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1、 东升学校高二数学组4 充分条件和必要条件（2）学习目标：（1）进一步理解并掌握充分条件、必要条件、充要条件的概念；（2）掌握判断命题的条件的充要性的方法；学习重点：理解充要条件的意义，掌握命题条件的充要性判断方法学习难点：理解充要条件的意义，掌握命题条件的充要性判断方法学习过程：一、课前准备：预习教材的内容，找出疑惑之处，并思考下列问题： （1）“”是“”的 充分不必要 条件（2）若、都是实数，从；中选出使、都不为的必要条件是 （3）判断下列命题的真假： 是的充分条件； （ 假 ） 是方程的必要条件； （ 真 ） 是的必要条件 （ 真 ）二、新课导学【例1】求关于的一元二次不等式对于一切实数
2、都成立的充要条件【分析】求一个问题的充要条件，就是把这个问题进行等价转化，转化为它的等价条件【解析】由题意可知，当时，不等式变为，对一切都成立；当时，不等式变为，若对于一切实数都成立，则等价于 所以，不等式对于一切实数都成立的充要条件是动动手：若是的充分不必要条件，是的充要条件，是的必要不充分条件，则是的什么条件？【分析】命题的充分必要性具有传递性，用推出符号表示它们的关系，则容易得出结论【解析】依题意，它们的关系是：，所以是的充分非必要条件【例2】证明：对于、，是的必要不充分条件【分析】要证明必要不充分条件，就是要证明两个，一个是必要条件，另一个是不充分条件【解析】必要性：对于、，如果，则，
3、即，故是的必要条件不充分性：对于、，如果，如，此时故是的不充分条件综上所述：对于、，是的必要不充分条件动动手：求证：二次方程有两个异号实数根的充要条件是与异号【分析】要证明充要性，必须要证明两个方面充分性和必要性这里的条件是“与异号”（记为），结论是“二次方程有两个异号实数根”（记为）证明充分性就是证明“”，证明必要性就是证明“”【证明】充分性： 若与异号，则， 于是，所以故方程有两个相异的实根； 又根据根与系数的关系及，知，所以、异号，故原方程有两个相异号实数根 必要性： 若方程有两个实数根异号，则，即，故与异号 综上所述：二次方程有两个异号实数根的充要条件是与异号【例3】已知p：；：、不都
4、是，是的什么条件？【分析】要证明是的什么条件，就是判断“若则”及“若则”的真假性如果从正面很难判断，我们就从它们的逆否命题来判断其真假性【解析】“若则”的逆否命题是“若、都是，则”，是真命题；所以，若则是真命题，即是的充分条件“若则”的逆否命题是“若，则、都是”，是假命题；所以，若则是假命题，即是的不必要条件故是的充分不必要条件动动手：已知p：或；q：或，则是的什么条件？【解析】方法一：由已知，可得： ，：显然是的充分不必要条件方法二：要考虑是的什么条件，就是判断“若则”及“若则”的真假性“若则”等价于“若q则p”是真命题；“若则”等价于“若p则q”是假命题故是的的充分不必要条件三、总结提升1
5、证明一个命题充要性，必须要证明两个方面充分性和必要性2当一个命题很难判断其真假性时，我们可以从其逆否命题来着手3要证明是的什么条件，就是判断“若，则”及“若，则”的真假性四、反馈练习1从“”、“”与“”中选出适当的符号填空：（1）；（2）；（3）；（4）.2 判断下列命题的真假：（1）“”是“”的充分条件； （ 假命题 ）（2）“”是“”的必要条件； （ 假命题 ）（3）“”是“”的必要条件； （ 真命题 ）（4）“是无理数”是“是无理数”的充分不必要条件；（ 假命题 ）（5）“”是“”的充分条件 （ 真命题 ）3下列命题中，是的什么条件？（1）：四边形的对角线相等，：四边形是平行四边形； （ 不充分不必要条件 ）（2）：，：函数是偶函数； （ 充要条件 ）（3）：，：； （ 充分不必要条件 ）（4）：，： （ 充要条件 ）4已知：；：（）若 是 的必要而不充分条件，求实数的取值范围【解析】由于是的必要不充分条件，则是的充分非必要条件， 于是可知，解得五、学后反思 第 4 页 共 4 页