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1、第5章 无限脉冲响应数字滤波器的设计,5.1 数字滤波器的基本概念 5.2 模拟滤波器的设计 5.3 用脉冲响应不变法设计IIR数字低通滤波器,5.1 数字滤波器的基本概念,1. 数字滤波器的分类 数字滤波器从实现的网络结构或者从单位脉冲响应分类，可以分成无限脉冲响应(IIR)滤波器和有限脉冲响应(FIR)滤波器。它们的系统函数分别为：,图5.1.1 理想低通、高通、带通、带阻滤波器幅度特性,2数字滤波器的技术要求 我们通常用的数字滤波器一般属于选频滤波器。假设数字滤波器的传输函数H(e j)用下式表示：,图5.1.2 低通滤波器的技术要求,通带内和阻带内允许的衰减一般用dB数表示，通带内允许
2、的最大衰减用p表示，阻带内允许的最小衰减用s表示，p和s分别定义为：,(5.1.3),(5.1.4),如将|H(ej0)|归一化为1，(5.1.3)和(5.1.4)式则表示成：,(5.1.5),(5.1.6),3. 数字滤波器设计方法概述 IIR滤波器和FIR滤波器的设计方法是很不相同的。IIR滤波器设计方法有两类，经常用的一类设计方法是借助于模拟滤波器的设计方法进行的。其设计步骤是：先设计模拟滤波器得到传输函数Ha(s)，然后将Ha(s)按某种方法转换成数字滤波器的系统函数H(z)。,5.2 模拟滤波器的设计,模拟滤波器的理论和设计方法已发展得相当成熟，且有若干典型的模拟滤波器供我们选择，如
3、巴特沃斯(Butterworth)滤波器、切比雪夫(Chebyshev)滤波器、椭圆(Cauer)滤波器、贝塞尔(Bessel)滤波器等，这些滤波器都有严格的设计公式、现成的曲线和图表供设计人员使用。,图5.2.1 各种理想滤波器的幅频特性,1.模拟低通滤波器的设计指标 及逼近方法 模拟低通滤波器的设计指标有p, p,s和s。其中p和s分别称为通带截止频率和阻带截止频率，p是通带(=0p)中的最大衰减系数，s是阻带s的最小衰减系数，p和s一般用dB数表示。对于单调下降的幅度特性，可表示成：,(5.2.1),(5.2.2),如果=0处幅度已归一化到1，即|Ha(j0)|=1,p和s表示为 以上技
4、术指标用图5.2.2表示。图中c称为3dB截止频率，因,(5.2.3),(5.2.4),图5.2.2 低通滤波器的幅度特性,滤波器的技术指标给定后，需要设计一个传输函数Ha(s)，希望其幅度平方函数满足给定的指标p和s，一般滤波器的单位冲激响应为实数，因此,(5.2.5),2.巴特沃斯低通滤波器的设计方法 巴特沃斯低通滤波器的幅度平方函数|Ha(j)|2用下式表示：,(5.2.6),图5.2.3 巴特沃斯幅度特性和N的关系,将幅度平方函数|Ha(j)|2写成s的函数：,(5.2.7),此式表明幅度平方函数有2N个极点，极点sk用下式表示：,(5.2.8),图5.2.4 三阶巴特沃斯滤波器极点分
5、布,为形成稳定的滤波器，2N个极点中只取s平面左半平面的N个极点构成Ha(s)，而右半平面的N个极点构成Ha(s)。 Ha(s)的表示式为,设N=3，极点有6个，它们分别为,取s平面左半平面的极点s0,s1,s2组成Ha(s)：,由于各滤波器的幅频特性不同，为使设计统一，将所有的频率归一化。这里采用对3dB截止频率c归一化，归一化后的Ha(s)表示为 式中，s/c=j/c。 令=/c，称为归一化频率；令p=j，p称为归一化复变量，这样归一化巴特沃斯的传输函数为,(5.2.10),(5.2.11),式中，pk为归一化极点，用下式表示： 将极点表示式(5.2.12)代入(5.2.11)式，得到的H
6、a(p)的分母是p的N阶多项式，用下式表示：,(5.2.12),将=s代入(5.2.6)式中，再将|Ha(js)|2代入 (5.2.4)式中，得到：,(5.2.14),(5.2.15),由(5.2.14)和(5.2.15)式得到：,令,则N由下式表示：,(5.2.16),用上式求出的N可能有小数部分，应取大于等于N的最小整数。关于3dB截止频率c，如果技术指标中没有给出，可以按照(5.2.14)式或(5.2.15)式求出，由(5.2.14)式得到：,由(5.2.15)式得到：,(5.2.17),(5.2.18),总结以上，低通巴特沃斯滤波器的设计步骤如下： (1)根据技术指标p,p,s和s，用
7、(5.2.16)式求出滤波器的阶数N。 (2)按照(5.2.12)式，求出归一化极点pk，将pk代入(5.2.11)式，得到归一化传输函数Ha(p)。 (3)将Ha(p)去归一化。将p=s/c代入Ha(p)，得到实际的滤波器传输函数Ha(s)。,表5.2.1 巴特沃斯归一化低通滤波器参数,例5.2.1 已知通带截止频率fp=5kHz，通带最大衰减p=2dB，阻带截止频率fs=12kHz，阻带最小衰减s=30dB，按照以上技术指标设计巴特沃斯低通滤波器。 解 (1) 确定阶数N。,(2) 按照(5.2.12)式，其极点为,按照(5.2.11)式，归一化传输函数为,上式分母可以展开成为五阶多项式，
8、或者将共轭极点放在一起，形成因式分解形式。这里不如直接查表5.2.1简单，由N=5，直接查表得到： 极点：-0.3090j0.9511,-0.8090j0.5878; -1.0000,式 b0=1.0000,b1=3.2361,b2=5.2361,b3=5.2361,b4=3.2361,(3) 为将Ha(p)去归一化，先求3dB截止频率c。 按照(5.2.17)式，得到：,将c代入(5.2.18)式，得到：,将p=s/c代入Ha(p)中得到：,3.模拟滤波器的频率变换模拟高通、带通、带阻滤波器的设计 为了防止符号混淆，先规定一些符号如下： 1) 低通到高通的频率变换 和之间的关系为 上式即是低
9、通到高通的频率变换公式，如果已知低通G(j)，高通H(j)则用下式转换：,(5.2.41),(5.2.40),图5.2.9 低通与高通滤波器的幅度特性,模拟高通滤波器的设计步骤如下： (1)确定高通滤波器的技术指标：通带下限频率p，阻带上限频率s，通带最大衰减p，阻带最小衰减s。 (2)确定相应低通滤波器的设计指标：按照(5.2.40)式，将高通滤波器的边界频率转换成低通滤波器的边界频率，各项设计指标为： 低通滤波器通带截止频率p=1/p； 低通滤波器阻带截止频率s=1/s； 通带最大衰减仍为p，阻带最小衰减仍为s。,(3)设计归一化低通滤波器G(p)。 (4)求模拟高通的H(s)。将G(p)
10、按照(5.2.40)式，转换成归一化高通H(q)，为去归一化，将q=s/c代入H(q)中，得 例5.2.3 设计高通滤波器,fp=200Hz,fs=100Hz，幅度特性单调下降，fp处最大衰减为3dB，阻带最小衰减s=15dB。,(5.2.42),解 高通技术要求： fp=200Hz,p=3dB; /3db fc fs=100Hz,s=15dB 归一化频率,低通技术要求：, 设计归一化低通G(p)。采用巴特沃斯滤波器，故, 求模拟高通H(s)： 2) 低通到带通的频率变换 低通与带通滤波器的幅度特性如图5.2.10所示。,图5.2.10 带通与低通滤波器的幅度特性,表5.2.2 与的对应关系,
11、由与的对应关系，得到：,由表5.2.2知p对应u，代入上式中，有,(5.2.43)式称为低通到带通的频率变换公式。利用该式将带通的边界频率转换成低通的边界频率。下面推导由归一化低通到带通的转换公式。由于,(5.2.43),将(5.2.43)式代入上式，得到：,将q=j代入上式，得到：,为去归一化，将q=s/B代入上式，得到：,(5.2.44),(5.2.45),上式就是由归一化低通直接转换成带通的计算公式。 下面总结模拟带通的设计步骤。 (1)确定模拟带通滤波器的技术指标，即： 带通上限频率u，带通下限频率l 下阻带上限频率 s1 ,上阻带下限频率 s2 通带中心频率20=lu，通带宽度B=u
12、-l 与以上边界频率对应的归一化边界频率如下：,(2) 确定归一化低通技术要求： s与-s的绝对值可能不相等，一般取绝对值小的s，这样保证在较大的s处更能满足要求。 通带最大衰减仍为p，阻带最小衰减亦为s。 (3) 设计归一化低通G(p)。 (4) 由(5.2.45)式直接将G(p)转换成带通H(s)。,例5.2.4 设计模拟带通滤波器，通带带宽B=2200rad/s，中心频率0=21000rad/s，通带内最大衰减p=3dB，阻带s1=2830rad/s,s2=21200rad/s，阻带最小衰减s=15dB。 解 (1) 模拟带通的技术要求： 0=21000rad/s,p=3dB s1 =2
13、830rad/s,s2=21200rad/s,s=15dB B=2200rad/s; 0=5,s1=4.15,s2=6,(2) 模拟归一化低通技术要求：,取s=1.833,p=3dB,s=15dB。 (3)设计模拟归一化低通滤波器G(p)： 采用巴特沃斯型，有,取N=3，查表5.2.1，得,(4) 求模拟带通H(s)：,3) 低通到带阻的频率变换 低通与带阻滤波器的幅频特性如图5.2.11所示。,图5.2.11 低通与带阻滤波器的幅频特性,图中，l和u分别是下通带截止频率和上通带截止频率，s1和s2分别为阻带的下限频率和上限频率，0为阻带中心频率，20=ul，阻带带宽B=u-l，B作为归一化参
14、考频率。相应的归一化边界频率为 u=u/B,l=l/B,s1=s1/B,s2=s2/B; 20=ul,表5.2.3 与的对应关系,根据与的对应关系，可得到： 且ul=1，p=1，(5.2.46)式称为低通到带阻的频率变换公式。将(5.2.46)式代入p=j，并去归一化，可得 上式就是直接由归一化低通转换成带阻的频率变换公式。,(5.2.46),(5.2.47),(5.2.48),下面总结设计带阻滤波器的步骤： (1)确定模拟带阻滤波器的技术要求，即： 下通带截止频率l,上通带截止频率u 阻带下限频率s1，阻带上限频率s2 阻带中心频率20=ul ，阻带宽度B=u-l 它们相应的归一化边界频率为
15、 l=l/B,u=u/B,s1=s1/B; s2=s2/B,20=ul 以及通带最大衰减p和阻带最小衰减s。,(2) 确定归一化模拟低通技术要求，即： 取s和s的绝对值较小的s；通带最大衰减为p，阻带最小衰减为s。 (3) 设计归一化模拟低通G(p)。 (4) 按照(5.2.48)式直接将G(p)转换成带阻滤波器H(s)。,例5.2.5 设计模拟带阻滤波器，其技术要求为： l=2905rad/s, s1=2980rad/s, s2= 21020rad/s,u=21105rad/s,p=3dB, s=25dB。试设计巴特沃斯带阻滤波器。 解 (1) 模拟带阻滤波器的技术要求： l=2905,u=
16、21105; s1=2980,s2=21020; 20=lu=4+21000025,B=u-l=2200;,l=l/B=4.525,u=u/B=5.525; s1=s1/B=4.9,s2=5.1; 20=lu=25 (2) 归一化低通的技术要求：,(3)设计归一化低通滤波器G(p):,(4) 带阻滤波器的H(s)为,5.3 用脉冲响应不变法设计IIR 数字低通滤波器,为了保证转换后的H(z)稳定且满足技术要求，对转换关系提出两点要求： (1) 因果稳定的模拟滤波器转换成数字滤波器，仍是因果稳定的。 (2)数字滤波器的频率响应模仿模拟滤波器的频响，s平面的虚轴映射z平面的单位圆，相应的频率之间成
17、线性关系。,设模拟滤波器的传输函数为Ha(s),相应的单位冲激响应是ha(t),设模拟滤波器Ha(s)只有单阶极点，且分母多项式 的阶次高于分子多项式的阶次，将Ha(s)用部分分式表 示：,(5.3.1),式中si为Ha(s)的单阶极点。将Ha(s)进行逆拉氏 变换得到ha(t)：,(5.3.2),式中u(t)是单位阶跃函数。对ha(t)进行等间隔采样，采样间隔为T，得到：,(5.3.3),对上式进行Z变换，得到数字滤波器的系统函数H(z)：,(5.3.4),设ha(t)的采样信号用ha(t)表示，,对 进行拉氏变换，得到:,式中ha(nT)是ha(t)在采样点t=nT时的幅度值， 它与序列h
18、(n)的幅度值相等，即h(n)=ha(nT)，因此 得到:,(5.3.5),上式表示采样信号的拉氏变换与相应的序列的Z变换之间的映射关系可用下式表示： 我们知道模拟信号ha(t)的傅里叶变换Ha(j)和其采样信号 的傅里叶变换 之间的关系满足(1.5.5)式，重写如下：,(5.3.6),将s=j代入上式，得,由(5.3.5)式和(5.3.8)式得到:,(5.3.7),(5.3.8),(5.3.9),上式表明将模拟信号ha(t)的拉氏变换在s平面上沿虚轴按照周期s=2/T延拓后，再按照(5.3.6)式映射关系，映射到z平面上，就得到H(z)。(5.3.6)式可称为标准映射关系。下面进一步分析这种
19、映射关系。设,按照(5.3.6)式，得到:,因此得到:,(5.3.10),那么 =0,r=1 0,r1 另外，注意到z=esT是一个周期函数，可写成,为任意整数,图5.3.1 z=esT,s平面与z平面之间的映射关系,图5.3.2 脉冲响应不变法的频率混叠现象,假设 没有频率混叠现象，即满足 按照(5.3.9)式，并将关系式s=j代入，=T，代入得到： 令,一般Ha(s)的极点si是一个复数，且以共轭成对的形式出现，在(5.3.1)式中将一对复数共轭极点放在一起，形成一个二阶基本节。如果模拟滤波器的二阶基本节的形式为,极点为,(5.3.11),可以推导出相应的数字滤波器二阶基本节(只有实 数乘
20、法)的形式为,(5.3.12),如果模拟滤波器二阶基本节的形式为,极点为,(5.3.13),(5.3.14),例5.3.1 已知模拟滤波器的传输函数Ha(s)为 用脉冲响应不变法将Ha(s)转换成数字滤波器的系统函数H(z)。 解 首先将Ha(s)写成部分分式：,极点为,那么H(z)的极点为,按照(5.3.4)式，并经过整理，得到 设T=1s时用H1(z)表示，T=0.1s时用H2(z)表示，则,转换时，也可以直接按照(5.3.13),(5.3.14)式进行 转换。首先将Ha(s)写成(5.3.13)式的形式，如极点 s1,2=1j1,则,再按照(5.3.14)式，H(z)为,图5.3.3 例5.3.1的幅度特性,