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1、13.5. 层次分析法（AHP）,13.5 层次分析法（AHP）,层次分析法（AHP, the analytic hierarchy process）是20世纪70年代由美国学者萨蒂最早提出的一种多目标评价决策法。 特点：将决策者对复杂系统的评价决策思维过程数学化。 基本思想是把复杂的问题分解成若干层次和因素，在同层次各要素间简单地进行比较、判断和计算，以获得不同要素和不同备选方案的权重。,定量信息要求较少，但要对,问题的本质,包含的要素,相互间的逻辑关系,掌握透彻。,步骤：,1） 对构成决策问题的各种要素建立多级递阶的结构模型；,总目标子目标评价准则方案,2）对同一层次的要素以上一级的要素为
2、准则进行两两比较，根据评定尺度确定其相对重要程度，并据此建立判断矩阵； 3）确定各要素的相对重要度； 4）对重要度进行综合，对各方案进行优先排序。,一、多级递阶结构,用层次分析法分析的系统，其多级递阶结构一般可以分成三层，即目标层，准则层和方案层。 目标层为解决问题的目的，要想达到的目标。 准则层为针对目标评价各方案时所考虑的各个子目标（因素或准则），可以逐层细分。 方案层即解决问题的方案。,层次结构往往用结构图形式表示，图中标明上一层次与下一层次元素之间的联系。如果上一层的每一要素与下一层次所有要素均有联系，称为完全相关结构。,层次结构往往用结构图形式表示，图中标明上一层次与下一层次元素之间
3、的联系。如果上一层的每一要素与下一层次所有要素均有联系，称为完全相关结构。,完全相关性结构图,某城市闹市区域的某一商场附近，由于顾客过于稠密，常常造成车辆阻塞以及各种交通事故。市政府决定改善闹市区的交通环境。经约请各方面专家研究，制定出三种可供选择的方案： A1：在商场附近修建天桥一座，供行人横穿马路； A2：同样目的，在商场附近修建一条地下行人横道； A3：搬迁商场。 现试用决策分析方法对三各备选方案进行选择。,一个完全相关性结构的案例 （实用决策分析p.213）,这是一个多目标决策问题。在改变闹市区交通环境这一总目标下，根据当地的具体情况和条件，制定了以下5个分目标作为对备选方案的评价和选
4、择标准： C1：通车能力； C2：方便过往行人及当地居民； C3：新建或改建费用不能过高； C4：具有安全性； C5：保持市容美观。,改变闹市区交通环境（G）,通车能力C1,方便市民C2,改建费用C3,安全性C4,市容美观C5,天桥A1,地道A2,搬迁A3,企业核心竞争力Z,市场营销Y1,生产技术Y2,经营管理Y3,企业C,企业D,企业A,企业B, ,企业核心竞争力分析层次结构图,1,11,12,21,22,31,一个完全相关性的层次结构模型（MBA论文）,指标Y1的各个分层指标（111）,指标Y2的各个分层指标（1221）,指标Y3的各个分层指标（2231）,经济生态效益最佳,经济效益,生态
5、效益,工业总产值,产品销售收入,实现利润总额,实现利税总额,全员劳动生产率,物能消耗量,物能有毒有害量,产污量,产污增长率,产污等标系数,产污有毒量,产品有毒有害率,产品回收利用率,包装重复使用次数,环保投资回报率,如上一层每一要素都有各自独立的、完全不相同的下层要素，称为完全独立性结构。,一个完全独立性结构的案例,总人口数,出生率,死亡率,生育能力,计生政策,传统习惯,期望寿命,保健水平,食物营养,国民收入,污染程度,也有由上述两种结构结合的混合结构。,一个混合结构的案例（决策理论导引,二、判断矩阵,判断矩阵是层次分析法的基本信息，也是计算各要素权重的重要依据。,1. 建立判断矩阵,设对于准
6、则H，其下一层有 n 个要素 A1，A2， ， An。以上一层的某一要素H 作为判断准则，对下一层的n个要素进行两两比较来确定矩阵的元素值，其形式如下：,H,A1,A2,A3,An,aij表示以判断准则H 的角度考虑要素Ai对Aj的相对重要程度。若假设在准则H下要素 A1，A2，An的权重分别为w1,w2,wn，即w = ( w1, w2, , wn)T, 则aij=wi/wj，矩阵,称为判断矩阵。,若假设在准则H下要素 A1，A2，An的权重分别为 w1, w2,wn，即w = ( w1,w2,wn)T, 则 aij=wi/wj， aij 应该满足：,1）aii = 1 2) aij =1/
7、 aji 3) aikakj = aij,2) 判断尺度,判断矩阵中的元素aij是表示两个要素的相对重要性的数量尺度，称做判断尺度，其取值如表所示。,三、相对重要度及判断矩阵的最大特征值的计算,在应用层次分析法进行系统评价和决策时，需要知道Ai关于H 的相对重要度，也就是Ai关于H 的权重，即已知,三、相对重要度及判断矩阵的最大特征值的计算,在应用层次分析法进行系统评价和决策时，需要知道Ai关于H 的相对重要度，也就是Ai关于H 的权重，即已知,求,由,= n,由,= n,AW = nW,由,= n,知，n为矩阵A的一个特征值，W 是矩阵A 的对应于特征值n 的特征向量。,AW = nW,成立
8、，这样的数 称为方阵A的特征值，非零向量x称为A的对应于 的特征向量。,假设A是n阶矩阵，如果数 和n维非零列向量x，使关系式,矩阵 A 的特征向量,成立，这样的数 称为方阵A的特征值，非零向量x称为A的对应于 的特征向量。,假设A是n阶矩阵，如果数 和n维非零列向量x，使关系式,矩阵 A 的特征向量,即,特征方程,时，A具有唯一的非零最大特征值 ，且,当矩阵A的元素 满足,由于判断矩阵A的最大特征值所对应的特征向量即为W，为此，可先求出判断矩阵的最大特征值所对应的特征向量，再经过归一化处理，即可求出Ai关于H的相对重要度。,由于判断矩阵A的最大特征值所对应的特征向量即为W，为此，可先求出判断
9、矩阵的最大特征值所对应的特征向量，再经过归一化处理，即可求出Ai关于H的相对重要度。,求A的最大特征值和其对应的特征向量,单位化,得权重向量W,设某一AHP判断矩阵为,计算该矩阵的最大特征值及对应的特征向量的步骤如下：,1. 方根法,1）计算矩阵A的每一行元素的乘积Mi,2) 计算 Mi 的 n 次方根,i= 1,2,n,2) 计算 Mi 的 n 次方根,i= 1,2,n,3）对向量,作归一化处理，即令,从而得到另一向量,即为所求。,4) 计算A的最大特征值,由,例 求判断矩阵,的最大特征值及其对应的特征向量。,例 求判断矩阵,的最大特征值及其对应的特征向量。,解：（1）求A中各行元素之乘积,
10、M1=1/15, M2=15, M3=1,（2）求Mi 的n次方根（n 3）,M1=1/15, M2=15, M3=1,（2）求Mi 的n次方根（n 3）,（3） 对向量 w(0)(0.4055, 2.4662, 1)T 作归一化处理,M1=1/15, M2=15, M3=1,即为所求特征向量。,w(0.4055, 2.4662, 1)T,4） 求,精度比较：,注：乘幂法为“计算方法”中计算矩阵的最大特征值的最常用的方法之一。这里取精度为0.0001。,求解步骤如下：,1）将判断矩阵A中各元素按列作归一化处理，得另一矩阵B=(bij)，其元素一般项为,2. 和积法,求解步骤如下：,1）将判断矩
11、阵A中各元素按列作归一化处理，得另一矩阵B=(bij)，其元素一般项为,2）将矩阵B中各元素按行分别相加，其和为,2. 和积法,3） 对向量,作归一化处理，得,向量,即为所求。,3） 对向量,作归一化处理，得,向量,即为所求。,4）求 的方法与方根法相同，即,对前例用和积法求得的结果如下：,这样就提示我们可以用 的关系来度量偏离相容性的程度。,四、相容性判断,若矩阵A 完全相容，则有 ，否则,由于判断矩阵的三个性质中的前两个容易被满足，第三个“一致性”则不易保证。如判断矩阵A被判断为A有偏差，则称A为不相容判断矩阵，这时就有,度量相容性的指标为C.I.(Consistence Index)，,
12、度量相容性的指标为C.I.(Consistence Index)，,一般情况下，若C.I.0.10，就可认为判断矩阵A有相容性，据此计算的W是可以接受的，否则重新进行两两比较判断。,度量相容性的指标为C.I.(Consistence Index)，,一般情况下，若C.I.0.10，就可认为判断矩阵A有相容性，据此计算的W是可以接受的，否则重新进行两两比较判断。,判断矩阵的维数n越大，判断的一致性将越差，故应放宽对高维判断矩阵一致性的要求，于是引入修正值R.I，见下表，并取更为合理的C.R为衡量判断矩阵一致性的指标。,五、综合重要度的计算,方案层 n 个方案对准则层的各准则的相对权重为：,设有目
13、标层A、准则层C、方案层P 构成的层次模型（对于层次更多的模型，其计算方法相同），准则层C对目标层A的相对权重为：,A,C1,C2,C3,C4,P1,P2,P3,p11,p12,p13,p14,c1,c2,c3,c4,P1对A的权重为：p11c1+p12c2+p13c3+p14c4,案例1,某公司董事会准备挑选一位总经理，根据公司章程，董事会提出了挑选总经理的十二条标准（1）忠诚正派；（2）责任心强；（3）虚怀若谷；（4）有远见；（5）有组织协调能力；（6）知人善用；（7）多某善断；（8）精通业务；（9）学历高，知识面广；（10）具有现代管理知识；（11）身体健康；（12）年龄合适。 在报名竞
14、争的总经理人选中，根据董事会任命的人事小组评选结果，得分最高的三人总分一样，其得分如下：,为了从中选出一人为总经理，应进行权重分析。若得到十二个指标的权重，便可详细区分。,选经理,B1,B2,B3,B4,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,B1:道德水平,B2:管理才能,B3:学识水平,B4:健康水平,目标层,准则层,标准层,（每行相加）,（归一化）,（归一化）,（归一化）,（归一化）,案例2,改变闹市区交通环境（G）,通车能力C1,方便市民C2,改建费用C3,安全性C4,市容美观C5,天桥A1,地道A2,搬迁A3,思考与练习,试述层次分析法的基本思想与步骤。 完成案例1，案
15、例2的计算。 独立完成教材p.228的算例。,预测与决策考试大纲,预测概述 了解预测的基本概念；掌握预测的原理、程序与评价；掌握数据分析与预处理的基本方法；了解预测技术的发展及预测技术的分类。 专家评估预测法 掌握专家意见汇总预测法、头脑风暴法与Delphi法的基本方法，分析这些方法的优点与不足。,趋势外推预测法 掌握趋势外推法的基本思想，了解拟合直线法、加权拟合直线法以及线性化方法，掌握二次曲线拟合法的基本思想与步骤。,确定型时间序列预测方法 掌握一次、二次移动平均法与指数平滑法；掌握时间序列的分解法的基本思想与方法。,随机型时间序列预测方法 掌握随机时间序列基本模型的形式、特性；掌握AR(
16、p)、MA(q)、ARMA(p,q) 模型的自相关函数、偏自相关函数的性质；掌握模型参数与相关函数的关系；了解模型检验与预报的方法。 马尔可夫预测方法 掌握马尔可夫分析的基本原理：状态转移矩阵，稳态分布，平稳分布；马尔可夫预测的应用：市场占有率、长期市场占有率预测；了解期望利润预测。,决策概述 了解决策的概念、决策的程序、决策的要素、决策的类型与特点以及决策理论的发展历史和趋势 期望效用值理论 了解期望收益值准则及期望收益值作为决策准则存在的问题；理解期望效用值作为决策准则的理论依据，掌握效用函数的概念及其确定方法，了解主观期望效用值理论。,单目标风险型决策 掌握风险型决策问题的分析方法、多级决策问题的分析方法及风险型决策问题的分析思想。 单目标非确定型决策和概率排序型决策 掌握用不同的决策准则进行单目标非确定型决策的方法；掌握概率弱排序及强排序下的决策分析方法。 多目标决策 了解多目标决策的基本概念、决策方法、多目标风险决策分析模型以及有限个方案多目标决策问题的分析方法；掌握层次分析法的基本思想与方法。,