[高考]word版2007-湖南高考理科数学试卷和答案word版.doc

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1、2007年普通高等学校招生全国统一考试湖南卷数学理工农医类一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1复数等于（ ）ABCD2不等式的解集是（ ）ABCD3设是两个集合，则“”是“”的（ ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分又不必要条件4设是非零向量，若函数的图象是一条直线，则必有（ ）ABCD5设随机变量服从标准正态分布，已知，则=（ ）A0.025B0.050C0.950D0.9756函数的图象和函数的图象的交点个数是（ ）A4B3C2D17下列四个命题中，不正确的是（ ）A若函数在处连续，则B函数的不连续点是

2、和C若函数，满足，则D8棱长为1的正方体的8个顶点都在球的表面上，分别是棱，的中点，则直线被球截得的线段长为（ ）ABCD9设分别是椭圆（）的左、右焦点，若在其右准线上存在使线段的中垂线过点，则椭圆离心率的取值范围是（ ）ABCD10设集合， 都是的含两个元素的子集，且满足：对任意的，（，），都有（表示两个数中的较小者），则的最大值是（ ）A10B11C12D13二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分把答案填在横线上11圆心为且与直线相切的圆的方程是 12在中，角所对的边分别为，若，b=，则 13函数在区间上的最小值是 14设集合，（1）的取值范围是 ；（2）若，且的最大值为9，则的

3、值是 15将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，得到如图1所示的0-1三角数表从上往下数，第1次全行的数都为1的是第1行，第2次全行的数都为1的是第3行，第次全行的数都为1的是第 行；第61行中1的个数是 第1行 1 1第2行 1 0 1第3行 1 1 1 1 第4行 1 0 0 0 1 第5行 1 1 0 0 1 1 图1三、解答题：本大题共6小题，共75分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16（本小题满分12分）已知函数，（I）设是函数图象的一条对称轴，求的值（II）求函数的单调递增区间17（本小题满分12分）某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高下岗人员的再就业能力，每名下

4、岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训，已知参加过财会培训的有60%，参加过计算机培训的有75%，假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响（I）任选1名下岗人员，求该人参加过培训的概率；（II）任选3名下岗人员，记为3人中参加过培训的人数，求的分布列和期望18（本小题满分12分）如图2，分别是矩形的边的中点，是上的一点，将，分别沿翻折成，并连结，使得平面平面，且连结，如图3AEBCFDG图2图3（I）证明：平面平面；（II）当，时，求直线和平面所成的角19（本小题满分12分）如图4，某地为了开发旅游资源，欲修建一条连接风景点和居民区的公路，点所在的山坡

5、面与山脚所在水平面所成的二面角为（），且，点到平面的距离（km）沿山脚原有一段笔直的公路可供利用从点到山脚修路的造价为万元/km，原有公路改建费用为万元/km当山坡上公路长度为km（）时，其造价为万元已知，（I）在上求一点，使沿折线修建公路的总造价最小；（II） 对于（I）中得到的点，在上求一点，使沿折线修建公路的总造价最小（III）在上是否存在两个不同的点，使沿折线修建公路的总造价小于（II）中得到的最小总造价，证明你的结论AEDBHP20（本小题满分12分）已知双曲线的左、右焦点分别为，过点的动直线与双曲线相交于两点（I）若动点满足（其中为坐标原点），求点的轨迹方程；（II）在轴上是否存在

6、定点，使为常数？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由21（本小题满分13分）已知（）是曲线上的点，是数列的前项和，且满足，（I）证明：数列（）是常数数列；（II）确定的取值集合，使时，数列是单调递增数列；（III）证明：当时，弦（）的斜率随单调递增2007年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学（理工农医类）参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1C 2D 3B 4A 5C 6B 7C 8D 9D 10B二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分把答案填在横线上11121314（1）（2）15，32三、解答题

7、：本大题共6小题，共75分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16解：（I）由题设知因为是函数图象的一条对称轴，所以，即（）所以当为偶数时，当为奇数时，（II）当，即（）时，函数是增函数，故函数的单调递增区间是（）17解：任选1名下岗人员，记“该人参加过财会培训”为事件，“该人参加过计算机培训”为事件，由题设知，事件与相互独立，且，（I）解法一：任选1名下岗人员，该人没有参加过培训的概率是所以该人参加过培训的概率是解法二：任选1名下岗人员，该人只参加过一项培训的概率是该人参加过两项培训的概率是所以该人参加过培训的概率是（II）因为每个人的选择是相互独立的，所以3人中参加过培训的人数服从二项分

8、布，即的分布列是01230.0010.0270. 2430.729的期望是（或的期望是）18解：解法一：（）因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以平面平面（II）过点作于点，连结由（I）的结论可知，平面，所以是和平面所成的角因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，故因为，所以可在上取一点，使，又因为，所以四边形是矩形由题设，则所以，因为平面，所以平面，从而故，又，由得故即直线与平面所成的角是解法二：（I）因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，从而又，所以平面因为平面，所以平面平面（II）由（I）可知，平面故可以为原点，分别以直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系（如图），由题设，则

9、，相关各点的坐标分别是，所以，设是平面的一个法向量，由得故可取过点作平面于点，因为，所以，于是点在轴上因为，所以，设（），由，解得，所以设和平面所成的角是，则故直线与平面所成的角是19解：（I）如图，由三垂线定理逆定理知，所以是山坡与所成二面角的平面角，则，设，则记总造价为万元，据题设有当，即时，总造价最小（II）设，总造价为万元，根据题设有则，由，得当时，在内是减函数；当时，在内是增函数故当，即（km）时总造价最小，且最小总造价为万元（III）解法一：不存在这样的点，事实上，在上任取不同的两点，为使总造价最小，显然不能位于 与之间故可设位于与之间，且=，总造价为万元，则类似于（I）、（II）

10、讨论知，当且仅当，同时成立时，上述两个不等式等号同时成立，此时，取得最小值，点分别与点重合，所以不存在这样的点 ，使沿折线修建公路的总造价小于（II）中得到的最小总造价解法二：同解法一得当且仅当且，即同时成立时，取得最小值，以上同解法一20解：由条件知，设，解法一：（I）设，则则，由得即于是的中点坐标为当不与轴垂直时，即又因为两点在双曲线上，所以，两式相减得，即将代入上式，化简得当与轴垂直时，求得，也满足上述方程所以点的轨迹方程是（II）假设在轴上存在定点，使为常数当不与轴垂直时，设直线的方程是代入有则是上述方程的两个实根，所以，于是因为是与无关的常数，所以，即，此时=当与轴垂直时，点的坐标可

11、分别设为，此时故在轴上存在定点，使为常数解法二：（I）同解法一的（I）有当不与轴垂直时，设直线的方程是代入有则是上述方程的两个实根，所以 由得当时，由得，将其代入有整理得当时，点的坐标为，满足上述方程当与轴垂直时，求得，也满足上述方程故点的轨迹方程是（II）假设在轴上存在定点点，使为常数，当不与轴垂直时，由（I）有，以上同解法一的（II）21解：（I）当时，由已知得因为，所以 于是 由得 于是 由得， 所以，即数列是常数数列（II）由有，所以由有，所以，而 表明：数列和分别是以，为首项，6为公差的等差数列，所以，数列是单调递增数列且对任意的成立且即所求的取值集合是（III）解法一：弦的斜率为任

12、取，设函数，则记，则，当时，在上为增函数，当时，在上为减函数，所以时，从而，所以在和上都是增函数由（II）知，时，数列单调递增，取，因为，所以取，因为，所以所以，即弦的斜率随单调递增解法二：设函数，同解法一得，在和上都是增函数，所以，故，即弦的斜率随单调递增2008高考湖南理科数学试题及详解(word版)一、选择题:本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1复数等于( )A.8 B.8 C.8iD.8i 【答案】D【解析】由,易知D正确. 2“成立”是“成立”的( )A充分不必要条件 B.必要不充分条件C充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

13、【答案】B【解析】由得，由得，所以易知选B.3.已知变量x、y满足条件则的最大值是( )A.2 B.5C.6D.8【答案】C【解析】如图得可行域为一个三角形，其三个顶点分别为代入验证知在点时,最大值是故选C. 4.设随机变量服从正态分布,若,则c= ( )A.1 B.2 C.3D.4【答案】B【解析】 解得=2, 所以选B.5.设有直线m、n和平面、.下列四个命题中，正确的是( )A.若m,n,则mnB.若m,n,m,n,则C.若，m,则mD.若，m，m,则m【答案】D 【解析】由立几知识,易知D正确.6.函数在区间上的最大值是( )A.1 B. C. D.1+【答案】C【解析】由, 故选C.

14、7.设D、E、F分别是ABC的三边BC、CA、AB上的点，且则与( )A.反向平行B.同向平行C.互相垂直D.既不平行也不垂直 【答案】A【解析】由定比分点的向量式得:以上三式相加得所以选A.8.若双曲线（a0,b0）上横坐标为的点到右焦点的距离大于它到左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围是( )A.(1,2) B.(2,+) C.(1,5) D. (5,+)【答案】B【解析】或(舍去),故选B.9.长方体ABCDA1B1C1D1的8个顶点在同一球面上，且AB=2,AD=,AA1=1,则顶点A、B间的球面距离是( )A.2B.C.D. 【答案】C【解析】设则故选C.10.设x表示不超过x的最

15、大整数（如2=2, =1）,对于给定的nN*,定义x,则当x时，函数的值域是( )A.B.C.D.【答案】D 【解析】当x时，当时， 所以;当时，当时， 故函数的值域是.选D.二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。把答案填在对应题号后的横线上。11.【答案】 【解析】12.已知椭圆（ab0）的右焦点为F,右准线为,离心率e=过顶点A(0,b)作AM,垂足为M，则直线FM的斜率等于 .【答案】 【解析】13.设函数存在反函数,且函数的图象过点(1,2),则函数的图象一定过点 .【答案】(-1,2)【解析】由函数的图象过点(1,2)得: 即函数过点 则其反函数过点所以函数的图象一定过点

16、14.已知函数（1）若a0,则的定义域是 ;(2) 若在区间上是减函数，则实数a的取值范围是 .【答案】 , 【解析】（1）当a0时，由得,所以的定义域是; (2) 当a1时，由题意知;当0a1时，为增函数,不合; 当a40=AQ，所以点Q位于点A和点E之间，且QE=AE-AQ=15.过点E作EP BC于点P，则EP为点E到直线BC的距离.在Rt中，PE=QEsin=所以船会进入警戒水域.20.（本小题满分13分）若A、B是抛物线y2=4x上的不同两点，弦AB（不平行于y轴）的垂直平分线与x轴相交于点P，则称弦AB是点P的一条“相关弦”.已知当x2时，点P（x,0）存在无穷多条“相关弦”.给定

17、x02.（I）证明：点P（x0,0）的所有“相关弦”的中点的横坐标相同；(II) 试问：点P（x0,0）的“相关弦”的弦长中是否存在最大值？若存在，求其最大值（用x0表示）：若不存在，请说明理由.解: （I）设AB为点P（x0,0）的任意一条“相关弦”，且点A、B的坐标分别是（x1,y1）、（x2,y2）（x1x2）,则y21=4x1, y22=4x2,两式相减得（y1+y2）（y1-y2）=4（x1-x2）.因为x1x2,所以y1+y20.设直线AB的斜率是k，弦AB的中点是M（xm, ym）,则k=.从而AB的垂直平分线l的方程为 又点P（x0,0）在直线上，所以 而于是故点P（x0,0）

18、的所有“相关弦”的中点的横坐标都是x0-2.()由()知，弦AB所在直线的方程是，代入中，整理得 （）则是方程（）的两个实根，且设点P的“相关弦”AB的弦长为l，则 因为03,则2(x0-3) (0, 4x0-8),所以当t=2(x0-3),即=2(x0-3)时,l有最大值2(x0-1).若2x03,则2(x0-3)0,g(t)在区间（0，4 x0-8）上是减函数，所以0l23时，点P（x0,0）的“相关弦”的弦长中存在最大值，且最大值为2（x0-1）；当2 x03时，点P（x0,0）的“相关弦”的弦长中不存在最大值.21.（本小题满分13分）已知函数f(x)=ln2(1+x)-.(I) 求函

19、数的单调区间;（）若不等式对任意的都成立（其中e是自然对数的底数）.求的最大值.解: （）函数的定义域是，设则令则当时， 在（-1，0）上为增函数，当x0时，在上为减函数.所以h(x)在x=0处取得极大值，而h(0)=0,所以，函数g(x)在上为减函数.于是当时，当x0时，所以，当时，在（-1，0）上为增函数.当x0时，在上为减函数.故函数的单调递增区间为（-1，0），单调递减区间为.（）不等式等价于不等式由知， 设则由（）知，即所以于是G(x)在上为减函数.故函数G（x）在上的最小值为所以a的最大值为本资料来源于七彩教育网http:/2009年普通高等等学校招生全国统一考试(湖南卷)数学（理

20、工农医类）一、 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1 若a0，1，则 (D)Aa1,b0 Ba1,b0 C. 0a1, b0 D. 0a1, b02对于非0向时a,b,“a/b”的确良 （A）A充分不必要条件 B. 必要不充分条件C充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件3将函数y=sinx的图象向左平移0 2的单位后，得到函数y=sin的图象，则等于 （D）A B C. D.4如图1，当参数时，连续函数 的图像分别对应曲线和 , 则 BA B C D 5.从10名大学生毕业生中选3个人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没

21、有入选的不同选法的种数位 CA 85 B 56 C 49 D 28 6. 已知D是由不等式组，所确定的平面区域，则圆 在区域D内的弧长为 BA B C D7正方体ABCD的棱上到异面直线AB，C的距离相等的点的个数为（C）A2 B3 C. 4 D. 5 8.设函数在（，+）内有定义。对于给定的正数K，定义函数 取函数=。若对任意的，恒有=，则 AK的最大值为2 B. K的最小值为2CK的最大值为1 D. K的最小值为1 【D】二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上9某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱兵乓球运动，8人对这两项运动都不喜

22、爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为_12_10在的展开式中，的系数为_7_(用数字作答)11、若x(0, )则2tanx+tan(-x)的最小值为2. 12、已知以双曲线C的两个焦点及虚轴的两个端点为原点的四边形中，有一个内角为60 ，则双曲线C的离心率为13、一个总体分为A，B两层，其个体数之比为4：1，用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为10的样本，已知B层中甲、乙都被抽到的概率为，则总体中的个数数位 50 。14、在半径为13的球面上有A , B, C 三点，AB=6，BC=8，CA=10，则 （1）球心到平面ABC的距离为 12 ；（2）过，B两点的大圆面为平面ABC所成二面

23、角为（锐角）的正切值为 3 15、将正ABC分割成（2，nN）个全等的小正三角形（图2，图3分别给出了n=2,3的情形），在每个三角形的顶点各放置一个数，使位于ABC的三遍及平行于某边的任一直线上的数（当数的个数不少于3时）都分别一次成等差数列，若顶点A ,B ,C处的三个数互不相同且和为1,记所有顶点上的数之和为f(n)，则有f(2)=2，f(3)= ，f(n)= (n+1)(n+2)三解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16.（本小题满分12分）在，已知，求角A，B，C的大小。解：设由得，所以又因此 由得，于是所以，因此，既由A=知，所以，从而或，既或

24、故或。17.（本小题满分12分）为拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程，分别为基础设施工程、民生工程和产业建设工程三类，这三类工程所含项目的个数分别占总数的.、，现在3名工人独立地从中任选一个项目参与建设。 （I）求他们选择的项目所属类别互不相同的概率；（II）记为3人中选择的项目属于基础设施工程、民生工程和产业建设工程的人数，求 的分布列及数学期望。解:记第1名工人选择的项目属于基础设施工程、民生工程和产业建设工程分别为事件 ,，i=1，2，3.由题意知相互独立，相互独立，相互独立，,（i，j，k=1，2，3，且i，j，k互不相同）相互独立，且P（）=，P（）=，P（）=（1） 他们选择的

25、项目所属类别互不相同的概率P=3！P（）=6P（）P（）P（）=6=(2) 解法1 设3名工人中选择的项目属于民生工程的人数为，由己已知，-B（3，），且=3。所以P（=0）=P（=3）=， P（=1）=P（=2）= = P（=2）=P（=1）=P（=3）=P（=0）= = 故的分布是0123P的数学期望E=0+1+2+3=2解法2 第i名工人选择的项目属于基础工程或产业工程分别为事件，i=1,2,3 ，由此已知，D，相互独立，且P（）-（，）= P（）+P（）=+=所以-,既， 故的分布列是12318.（本小题满分12分）如图4，在正三棱柱中，D是的中点，点E在上，且。（I） 证明平面平面（

26、II） 求直线和平面所成角的正弦值。 解 （I） 如图所示，由正三棱柱的性质知平面又DE平面ABC，所以DEAA.而DEAE。AAAE=A 所以DE平面AC CA，又DE平面ADE，故平面ADE平面AC CA。（2）解法1 如图所示，设F使AB的中点，连接DF、DC、CF，由正三棱柱ABC- ABC的性质及D是AB的中点知ABCD， ABDF 又CDDF=D，所以AB平面CDF，而ABAB，所以AB平面CDF，又AB平面ABC，故平面AB C平面CDF。过点D做DH垂直CF于点H，则DH平面AB C。 连接AH，则HAD是AD和平面ABC所成的角。由已知AB=A A，不妨设A A=，则AB=2

27、，DF=，D C=，CF=，AD=，DH=，所以 sinHAD=。即直线AD和平面AB C所成角的正弦值为。解法2 如图所示，设O使AC的中点，以O为原点建立空间直角坐标系，不妨设A A=，则AB=2，相关各点的坐标分别是A(0,-1,0)， B（，0，0）， C（0，1，）， D（，-，）。易知=(，1，0)， =(0，2，)， =(，-，） 设平面ABC的法向量为n=（x，y，z）,则有解得x=-y， z=-，故可取n=(1，-，)。所以，(n)=。由此即知，直线AD和平面AB C所成角的正弦值为。19.（本小题满分13分）某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距米，余下工程只需要建两端

28、桥墩之间的桥面和桥墩，经预测，一个桥墩的工程费用为256万元，距离为米的相邻两墩之间的桥面工程费用为万元。假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为万元。 （）试写出关于的函数关系式； （）当=640米时，需新建多少个桥墩才能使最小？解 （）设需要新建个桥墩，所以 （） 由（）知， 令，得，所以=64 当064时0. 在区间（64，640）内为增函数，所以在=64处取得最小值，此时，故需新建9个桥墩才能使最小。20（本小题满分13分）在平面直角坐标系xOy中，点P到点F（3，0）的距离的4倍与它到直线x=2的距离的3倍之和记为d，当P点运动时，d恒等于点P的横坐

29、标与18之和 （）求点P的轨迹C； （）设过点F的直线I与轨迹C相交于M，N两点，求线段MN长度的最大值。 解（）设点P的坐标为（x，y），则3x-2由题设 当x2时，由得 化简得 当时 由得 化简得 故点P的轨迹C是椭圆在直线x=2的右侧部分与抛物线在直线x=2的左侧部分（包括它与直线x=2的交点）所组成的曲线，参见图1（）如图2所示，易知直线x=2与，的交点都是A（2，），B（2，），直线AF，BF的斜率分别为=，=.当点P在上时，由知. 当点P在上时，由知 若直线l的斜率k存在，则直线l的方程为（i）当k，或k，即k-2 时，直线I与轨迹C的两个交点M（，），N（，）都在C 上，此时由知

30、MF= 6 - NF= 6 - 从而MN= MF+ NF= （6 - ）+ （6 - ）=12 - ( +)由 得 则，是这个方程的两根，所以+=*MN=12 - （+）=12 - 因为当 当且仅当时，等号成立。（2）当时，直线L与轨迹C的两个交点 分别在上，不妨设点在上，点上，则知， 设直线AF与椭圆的另一交点为E 所以。而点A，E都在上，且 有（1）知 若直线的斜率不存在，则=3，此时综上所述，线段MN长度的最大值为21.（本小题满分13分）对于数列若存在常数M0,对任意的，恒有 则称数列为B-数列（1） 首项为1，公比为的等比数列是否为B-数列？请说明理由;请以其中一组的一个论断条件，另一组中的一个论断为结论组成一个命题判断所给命题的真假，并证明你的结论；（2） 设是数列的前项和，给出下列两组论断；A组：数列是B-数列 数列不是B-数列B组：