、一个简单的投资消费问题的求解。 第二讲 现代资产组合理论一、资产定价理论概述金融资产定价问题是金融理论的核心问题。可以说，从证券市场存在的那一天开始直到证券市场已经十分发达的今天，这一问题始终是投资者、分析师、经济学家和金融学家共同关注的问题。金融资产的定价理论中涉及到的数学方法经历了从简单的加减乘

8、除到现在的即使是数学专业人员也难以完全理解和掌握的高深数学工具，导致这种情况的原因不仅由于证券市场中复杂衍生工具的大量出现，更主要的是定价思想的不断创新。经典的金融资产定价理论承袭了经济学中商品的定价思想。经济学对商品的定价一般是在理性人假设的基础上作出的；理性的消费者追求效用的最大化，而理性的生产者追求利润的最大化；价格同时影响着商品的供给与需求，最终达到均衡状态，均衡价格得以形成。尽管Adam Smith和L.Walras已经对这一基本的经济学原理作了阐述，并将求解均衡价格转化为求一个方程组的解；但均衡价格是否存在直到1954年才由Arrow和Debieu解决，他们用数学中的不动点定理证明

9、了一般均衡的存在性定理。Arrow和Debieu的另一个重要贡献使他们成为金融经济学的奠基者，他们首先提出了处理不确定的金融资产的数学框架。在这一框架中，证券市场和证券被理想化，许多非本质的因素（如交易成本、税收）被忽略，更为主要的是：证券市场的风险特征在这一理论框架中得到了充分的描述，在抽象出这些本质特征后，经典的均衡理论和随机数学的方法得到近乎完美的结合，证券被理解为“未定商品”得到了类似的均衡定价。在随后的研究中，Arrow和Debieu未考虑过的不完全市场问题、交易者信息不对称问题、交易成本问题、造市者问题甚至交易者的类型对价格的影响等问题得到了充分的研究，并产生了许多重要的模型和理论

10、，分析交易者效用的期望效用理论在这些模型和理论中发挥了重要作用。需要指出的是，基于经济学原理对金融资产定价的方法大都没有充分考虑金融市场和商品市场的差异。事实上，不仅证券与商品存在很大差异，证券市场与商品市场也存在很大差异：交易者购买证券的目的一般是通过卖出证券获利（而不是象商品市场交易者那样为了消费），再考虑到证券交易的特殊性（证券交易成本低，没有运输、储存成本等等），“套利”自然的成为影响证券价格的关键因素。如果证券市场存在套利机会，交易者必然通过套利交易获取收益，这将导致套利机会的消失；因此，证券市场应当存在一个“无套利”的价格。基于“无套利”思想的定价理论在巧妙回避一般均衡理论对投资者

11、效用分析的同时，得出了有说服力的定价方法和模型。Ross于1976年提出的APT套利定价理论是资产定价理论的一个里程碑，APT不仅假定较为简单，而且结论清晰、易懂，具有很强的可操作性，因此在得到主流经济学科定的同时，也受到交易者的欢迎。在此之前，Black-Scholes布莱克于1973年提出的期权定价模型本质上也是在无套利基础上建立的，因为模型中主要的一步是：通过期权与基础资产的组合得到瞬时无风险资产，由此得出该无风险组合的收益率为无风险收益率，这显然隐含了市场无套利的假定。表面上看，无套利方法和一般均衡方法很不一样，但Rubinstein于1976年发表的关于期权定价的论文表明：从一般均衡

12、方法出发可以得出与Black-Scholes相同的定价公式；这说明两种定价方法的理论基础是相通的。Markowitz于1952年提出的资产组合理论（MPT）被视为现代金融学的开端，该理论的出发点是：假定交易者是风险厌恶的，且都根据证券收益率的期望和方差进行投资决策。“风险厌恶”的交易者是证券市场中的“理性人”，因此MTP并未完全脱离均衡理论的框架。它的特别之处是对风险的描述：用收益率的方差或标准差描述风险。尽管“风险”是否等同于“波动性”值得商榷，MTP还是以其简洁的表述、广泛的适用性而得到肯定。MTP对交易者的假定本质上是将各种风险态度、对市场存在各种预期（乐观的或悲观的）的投资者做了一定程

13、度的“平均”：他们都是“风险厌恶的”，对市场的预期是“一致的”；这些假定从表面上看是荒谬的，但当讨论的问题是证券的定价问题时，这种“平均”的合理性是显而易见的，因为价格是买卖双方“合力”作用的结果，“平均”与否不影响证券的价格。MPT的重要意义也是提供了一个讨论资产定价问题的框架，而且它的启发意义甚至超过了理论本身：当我们深入研究风险度量方法时，我们可以大大扩展MPT，得出更多的不同角度的资产定价方法；事实上，资产定价理论与金融风险管理，尤其是风险度量的界限本身就是模糊不清的，二者既相互影响又相互促进；许多资产定价的新理论正是基于对风险描述方法的改变而建立的。证券分析师和交易者常用的定价方法是

14、证券分析中的基本分析法和技术分析法；前者通过分析宏观经济状况、行业、公司等信息（主要依据是相关经济数据及公司的财务数据），对证券未来的价格进行预测；后者则是根据证券价格的历史信息及已经“找到”的证券价格波动的“规律”判断未来的证券价格。由于证券分析的主要目的是投资，因此证券分析的结果不要求过高的精确性，只需找出有投资价值的证券即可，故一种观点是：证券分析的方法不属于资产定价的范畴。但笔者认为，出于下面的两方面考虑，证券分析的方法应纳入资产定价的理论体系：一方面，证券分析以寻找证券价值或价值的合理区间为直接结果；另一方面是现代的证券分析技术有了突飞猛进的发展，许多新方法涉及到计算数学、计算机技术

15、、人工智能技术等其他领域的工具，这导致证券分析已经成为不可忽视的资产定价方法，其理论意义也日益增加。考虑到本书的性质，我们不涉及这种方法的讨论。二、资产组合理论（）与资本资产定价模型是一个单期模型，模型中只涉及0，1两个时刻。假定证券市场上有种风险资产，第个资产的收益率为，这里：其中：代表资产当前的价格，代表资产1时刻的价格。通常是随机变量，因此也是随机变量，我们用向量表示市场所有风险资产的收益率，其期望为。假定投资者的总资本为：其中第种资产的投资额为，因此持有资产的数量为：。在1时刻，资产组合的收益率为： 其中：为资产的投资比例（价值比例）。以下我们用表示收益率的期望和标准差。MPT对市场的

16、假定是：市场上所有的证券都是无限可分的，且资产的价格（因此收益率）是连续的。市场允许卖空，因此可能小于0，此时意味着资产被卖空了；对的约束条件只有一个：。资产没有交易成本，没有税收的影响。MPT对投资者的假定是：投资者都根据收益率的均值方差作出投资决策，且投资者关于未来市场的预期是一致的。所有的投资者都是风险厌恶的：即在相同的风险水平下，投资者会选择期望收益更高的资产；在相同的期望收益下，投资者会选择风险较低的资产。从效用函数的角度看，投资者的效用函数是的二元函数，且：这里的效用函数是期望效用函数，结合前面关于效用函数的讨论，我们可以得到期望效用函数满足上面不等式的条件。假定：是任意阶可微的，

17、则我们有下面的展开式：两边取期望：因此，如果期望效用函数仅与有关，则所有三阶以上导数都是0，的一般形式是：其中由于正态分布由一阶和二阶矩完全确定；因此如果，收益率服从正态分布，则上面的效用函数是适合的。由中心极限定理，如果市场没有价格的操纵者，收益率的正态分布假定是近似符合的。 上面的假定说明：在MPT中，单一资产与资产组合是不加区分的；如果一个单一资产和一个资产组合的期望收益和方差相同，则它们对投资者无差异。MPT的主要目的是在上面假定的前提下求解投资者的最优投资组合，为此我们先给出有效组合和最小方差组合的含义。 如果一个资产组合对确定的方差水平有最大的期望收益，同时对确定的期望收益有最小的

18、方差，则称该组合为有效组合。如果仅满足：对确定的收益水平有最小的方差，则称之为最小方差组合。因此，有效组合一定是最小方差组合。由于假定投资者是风险厌恶的，故投资者必然在有效组合中作出投资选择。下面给出求解有效组合的方法和公式。 用表示的协方差矩阵，对于两个组合：这里是的投资策略，则收益率的协方差为：我们首先求最小方差组合，即求解下列的条件极值问题：；（A）这里的，为常数。如果市场中存在无风险资产（此时市场上证券的个数为），那么上面的问题变为：（B）上面的约束条件来自于：。我们先求解（A）。定义：由定理，是最优解的充要条件是：由第三个条件，我们可以得出：设：则第一、二个条件可以简化为：注意到的正

19、定性，；又由：可知：。将解出代入的表达式，我们得到：其中：注意到，故。由此，我们可以得到重要的：基金分离定律：所有的最小方差组合都可以通过任意选定的两个最小方差组合的再组合得到。证明：任取两个不同的最小方差组合,相应的权重和期望收益是：，假定；由前面的分析我们可以得到：，由于任意的最小方差组合都可以表示为：；又因，所以选取适当的权重可以使得是的组合。下面我们计算最小方差组合收益率的协方差。设为两个组合，其中为最小方差组合；则：设，则最小方差组合的标准差与期望收益间的关系为：化简后得到：这是以为中心，以为对称轴的双曲线。其渐近线为： 全局最小方差组合在坐标系中对应点，用表示这个组合，将边界分为上

20、半叶和下半叶，其中上半叶是有效组合。的权重为：定义分散化组合为：由：，及可知：任意的最小方差组合是与的组合。对于任意两个组合；定义系数：假定，则相应的。最小方差组合的一个重要性质是：除外的任一个最小方差组合，有且仅有一个最小方差组合满足。这一点可以从前面的表达式看出来，事实上，由可知：从几何图形上看：过作边界的切线，再通过切线与纵轴的交点作水平线，与边界的交点即为正交的最小方差组合。由基金分离定律，对任意的最小方差组合，我们可以通过正交的最小方差组合分解它：因此：故，类似的于是：如果不是最小方差组合，我们可以通过线性回归得到如下的：其中：， 该等式的几何意义是明显的：是过的水平线与边界的交点的

21、收益率。所以存在表示式：其次，我们求解（B）。构造函数：由：，我们得到最优解满足：因此：这里的的含义与（A）相同，组合中无风险资产的比例为：最小方差组合的方差为：又因：因此：所以最小方差组合在坐标系中对应两条直线：这两条直线是从点出发的斜率为的两条直线。与（A）的情况类似：基金分离定律成立；因此可以选取两个最小方差组合，使得任意的最小方差组合都是它们的组合。我们选的第一个组合是完全投资于无风险资产，即对应的组合；第二个组合是完全投资于风险资产，即与对应的组合。第二个组合称为市场组合，记为；由于完全由风险资产构成，因此对风险资产组合而言是最小方差的。从图象上看，是直线与风险资产组合的Markow

22、itz边界的切点。从（A）可知：在市场上存在无风险资产时，投资者的最优选择中风险资产的结构是相同的，都与一致；不同的是在组合中所占的比例不同，且由投资者的风险厌恶程度决定。当投资者的最优选择在的上方时，意味着投资者以借入比例的资金并有资于，此时称投资者的组合为杠杆组合。显然，中所有风险资产的权重均不为0，且风险资产在中的比例就是资产的总市值占市场总市值的比例，因此称为市场组合。的期望收益率为：方差为：风险资产收益率向量与的斜方差为：因此： 又因：所以 上面最后一步是因为中无风险资产的权重为0。：定义为风险资产的向量，则：从：三、套利定价模型 是1976年由提出来的，它与的区别是：不假定投资者按

23、照均值方差模型选取投资组合，只假定市场是无套利的。因子模型假定影响市场的因素为一些基本的宏观经济变量和与公司有关的一些扰动。因子的选取方法可以通过主成分分析以消除因子间的相关性。假定市场上共有种资产，共有种影响因素。则因子模型可以表述为：假定：。由上面的条件，我们可以得到因素是不相关的，事实上，如果存在，使得：那么：，即，。是单因素模型，因素为市场组合。对于第种资产，其收益率为，因此：第一部分是系统风险，第二部分为非系统风险。的基本思想是：假如组合满足条件：（1）（2）则必然满足：（3）由线性代数可知，存在实数满足：带入表达式可知： 如果市场上还存在无风险资产，必有，（因为如果收益率为常数，则

24、随机项的系数一定为零。）对任一资产，它的期望收益率为：。其中为第个因子的风险贴水。第三讲 离散时间证券市场模型与线形定价法则一、 确定环境下的无套利假设 我们以下假定模型是单期的。 确定环境意味着资产未来的价格（现金流）没有不确定性，因而是一个常数。此时的定价问题是一个简单的贴现问题。假定市场上存在种证券，用表示它们的未来价格，这里的。用表示资产的持有量。因允许卖空，所以可能为负。 为该策略的未来的市值。证券市场可以用：表示，表示策略空间。无套利定价的五种方式为：（1） 可定价法则：存在定价函数。这意味着未来价值相等的组合其当前价值也相等。（2） 正齐次定价法则：指是一个正齐次函数，。表明组合

25、倍数的当前值是当前值的相应倍数。（3） 齐次定价法则：指是一个齐次函数，。表明资产的买卖价格相等。（4） 线性定价法则：指是一个线性函数；表明组合的当前价值等于其成分的当前价值之和。 （5） 正线性定价法则：指是一个正线性函数；即满足条件的函数。表明未来值钱的资产当前也值钱。以上五种方式是由弱到强的，通常我们仅关心线性和正线性定价法则。我们用：表示证券的收益率，注意该定义与一般的收益率的区别。定理：线性定价法则成立时，所有证券的收益率都相等。（证明见P26）定理的含义是：如果市场不存在任何不确定性，则所有的资产都是无风险资产，因而收益率都相等。二、不确定环境下的市场对随机环境下的资产而言，未来

26、价格是随机的，因而用随机变量描述。用随机向量表示资产未来的价格，这里每个资产的价格是非负的。仍用表示证券的持有量，由于是单期情形，是一个实向量。策略的未来价值仍是：。市场记为：；用空间： 表示未定权益空间。对随机环境的情形，无套利的几种定义仍成立。三、单期证券市场模型与随机折现因子仍假定线性定价法则成立。我们假定基本证券是可定价的，因此它们的线性组合（可交易资产）也是可定价的，如果市场上所有的证券都是基本证券的线性组合，则市场中的证券都是可定价的，此时市场是完全的，否则是不完全的。如果我们先给出未定权益空间，则基本证券包含其中，且所有的可交易资产构成的子空间；对不完全市场而言，是真子空间。不完

27、全市场的定价问题转化为的子空间上的线性函数是否可以扩张到上去。我们对的假定归结为：（1）中的随机变量的方差都是有限的。（2）在内积下，成为一个Hilbert空间。（3）定价函数是上的连续线性函数。定理：存在唯一的非零，使得对任意的，定理中的成为随机折现因子，从表达式中可以看出其意义。四、有限状态下的随机折现因子 假定期末有个状态，状态出现的概率为；用表示状态的价格，可得状态价格向量，任意证券都可以视为基本证券的线性组合；因此： 上式变形为： 定义证券为： 则：特例：当时，。五、风险中性概率测度与随机折线因子的关系设，则对任意未定权益，成立。由上面的特例可知： 对任意的，下面的等式成立： 其中：

28、为状态的风险中性概率。二者间的关系是： 注意：在二叉树模型中，我们没有得出风险中性概率与客观概率间的具体表达式。六、风险与回报由： 可知：，因此：上式说明：的风险溢价仅与有关，后者代表系统性风险。 第四讲 期望效用与随机占优效用理论理论是经济学的基本概念，它可以被用来解释商品的定价问题。消费者的效用函数决定了他怎样在不同的商品之间做出选择。消费者对某种商品的选择的全体构成了社会对商品的总需求；厂商也根据自己的效用函数制定该商品的产量，所有厂商的总产量构成了社会对该商品的总共给，当总供给与总需求相等时，该商品的价格就确定下来。如果将经济学的效用理论应用于金融领域，不难发现，效用理论同样也是金融资

29、产定价的重要工具。以下我们分别给出序数效用和基数效用的基本理论。一、序数效用 效用被定义为快乐或满足程度的数字度量。显然，效用最大化是投资者和消费者的目的。根据决策的性质，我们将个体理解为消费者或投资者，这里的个体并不一定是单个的人，他是一个决策的主体。我们将个体面临的所有选择构成的集合称为选择集，以下记选择集为。我们要求是一个凸集，即若（），则组合其中：一般的，我们假定。对任意的，意味着至少不比差。如果且，则称无差异，记为：。如果，且不成立，则称严格优于，记为：。我们假定偏好满足如下的三个公理：公理1：对任意的，。公理2：对任意的，与至少有一个成立。公理3：对任意的，且注：（1）上面的三个公

30、理说明“”满足：自反性、对称性、传递性；称这样的偏好关系“”为理性偏好关系，此时关于“”成为一个全序集。（2）偏好关系“”是个体决定的，相同的选择集上有多个偏好关系；类似的，下面的效用函数也有多个。定义：效用函数是满足下列条件的函数：给出反例说明：仅满足以上面三个公理的选择集上可能不存在效用函数。为此，我们需要增加公理以保证总存在效用函数。公理4：对任意的且；，则：注：公理4称为“保序性公理”，它保证了的序关系可以扩大到的凸组合上去。公理5：对任意的，如果，则存在唯一的，使得：注：在上定义序关系：；称这个序关系为上的字典序；显然，字典序可以推广到上。可以证明：字典序满足公理1-4，但不满足公理

31、5。公理6：存在满足：对任意的，成立。注：公理6称为“有界性公理”。序数效用函数的存在性定理：如果选择集上的偏好关系满足公理1-6，则上存在效用函数，满足：（1）（2）证明：我们具体的构造一个满足条件（1）、（2）的效用函数。对任意的，由公理6，存在，使得。如果，则对任意的成立，此时可定义为常数，显然条件（1）、（2）成立。如果，定义，；如果有一个成立，容易定义或0；如果，由公理5，存在唯一的，使得：，定义。由公理1-3可知，是上确定的函数。下面证明（1）、（2）成立。（） 如果，存在，使得：由公理4，即。反之，直接由的定义及公理4可知：（） 直接验证即可。定理中的效用函数起到了区分选择优劣的

32、作用。由定义可知：如果是严格单调增加函数，则也是上的效用函数；所以效用函数不能比较一个选择比另一个选择优多少，它仅仅给出了上的序关系，因此称上面的效用函数为序数效用函数。大多数用效用函数讨论的问题都涉及到效应函数的最大化，因此涉及到效用函数的连续性与可导性。存在性定理不能保证效用函数更多的分析性质，下面给出与此相关的公理和结论。公理7：对任意的，注：注意到，因此是在的自然序关系下的不等式，即。公理7称为单调性公理，其意义是：增加选择中任意一个分量都将增加效用。如果条件变为，则称满足严格单调性公理。如果上存在效用函数，公理7保证了效用函数的单调或严格单调性。公理8：对任意的及任意的，存在，使得，

33、且。注：公理8称为局部非饱和公理，可以证明：公理8 弱于公理7。该公理保证了上的无差异集不能形成“区域” 从拓扑的角度看，中的无差异集没有内点。，直观上看，无差异集是很薄的。公理9：对任意的中的列，如果对任意的，成立，且：则。注：（1）上面的极限是中普通的极限。（2）公理9称为连续性公理，它在上自然的序关系“”和偏好关系“”之间建立了极限联系。如果满足公理9，我们称“”是连续的。定理：如果上的偏好关系“”是连续的，则存在上连续的效用函数。当和“”满足公理1-9时，上的效用函数已经具备了一些基本的分析性质，但可微性仍不能保证；直观上，效用函数的可微性意味着中的无差异集能够光滑的连接在一起。在金融

34、的文献中大多直接假定效用函数满足问题所需要阶数的可微性。 我们给出一个经济学中典型的例子来说明效用函数的应用。 假定消费者面临市场中的种商品或劳务，价格向量为：投资者的消费约束为：其中为财富。我们假定是确定的，且消费者在上的偏好关系满足上面的公理1-9，故消费者的效用函数是连续的；注意到是中的紧集 这里用到一个结论：紧集上的连续函数可以取到最值。一个简单的特例是闭区间上的连续函数可以取到最值。，所以在上存在最大值，即最优消费决策问题有解。二、基数效用 前面的序数效用中涉及到的选择是确定的，因此每个选择都是中确定的向量。当投资者对金融资产进行选择时，选择结果往往是不确定的；例如：投资者购买的股票

35、可能带来收益也可能带来亏损；投资者在这些具有随机性的环境中做出选择时，根据的仍是其对不确定选择的“偏好”。因此，为了分析随机环境下的效用函数，我们需要先将选择集和偏好关系扩大到随机环境中去。我们首先讨论最简单的不确定性选择集。假定选择集只有两个不同的输出结果。每一个选择（也形象地称为彩票）都对应了以概率出现结果，以出现结果，并记为：。选择集是所有这些选择的全体。为了后面讨论得以进行，我们假定满足四个基本假定 有的书（如数理金融）中称为4个公设。，它们的含义是自明的：假定1：假定2：注：和的含义是：“以概率1获得”和“以概率0获得”。假定3：假定4：与序数效用的情形类似，我们假定上存在偏好关系、

36、严格偏好关系、无差异关系，且有下面的公理：公理：对任意的，。公理：对任意的，与至少有一个成立。公理：对任意的，且公理：对任意的，且，则：公理：对任意的，如果，则存在唯一的，使得：公理：存在满足：对任意的，成立。注：（1）由于前面的4个假定，上面的公理-中没有出现的两个输出结果。（2）如果将理解为，由序数效用函数存在定理可知在上存在序数效用函数。为了得到基数效用函数，我们需要下面的：公理：设，且；对任意的及任意的，注：公理称为强独立性公理，它强于公理。强独立性公理的含义是：当个体的选择由独立的两部分构成，其中一部分相同时；个体的对该选择的偏好由另一部分决定；或等价的，在原来的序关系下，加入相同的

37、不确定选择，序关系仍然保持。基数效用函数的存在性定理：如果选择集上的偏好关系满足公理-，则上存在效用函数，满足：（1）（2）（3）对任意的，等式：注：（1）上面的第三个结论是主要结论。当我们将结果定义为随机变量：时，结论（3）的可写为：这里左边的是结果的效用（不是随机变量的函数），右边的则是它的值。（2）该定理的证明与序数效用函数的存在性定理的证明思路相同，效用函数的构造方法也相同；主要在于证明第三个结论成立，这一点可以从效用函数的定义直接验证。（3）如果也是满足上面三个条件的效用函数，则存在常数和，使得：对任意的成立。因此，在忽略正线性变换的情况下，基数效用函数是唯一的。下面我们证明这个结论

38、：由条件（3），我们有下面的等式：其中（公理）；类似的：从两个等式中消去即得结论。（4）如果我们将任意的还原为的形式，上面的结论仍成立。 下面我们考虑两种更一般的情况： 一种是的输出结果是有限的，用表示；另一种是中的选择是同一个样本空间（一般取）上的连续型随机变量。对第一种情况，我们假定上面的公理-成立，则有如下结论：对任意的选择：，存在基数效用函数满足：。 对第二种情况，为了得到上类似的结论，我们需要增加下面的公理：公理：设，则：。公理：对任意的，如果成立，则存在使得：注：的含义是效用函数在选择处的值；公理称为公理。我们不加证明的引入下面的结论：定理：如果满足前面的假定及公理-，则存在基数效

39、用函数：，满足：其中：为出现结果时的效用。注：上面的称为效用函数。需要指出的是：上式等号右边的的含义是随机变量的函数，与左边的含义不同。本书假定效用函数都是效用函数。三、风险厌恶及其度量风险厌恶描述的是投资者在面对投资结果的不确定性时表现出的规避风险的态度。假定一个投资者拥有的财富为，随机变量的期望值为0，如果：（1），则称该投资者是风险厌恶的。（2），则称该投资者是风险中性的。（3），则称投资者是风险偏好的。注：（1）表明投资者面临一个公平的赌博机会。（2）表达式说明投资者获得赌博机会后效用下降了，尽管：但风险厌恶的投资者更喜欢确定性，因此的效用大于的效用。对风险中性和风险偏好的投资者可类似

40、解释。（3）效用函数和风险厌恶是金融领域中争论较多的专题。事实上，效用、效用函数、风险态度中都包含了人的因素，而满足程度以及对风险的看法是因人而异的，即使是同一个人，他的偏好也不可能是完全理性的，因此基于上面的一系列公理得到的效用理论只能是对理想的“理性人”成立。上面的定义中，投资者的风险态度与和有关。例如：一个风险厌恶者可能会购买彩票。假定彩票是完全返还购买者的，则购买彩票的收益的期望为0，它是一种公平的赌博。由于投资者能以很小的概率获得巨额奖金，而即使没有中奖，损失也微不足道；因此投资者在这一投资决策上是风险偏好的。在大多数情况下，投资者的风险态度是确定的，仅在极端的情况会发生改变，因此在

41、金融理论中我们一般假定投资者有确定的风险态度 当然对风险厌恶或偏好的程度可以变化。 由经济学的基本理论可知：一个投资者是风险厌恶的，当且仅当他的效用函数是严格凹函数，即。对于两个风险厌恶的投资者，我们如何比较他们风险厌恶的程度？直观上看，效用函数应当包含了投资者风险厌恶程度的所有信息。以下我们给出几种基于效用函数的风险厌恶的度量方法。 以下假定的含义同上。对风险厌恶的投资者而言，存在，使得 显然，称这个值为当量（，），与有关。称：为风险溢价。是投资者为规避不确定的愿意支付的“保费”。显然，对相同，较大的投资者比较小的投资者更厌恶风险。假定有连续的二阶导数，将展开得到：两边取期望：又因： 且：

42、比较两个等式可知：当很小时（此时必然也很小），有：或者：，由于与投资者的风险态度无关，因此度量了风险厌恶的程度，称：为绝对风险厌恶系数。将变形为：可以看出：一个财富为的投资者，他的相对的风险溢价与有关，因是赌博相对收益的方差，故忽略它的影响，我们得到相对风险厌恶系数：。注：（1）对的另一个解释是：直观上，函数越“凹”，投资者越厌恶风险；可以证明恰为度量凹的程度的有效指标，因此度量了风险厌恶的程度。（2）效用函数满足如下的微分方程：因此，假如已知绝对风险厌恶系数，我们可以得到：，由于常数不影响效用函数的本质，因此：四、几种常用的效用函数1、线性效用函数：因，因此拥有线性效用函数的投资者是风险中性

43、的。2、二次效用函数：此时的图像为开口向下的抛物线，在处达到最大值。因，故仅在时，拥有二次效用函数的投资者是风险厌恶的。3、幂效用函数：此时为常数。4、指数效用函数：该效用函数的一个重要特征是为常数。5、对数效用函数：该效用函数的一个重要特征是。6、双曲绝对风险厌恶类效用函数：是金融理论中最重要的一类效用函数，它也被称为线性风险容忍类函数，即它的风险容忍系数：是的线性函数。通过取不同的参数，可以证明：二次效用函数、幂效用函数是效用函数的特例。五、随机占优效用函数和风险厌恶的度量参数都是针对单个投资者的，因此基于某个效用函数得出的两个不同策略的优劣只对拥有这个效用函数的投资者有效。在投资问题中，

44、寻找对具有某一类效用函数的投资者都更优的策略有重要意义。我们可以将效用函数分类，找出每一类中占优策略的特征。设是具备某种特征的效用函数的集合，随机变量是选择集中的两个选择，称随机占优于，如果对任意的，成立，用表示。注：（1）随机占优选择与紧密相关。（2）“”不是选择集上的全序关系，因为并非任意的都满足条件：，至少有一个成立。假定则成立时，称一阶随机占优于，记为。如果则成立时，称二阶随机占优于，记为。我们有下面的判定定理。定理：假定为两个只在有限区间上取值的随机变量，它们的分布函数分别为：则：（1）（2）证明：（1）由定义：而： 因此，由的任意性可知上式等价于：否则，若：存在由于分布函数是右连续

45、的，因此存在一个区间，使得在上也成立，取任意的满足在上的效用函数，则：矛盾，因此结论成立。（2）将（1）的最后一步：变形为：类似的，由的任意性可知：成立。注：（1）条件：“为两个只在有限区间上取值的随机变量”是为了保证及它们的函数的期望、方差都存在。（2）取，则，因此。（3）注意：，但与是不同的。（4）与一阶占优不同，由不能推出。（5）如果将理解为甲乙金融资产的收益率，则一阶和二阶随机占优只是说，投资者将所有资金投资于甲资产的选择优于将所有资金投资于乙资产的选择；实际中，投资者一般会将资金在甲乙之间作一个分配，即组合投资，因此上面的两种极端的投资方式都不是最优的。第五讲 公司财务的MM定理Modigliani-Miller定理与公司资本结构（MMT）公司的财务管理理论是金融数学的一个组成部分，该理论研究以公司价值最大化为目标，公司最佳的财务决策问题，其研究范围大致集中在公司资本结构和资产负债管理两个方面。假定公司的债务由债券和股票构