[高考]20052006年高考数学试题之数列.doc

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1、2005年高考题分章节汇编第三章 数列一、选择题1(2005年高考福建卷理2文3)已知等差数列中，则的值是(A)A15B30C31D642(2005年高考湖南卷文5)已知数列满足，则=（ B ）A0BCD3(2005年高考江苏卷3)在各项都为正数的等比数列中，首项，前三项和为21，则（C）A33B72C84D1894(2005年高考山东卷文1)使首项，公差的等差数列，如果，则序号等于 （ C）A667B668C669D6705(2005年高考全国卷II文7)如果数列是等差数列，则（ B ）ABCD6(2005年高考全国卷II理11) 如果，为各项都大于零的等差数列，公差，则 ( B )ABC+

2、D=二、填空题1. (2005年春考上海卷9)设数列的前项和为（）. 关于数列有下列三个命题：（1）若既是等差数列又是等比数列，则；（2）若，则是等差数列；（3）若，则是等比数列. 这些命题中，真命题的序号是 . （1）、（2）、（3）2. (2005年春考上海卷12)已知函数，数列的通项公式是（），当取得最小值时， . 1103(2005年高考北京卷理14)已知n次式项式. 如果在一种算法中，计算的值需要k1次乘法，计算P3（x0）的值共需要9次运算（6次乘法，3次加法），那么计算Pn（x0）（文科P10（x0）的值共需要 次运算.下面给出一种减少运算次数的算法：P0（x）=a0，Pk+1（

3、x）=xPk（x）+ak+1（k=0，1，2，n1）.利用该算法，计算P3（x0）的值共需要6次运算，计算Pn（x0）（文科P10（x0）的值共需要 次运算.理科 文科 65 204(2005年高考上海卷理12填空题文16选择题)用个不同的实数可得到个不同的排列，每个排列为一行写成一个行的数阵.对第行，记，.例如：用1，2，3可得数阵如图，由于此数阵中每一列各数之和都是12，所以，那么，在用1，2，3，4，5形成的数阵中，=_.1080（文）A3600 B1800 C1080 D7205(2005年高考湖北卷理15)设等比数列的公比为q，前n项和为Sn，若Sn+1,Sn，Sn+2成等差数列，则

4、q的值为 .2 6(2005年高考天津卷理13)在数列an中, a1=1, a2=2,且，则=_ _.26007(2005年高考天津卷文14)在数列an中，a1=1，a2=2，且N*)则S10=_358(2005年高考全国卷II文13)在之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积为 . 216三、解答题1（本小题满分14分）(2005年春考北京卷理17)已知是等比数列，；是等差数列，（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和的公式；（3）设，其中，试比较与的大小，并证明你的结论本小题主要考查等差数列、等比数列等基本知识，考查逻辑思维能力，分析问题和解决问题的能力满分14分解：

5、（）设an的公比为q，由a3=a1q2得 （）（）b1,b4,b7,b3n-2组成以3d为公差的等差数列，所以2（本小题满分14分）(2005年春考北京卷文17)已知是等比数列，；是等差数列， （1）求数列的通项公式及前n项和Sn的公式；（2）求数列的通项公式；（3）设本小题主要考查等差数列、等比数列等基本知识，考查逻辑思维能力，分析问题和解决问题的能力满分14分解：（）设an的公比为q， （）设数列bn的公差为d， （）b1,b4,b7,b3n-2组成以3d为公差的等差数列，所以3. (本题满分14分) (2005年春考上海卷20)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分. 某市

6、2004年底有住房面积1200万平方米，计划从2005年起，每年拆除20万平方米的旧住房. 假定该市每年新建住房面积是上年年底住房面积的5%. （1）分别求2005年底和2006年底的住房面积； （2）求2024年底的住房面积.（计算结果以万平方米为单位，且精确到0.01） 解（1）2005年底的住房面积为 （万平方米）, 2006年底的住房面积为 （万平方米） 2005年底的住房面积为1240万平方米，2006年底的住房面积约为1282万平方米. 6分 （2）2024年底的住房面积为 10分 （万平方米） 2024年底的住房面积约为2522.64万平方米. 14分4（本小题共12分）(200

7、5年高考北京卷理19)设数列 记 （）求a2，a3； （）判断数列是否为等比数列，并证明你的结论； （）求解：（）（）因为所以猜想：是公比为的等比数列.证明如下： 因为所以是首项为的等比数列.（）5（本小题共13分）(2005年高考北京卷文17)数列的前n项和为Sn，且，求： （）的值及数列的通项公式；（）的值.解：（）由（）由（I）可知a2，a4，a2n，是首项为公比为（）2，项数为n的等比数列，所以6（本题满分14分）(2005年高考上海卷理20文20)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.假设某市2004年新建住房面积400万平方米，其中有250万平方米是中低价房.预计在

8、今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外，每年新建住房中，中低价房的面积均比上一年增加50万平方米.那么，到哪一年底，（1）该市历年所建中低价层的累计面积（以2004年为累计的第一年）将首次不少于4750万平方米？（2）当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%？解：（1）设中低价房面积形成数列，由题意可知是等差数列，其中a1=250，d=50，则 令 即到2013年底，该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4750万平方米.（2）设新建住房面积形成数列bn，由题意可知bn是等比数列，其中b1=400，q=1.08， 则bn=400(1.08)n1

9、由题意可知有250+(n1)50400 (1.08)n1 0.85.由计算器解得满足上述不等式的最小正整数n=6，到2009年底，当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%.7（本小题满分14分）(2005年高考福建卷理22)已知数列an满足a1=a, an+1=1+我们知道当a取不同的值时，得到不同的数列，如当a=1时，得到无穷数列：（）求当a为何值时a4=0；（）设数列bn满足b1=1, bn+1=，求证a取数列bn中的任一个数，都可以得到一个有穷数列an；（）若，求a的取值范围.本小题主要考查数列、不等式等基础知识，考试逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力.满分14

10、分. （I）解法一： 故a取数列bn中的任一个数，都可以得到一个有穷数列an8（本小题满分12分）(2005年高考福建卷文19)已知是公比为q的等比数列，且成等差数列. （）求q的值；（）设是以2为首项，q为公差的等差数列，其前n项和为Sn，当n2时，比较Sn与bn的大小，并说明理由.本小题主要考查等差数列，等比数列及不等式的基本知识，考查利用分类讨论思想分析问题和解决问题的能力. 满分12分.（）由题设 （）若当 故若当故对于9（本小题满分12分）(2005年高考湖北卷文19)设数列的前n项和为Sn=2n2，为等比数列，且 （）求数列和的通项公式； （）设，求数列的前n项和Tn.本小题主要考

11、查等差数列、等比数列基本知识和数列求和的基本方法以及运算能力.解：（1）：当故an的通项公式为的等差数列.设bn的通项公式为故（II）两式相减得10（本小题满分12分）(2005年高考湖南卷文16)已知数列为等差数列，且 （）求数列的通项公式； （）证明（I）解：设等差数列的公差为d. 由即d=1.所以即（II）证明因为，所以 11（本小题满分12分）(2005年高考江西卷理21)已知数列（1）证明（2）求数列的通项公式an.解：（1）方法一 用数学归纳法证明：1当n=1时， ，命题正确.2假设n=k时有 则 而又时命题正确.由1、2知，对一切nN时有方法二：用数学归纳法证明：1当n=1时，；

12、 2假设n=k时有成立， 令，在0，2上单调递增，所以由假设有：即也即当n=k+1时 成立，所以对一切 （2）下面来求数列的通项：所以,又bn=1，所以12（本小题满分14分）(2005年高考江西卷文22)已知数列an的前n项和Sn满足SnSn2=3求数列an的通项公式.解：方法一：先考虑偶数项有： 同理考虑奇数项有：综合可得方法二：因为两边同乘以，可得：令所以 13（本小题满分12分）(2005年高考重庆卷文22)数列记 （）求b1、b2、b3、b4的值； （）求数列的通项公式及数列的前n项和解法一：（I）（II）因，故猜想因，（否则将代入递推公式会导致矛盾）故的等比数列., 解法二：（）由

13、整理得（）由所以解法三：（）同解法一（） 从而14（本小题满分14分，第一小问满分2分，第二、第三满分各6分）(2005年高考江苏卷23)设数列的前n项和为，已知且，其中A，B为常数。（）求A与B的值；（）证明数列为等差数列；（）证明不等式对任何正整数m、n都成立。（23）（）由已知，得，由，知，即解得.() 由（）得 所以 -得 所以 -得 。因为 所以 因为 所以 所以 ， 又 所以数列为等差数列。（）由() 可知， 要证 只要证 ，因为 ，故只要证 ，即只要证 ，因为 所以命题得证。15(2005年高考浙江卷文16)已知实数a，b，c成等差数列，a1，了1，c4成等比数列，求a，b，c解

14、：由题意，得由（1）（2）两式，解得将代入（3），整理得16(2005年高考浙江卷理20)设点(，0)，和抛物线：yx2an xbn(nN*)，其中an24n，由以下方法得到： x11，点P2(x2，2)在抛物线C1：yx2a1xb1上，点A1(x1，0)到P2的距离是A1到C1上点的最短距离，点在抛物线：yx2an xbn上，点(，0)到的距离是 到 上点的最短距离 ()求x2及C1的方程 ()证明是等差数列解：（）由题意得，设点是上任意一点，则令则由题意得，即又在上，解得故的方程为()设点是上任意一点，则令则由题意得即又，即下面用数学归纳法证明，当时，等式成立；假设当时，等式成立，即，则当

15、时，由知，又，即时，等式成立由知，等式对成立，故是等差数列已知数列的首项前项和为，且（I）证明数列是等比数列；（II）令，求函数在点处的导数17（本小题满分12分）(2005年高考山东卷理21文21)已知数列的首项前项和为，且（I）证明数列是等比数列；（II）令，求函数在点处的导数，（以下为理科做）并比较与的大小.解：由已知可得两式相减得即从而当时所以又所以从而故总有，又从而即数列是等比数列；（II）由（I）知因为所以从而=-=由上-=12当时，式=0所以；当时，式=-12所以当时，又所以即从而18(本小题满分12分) (2005年高考天津卷文18)若公比为c的等比数列的首项且满足(n=3,4

16、,)()求c的值；()求数列的前n项和解：()解：由题设，当时，由题设条件可得，因此，即解得c1或()解：由()，需要分两种情况讨论，当c1时，数列是一个常数列，即 (nN*)这时，数列的前n项和当时，数列是一个公比为的等比数列，即 (nN*)这时，数列的前n项和 式两边同乘，得式减去式，得所以(nN*)19（本小题满分12分）(2005年高考天津卷理18)已知.（）当时，求数列的前n项和；（）求.本小题主要考查等差数列和等比数列的前n项和公式、求数列的前n项和的基本方法、求数列的极限等基础知识，考查运算能力. 满分12分.（I）解：当，这时数列的前n项和 式两边同乘以，得 式减去式，得 若，

17、 .若，（II）解：由（I），当时，则当时，此时，若，.若20（本小题满分12分）(2005年高考全国卷理19)设等比数列的公比为q，前n项和Sn0（n=1，2，） （1）求q的取值范围； （2）设记的前n项和为Tn，试比较Sn和Tn的大小.本小题主要考查等比数列的基本知识，考查分析问题能力和推理能力，满分12分.解：（）因为是等比数列，当上式等价于不等式组： 或 解式得q1；解，由于n可为奇数、可为偶数，得1q2时，=0，所以m=233（湖北卷）已知二次函数的图像经过坐标原点，其导函数为，数列的前n项和为，点均在函数的图像上。（）、求数列的通项公式；（）、设，是数列的前n项和，求使得对所有都

18、成立的最小正整数m；点评：本小题考查二次函数、等差数列、数列求和、不等式等基础知识和基本的运算技能，考查分析问题的能力和推理能力。解：（）设这二次函数f(x)ax2+bx (a0) ,则 f(x)=2ax+b,由于f(x)=6x2,得a=3 , b=2, 所以 f(x)3x22x.又因为点均在函数的图像上，所以3n22n.当n2时，anSnSn1（3n22n）6n5.当n1时，a1S13122615，所以，an6n5 （）（）由（）得知，故Tn（1）.因此，要使（1）（）成立的m,必须且仅须满足，即m10，所以满足要求的最小正整数m为10.34（湖北卷）设数列的前n项和为，点均在函数y3x2的

19、图像上。（）求数列的通项公式；（）设，是数列的前n项和，求使得对所有都成立的最小正整数m。本小题主要是考查等差数列、数列求和、不等式等基础知识和基本的运算技能，考查分析问题能力和推理能力。解：（I）依题意得，即。当n2时，a;当n=1时，-21-1-61-5所以。（II）由（I）得，故=。因此，使得成立的m必须满足，即m10,故满足要求的最小整数m为10。35（湖南卷）在m（m2）个不同数的排列P1P2Pn中，若1ijm时PiPj（即前面某数大于后面某数），则称Pi与Pj构成一个逆序. 一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数. 记排列的逆序数为an，如排列21的逆序数，排列321的逆序数.

20、（）求a4、a5，并写出an的表达式；（）令，证明，n=1,2,.解（）由已知得，.（）因为，所以. 又因为，所以 =.综上，.36（江苏卷）设数列、满足：，（n=1,2,3,），证明为等差数列的充分必要条件是为等差数列且（n=1,2,3,）本小题主要考查等差数列、充要条件等基础知识，考查综合运用数学知识分析问题、解决问题的能力。证明：必要性，设是an公差为d1的等差数列，则bn+1bn=(an+1an+3) (anan+2)= (an+1an) (an+3an+2)= d1 d1=0所以bnbn+1 ( n=1,2,3,)成立。又cn+1cn=(an+1an)+2 (an+2an+1)+3

21、(an+3an+2)= d1+2 d1 +3d1 =6d1(常数) ( n=1,2,3,)所以数列cn为等差数列。充分性： 设数列cn是公差为d2的等差数列，且bnbn+1 ( n=1,2,3,)cn=an+2an+1+3an+2 cn+2=an+2+2an+3+3an+4 -得cncn+2=（anan+2）+2 (an+1an+3)+3 (an+2an+4)=bn+2bn+1+3bn+2cncn+2=( cncn+1)+( cn+1cn+2)= 2 d2 bn+2bn+1+3bn+2=2 d2 从而有bn+1+2bn+2+3bn+3=2 d2 -得（bn+1bn）+2 (bn+2bn+1)+3 (bn+3bn+2)=0 bn+1bn0, bn+2bn+10 , bn+3bn+20,由得bn+1bn=0 ( n=1,2,3,)，由此不妨设bn=d3 ( n=1,2,3,)则anan+2= d3(常数).由此cn=an+2an+1+3an+2= cn=4an+2an+13d3