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1、1.1.1 正弦定理【教学目的】1.理解并掌握正弦定理，能初步运用正弦定理解斜三角形；2.理解用向量方法推导正弦定理的过程，进一步巩固向量知识，体现向量的工具性。【教学重点】正弦定理的证明和理解【教学难点】正弦定理的证明【教学过程】一新课引入：初中学习了全等三角形只要根据已知条件就能判断三角形是否全等。能否根据给定条件算出三角形的未知边与未知角？这就是解三角形。解三角形有几个重要定理，今天学习其中之一-正弦定理问题1.在直角三角形ABC中，对应边依次为a,b,c，求证：=【猜想与推广】正弦定理：在任一个三角形中，各边和它所对角的正弦比相等，即 = =2R（R为ABC外接圆半径）证明：2斜三角形
2、中 证明一：（等积法）在任意斜ABC当中SABC= 两边同除以即得：=证明二：（外接圆法）如图所示，同理 =2R，2R证明三：（向量法）过A作单位向量垂直于由+= 两边同乘以单位向量 得 (+)=则+=|cos90+|cos(90-C)=|cos(90-A) =同理，若过C作垂直于得： = =二正弦定理的应用 定理剖析，加深理解正弦定理：在一个三角形中，各边与它所对角的正弦的比相等，即：从表达式的结构看，正弦定理所表达的边与对角的正弦的比是严格的对边与对角的正弦比。这种对应关系是严谨的，也是和谐的，它体现了数学的一种和谐美。从方程的观点看，表达式中每一个等号所形成的等式中，含有四个量，显然可“
3、知三求一”。于是，正弦定理可解决两类有关解三角形的问题：已知两边与任一边，求其他两边和一角；已知两边与其中一边的对角，求另一边的对角，进而可求出其他的边和角。例1 已知在解：由得 由得例2 在解：【比较例1，例2】体会：例3 解：，【变式】【探索】(*)例4 已知ABC，B为B的平分线，求证：ABBCA四、课堂练习：1在ABC中，,则k为( )A2R BR C4R D(R为ABC外接圆半径)2ABC中，sin2A=sin2B+sin2C，则ABC为( )A直角三角形 B等腰直角三角形C等边三角形 D等腰三角形(*)3在ABC中，求证：五、小结 正弦定理，两种应用六、课后作业：1在中，已知，求2
4、在中，已知，求3在ABC中，已知，求证：2b2a2c24在ABC中，已知试判断ABC的形状。5.在中,内角A、B、C的对应三边分别为,已知,若满足对任意三角形都成立,求实数的取值范围1.1.2 余弦定理教学目标：1使学生掌握余弦定理，并会初步运用余弦定理解斜三角形；2使学生理解用坐标法证明余弦定理的过程，逐步学会用坐标法解决具体问题；3通过启发、诱导学生发现和证明余弦定理的过程，培养学生观察、分析、归纳、猜想、抽象、概括等逻辑思维能力；4通过发现教学法，培养学生学习数学的兴趣和热爱科学、献身科学、勇于创新的精神。教学重点：余弦定理及其发现和证明。教学难点：余弦定理的证明。教学过程：一.问题情境
5、在斜三角形中三个角和三边共六个元素，已知几个怎样的元素可确定这个三角形？（三个，其中至少有一边）问题1：已知两边一夹角，三角形能否确定？或者已知三边，三角形能否确定？探索活动1:（回归特殊）在RtABC,C=900,那么边边之间有哪些关系?勾股定理：（*）受（*）式启发，在锐角三角形中；在钝角三角形中问题2：那么a与b、c之间是否仍然存在着“平方和”关系？猜想： 二理论建构如图在中，、的长分别为、已知、和，求边方法1：（向量的方法）方法2：（几何法）在ABC中，设BCa，ACb，ABc，试根据b，c，A来表示a.解：过C作CDAB，垂足为D，则在RtCB中，根据勾股定理可得：另外，当A为钝角时
6、也可证得上述结论，当A为直角时a2b2c2也符合上述结论。这也正是我们这一节将要研究的余弦定理，下面我们给出余弦定理的具体内容.余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.形式一：（已知两边和其夹角求第三边）a2b2c22bccosA，b2c2a22cacosB，c2a2b22abcosC.形式二：（已知三边求角）cosA=，cosB=，cosC=注意：利用余弦定理，我们可以解决以下两类有关三角形的问题：(1)已知三边，求三个角，这类问题由于三边确定，故三角也确定，解惟一(2)已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角.这类问题第三边确定，因而其他两
7、个角惟一，故解惟一，不会产生类似利用正弦定理解三角形所产生的判断取舍等问题.三数学应用例1：在ABC中，（1） 已知b3，c1，A=600，求a；（2） 已知a4，b5，c=6求A。例2：用余弦定理证明：在ABC中，当为锐角时， ；当为钝角时，四随堂练习1若三条线段的长分别为5，6，7，则用这三条线段能构成（ ）A直角三角形 B锐角三角形 C钝角三角形 D不是钝角三角形2.在ABC中，已知求。3. 在ABC中，若，求角1.2.1解三角形应用举例教学目标知识与技能：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关计算角度的实际问题过程与方法：本节课是在学习了相关内容后的第三节课，学生已经对解法
8、有了基本的了解，这节课应通过综合训练强化学生的相应能力。除了安排课本上的例1，还针对性地选择了既具典型性有具启发性的2道例题，强调知识的传授更重能力的渗透。课堂中要充分体现学生的主体地位，重过程，重讨论，教师通过导疑、导思让学生有效、积极、主动地参与到探究问题的过程中来，逐步让学生自主发现规律，举一反三。情感态度与价值观：培养学生提出问题、正确分析问题、独立解决问题的能力，并在教学过程中激发学生的探索精神。教学重点能根据正弦定理、余弦定理的特点找到已知条件和所求角的关系教学难点灵活运用正弦定理和余弦定理解关于角度的问题教学过程.课题导入创设情境提问：前面我们学习了如何测量距离和高度，这些实际上
9、都可转化已知三角形的一些边和角求其余边的问题。然而在实际的航海生活中,人们又会遇到新的问题，在浩瀚无垠的海面上如何确保轮船不迷失方向，保持一定的航速和航向呢？今天我们接着探讨这方面的测量问题。.讲授新课范例讲解例1、如图，一艘海轮从A出发，沿北偏东75的方向航行67.5 n mile后到达海岛B,然后从B出发,沿北偏东32的方向航行54.0 n mile后达到海岛C.如果下次航行直接从A出发到达C,此船应该沿怎样的方向航行,需要航行多少距离?(角度精确到0.1,距离精确到0.01n mile)学生看图思考并讲述解题思路教师根据学生的回答归纳分析：首先根据三角形的内角和定理求出AC边所对的角AB
10、C，即可用余弦定理算出AC边，再根据正弦定理算出AC边和AB边的夹角CAB。解：在ABC中，ABC=180- 75+ 32=137，根据余弦定理，AC= = 113.15根据正弦定理, = sinCAB = = 0.3255,所以 CAB =19.0, 75- CAB =56.0答:此船应该沿北偏东56.1的方向航行,需要航行113.15n mile例2、在某点B处测得建筑物AE的顶端A的仰角为，沿BE方向前进30m，至点C处测得顶端A的仰角为2，再继续前进10m至D点，测得顶端A的仰角为4，求的大小和建筑物AE的高。师：请大家根据题意画出方位图。生：上台板演方位图（上图）教师先引导和鼓励学生
11、积极思考解题方法，让学生动手练习，请三位同学用三种不同方法板演，然后教师补充讲评。解法一：（用正弦定理求解）由已知可得在ACD中， AC=BC=30， AD=DC=10， ADC =180-4， = 。 因为 sin4=2sin2cos2cos2=,得 2=30=15，在RtADE中，AE=ADsin60=15答：所求角为15，建筑物高度为15m解法二：（设方程来求解）设DE= x，AE=h 在 RtACE中,(10+ x) + h=30 在 RtADE中,x+h=(10) 两式相减，得x=5,h=15在 RtACE中,tan2=2=30,=15 答：所求角为15，建筑物高度为15m解法三：（
12、用倍角公式求解）设建筑物高为AE=8，由题意，得BAC=， CAD=2，AC = BC =30m , AD = CD =10m在RtACE中，sin2= - 在RtADE中，sin4=, - 得 cos2=,2=30,=15，AE=ADsin60=15答：所求角为15，建筑物高度为15m例3、某巡逻艇在A处发现北偏东45相距9海里的C处有一艘走私船，正沿南偏东75的方向以10海里/小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以14海里/小时的速度沿着直线方向追去，问巡逻艇应该沿什么方向去追？需要多少时间才追赶上该走私船？师：你能根据题意画出方位图？教师启发学生做图建立数学模型分析：这道题的关键是计算出三
13、角形的各边，即需要引入时间这个参变量。解：如图，设该巡逻艇沿AB方向经过x小时后在B处追上走私船，则CB=10x, AB=14x,AC=9,ACB=+= (14x) = 9+ (10x) -2910xcos化简得32x-30x-27=0，即x=,或x=-(舍去)所以BC = 10x =15,AB =14x =21,又因为sinBAC =BAC =38,或BAC =141（钝角不合题意，舍去），38+=83答：巡逻艇应该沿北偏东83方向去追，经过1.4小时才追赶上该走私船.评注：在求解三角形中，我们可以根据正弦函数的定义得到两个解，但作为有关现实生活的应用题，必须检验上述所求的解是否符合实际意义
14、，从而得出实际问题的解.课堂练习.课时小结解三角形的应用题时，通常会遇到两种情况：（1）已知量与未知量全部集中在一个三角形中，依次利用正弦定理或余弦定理解之。（2）已知量与未知量涉及两个或几个三角形，这时需要选择条件足够的三角形优先研究，再逐步在其余的三角形中求出问题的解。.课后作业1、我舰在敌岛A南偏西相距12海里的B处,发现敌舰正由岛沿北偏西的方向以10海里/小时的速度航行.问我舰需以多大速度、沿什么方向航行才能用2小时追上敌舰？（角度用反三角函数表示）板书设计授后记1.2.2解三角形应用举例教学目标知识与技能：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法进一步解决有关三角形的问题, 掌握三角形
15、的面积公式的简单推导和应用过程与方法：本节课补充了三角形新的面积公式，巧妙设疑，引导学生证明，同时总结出该公式的特点，循序渐进地具体运用于相关的题型。另外本节课的证明题体现了前面所学知识的生动运用，教师要放手让学生摸索，使学生在具体的论证中灵活把握正弦定理和余弦定理的特点，能不拘一格，一题多解。只要学生自行掌握了两定理的特点，就能很快开阔思维，有利地进一步突破难点。情感态度与价值观：让学生进一步巩固所学的知识，加深对所学定理的理解，提高创新能力；进一步培养学生研究和发现能力，让学生在探究中体验愉悦的成功体验教学重点推导三角形的面积公式并解决简单的相关题目教学难点利用正弦定理、余弦定理来求证简单
16、的证明题教学过程.课题导入创设情境师：以前我们就已经接触过了三角形的面积公式，今天我们来学习它的另一个表达公式。在ABC中，边BC、CA、AB上的高分别记为h、h、h，那么它们如何用已知边和角表示？生：h=bsinC=csinB h=csinA=asinCh=asinB=bsinaA师：根据以前学过的三角形面积公式S=ah,应用以上求出的高的公式如h=bsinC代入，可以推导出下面的三角形面积公式，S=absinC，大家能推出其它的几个公式吗？生：同理可得，S=bcsinA, S=acsinB师：除了知道某条边和该边上的高可求出三角形的面积外，知道哪些条件也可求出三角形的面积呢？生：如能知道三
17、角形的任意两边以及它们夹角的正弦即可求解.讲授新课范例讲解例1、在ABC中，根据下列条件，求三角形的面积S（精确到0.1cm）（1）已知a=14.8cm,c=23.5cm,B=148.5;（2）已知B=62.7,C=65.8,b=3.16cm;（3）已知三边的长分别为a=41.4cm,b=27.3cm,c=38.7cm分析：这是一道在不同已知条件下求三角形的面积的问题，与解三角形问题有密切的关系，我们可以应用解三角形面积的知识，观察已知什么，尚缺什么？求出需要的元素，就可以求出三角形的面积。解：（1）应用S=acsinB，得 S=14.823.5sin148.590.9(cm)(2)根据正弦定
18、理， = c = S = bcsinA = bA = 180-(B + C)= 180-(62.7+ 65.8)=51.5 S = 3.164.0(cm)(3)根据余弦定理的推论，得cosB = = 0.7697sinB = 0.6384应用S=acsinB，得S 41.438.70.6384511.4(cm)例2、如图,在某市进行城市环境建设中,要把一个三角形的区域改造成室内公园,经过测量得到这个三角形区域的三条边长分别为68m,88m,127m,这个区域的面积是多少？（精确到0.1cm）？师：你能把这一实际问题化归为一道数学题目吗？生：本题可转化为已知三角形的三边，求角的问题，再利用三角形
19、的面积公式求解。由学生解答，老师巡视并对学生解答进行讲评小结。解：设a=68m,b=88m,c=127m,根据余弦定理的推论，cosB= =0.7532sinB=0.6578应用S=acsinB S 681270.65782840.38(m)答：这个区域的面积是2840.38m。例3、在ABC中，求证：（1）（2）+=2（bccosA+cacosB+abcosC）分析：这是一道关于三角形边角关系恒等式的证明问题，观察式子左右两边的特点，联想到用正弦定理来证明证明：（1）根据正弦定理，可设 = = = k显然 k0，所以左边=右边（2）根据余弦定理的推论，右边=2(bc+ca+ab)=(b+c-
20、 a)+(c+a-b)+(a+b-c)=a+b+c=左边变式练习1：已知在ABC中，B=30,b=6,c=6,求a及ABC的面积S提示：解有关已知两边和其中一边对角的问题，注重分情况讨论解的个数。答案：a=6,S=9;a=12,S=18变式练习2：判断满足下列条件的三角形形状，（1） acosA = bcosB（2） sinC =提示：利用正弦定理或余弦定理，“化边为角”或“化角为边”（1） 师：大家尝试分别用两个定理进行证明。生1：（余弦定理）得a=bc=根据边的关系易得是等腰三角形或直角三角形生2：（正弦定理）得sinAcosA=sinBcosB,sin2A=sin2B,2A=2B,A=B
21、根据边的关系易得是等腰三角形师：根据该同学的做法，得到的只有一种情况，而第一位同学的做法有两种，请大家思考，谁的正确呢？生：第一位同学的正确。第二位同学遗漏了另一种情况，因为sin2A=sin2B,有可能推出2A与2B两个角互补，即2A+2B=180，A+B=90(2)（解略）直角三角形.课堂练习.课时小结利用正弦定理或余弦定理将已知条件转化为只含边的式子或只含角的三角函数式，然后化简并考察边或角的关系，从而确定三角形的形状。特别是有些条件既可用正弦定理也可用余弦定理甚至可以两者混用。.课后作业板书设计授后记1.2.3 正弦定理、余弦定理的应用教学目标：进一步巩固正弦定理余弦定理的应用，并渗透
22、数学文化教育，培养学生基本数学素质。教学重点：正弦定理与余弦定理的综合应用教学难点： 教学过程：一复习回顾：1正弦定理：2余弦定理：，二数学应用例1在任一ABC中求证：例2 在ABC中，已知，求及例3 在ABC中，若，求例4在锐角ABC中，边长求边长的取值范围。例5在ABC中，若面积，求例6在ABC中，是方程的两个根，且求（1）角的度数 （2）的长度（3）ABC的面积三小结 通过本节学习，要求大家在了解正弦余弦定理知识有关数学史，提高爱国热情与数学兴趣。四教后感第一章 解三角形小结一教学重点1. 理解正弦定理及余弦定理的推导证明过程，能够熟练运用正、余弦定理解三角形。2. 根据实际情况设计测量
23、距离、高度、角度等的测量方案，利用正、余弦定理解决实际问题3. 灵活运用正、余弦定理进行边角转化求角度、判断三角形形状等有关三角形的问题。二教学难点：正、余弦定理的推导证明，应用定理解三角形。设计测量距离、高度、角度等的测量方案，并能利用正、余弦定理解决实际问题三教学过程用正弦定理知两角及一边解三角形解三角形知三边求三角解三角形的应用举例 两点间距离的测量物体高度的测量角度的测量 1.本章知识结构框图知两边及其中一边所对的角解三角形（要讨论解的个数）用余弦定理知道两边及这两边的夹角解三解形2、例题讲解：例1在中，已知，。试求最长边的长度。例2在中，已知，试判断此角形的形状并求出最大角与最小角的
24、和。例3如图，我炮兵阵地位于A处，两观察所分别设于C、D，已知为边长等于a的正三角形，当目标出现于B时，测得，试求炮击目标的距离AB。三、巩固练习1在中，试试判断此角形的形状并求出最小角。2在中，a,b,c分别是，的对边，且 （1）求角的大小；（2）若，求的值。3a,b,c分别是的三边，若，则角为-度。4测一塔（底不可到达）的高度，测量者在远处向塔前进，在A处测得塔顶C的仰角，再前进20米到B点，这时测得C的仰角为，试求此塔的高度CD。2.1 数列教学目标（1）了解数列的概念，了解数列的分类，理解数列是一种特殊的函数，会用列表法和图象法表示数列；（2）理解数列通项公式的概念，会根据通项公式写出
25、数列数列的前几项，会根据简单数列的前几项写出数列的通项公式教学重点，难点（1）理解数列是一种特殊的函数；（2）会根据简单数列的前几项写出数列的通项公式教学过程一问题情境1情境：某剧场座位数依次为，（） 某彗星出现的年份依次为，（） 某种细胞，如果每个细胞每分钟分裂为个，那么每过分钟，个细胞分裂的个数依次为，（） 一尺之棰，日取其半，万世不竭如果将一尺之棰视为份，那么每日剩下的部分依次为，（） 某种树木第年长出幼枝，第年幼枝长成粗干，第年粗干可生出幼枝，那么按照这个规律，各年树木的枝干数依次为，（） 从年到年，我国共参加了次奥运会，各次参赛获得的金牌总数依次为，（）2问题：这些数字能否调换顺序？
26、顺序变了之后所表达的意思变化了吗？二学生活动思考问题，并理解顺序变化后对这列数字的影响三建构数学1数列按照一定次序排列的一列数称为数列数列的一般形式可以写成，简记为2项数列中的每个数都叫做这个数列的项称为数列的第项（或称为首项），称为第项，称为第项说明：数列的概念和记号与集合概念和记号的区别：(1)数列中的项是有序的，而集合中的项是无序的；(2)数列中的项可以重复，而集合中的元素不能重复3有穷数列与无穷数列项数有限的数列叫做有穷数列，项数无限的数列叫做无穷数列4数列是特殊的函数在数列中，对于每一个正整数（或），都有一个数与之对应，因此，数列可以看成以正整数集（或它的有限子集）为定义域的函数，当
27、自变量按照从小到大的顺序依次取值时，所对应的一列函数值反过来，对于函数，如果（）有意义，那么我们可以得到一个数列，（强调有序性）说明：数列的图象是一些离散的点5通项公式一般地，如果数列的第项与序号之间的关系可以用一个公式来表示那么这个公式叫做这个数列的通项公式四数学运用1例题：例1已知数列的第项为，写出这个数列的首项、第项和第项解：首项为；第项为；第项为例2已知数列的通项公式，写出这个数列的前项，并作出它的图象：（）；（）解我们用列表法分别给出这两个数列的前项它们的图象如下图所示例3写出数列的一个通项公式，使它的前项分别是下列各数：（），；（），；（），；（），；（），解：（）（）（） （）（
28、）说明：写出数列的通项公式（）关键是寻找与的对应关系；（）符号用或来调节；（）分式的分子，分母可以分别找通项，但要充分借助分子与分母的关系；（）并不是每一个数列都有通项公式，即使有通项公式，通项公式也未必是唯一的；（）对于形如，的数列，其通项公式均可写成2练习：练习写出下列数列的通项公式：（），；（），；（），答案：（）（）（）五回顾小结：1数列的概念；2求数列的通项公式的要领六课外作业：2.2.1 等 差 数 列教学目标 1明确等差数列的定义 2掌握等差数列的通项公式，解决知道中的三个，求另外一个的问题3培养学生观察、归纳能力教学重点 1.等差数列的概念；2.等差数列的通项公式教学难点 等差
29、数列“等差”特点的理解、把握和应用教学方法 :启发式数学,归纳法.一.知识导入1.观察下列数列,写出它的一个通项公式和递推公式,并说出它们的特点.1) 2，4，6，8，10 2）15，14，13，12，11 3）2，5，8，11，14 2.课本41页的三个实际问题【归纳】共同特点:每一个数列，从第二项起与前一项的差相同。二等差数列1.定义: 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示。以上三个例子的公差d分别为2,-1,3.定义说明:1)同一个常数的含义.2)公差d的取值范围.2.等差数列的通项公式
30、:设数列是首项为,公差为的等差数列.由定义有:思路1: 思路2: 两端相加: 故等差数列的通项公式为: 其中:为第n项,为首项,为公差.(共有四个量,知三求一)利用等差数列的通项公式验证三个引例.广义通项公式:3.等差数列的递推公式:三.例题分析1.(1)求等差数列8,5,2,的第20项.(2) -401是不是等差数列-5，-9，-13的项？如果是，是第几项？2.在等差数列中,已知求首项与公差3.已知数列的前n项和公式(1)求数列的通项公式.(2)证明是等差数列.4.已知等差数列的前三项分别为(1)求的值.(2)求该数列的第10项.5.梯子最高一级宽33cm，最低一级宽为110cm，中间还有1
31、0级，各级的宽度成等差数列，计算中间各级的宽度。解设表示梯子自上而上各级宽度所成的等差数列，由已知条件，可知：a1=33, a12=110，n=12,即时10=33+11解之得：因此，答：梯子中间各级的宽度从上到下依次是40cm，47cm，54cm，61cm，68cm，75cm，82cm，89cm，96cm，103cm.四.小结五.作业1. 已知下列等差数列,求通项公式(1) 1,4,7,10(2) 32, 26, 20, 14(3) , , 2.已知等差数列中(1),求 (2),求,(3) 求n3.数列中,前n项和(1)求通项公式(2)证明是等差数列【探究】设是首项为m公差为d的等差数列，从
32、中选取数列的第项，（）构成一个新的数列，你能求出的通项公式吗？2.2.2 等差数列的证明及等差中项教学目的： 1）理解等差数列的中项及其表达式 2）掌握等差数列的证明及中项的应用 3）掌握等差数列的有关性质教学重点： 等差数列的证明教学难点： 等差数列的有关性质教学过程： 一：复习提问1）什么是等差数列？其通项公式是什么？2）什么是等差数列的中项？其表达式是什么？3）我们怎样证明一个数列是等差数列？4）等差数列的通项与一次函数有什么关系？5）讲评作业 二：引入新课1）怎样证明一个数列是等差数列？一般有两种途径：可以通过定义即证明如果有anan-1(n2)是同一个常数，则这个数列an就是等差数列
33、也可以通过等差中项来证明，即证明2an=an-1+an+1(n2)2）等差数列的基本性质有那些？ 若数列an是公差为d的等差数列，则有：）若m+n=p+q（m、n、p、qN*)，则am+an=ap+aq）若有k，则am+an=2ak，(m、n、kN*)）an是等差数列，则a1，a3，a5，a7，仍成等差数列（首项不一定选a1)）an是有穷数列，则与首末两项等距离的两项之和都相等，且等于首末两项之和即a1+an=a2+an-1=aiani 三：讲解例题例1：已知数列an的通项公式为anpn+q，其中p、q为常数，且p0，证明an是等差数列证明：由题意知：anan-1=(pn+q)p(n1)+q
34、=pn+q（pnp+q) =p(常数）（n2) 所以an是等差数列例2：（1）等差数列an中，a3+a9+a11+a15+a17=0，求a11（2）在等差数列an中，a3+a4+a5+a6+a7=450，求a2+a8的值解：（1）a3+a17=2a10=2(a11d)， a9+a15=2a12=2(a11+d)， (2a112d)+a11+a11+(2a11+2d)=0， a11=0（2）a5既是a3和a7的等差中项，也是a4和a6的等差中项，又是a2和a8的等差中项，a3+a4+a5+a6+a7=(a3+a7)+(a4+a6)+a5=5a5=450a5=90a2+a8=2a5=180四：课堂
35、练习1）教材2）直角三角形的三边a，b，c成等差数列，求abc3）三个数成等差数列，其积为48，平方和为56，求这三个数4）已知a，b，c成等差数列，求证a+b，a+c，b+c也成等差数列五：归纳总结1）对等差数列的证明进行总结2）对等差数列的性质进行总结3）对例题进行总结六：作业七：课后反思2.3 等差数列的前项和 教学目标（1）能熟练地应用等差数列前项和公式解决有关问题；（2）能利用数列通项公式与前项和之间的关系解决有关问题。教学重点，难点1等差数列前项和公式的应用；2数列通项公式与前项和之间的关系的应用。教学过程一问题情境1情境：已知等差数列中，任何求？（）二学生活动（1）求出和，再用等
36、差数列的通项公式求；（2）利用与的关系：（3）把等差数列的条件去掉，求。三数学运用1例题：例1（1）如果数列满足，（），求；（2）已知数列的前项和为，求解：（1）由题意：是公差为的等差数列，其首项为， ， （2）当时， 当时，所以，（）。例2等差数列与的前项和分别为和，且，求的值。解：， 所以，说明：若等差数列与的前项和分别为和，则例3在等差数列中，（1）该数列第几项开始为负？（2）前多少项和最大？（3）求前项和？解：设等差数列中，公差为，由题意得： （1）设第项开始为负， 所以从第项开始为负。（2）（法一）设前项和为，则，所以，当时，前17项和最大。（法二），则，所以（3），当时，当时，所以
37、，说明：（1），时，有最大值；，时，有最小值； （2）最值的求法：若已知，可用二次函数最值的求法（）；若已知，则最值时的值（）可如下确定或四回顾小结：1与的关系：2若等差数列与的前项和分别为和，则3（1），时，有最大值；，时，有最小值；（2）最值的求法：若已知，可用二次函数最值的求法（）；若已知，则最值时的值（）可如下确定或五课外作业： 补充：1已知数列成等差数列，且，求的值。 2数列的前项和，求证是等差数列。3设是等差数列的前项和，并对，求这个数列的通项公式及前前项和公式4数列是首项为23，公差为整数的AP数列，且， （1）求公差；（2）设前项和为，求的最大值；（3）当为正数时，求的最大值。
38、2.4.1 等比数列的概念教学目标（1）明确等比数列的概念及公比的概念；（2）掌握等比数列的通项公式。教学重点，难点（1）等比数列定义和等比数列通项公式一问题情境1情境：观察下面几个数列， （1）1，2，4，8，16，；（2），；（3）某轿车的售价约为万元，年折旧率约为，那么该车从购买当年算起，逐年的价值依次为 ；（4）某人年初投资元，如果年收益率是，那么按复利，年内各年末的本利和依次为 2问题：以上数列有何共同特点？二学生活动数列（1），从第二项起，每一项与它的前一项的比等于；数列（2），从第二项起，每一项与它的前一项的比等于；数列（3），从第二项起，每一项与它的前一项的比等于；数列（4），
39、从第二项起，每一项与它的前一项的比等于共同特点：从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数三建构数学1等比数列定义：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母表示，（注意：等比数列的公比和项都不为零）2等比数列的通项公式：由定义式可得：，若将上述个等式相乘，便可得：， 即：（n2）当时，左边，右边，所以等式成立，等比数列通项公式为：说明：1由等比数列的通项公式可以知道：当公比时该数列既是等比数列也是等差数列；3等比数列的图象：等比数列的通项公式是一个常数与指数式的乘积，表示这个数列的各点均在
40、函数的图象上（图象略）四数学运用1例题：例1判断下列数列是否为等比数列：（1）；（2）；解：（1）所给的数列是首项为，公比为的等比数列（2）因为不能作除数，所以这个数列不是等比数列例2已知是项数相同的等比数列，求证：是等比数列。证明：设数列的公比为；数列公比为，则数列的第 项和第项与第项的分别是，它们的比为是一个与无关的常数，所以，是以为公比的等比数列思考：如果一个数列的通项公式为，那么这个数列为等比数列数列吗？例3求出下列等比数列中的未知项：（1）； （2）解：（1）由题得 ，或（2）由题得 ， 或例4在和中间插入个数，使这个数成等比数列解：设插入的三个数为，由题得组成等比数列，设公比为，则，得所求的三数为或例5在等比数列中，（1）已知，求；（2）已知，求解：（1）由等比数列的通项公式得（2）设等比数列的公比为，那么，得， 2练习：五回顾小结：1等比数列的定义：；2等比数列的通项公式： 六课外作业：2.4.2等比数列的证明问题及性质应用目的要求： 1）掌握等比数列的证明及其通项公式 2）掌握等比数列的性质及其应用 3）能够建立等比数列的模型，应用等比数列的知识解决问题教学重点： 等比数列的证明及性质的应用教学难点： 等比数列模型的建立及其应用教学过程： 一：复习提问1）等比数列