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1、清华北大家教中心（），清华、北大校内勤工俭学机构，提供1对1上门家教一、选择题1二、 填空题8三、 解答题12四、 参考答案22一、选择题22二、 填空题22三、 解答题23一、选择题一、本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选择出符合题目要求的一项.1.10 集合，则= (A) 1,2 (B) 0,1,2 (C)x|0x0；. 当f(x)=lgx时，上述结论中正确结论的序号是 .14.10 如图放置的边长为1的正方形PABC沿x轴滚动。设顶点p（x，y）的轨迹方程是，则的最小正周期为 ；在其两个相邻零点间的图像与x轴所围区域的面积为 。14.9已知数列满足：则_；=
2、_。 14.8某校数学课外小组在坐标纸上，为学校的一块空地设计植树方案如下：第棵树种植在点处，其中，当时，表示非负实数的整数部分，例如，按此方案，第6棵树种植点的坐标应为 ；第2008棵树种植点的坐标应为 14.7已知函数，分别由下表给出123131123321则的值为；满足的的值是14.6 已知三点在球心为，半径为的球面上，且，那么两点的球面距离为_，球心到平面的距离为_.14.5 已知n次多项式, 如果在一种算法中，计算（k2，3，4，n）的值需要k1次乘法，计算的值共需要9次运算（6次乘法，3次加法），那么计算的值共需要 次运算 下面给出一种减少运算次数的算法：（k0， 1，2，n1）利
3、用该算法，计算的值共需要6次运算，计算的值共需要 次运算3、 解答题15.10 （本小题共13分） 已知函数。（）求的值；（）求的最大值和最小值。15.9（本小题共13分） 在中，角的对边分别为，。（I）求的值；（）求的面积。15.8（本小题共13分）已知函数（）的最小正周期为（）求的值；（）求函数在区间上的取值范围15.7（本小题共13分）数列中，（是常数，），且成公比不为的等比数列（I）求的值； （II）求的通项公式15.6（本小题共12分）已知函数，（）求的定义域；（）设是第四象限的角，且，求的值.15.5（本小题共13分） 已知函数f(x)=x33x29xa, （I）求f(x)的单调递
4、减区间；（II）若f(x)在区间2，2上的最大值为20，求它在该区间上的最小值16.10（本小题共14分） 如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，CEAC,EFAC,AB=，CE=EF=1.（）求证：AF平面BDE；（）求证：CF平面BDE；（）求二面角A-BE-D的大小。16.9（本小题共14分） 如图，在三棱锥中，底面，点，分别在棱上，且（I）求证：平面；（）当为的中点时，求与平面所成的角的大小；（）是否存在点使得二面角为直二面角？并说 明理由。16.8（本小题共14分）ACBP如图，在三棱锥中，（）求证：；（）求二面角的大小；（）求点到平面的距离16.7（本小题共14分
5、）如图，在中，斜边可以通过以直线为轴旋转得到，且二面角是直二面角动点的斜边上（I）求证：平面平面；（II）当为的中点时，求异面直线与所成角的大小；（III）求与平面所成角的最大值16.6（本小题共13分）已知函数在点处取得极大值，其导函数的图象经过点，如图所示.求：（）的值；（）的值.16.5（本小题共14分） 如图, 在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，ABAD2，DC2，AA1，ADDC，ACBD, 垂足未E， （I）求证：BDA1C； （II）求二面角A 1BDC 1的大小； （III）求异面直线 AD与 BC 1所成角的大小17.10 (本小题共13分) 某同学参加3门课程的考试。假
6、设该同学第一门课程取得优秀成绩的概率为，第二、第三门课程取得优秀成绩的概率分别为，()，且不同课程是否取得优秀成绩相互独立。记为该生取得优秀成绩的课程数，其分布列为0123()求该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率；()求，的值；()求数学期望。17.9（本小题共13分）某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，遇到红灯时停留的时间都是2min。（）求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率； （）求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间的分布列及期望。17.8（本小题共13分）甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到四个不同的岗位服务，每
7、个岗位至少有一名志愿者（）求甲、乙两人同时参加岗位服务的概率；（）求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率；（）设随机变量为这五名志愿者中参加岗位服务的人数，求的分布列17.7（本小题共14分）矩形的两条对角线相交于点，边所在直线的方程为，点在边所在直线上（I）求边所在直线的方程；（II）求矩形外接圆的方程；（III）若动圆过点，且与矩形的外接圆外切，求动圆的圆心的轨迹方程17.6（本小题共14分）如图，在底面为平行四边表的四棱锥中，平面，且，点是的中点.（）求证：；（）求证：平面；（）求二面角的大小.17.5（本小题共13分） 甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为，乙每次击中目标的概
8、率， （I）记甲击中目标的次数为，求的概率分布及数学期望E； （II）求乙至多击中目标2次的概率； （III）求甲恰好比乙多击中目标2次的概率18.10 (本小题共13分)已知函数-+(0)。()当时，求曲线在点处的切线方程；()求()的单调区间。18.9（本小题共13分）设函数（I）求曲线在点处的切线方程；（）求函数的单调区间；（）若函数在区间内单调递增，求的取值范围。18.8（本小题共13分）已知函数，求导函数，并确定的单调区间18.7（本小题共13分） 123 10 20 30 4050参加人数活动次数某中学号召学生在今年春节期间至少参加一次社会公益活动（以下简称活动）该校合唱团共有10
9、0名学生，他们参加活动的次数统计如图所示（I）求合唱团学生参加活动的人均次数；（II）从合唱团中任意选两名学生，求他们参加活动次数恰好相等的概率（III）从合唱团中任选两名学生，用表示这两人参加活动次数之差的绝对值，求随机变量的分布列及数学期望18.6（本小题共13分）某公司招聘员工，指定三门考试课程，有两种考试方案.方案一：考试三门课程，至少有两门及格为考试通过；方案二：在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格为考试通过.假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别是，且三门课程考试是否及格相互之间没有影响.（）分别求该应聘者用方案一和方案二时考试通过的概率；（）试比较该应聘者在上述两种方案
10、下考试通过的概率的大小.（说明理由）18.5（本小题共14分） 如图，直线 l1：ykx（k0）与直线l2：ykx之间的阴影区域（不含边界）记为W，其左半部分记为W1，右半部分记为W2（I）分别用不等式组表示W1和W2；（II）若区域W中的动点P(x，y)到l1，l2的距离之积等于d2，求点P的轨迹C的方程；（III）设不过原点O的直线l与（II）中的曲线C相交于M1，M2两点，且与l1，l2分别交于M3，M4两点求证OM1M2的重心与OM3M4的重心重合19.10 （本小题共14分）在平面直角坐标系xOy中，点B与点A（-1,1）关于原点O对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于.()
11、求动点P的轨迹方程；()设直线AP和BP分别与直线x=3交于点M,N，问：是否存在点P使得PAB与PMN的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由。19.9（本小题共14分）已知双曲线的离心率为，右准线方程为（I）求双曲线的方程；（）设直线是圆上动点处的切线，与双曲线交于不同的两点，证明的大小为定值。19.8（本小题共14分）已知菱形的顶点在椭圆上，对角线所在直线的斜率为1（）当直线过点时，求直线的方程；2r（）当时，求菱形面积的最大值19.7（本小题共13分）如图，有一块半椭圆形钢板，其半轴长为，短半轴长为，计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底是半椭圆的短轴，上底的端点在椭圆上
12、，记，梯形面积为（I）求面积以为自变量的函数式，并写出其定义域；（II）求面积的最大值19.6（本小题共14分） 已知点，动点满足条件.记动点的轨迹为.（）求的方程；（）若是上的不同两点，是坐标原点，求的最小值.19.5（本小题共12分）设数列an的首项a1=a，且, 记，nl，2，3，（I）求a2，a3；（II）判断数列bn是否为等比数列，并证明你的结论；（III）求20.10 （本小题共13分）已知集合.对于，定义A与B的差为A与B之间的距离为（）证明：，且;（）证明：三个数中至少有一个是偶数() 设P，P中有m(m2)个元素，记P中所有两元素间距离的平均值为(P). 证明：(P).20.
13、9（本小题共13分） 已知数集具有性质；对任意的，与两数中至少有一个属于。（I）分别判断数集与是否具有性质，并说明理由；（）证明：，且（）证明：当时，成等比数列。20.8（本小题共13分）对于每项均是正整数的数列，定义变换，将数列变换成数列对于每项均是非负整数的数列，定义变换，将数列各项从大到小排列，然后去掉所有为零的项，得到数列；又定义设是每项均为正整数的有穷数列，令（）如果数列为5，3，2，写出数列；（）对于每项均是正整数的有穷数列，证明；（）证明：对于任意给定的每项均为正整数的有穷数列，存在正整数，当时，20.7已知集合，其中，由中的元素构成两个相应的集合：，其中是有序数对，集合和中的元
14、素个数分别为和若对于任意的，总有，则称集合具有性质（I）检验集合与是否具有性质并对其中具有性质的集合，写出相应的集合和；（II）对任何具有性质的集合，证明：；（III）判断和的大小关系，并证明你的结论20.6本小题共14分）在数列中，若是正整数，且，则称为“绝对差数列”.（）举出一个前五项不为零的“绝对差数列”（只要求写出前十项）；（）若“绝对差数列”中，数列满足，分别判断当时，与的极限是否存在，如果存在，求出其极限值；（）证明：任何“绝对差数列”中总含有无穷多个为零的项.20.5（本小题共14分） 设f(x)是定义在0, 1上的函数，若存在x*(0，1)，使得f(x)在0, x*上单调递增，
15、在x*，1上单调递减，则称f(x)为0, 1上的单峰函数，x*为峰点，包含峰点的区间为含峰区间 对任意的0，l上的单峰函数f(x)，下面研究缩短其含峰区间长度的方法（I）证明：对任意的x1，x2(0，1)，x1x2，若f(x1)f(x2)，则(0，x2)为含峰区间；若f(x1)f(x2)，则(x*，1)为含峰区间；（II）对给定的r（0r0.5），证明：存在x1，x2(0，1)，满足x2x12r，使得由（I）所确定的含峰区间的长度不大于 0.5r；（III）选取x1，x2(0, 1)，x1x2，由（I）可确定含峰区间为(0，x2)或(x1，1)，在所得的含峰区间内选取x3，由x3与x1或x3与
16、x2类似地可确定一个新的含峰区间在第一次确定的含峰区间为(0，x2)的情况下，试确定x1，x2，x3的值，满足两两之差的绝对值不小于0.02，且使得新的含峰区间的长度缩短到0.34.（区间长度等于区间的右端点与左端点之差）4、 参考答案一、选择题 1.10 B 1.9：B 1.8：D 1.7：C 1.6：D 1.5：C 2.10 C 2.9：D 2.8：A 2.7：B 2.6：C 2.5：B 3.10 C 3.9：C 3.8：B 3.7：D 3.6：B 3.5：C 4.10 A 4.9：D 4.8：D 4.7：A 4.6：A 4.5：B 5.10 C 5.9：A 5.8：B 5.7：B 5.6
17、：C 5.5：D 6.10 B 6.9：C 6.8：C ? 6.7：D 6.6：A 6.5：C 7.10 A 7.9：B 7.8：C 7.7：A 7.6：D ?7.5：A 8.10 D *8.9：A 8.8：B 8.7：D 8.6：C 8.5：A18 填空题9.10: （-1,1） 9.9： 9.8： 9.7： 9.6： 9.5：10.10: 1 ?10.9：-6 10.8：0 10.7： 10.6：14 10.5：11.10: 0.030 3 11.9：-1 11.8：5 ?11.7： 11.6： 11.5：12.10:5 12.9： 12.8：2 -2 12.7： 12,6： 12.5：
18、13.10:（，0） 13.9：-3,1 13.8： 13.7： 13.6： 13.5： 14.10:4 14.9：1，0 14.8： 14.7：1 2 14.6： 14.5：n(n3)；2n 19 解答题15.10. （15）（共13分）解：（I） （II） =, 因为， 所以，当时，取最大值6；当时，取最小值15.9（本小题共13分）（）. （）由（）知， ABC的面积.15.8（共13分）解：（）（）的取值范围为15.7（共13分）解：（I）（II）15.6（共12分）（）f(x)的定义域为（）15.5共13分） 解：（I）函数f(x)的单调递减区间为（，1），（3，） （II） 即函数
19、f(x)在区间2，2上的最小值为716.10.（共14分）(I) 略（II）因为正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面 相互垂直，且CEAC， 所以CE平面ABCD. 如图，以C为原点，建立空间直角坐标系C-.则C（0，0，0），A（，0），B（0，0）,D(, 0, 0)，E(0, 0, 1)， .所以，.所以,所以,. 所以BDE.(III)二面角的大小为.16.9（本小题共14分） （）略（）与平面所成的角的大小.（）在棱PC上存在一点E，使得AEPC，这时，故存在点E使得二面角是直二面角.16.8（共14分）（）略（）二面角的大小为（）点到平面的距离为16.7（共14分）（I）略（I
20、I）异面直线与所成角的大小为（III）CD与平面所成角的最大值为16.6（共13分）（）。（）a=2，b= -9，c=1216.5（共14分）（I）略（II）二面角A1BDC1的大小为90（III）异面直线AD与BC1所成角的大小为1. 17.10 （共13分） 解：事件表示“该生第门课程取得优秀成绩”，=1,2,3，由题意知 ，（I）由于事件“该生至少有1门课程取得优秀成绩”与事件“”是对立的，所以该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率是 ，（II）由题意知 整理得 ，由，可得，.（III）由题意知 = = 17.9（本小题共13分）（）.（）02468的期望是.17.8（共13分）解：（）记
21、甲、乙两人同时参加岗位服务为事件，那么，即甲、乙两人同时参加岗位服务的概率是（）记甲、乙两人同时参加同一岗位服务为事件，那么，所以，甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是（）随机变量可能取的值为1，2事件“”是指有两人同时参加岗位服务，13则所以，的分布列是17.7（共14分）解：（I）边所在直线的方程为即 （II）矩形外接圆的方程为（III）动圆的圆心的轨迹方程为17.6（共14分）（）略 （）略（）二面角的大小为0123P17.5（共13分）解：（I） 的概率分布如下表： E , （或E=3=1.5）； （II）乙至多击中目标2次的概率为1=； （III）甲恰好比乙多击中目标2次的概率为.18
22、.10 （共13分）解：（I）当时， 由于， 所以曲线在点处的切线方程为 即 （II），. 当时，. 所以，在区间上，；在区间上，. 故得单调递增区间是，单调递减区间是. 当时，由，得，所以，在区间和上，；在区间上， 故得单调递增区间是和，单调递减区间是. 当时，故得单调递增区间是.当时，得，.所以,在区间和上，；在区间上，故得单调递增区间是和，单调递减区间是18.9（本小题共13分） （）曲线在点处的切线方程为.（）由，得，若，则当时，函数单调递减， 当时，函数单调递增， 若，则当时，函数单调递增， 当时，函数单调递减，（）综上可知，函数内单调递增时，的取值范围是.18.8（共13分）解：
23、令，得当，即时，的变化情况如下表：0当，即时，的变化情况如下表：0所以，当时，函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减当时，函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减当，即时，所以函数在上单调递减，在上单调递减18.7（共13分）解：（I）该合唱团学生参加活动的人均次数为（II）的分布列：012的数学期望：18.6（共13分）解：（）应聘者用方案一考试通过的概率 应聘者用方案二考试通过的概率（）因为， ，即采用第一种方案，该应聘者考试通过的概率较大。18.5（共14分）解：（I）W1=(x, y)| kxykx, x0，W2=(x, y)| kxy0， （II）动点P的轨迹C的方程为； （III）略3 19.10 （共14分）（I）解：因为点B与A关于原点对称，所以点得坐标为. 设点的坐标为 由题意得 化简得 .