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1、广东省各地市2011年高考数学最新联考试题分类汇编第2部分:函数与导数一、选择题:8、（广东省深圳市2011年3月高三第一次调研理科）已知函数的定义域为，部分对应值如下表。的导函数的图象如图所示。下列关于函数的命题： 函数是周期函数； 函数在是减函数； 如果当时，的最大值是2，那么的最大值为4； 当时，函数有4个零点。其中真命题的个数是 ( )来源:. A、4个 B、3个 C、2个 D、1个8.D【解析】显然错误；容易造成错觉，；错误，的不确定影响了正确性；正确，可有得到.10（广东省深圳市2011年3月高三第一次调研文科）若实数满足，则称是函数的一个次不动点设函数与函数（其中为自然对数的底数
2、）的所有次不动点之和为，则ABCD10.B【解析】画图即知:函数的图象与直线有唯一公共点 故两个函数的所有次不动点之和或利用函数的图象与函数的图象关于直线对称即得出答案.4(广东省珠海一中2011年2月高三第二学期第一次调研理科)已知定义在上的函数为奇函数，且函数的周期为5，若，则的值为( D )A5 B1 C0 D9(广东省珠海一中2011年2月高三第二学期第一次调研文科)已知a0且a1，若函数f （x） = loga（ax2 x）在3，4是增函数，则a的取值范围是（ A ）A（1，+） B CD5. (广东省珠海一中2011年2月高三第二学期第一次调研文科)已知可导函数的导函数的部分图象如
3、右图所示,则函数的部分图象可能是( A )(广东省江门市2011年高考一模文科)已知，则、的大小关系是( B )来源:.A B C D(广东省江门市2011年高考一模文科)曲线在点处的切线方程是( D )A B C D3(广东省广雅金山佛一中2011年2月高三联考文科)下列叙述正确的是 （ D ）A的定义域是R B的值域为R C的递减区间为 D的最小正周期是 10(广东省广雅金山佛一中2011年2月高三联考文科)关于的方程在区间0，2上的解的个数为 （ C ） A0 B1 C2 D4 5(广东省广雅金山佛一中2011年2月高三联考理科)函数的零点个数是( C )A1 B2 C3 D46. (广
4、东省广雅金山佛一中2011年2月高三联考理科) 己知是定义在R上的奇函数，当时，那么不等式的解集是( B )A B或CD或 8. (广东省东莞市2011年高三一模理科)某公司租地建仓库，已知仓库每月占用费与仓库到车站的距离成反比，而每月车存货物的运费与仓库到车站的距离成正比.据测算，如果在距离车站10公理处建仓库，这两项费用，分别是2万和8万，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站（ A ） 5公里处 4公里处 3公里处 2公里处6(广东省东莞市2011年高三一模文科)曲线的最小值为 （ D ）A. B. C. D. 9(广东省东莞市2011年高三一模文科)对于任意实数，定义 设函数，则
5、函数的最大值是( B ) A 0 B. 1 C. 2 D. 310(广东省东莞市2011年高三一模文科)已知为偶函数，且,若 ，则 （ D ）A B C D9(广东执信中学2011年2月高三考试文科)已知函数若实数满足，则（ D ）A B C D 10. (广东执信中学2011年2月高三考试文科)在平面直角坐标系中,横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点，如果函数的图象恰好通过个整点，则称函数为阶整点函数.有下列函数：； ，其中是一阶整点函数的是( C )A. B. C. D.二、填空题:9、（广东省深圳市2011年3月高三第一次调研理科）已知全集，集合为函数的定义域，则 。9. 【解析】,输入_
6、13（广东省深圳市2011年3月高三第一次调研文科）已知与之间的部分对应关系如下表：1112131415来源:. K则和可能满足的一个关系式是 13. 【解析】将各11 ,12,13,14,15对应的函数值分别写成,分母成等差数列,可知分母12. (广东省珠海一中2011年2月高三第二学期第一次调研理科)已经三角形的三边分别是整数l，m，n，且lmn，已知，其中xxx，而x表示不超过x的最大整数则这种三角形周长的最小值为 3003 12. (广东省珠海一中2011年2月高三第二学期第一次调研文科)设函数的定义域为D，若存在非零数使得对于任意有且，则称为M上的高调函数。现给出下列命题：函数为R上
7、的1高调函数；函数为R上的高调函数如果定义域为的函数为上高调函数，那么实数的取值范围是 其中正确的命题是 。（写出所有正确命题的序号） 14. (广东省珠海一中2011年2月高三第二学期第一次调研文科)若直角坐标平面内两点P、Q满足条件：P、Q都在函数的图象上；P、Q关于原点对称，则称点对（P，Q）是函数的一个“友好点对”（点对（P，Q）与（Q，P）看作同一个“友好点对”）.已知函数则的“友好点对”有 2 个.(广东省江门市2011年高考一模理科)在平面直角坐标系中，四边形在映射：作用下的象集为四边形，若的面积，则的面积 2 (广东省江门市2011年高考一模理科)设抛物线：的准线与对称轴相交于
8、点，过点作抛物线的切线，切线方程是 （对一个3分，全对5分） 三、解答题21、【解析】（1）当时，定义域是， 令，得或2分当或时，当时， 函数在、上单调递增，在上单调递减 4分的极大值是，极小值是当时，； 当时，当仅有一个零点时，的取值范围是或5分 （2）当时，定义域为 令， ， 在上是增函数 7分当时，即；当时，即；当时，即 9分（3）（法一）根据（2）的结论，当时，即令，则有， 12分， 14分 (法二)当时，即时命题成立 10分设当时，命题成立，即 时，根据（2）的结论，当时，即令，则有，则有，即时命题也成立13分1 2 3 4 5 6 n-1 n因此，.归纳法可知不等式成立 14分（法
9、三）如图，根据定积分的定义，得11分， 12分，又， 14分【说明】本题主要考查函数导数运算法则、利用导数求函数的极值、证明不等式等基础知识，考查分类讨论思想和数形结合思想，考查考生的计算能力及分析问题、解决问题的能力和创新意识19（广东省深圳市2011年3月高三第一次调研文科）（本题满分12分）ABCDOFE如图，有一正方形钢板缺损一角(图中的阴影部分)，边缘线是以直线AD为对称轴，以线段的中点为顶点的抛物线的一部分工人师傅要将缺损一角切割下来，使剩余的部分成为一个直角梯形若正方形的边长为2米，问如何画切割线，可使剩余的直角梯形的面积最大？并求其最大值19 【命题意图】本小题主要考查二次函数
10、的切线、最值等知识，考查坐标思想、数形结合、化归与转化等数学思想方法，以及将实际问题转化为数学问题的能力.【解析】解法一：以为原点，直线为轴，ABCDOFExyP建立如图所示的直角坐标系，依题意可设抛物线弧的方程为点的坐标为，故边缘线的方程为. 4分要使梯形的面积最大，则所在的直线必与抛物线弧相切，设切点坐标为，直线的的方程可表示为，即，6分由此可求得，.，8分设梯形的面积为，则. 10分当时，故的最大值为. 此时.11分答：当时，可使剩余的直角梯形的面积最大，其最大值为. 12分解法二：以为原点，直线为轴，建立如图所示的直角坐标系，依题意可设抛物线弧的方程为点的坐标为， 故边缘线的方程为.
11、4分要使梯形的面积最大，则所在的直线必与抛物线弧相切，设切点坐标为，直线的的方程可表示为，即，6分由此可求得，.，7分设梯形的面积为，则来源:. K. 10分当时，故的最大值为. 此时.11分答：当时，可使剩余的直角梯形的面积最大，其最大值为. 12分20. (广东省珠海一中2011年2月高三第二学期第一次调研理科) (本小题满分14分).(1)若求的单调区间及的最小值;(2)若,求的单调区间;(3)试比较与的大小.,并证明你的结论.20.(1)当时,在区间上是递增的. 2分当时,在区间上是递减的.故时,的增区间为,减区间为,.4分(2)若,当时,则在区间上是递增的;当时, 在区间上是递减的.
12、 6分若,当时,则在区间上是递增的, 在区间上是递减的;当时, 在区间上是递减的,而在处有意义;则在区间上是递增的,在区间上是递减的. 8分综上: 当时, 的递增区间是,递减区间是;当,的递增区间是,递减区间是. 9分(3)由(1)可知,当时,有即=. 14分18(广东省珠海一中2011年2月高三第二学期第一次调研文科)（本小题共14分）设函数（I）求的单调区间；（II）当0a2时，求函数在区间上的最小值18.(I）定义域为 1分 令，则，所以或 3分 因为定义域为，所以 令，则，所以因为定义域为，所以 5分所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为 7分（II） （） 因为0a2，所以，令 可
13、得 9分来源.m所以函数在上为减函数，在上为增函数 当，即时， 在区间上，在上为减函数，在上为增函数所以 11分 当，即时，在区间上为减函数所以 13分 综上所述，当时，； 当时， 14分21(广东省江门市2011年高考一模文科)（本小题满分14分）设是函数定义域内的一个区间，若存在，使，则称是的一个不动点，也称在区间上有不动点证明.点；若函数在区间上有不动点，求常数的取值范围21.依题意，“在区间上有不动点”当且仅当“在区间上有零点”2分，在区间上是一条连续不断的曲线3分，4分，所以函数在区间内有零点，在区间上有不动点5分依题意，存在，使当时，使6分；当时，解得8分，由9分，得或（，舍去）1
14、0分，最大值12分，当时，13分，所以常数的取值范围是14分21(广东省江门市2011年高考一模理科)（本小题满分14分）设是定义在区间（）上的函数，若对、，都有，则称是区间上的平缓函数试证明对，都不是区间上的平缓函数；若是定义在实数集上的、周期为的平缓函数，试证明对、，21.、，1分。若，则当、时，2分，从而3分；若，则当、时，4分，从而，所以对任意常数，都不是区间上的平缓函数5分若、，当时，6分；当时，不妨设，根据的周期性，7分，9分，11分，所以对、，都有12分对、，根据的周期性（且），存在、，使、，从而14分21(广东省广雅金山佛一中2011年2月高三联考文科)（本小题满分14分）已知
15、函数，.（其中为自然对数的底数），（）设曲线在处的切线与直线垂直，求的值；（）若对于任意实数0，恒成立，试确定实数的取值范围；（）当时，是否存在实数，使曲线C：在点处的切线与轴垂直？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.21解：（）， 1分因此在处的切线的斜率为， 2分又直线的斜率为， 3分（）1， 1. 5分（）当0时，恒成立， 先考虑0，此时，可为任意实数； 6分 又当0时，恒成立，则恒成立， 7分设，则，当(0,1)时，0，在(0,1)上单调递增，当(1,)时，0，在(1,)上单调递减，故当1时，取得极大值， 9分 要使0，恒成立， 实数的取值范围为 10分（）依题意，曲线C的方程为，
16、令，则设，则，当，故在上的最小值为，12分所以0，又，0，而若曲线C：在点处的切线与轴垂直，则0，矛盾。 13分所以，不存在实数，使曲线C：在点处的切线与轴垂直.14分20(广东省广雅金山佛一中2011年2月高三联考理科) (本题满分14分)NMBAOP 如图，两个工厂相距，点为的中点，现要在以为圆心，为半径的圆弧上的某一点处建一幢办公楼，其中.据测算此办公楼受工厂的“噪音影响度”与距离的平方成反比，比例系数是1，办公楼受工厂的“噪音影响度” 与距离的平方也成反比，比例系数是4，办公楼受两厂的“总噪音影响度”是受两厂“噪音影响度”的和，设为.()求“总噪音影响度” 关于的函数关系，并求出该函数
17、的定义域；()当为多少时，“总噪音影响度”最小？20.)连接，. 1分在中，由余弦定理得，2分在中，由余弦定理得，3分NMBAOP.则. 4分，则，. 6分. 7分()令. 8分. 由，得，或（舍去）. 10分当，函数在上单调递减；当，函数在上单调递增； 12分当时，即时，函数有最小值，也即当为（）时，“总噪音影响度”最小. 14分20(广东省东莞市2011年高三一模理科)（本小题满分14分）已知是二次函数，是它的导函数，且对任意的，恒成立（1）求的解析表达式；（2）设，曲线：在点处的切线为，与坐标轴围成的三角形面积为求的最小值20（本小题满分14分）解：（1）设（其中），则，2分由已知，得，
18、解之，得，5分（2）由（1）得，切线的斜率，切线的方程为，即7分从而与轴的交点为，与轴的交点为，（其中） 9分 11分当时，是减函数；当时，是增函数13分 14分19. (广东省东莞市2011年高三一模文科) (本小题满分14分)已知函数.（1）求证：函数在上是单调递增函数；（2）当时，求函数在上的最值；（3）函数在上恒有成立，求的取值范围.19.解：（1）证明：设且,则. 1分 ，. 3分 函数在上是单调递增函数. 4分（2）当时，；由（1）知函数在上是单调递增函数. 5分 7分 的最小值为，此时；无最大值. 8分（3）依题意， ，即在上恒成立.函数在上单调递减， 11分 ，又. ，的取值范
19、围是. 14分21(广东执信中学2011年2月高三考试文科)（本小题满分14分）已知函数（）求函数的定义域，并证明在定义域上是奇函数；（）若恒成立，求实数的取值范围；（）当时，试比较与的大小关系21解：（）由，解得或， 函数的定义域为 当时，来 在定义域上是奇函数。 4分（）由时，恒成立， 在成立 令，由二次函数的性质可知时函数单调递增，时函数单调递减，时， 8分（）= 证法一：设函数,则时，即在上递减，所以，故在成立，则当时,成立. 14分证法二：构造函数， 当时，在单调递减， 12分当（）时， 14分21(广东省遂溪县2011年高考第一次模拟数学文科)（本小题满分14分）已知函数在处取得极值2 .（1）求函数的表达式；（2）当满足什么条件时，函数在区间 上单调递增？（3）若为 图象上任意一点，直线 与的图象切于点，求直线 的斜率的取值范围.21解：（1）因为 ，而函数在处取得极值2,所以 ， 即 , 解得 3分所以 即为所求 . 4分（2）由（1）知 5分负正负可知，的单调增区间是，所以， .8分所以当时，函数在区间 上单调递增. 9分（3）由条件知，过的图形上一点的切线的斜率为： 10分令 ，则, 此时 ，11分根据二次函数 的图象性质知：当 时，； 当时，. 13分所以，直线的斜率的取值范围是 . 14分