[高三数学]历年高考数学试题解三角形.doc

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1、解三角形一、选择题，在每小题给出的四个选择项只有一项是符合题目要求的。1.在ABC中.则A的取值范围是( )(A)(0， (B)，) (c)(0， (D)，)2.若的内角A、B、C所对的边a、b、c满足，且C=60，则ab的值为（ ）（A） （B） (C)1 (D)3如图，在中，是边上的点，且，则的值为（ ）A B C D4ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asinAsinB+bcos2A=，则（ ）A B C D5.若的三个内角满足，则（ ）（A）一定是锐角三角形. （B）一定是直角三角形.（C）一定是钝角三角形. (D)可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形.6在中，角的所

2、对的边长分别为，若，则( ) Aab B.ab C.a=b D.a与b的大小关系不能确定.7.某班设计了一个八边形的班徽（如图），它由腰长为1，顶角为的四个等腰三角形，及其底边构成的正方形所组成，该八边形的面积为（ ）（A） （B）（C） （D）8.某人要制作一个三角形，要求它的三条高的长度分别为，则此人能（ ）（A）不能作出这样的三角形 （B）作出一个锐角三角形 （C）作出一个直角三角形 （D）作出一个钝角三角形10.如图，E，F是等腰直角ABC斜边AB上的三等分点，则（ ） A. B. C. D.11在中，则等于（ ）A B C8 D1612在中，a=15,b=10,A=60，则=（ ）A

3、. B. C. D.13.在ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c，若，则A=（ ）（A） （B） （C） （D）14.已知中，的对边分别为a,b,c若a=c=且，则b=（ ）A.2 B4 C4 D15.已知锐角的面积为，则角的大小为（ ）A.75 B.60 B.45 D.3016设的三个内角，向量，若，则=（ ）A B C D17的三内角A、B、C的对边边长分别为，若，则=（ ）A. B. C. D.18已知a,b,c为ABC的三个内角A,B,C的对边，向量m=(),n=(cosA,sinA),若mn,且acosB+bcosA=csinC,则角A,B的大小分别为（ ）(A) (B)

4、(C) (D)19在中，AB=3，AC=2，BC=，则( )A B C D20已知ABC中，a=,b=,B=60,那么角A等于（ ）（A）135 (B)90 (C)45 (D)3021在中，,则的大小为（ ）A B C D22的内角的对边分别为，若，则等于（ ）A B2 C D23在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c,若(a2+c2-b2)tanB=,则角B的值为（ ）A. B. C.或 D.或24在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知A=,a=,b=1，则c=（ ）(A)1 (B)2 (C)1 (D)25.的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列

5、，且，则（ ）A B C D26的三内角所对边的长分别为设向量，若，则角的大小为（ ） 27已知等腰的腰为底的2倍，则顶角的正切值是（ ） 28设分别是的三个内角所对的边，则是的（ ）（A）充要条件 （B）充分而不必要条件 （C）必要而充分条件 （D）既不充分又不必要条件29.若的内角满足，则（ ）A. B. C. D.30.如果的三个内角的余弦值分别等于的三个内角的正弦值，则（ ）A和都是锐角三角形 B和都是钝角三角形C是钝角三角形，是锐角三角形D是锐角三角形，是钝角三角形31用长度分别为2、3、4、5、6(单位:cm)的细木棒围成一个三角形(允许连接,但不允许折断),能够得到期的三角形面积

6、的最大值为（ ）（A）8cm2 （B）6cm2 （C）3cm2 （D）20cm232如图，在ABC中，则=（ ）（A） （B） （C） （D）二、填空题33如题（15）图，图中的实线是由三段圆弧连接而成的一条封闭曲线，各段弧所在的圆经过同一点（点不在上）且半径相等. 设第段弧所对的圆心角为，则_ .34.在中，则的最大值为 。35.若的面积为，BC=2，C=，则边AB的长度等于_.36在中.若b=5，sinA=，则a=_.37.ABC中B=120，AC=7，AB=5，则ABC的面积为 。38在中。若b=5，tanA=2，则sinA=_；a=_。39.如图，ABC中，AB=AC=2，BC=，点D

7、在BC边上，ADC=45，则AD的长度等于_。40已知直角梯形中，/,是腰上的动点，则的最小值为_。41在中，角所对的边分别为若,，则角的大小_42在锐角三角形ABC，A、B、C的对边分别为a、b、c，则=_。43已知是椭圆的一个焦点，是短轴的一个端点，线段的延长线交于点，且，则的离心率为 .44在ABC中，D为边BC上一点，BD=DC，ADB=120，AD=2，若ADC的面积为，则BAC=_.45已知分别是的三个内角所对的边若，则 。46在ABC中，角A、B、C所对的边分别为、b、c ，若，则_。47在中，D为BC边上一点，,.若,则BD=_48在ABC中，若b=1，c=，则a= 。49如图

8、，相交与点O,且，若得外接圆直径为1，则的外接圆直径为_50在ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，已知则A .51的内角的对边分别为，若，则 52满足条件AB=2,AC=BC的三角形ABC的面积的最大值是 53.直三棱柱的各顶点都在同一球面上，若, ，则此球的表面积等于 。 54在半径为13的球面上有A , B, C 三点，AB=6，BC=8，CA=10，则（1）球心到平面ABC的距离为 ；（2）过，B两点的大圆面与平面ABC所成二面角（锐角）的正切值为 .55在锐角中，则的值等于 ，的取值范围为 。56已知长方形ABCD，AB=4，BC=3，则以A、B为焦点，且过C、D两点的椭圆

9、的离心率为_572002年在北京召开的国际数学家大会，会标是我国以古代数学家赵爽的弦图为基础设计的弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为，那么的值等于 58在中，若，则 59在平面直角坐标系中，已知顶点和，顶点在椭圆上，则.60如图，在中，是边上一点，则 61在中，角所对的边分别为，若，b=，则 62在ABC中，A，B，C所对的边长分别为a,b,c.若sinA:sinB:sinC=578,则abc= ,B的大小是 .63在中，已知，b4，A30，则sinB .64在相距2千米的两点处测量目标，若，

10、则两点之间的距离是 千米。65已知ABC的一个内角为120，并且三边长构成公差为4的等差数列，则ABC的面积为 .三、解答题65在ABC中，角的对边分别是，已知.（1）求的值；（2）若，求边的值.解：（1）已知 整理即有：又C为中的角，（2） 又，66中，为边上的一点，求67在中，分别为内角的对边，且（）求的大小；（）若，是判断的形状。68设的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c,且3+3-3=4bc.()求sinA的值；()求的值.解：（I）由余弦定理得又 （II）原式69在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设S为ABC的面积，满足S（a2b2c2）.（）求角C的大小;（）求

11、sinAsinB的最大值.()解：由题意可知absinC=,2abcosC. 所以tanC=. 因为0C， 所以C=.（)解：由已知sinA+sinB=sinA+sin(-C-A)=sinA+sin(-A)=sinA+A+sinA=sin(A+).当ABC为正三角形时取等号，所以sinA+sinB的最大值是.70在ABC中，已知B=45,D是BC边上的一点，AD=10,AC=14,DC=6，求AB的长.解：在ADC中，AD=10，AC=14，DC=6,由余弦定理得cos=,、ADC=120, ADB=60在ABD中，AD=10, B=45, ADB=60，由正弦定理得,AB=71在中，内角A,

12、B,C的对边分别为a,b,c,已知。（）求的值；（）若，b=-2，求ABC的面积S.72已知的内角，及其对边，满足，求内角73在ABC中，。（）证明B=C：（）若=-，求sin的值。（）证明：在ABC中，由正弦定理及已知得=.于是sinBcosC-cosBsinC=0，即sin（B-C）=0.因为，从而B-C=0.所以B=C.（）解：由A+B+C=和（）得A=-2B,故cos2B=-cos（-2B）=-cosA=.又02B,于是sin2B=.从而sin4B=2sin2Bcos2B=，cos4B=.所以74在中，角所对的边分别为，且满足，求角的大小。75设的内角A、B、C、所对的边分别为a、b、

13、c，已知（）求的周长（）求的值（II）求的最大值，并求取得最大值时角的大小76ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.己知AC=90，a+c=b，求C.由，得A为钝角且，利用正弦定理，可变形为，即有，又A、B、C是的内角，故或(舍去)所以。所以.77在中，角所对的边分别为a,b,c已知且（）当时，求的值；（）若角为锐角，求p的取值范围；（I）解：由题设并利用正弦定理，得解得 （II）解：由余弦定理，因为，由题设知78在ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边长，a=，b=，求边BC上的高.解：由，得再由正弦定理，得由上述结果知设边BC上的高为h，则有79在ABC中，角A、B、C所

14、对应的边为（1）若 求A的值；（2）若，求的值.80.ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asinAsinB+bcos2A=a（I）求；（II）若c2=b2+a2，求B解：（I）由正弦定理得，即故 6分 （II）由余弦定理和由（I）知故可得 12分81.在中，的对边分别是，已知.（1）求的值；(2)若，求边的值解：（1）由 正弦定理得： 及：所以。 （2）由 展开易得： 正弦定理： 82.在中，角所对的边分别为且满足（I）求角的大小；（II）求的最大值，并求取得最大值时角的大小解析：（I）由正弦定理得因为所以（II）由（I）知于是取最大值2综上所述，的最大值为2，此时83.在A

15、BC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c已知（I）求的值；（II）若cosB=，的周长为5，求的长。解：（I）由正弦定理，设则所以即，化简可得又，所以因此 （II）由得由余弦定得及得所以又从而因此b=2。84在ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知（）求的值；（）若，b=-2，求ABC的面积S.85在中，内角的对边分别为，已知（）求的值；（）的值 （）解：由所以 （）解：因为，所以所以86 ABC的面积是30，内角A,B,C,所对边长分别为a，b，c，cosA=.（1）求（2）若c-b=1，求a的值.解：由cosA=，得sinA= =.又bc sinA=30，bc=156.

16、（1）=bc cosA=156=144.（2）a2=b2+c2-2bc cosA=(c-b)2+2bc(1-cosA)=1+2156(1-)=25， a=587设函数.（）求的值域；（）记的内角的对边长分别为，若，求的值.88在中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，已知（I）求的值；（II）当a=2，时，求b及c的长.（）解：因为，及所以 （）解：当时，由正弦定理，得由及得由余弦定理，得解得所以89如图，A，B是海面上位于东西方向相距海里的两个观测点，现位于A点北偏东45，B点北偏西60的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60且与B点相距海里的C点的救援船立即即前往营救，其航行速度

17、为30海里/小时，该救援船到达D点需要多长时间？解：由题意知海里，在中，由正弦定理得=（海里），又海里，在中，由余弦定理得 = 30（海里），则需要的时间（小时）。答：救援船到达D点需要1小时。90在ABC中，a,b,c分别为内角A,B,C的对边，且（）求A的大小；（）求的最大值.解：（）由已知，根据正弦定理得即由余弦定理得 故 ，A=120（）由（）得： 故当B=30时，sinB+sinC取得最大值1。91设是锐角三角形，分别是内角A，B，C所对边长，并且（）求角A的值；（）若，求（其中）解：（I）因为 （II）由可得 由（I）知所以 由余弦定理知及代入，得+2，得，所以因此，c，b是一元二

18、次方程的两个根.解此方程并由92中，为边上的一点，求2009042393在中，角所对的边分别为，且满足， （I）求的面积； （II）若，求的值94在中， 。（）求AB的值。（）求的值。95已知ABC的角A、B、C所对的边分别是a、b、c，设向量，若/，求证：ABC为等腰三角形；若，边长c = 2，角C=，求ABC的面积96设ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，,，求B.97在中，内角的对边长分别为.已知，且，求.98如图，为了解某海域海底构造，在海平面内一条直线上的A，B，C三点进行测量，已知，于A处测得水深，于B处测得水深，于C处测得水深，求DEF的余弦值。 99如图，A,B,C

19、,D都在同一个与水平面垂直的平面内，B，D为两岛上的两座灯塔的塔顶。测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为，于水面C处测得B点和D点的仰角均为，AC=0.1km。试探究图中B，D间距离与另外哪两点距离相等，然后求B，D的距离（计算结果精确到0.01km，1.414，2.449）100.在中，所对的边分别为，（1）求；（2）若，求,，101.在锐角ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，且()确定角C的大小；（）若c,且ABC的面积为,求ab的值。102.在ABC中，C-A=，sinB=。（I）求sinA的值；(II)设AC=，求ABC的面积。20090423103.在中，角所对的边

20、分别为，且满足， （I）求的面积； （II）若，求的值104.在ABC中，BC=，AC=3，sinC=2sinA。()求AB的值；()求sin的值105设的内角、的对边长分别为、，求。106.在中，内角A、B、C的对边长分别为、，已知，且求b。107.在中，已知，求角A，B，C的大小108.已知向量（）求向量的长度的最大值；（）设，且，求的值。109在中，角的对边分别为，. （）求的值；（）求的面积.110在ABC中，sin(C-A)=1,sinB=。（I）求sinA的值；(II)设AC=，求ABC的面积。111.在中，内角，对边的边长分别是，已知（）若，且为钝角，求内角与的大小；（）求的最大

21、值112如图，ACD是等边三角形，ABC是等腰直角三角形，ACB=90，BD交AC于E，AB=2。（1）求cosCBE的值；（2）求AE。113在中，内角对边的边长分别是，已知，（）若的面积等于，求；（）若，求的面积114设ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c.已知，求：（）A的大小;（）的值.115设的内角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，且a cosB=3，bsinA=4（）求边长a；（）若的面积，求的周长116.在中，内角对边的边长分别是，已知。（）若，且为钝角，求内角与的大小；（）若，求面积的最大值。117如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为的扇形。小区的两个出入口设置在点及

22、点处，且小区里有一条平行于的小路。已知某人从沿走到用了10分钟，从沿走到用了6分钟。若此人步行的速度为每分钟50米，求该扇形的半径的长（精确到1米）AODBC118设的内角所对的边长分别为a、b、c，且（）求的值；（）求的最大值119在中，内角对边的边长分别是，已知，（）若的面积等于，求；（）若，求的面积120在ABC中a、b、c分别为角A、B、C所对的边长，a2，tantan4，sinBsinCcos2求A、B及b、c121设ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c，且A=，c=3b.求：（）的值；（）cotB+cotC的值.122在中， （）求的值；（）设，求的面积123在中， （）求

23、的值；（）设的面积，求的长124在中，已知，（）求的值；（）求的值125设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，（）求B的大小；（）若，求b126在中，。（1）求角C的大小；（2）若AB边的长为，求BC边的长。127如图，测量河对岸的塔高时，可以选与塔底在同一水平面内的两个侧点与现测得，并在点测得塔顶的仰角为，求塔高128已知的周长为，且（）求边AB的长；（）若的面积为，求角C的度数。129在中，分别是三个内角的对边若，求的面积130在中，已知内角，边设内角，周长为（1）求函数的解析式和定义域；（2）求的最大值131设锐角三角形的内角的对边分别为，（）求的大小；（）求的取值范

24、围132已知的面积为，且满足，设和的夹角为（I）求的取值范围；（II）求函数的最大值与最小值133.已知顶点的直角坐标分别为.（1）若，求sin的值;（2）若是钝角，求的取值范围.134已知是三角形三内角，向量，且（）求角；（）若，求135已知三角形ABC，B=450，AC=，cosC=.（I）求BC边的长； （II）记AB的中点为D，求中线CD的长。136的三个内角为，求当A为何值时，取得最大值，并求出这个最大值。138如图，在中，（1）求的值；（2）求的值. 139.如图，已知ABC是边长为1的正三角形，M、N分别是边AB、AC上的点，线段MN经过ABC的中心G，设MGAa（）(1)试将A

25、GM、AGN的面积（分别记为S1与S2）表示为a的函数；(2)求y的最大值与最小值。140如图3,是直角斜边上一点,.()证明:; ()若,求的值.141如图，在中，是上的高，沿把折起，使。（）证明：平面平面；（）设为的中点，求与夹角的余弦值。解（）折起前是边上的高，当折起后，AD，AD，又DB，平面，AD 平面平面BDC.（）由及（）知DA，DC两两垂直，不防设=1，以D为坐标原点，以，所在直线轴建立如图所示的空间直角坐标系，易得D（0,0,0），B（1,0,0），C（0,3,0），A（0,0，），E（，0），=，=（1，0,0,），与夹角的余弦值为，=142叙述并证明余弦定理。解 余弦定理

26、：三角形任何一边的平方等于其他两遍平方的和减去这两边与它们夹角的余弦之积的两倍。或：在ABC中，a，b，c为A，B，C的对边，有，.证法一 如图， 即 同理可证 ， 证法二 已知中所对边分别为，以为原点，所在直线为轴建立直角坐标系，则，143某兴趣小组测量电视塔AE的高度H(单位：m），如示意图，垂直放置的标杆BC的高度h=4m，仰角ABE=，ADE=。（1）该小组已经测得一组、的值，tan=1.24，tan=1.20，请据此算出H的值；（2）该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离d（单位：m），使与之差较大，可以提高测量精确度。若电视塔的实际高度为125m，试问d为多少时，-最大？解析 本题主要考查解三角形的知识、两角差的正切及不等式的应用。（1），同理：，。 ADAB=DB，故得，解得：。因此，算出的电视塔的高度H是124m。（2）由题设知，得，（当且仅当时，取等号）故当时，最大。因为，则，所以当时，-最大。故所求的是m。45