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1、第三章 有源滤波器(I ),设计不同频段的滤波器所采用的元器件和材料是不同的，设计辅助软件一般也是不同。滤波器设计理论方面的书很多，很多可以直接从网上下载。我们从实际应用出发，先介绍有关滤波器的基础知识，然后介绍一些常用滤波器设计软件和它的应用。,滤波器是在依赖于频率基础之上处理信号的一种电路。随频率变化的这种特性称为频率响应，并以传递函数 H(j)表示，这里 是角频率以弧度/秒（rad/s）计，而j是虚数单位(j2=-1)。这个响应进一步具体分为幅度响应|H(j)|和相位响应 ;它们分别给出了当信号通过该滤波器后所经受的增益和相移。,频率响应概述 根据幅度响应，滤波器可分为低通、高通、带通、
2、和带阻（或隔阻）滤波器。第5类滤波器是称为全通滤波器，它只处理相位而保持幅度为常数。参照图3.1，将这些理想响应地定义如下。,图3.1 理想滤波器,（a）低通；（b）高通；（c）带通；（d）带阻；（e）,(f)全通,低通响应用一个称之为截止频率c的频率来表征，而有|H|1，c,这表明低于c的输入信号通过滤波器后幅度没有变化,而c的信号则全部被衰减掉。低通滤波器通常用于消除一个信号中的高频噪声。 高通响应与低通响应正好相反，高于截止频率c的信号不被衰减，而H的信号则被截止住。一种熟知的带通滤波器就是收音机中的调谐电路，它让用户可以选定某一特定的电台而阻断其他的电台。,带阻响应与带通响应相反，因为
3、它阻断的频率分量位于阻带LH 之内，而通过其余全部分量。当这个阻带是足够窄的话，这种响应称为陷波响应。陷波滤波器的一种应用就是在医学仪器中消除拾取到的不需要的60HZ频率分量干扰（在中国为50HZ译者注）。 全通响应由|H|1（与频率无关）和 表征，这里t0为一合适的比例常数以秒计。这类滤波器在通过某个交变信号时幅度不受影响，但相移与频率成正比。虽然，全通滤波器也称为延时滤波器。延时均衡器和宽带90O相移网络都是全滤波器的例子。,作为一个例子，图3.2说明了在利用如下输入电压下：,前四种理想滤波器的滤波效果。在左图示出的是由频谱分析仪所观察到的信号频谱,右图则是用示波器所看到的时域波形。,图3
4、.2 在频域（左图）和在时域（右图）的滤波效果,在频谱仪上显示的频谱图形,有源滤波器,有源滤波器-吸收进放大器的滤波器称为有源滤波器。,一个有源滤波器只能在运算放大器正常工作的范围内起作用。随频率而滚降的开环增益限制运算放大器的工作范围。这个限制一般就将有源滤波器应用局限到兆赫以下的范围。这包括了音频和仪器仪表的应用范围，在那里运算放大器滤波器获得了最为广泛的应用，而电感由于太笨重而无法与可利用的IC(指运算放大器芯片）小型化相匹敌。超出运算放大器能达到的频率之上，电感还是占优势，所以高频滤波器仍然还是用无源RLC元件实现的。在这些滤波器中，由于电感和电容值随工作频率范围上升而下降，所以电感的
5、尺寸和重量更便于处置。,传递函数,一个电路的特性行为唯一地由它的传递函数H(s)来表征。,传递函数在信号与系统课程里已讲，这里将用到它。,输入信号,输出信号,电路,输出信号与输入信号的拉普拉斯变换的比值，称为传递函数H(s)。,一旦H(s)知道，对某给定输入 的响应 就能求得为,（3.1）,H(s)和稳定性,H(s)和频率响应,这部分同学们自己看。,这就是在电路分析里面学的的正弦稳态分析的理论基础,在滤波器的研究中，关心的是对如下交流输入 xi(t)=Ximcos(t+i) 的响应，这是Xim是振幅，是角频率，而i是相角。一般来说，（3.2）式的完全响应xo(t)由两个分量组成,即一个在函数形
6、式上类似于自然响应的暂态分量，而另一个是与输入有同一频率但有不同振幅和相角的稳态分量。如果全部极点都位于LHP，那么暂态分量将最终消逝，而仅有稳态分量,稳态响应：随时间增长仍继续存在并趋于 稳定的部分。,暂态响应：随时间增长而衰减消失的部分。,全响应=零输入响应+零状态响应 =自然响应 + 受迫响应 =暂态响应 + 稳态响应,系统的响应,简单回顾信号与系统的知识,齐次解+特解或输入信号与系统冲激响应h(t)的卷积,对一个滤波器的电路图而言，可以用解析方法求得H(s)，然后对（或f）画出| H(j) |和 ，为频率响应给出一种可视化的展示。这些图称为伯德图，能用手画出来，或经由PSpice产生。
7、 相反，已知| H(j) |，可令js得到H(s)，求得它的根并构成零极点图。,伯德图 一个滤波器的幅值和频率范围可能是很宽的。例如，在音频滤波器中典型的频率范围是从20Hz20kHz,这代表着1000：1的范围。为了用同一清晰度观察小的以及大的细节，| H |和H分别在对数和半对数标尺上画出。这就是说，频率间隔用每10倍频程（,0.01,0.1,1,10,100,）,或者每倍频程（,1/8,1/4,1/2,1,2,4,8,）表示，而| H |以分贝（dB）表示为,| H | dB20log10| H | (3.12),伯德图就是分贝和度对10倍频（或倍频程）的图。这类图的另一个优点就是下面这
8、些有用的性质成立：,|H H | dB| H |dB +| H | dB (3.13a) | H /H | dB| H |dB -| H | dB (3.13b) |1/H 1| dB-| H |dB (3.13c),+3db = *2 +6db = *4 (2*2) +7db = *5 (+10db-3db = 10/2) +4db = *2.5 (+10db-6db = 10/4) +1db = *1.25 (+4db-3db,dB值快速计算方法,3.2 一阶有源滤波器 利用一个电容作为运算放大器的外部元件之一就可从基本运算放大器组成得到最简单的有源滤波器。,微分器,H(s)=- RCs
9、(3.16),在图3.5（a）的反相结构中有VO=(-R/Zc)Vi=-RCSVi 。根据拉普拉斯变换性质，在频域乘以S等效于在时域微分。这就确认了这个电路的微分器名称。对比值VO/Vi求解给出,它在原点有一个零点。,图3.5 微分器及幅值伯德图,令sj并引入归一化频率 0=1/RC (3.17) 将H(j)表示成归一化形式 H(j)- j/0（/0）-90o (3.18),考虑到| H | dB20log10（/0），| H | dB对log10（/0）的图就是y=20x形式的一条直线。正如在图3.5（b）中所指出的，它的斜率是20 dB/dec(dB每10个频程)，这表明在频率上每增加（或
10、降低）10倍，幅度增大（或减小）20dB。（3.18）式指出，这个电路引入了90O相位滞后，而放大则与频率成正比。从物理意义上看，在低频 |Zc|R,电路提供衰减（负的分贝）；在高频|Zc|R,电路提供放大（正分贝）；在0有|Zc|R,电路提供单位增益（0dB）。这样，0称为单位增益频率。,整体看待,-90=180+90-360,积分器,图3.6（a）的电路给出Vo=(-Zc/R)Vi=-(1/RCs)Vi ，由于电容器是在反馈路径中，所以也称米勒积分器。由于在频域被s除对应于在时域的积分，这就确认了积分器的名称。它的传递函数是 H(s)=-1/ RCs (3.19),该积分器的幅度图如图3.
11、6（b）所示 。,图3.6 积分器及其幅值伯德图,带增益的低通滤波器,将一只电阻与反馈电容器并联如图3.9（a）所示，就把这个积分器变成一个带有增益的低通滤波器。令1/Z21/R2+/（1/sC）=(R2Cs+1)/R2，给出H(s)=- Z2 /R1,或者,（3.24）,指出一个实数极点在s-1/ R2C，令sj，可将H(s)表示成归一化形式,(3.25a),(3.25b),图3.9 带增益的低通滤波器,H0就称为直流增益,因为该电路仅在某一有限频率范围内近似一个积分器特性，所以也称它为有损耗积分器。,0称为-3 dB频率,带增益的高通滤波器,按图3.10（a）将一电容与输入电阻串联就将微分
12、器转变为一个带增益的高通滤波器。,图3.10 带增益的高通滤波器,它的传递函数为,（3.26）,它在原点有一个零点而在S=-1/R1C有一个极点令sj，能将H(s)表示成归一化形式为,（3.27a）,（3.27b）,这里H0称为高频增益，0还是-3dB频率。,宽带带通滤波器,最后的两个电路能够合并成图3.11(a)的电路，它给出一个带通响应 。,图3.11 宽带带通滤波器,它的传递函数为,（3.28）,尽管这是一个二阶滤波器，但在这里选它是为了用以说明用低阶基本构造单元综合出高阶滤波器的例子。,令sj得出,式中H0称为中频增益。这种滤波器用在 LH的情况，这时L和H 称为低（下）和高（上）-3
13、 dB频率。这个电路特别用在音频应用场合，在那里希望将音频范围内的信号获得放大，而阻止亚音频分量，如直流以及音频范围以上的噪声。,标准二阶响应,二阶波波器重要性不仅在于它们本身，还在于它们是构造高阶滤波器的重要组成部分，因此在学习实际电路以前，需要详细研究它们的响应。,所有的二阶函数都可以表示成如下的标准形式。,(3.40),式中N(s)是一个阶次m2的s多项式；0称作无阻尼自然频率，单位是rad/s;而 是一个无量纲的参数，称为阻尼系数。,令sj可以得到频率响应，通过用另一个无量纲参数Q可将频率响应表示为：,(3.42),(3.43),随着我们研究的深入，Q的含义将会越来越清晰。,低通响应H
14、LP,所有的二阶低通函数都可以表示成 的标准形式，式中H0LP是某个合适的常数，称为直流增益，而,（3.44）,采用渐近近似来构造它的幅度图。,二阶响应，除了使高频渐近线的陡度增加了两倍的斜率，还能对/01附近频域的幅度形状调节增加了自由度。在实际应用中，Q的范围可低至0.5高至100，而接近于1的那些值最为常用。对不同的Q值，幅度图分别示于图3.19（a）中。对于低Q值而言，从一条渐近线到另一条的过渡是平缓的，而对于高Q值，在/01的附近频带内有| H LP|1,这种现象称作峰化。,图3.19 不同Q值的标准二阶响应,（a)低通； （b) 高通,可以证明在峰化出现之前，Q的最大值是 。它相应
15、的曲线称为最大平滑曲线或称为巴特沃兹响应（Butterworth response）。这条曲线最接近陡峭模型，所以得到广泛的应用。巴特沃兹响中0的意义与一阶响应情况相一致，0都代表的是-3dB频率，也称作截止频率。,可以证明，在存在峰值的响应中，即Q1时，| H LP|取最大值时的频率以及相应的最大值是：,(3.46a),(3.46b),对于足够大的Q，如Q5，有/0 1和| H LP|max Q。当然，若没有峰值存在，即 ,那么在/00时值为最大，即为直流的时候。峰值响应对第4章要讨论的高阶滤波器的级联综合中是很有用的。,高通响应H LP,所有二阶高通函数的标准形式是H(j)=H0HPHHP
16、(j),式中H0HP称为高频增益，而,(3.47),图3.19 不同Q值的标准二阶响应,（a)低通； （b) 高通,（注意，分子中的负号是定义的一部分。）令js，表明H(s)除了有一对极点，在原点还有一个二阶零点。还可以再使用渐近近似来绘制它的幅度图；然而，注意到可以通过把H LP(j/0)中 (j/0)换成1/(j/0)就可以得到HHP (j/0),从而使这一过程大大简化，如图3.19（b）所示。因此H HP的幅度图是H LP的镜像。只要用0/取代/0）（3.46）式仍然成立。,带通响应HBP,所有二阶带通函数的标准形式是H(j)= H0BPHBP(j),式中H0BP称为谐振增益，而,（3.
17、48）,（注意，分子中的Q是定义的一部分。）这个函数除了有一对极点外，在原点还有一个零点。这里仍使用渐进挖来绘制幅度图。,可以证明，无论Q取何值，|HBP|在/0=1处最大，因此|HBP|在/0=1的值被称为峰值，0谐振频率。,对于不同的Q值，幅度图如图3.20（a）所示。所有曲线的峰值都为0 dB。对应于Q值较低的曲线形状较宽，而对应于Q值较高的曲线形状较为狭窄，这表明它具有比较高的选择性。虽然在远离谐振频率处，高选择性曲线斜率还是最后滚降到20dB/dec，但在/0=1区域附近，这些曲线的斜率要比20dB/dec更为陡峭。,图3.20,（a）作为Q的函数的标准二阶带通响应； （b) 标准二
18、阶带通响应的带宽,为了定量表示选择性，现引入带宽的概念：,BW=H-L,（3.50）,式中的L和H都是-3 dB频率，在该频率处的响应比它的最大值低3 dB，如图3.20（b)所示。,可以证明,（3.51a）,（3.51b）,（3.52）,谐振频率0是L和H的几何均值，这表明在对数座标轴上0位于L和H之间的中点。显然，带宽越窄，滤波器的选择性越好。然而，选择性还依赖于0 。这是因为，BW10rad/s和01 k rad/s的滤波器的选择性明显优于BW10rad/s 和0100rad/s的滤波器。一种有效度量选择性的方法是求0/BW的比值。用（3.51b）式减去（3.51a）并取倒数，可得,（3
19、.53）,Q就是选择性。现在对这个参数又有了一个具体的理解。,带阻响应HN,对带阻函数来说，最常用的形式是H(j)HON HN(j),式中HON是一个适当的增益常数，而,(3.54),（在3.7节，我们将接触到其他一些带阻函数，在这些函数分子分母中的0可以不相同。）令js，可以看到，H(s)除了有一对极点外，还在虚轴上有一对零点，它们是Z1,2=j0。可以看到，在相当低的或相当高的频率上，有HN1。然而，对于/01，得到HN0及| H N| dB-。带阻响应于图3.21（a）中，通过它可以发现,Q值越高，带阻曲线就会越窄。因为这些原因，0称作为隔波频率。在一个实际电路中，因为元器件的非理想性，
20、一个无限深的凹陷是无法实现的。,图3.21 具有不同Q值的标准二阶响应,（a) 带阻；（b）全通,我们注意到,HNHLP + HHP=1- HBP,(3.55),这表明，一旦其他响应可资利用时，这是合成带阻响应的另一种方法。,全通响应HAP,它的通用形式是H(j)H0APHAP(j),式中H0AP是一个通常的增益项，而,（3.56）,这个函数有两个极点和两个零点。当Q0.5时，零点和极点都为复数，并且关于j轴对称。因为N(j) = D(j) ，无论频率为何值，都有| H AP|=1或 |HAP|dB=0 dB。相位关系为,以上表明，在/0从0变化到的过程中，相角由0经过-180变化到-360，
21、如图3.21（b）所示。全通函数也能写成如下形式：,（3.57a）,（3.57b）,对于,对于,（3.58）,该式分子有三项，分别对应于低通、高通和带通。,要有理论基础我们才会应用软件进行辅助设计！,3.5 KRC滤波器,既然一个R-C级可提供一阶低通响应，那么两个相同的级联，如图3.22（a）所示，就应该会产生二阶响应，而且不用电感。实际上，电容在低频相当于开路，会让输入信号以H1V/V通过电路。输入信号在高频会被电容C1和C2旁路到地，因而产生两步衰减；因此称其为二阶。一个单级R-C在高频的传递函数是H1/( j/0)，两个级的组合级联的传递函数就应为H1/( j/1)x1/( j/2)
22、-1/( /0)2， ，这表明渐近线的斜率是 -40 dB/dec。图3.22（a）中的滤波器作为一个二阶低通响应，就满足渐近准则，但是它却不能在/01附近为控制幅度图形提供足够的灵活性。事实上可以证明，所有这些无源滤波器都有Q0.5。,图3.22 （a）二阶低通滤波器的无源实现； （b）二阶低通滤波器的有源实现,如果希望使Q值大于0.5，就需要在0附近，增大幅度响应。实现这个目的的一种方法就是增加一个可控的正反馈量。如图3.22（b）所示，R2-C2级的输出经一个增益为K的放大器放大，然后通过C1反馈回至中间级节点，它的低端已脱离地电位而当作正反馈通路。这种反馈必须仅仅在特别需要增强的0附近
23、才能奏效。可以使用物理概念来验证反馈的带通特性：对于/01,C2产生的短路使得Vo太小而无法起作用；然而在/01附近存在着反馈，可以通过改变K值来进行调整，以获得要求的峰值。图3.22（b）类型的滤波器确切地称为KRC滤波器或以它的发明者名字而称之为塞林更（Sallen-Key）滤波器,图3.22 （a）二阶低通滤波器的无源实现； （b）二阶低通滤波器的有源实现,低通KRC滤波器,如图3.23所示，增益单元是由一个起同相放大器作用的运算放大器实现的，有,(3.59),图3.23 低通KRC滤波器,注意到，电路利用运算放大器的低阻抗输出得到VO。通过观察有,这个公式是根据V1在R2，C2上分压得
24、到的,在V1节点对电流求和，即,消去V1，然后合并整理可得,令sj 可得,接着，把这个函数表示成标准形式 ，式中的 HLP(j) 如（3.44）式所示。令对应系数相等，通过观察，可得,(3.60a),(3.60b),令,得,这表明0是单级频率=1/ R1C1和1/R2C2的几何均值。最后，令j（1-K）R1C1+ R1C2+ R2C2 =( j/0)/Q，可得,(3.60c),可以观察到K和Q依赖于元件的比值，而0依赖于元件的乘积。,由于元件容差和运算放大器的非理想性，一个实际滤波器参数有可能偏离它们的期望值。可按如下方式进行调谐：（a）调节R1，获得要求的0（这种调整同时也改变Q）；（b）一
25、旦0调整好后，调节RB获得要求的Q(这不会改变0；然而，却改变了K。因为它对频率特性没有影响，所以它的改变关系不大)。 因为只有三个方程而有五个参数（K,R1,C1,R2和C2）,就得先固定其中的两个，这样就可以为余下的三个参数列出设计方程。两种常用的设计方法分别是等值元件设计法和单位增益设计法（其他设计方法将会在本章末中讨论）。,等值元件KRC电路,令R1=R2=R和C1=C2=C, 简化上述各式，将（3.60）式简化为,得出的设计方程为,（3.61）,（3.62）,单位增益KRC电路,令K以使元件数是少，同时也使该运算放大器带宽最大（这个问题会在第章讨论）。为了简化计算，列出各元件值如下R
26、2=R,C2=C,R1=mR 和C1=nC。 于是，（3.60）式简化为,（3.64）,可以证明，对某一给定的n,当m=1，也即电阻值相等时，Q值最大，当m=1，由（3.64）式可得n=4Q2。实际中，若使用两个以某一比值n4Q2较易获得的电容器；此时 m可由 得到，式中 。,高通KRC滤波器,类似的推导可得到高通、带通和带阻的KRC滤波器,互相交换低通R-C级中的元件，就会将它变成一个高通C-R级。交换图3.23中的低通滤波器的电阻和电容可以得到图3.27中的滤波器。利用直观判断，可以很容易地将它归类为高通类型。通过类似的分析，可以得出VO/Vi=H0HP HHP,式中HHP由（3.47）式
27、可得，有,和低通的情况类似，对设计者来说两种简单的设计方法分别是等值元件和单位增益设计方法。,图3.27 高通KRC滤波器,(3.65a),(3.65b),带通KRC滤波器,图3.28所示的电路是由在一个R-C级后再连接一个C-R级构成一个带通单元，并由增益单元经R3提供正反馈得到。这个反馈是用于提升在/01附近的响应的。对滤波器的交流分析可得V0/Vi=H0BPHBP,式中HBP可由（3.48）式得到，而,图3.28 带通KRC滤波器,(3.66a),(3.66b),再次注意到可以通过改变R1来调节0和改变RB来调节Q。,如果， ,一种合适的选择就是R1=R2=R3=R和C1=C2=C,在这
28、种情况下上述表达式可以简化为,相关的设计方程是,(3.67),(3.68),是否可以拿来设计3003000HZ的语音滤波器？,带阻KRC滤波器,图3.29 的的电路是由一个双T网络和一个经由顶部电容提供正反馈的增益单元所组成。这个双T网络为Vi到达放大器的输入端提供了另一条正向通路，这就是：低频信号通路R-R和高频信号通路C-C。这表明在频率的高低极值上有HK。然而在中频区域，这两条通路会产生相反的相位角，因此，在放大器的输入端这两个正向信号有互相抵消的趋势。因此可预见是一个带阻型响应。对电路的交流分析可得Vo/Vi=H0NHN,式中HN如（3.54）式所示，而,图3.29 带阻KRC滤波器,
29、（3.69）,灵敏度,因为元件值的容差和运算放大器非理想性的影响，一个实际滤波器的响应很有可能偏离理论上预期的响应。尽管其中有一些元件可以进行些微的调节，但是由于元件老化和热漂移的因素，偏离还是会出现的。因此有必要弄清楚一个给定的滤波器对于元件值变化的灵敏度有多大。例如，一个二阶带通滤波器的设计者想要知道，当给定电阻和电容有1%的变化时，0和BW的变化范围是多少。,设一个滤波器参数0和Q为y,和一个滤波器元件如电阻R或电容C为x,则典型的灵敏度函数可定义为,（3.90）,这里用偏微分来说明滤波器参数通常依赖于多于一个元件值变化的情况。对于微小变化，可以近似为,（3.91）,由此可以估计由部分元
30、件值变化 x/x 而产生的部分参数变化y/y 。两边同乘以100可以得到百分数变化之间的关系。灵敏度函数满足下述有用的性质：,我们以一些通常用的滤波器为例来获得对灵敏度的理解。,KRC滤波器的灵敏度,参考图3.23的低通KRC滤波器，由（3.60b）式得 ,因此由（3.92d）式可得,把（3.90）式和（3.92）式应用到（3.60c）式就能给出Q的表达式，可得：,对于等值元件设计方法，Q灵敏度可以简化为：,而对于单位增益设计方法，可简化为,因为等值元件设计方法的Q灵敏度会随着Q的增加而增加，所以它在高Q值时是无法接受的。正如我们所知道的 在高Q时是一个重要的考虑因素，这是因为RB/RA比值的一个微小失配就可能会导致Q变为无穷，甚至可能为负，因而会导致振荡现象产生。与此相对比，单位增益设计方法有更低的灵敏度。很显然，设计者在选择一个特定的滤波器设计方法以实现给定应用以前，必须权衡一系列矛盾的因素，这些因素包括电路的简易性、成本、元件值分布、可调性、灵敏度等。,