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1、12-1 梁弯曲时的正应力,12-2 惯性矩的计算,12-3 梁弯曲时的强度计算,12-4 梁弯曲时的切应力,12-5 提高弯曲强度的措施,第十二章 弯曲应力,12 引言,1、弯曲构件横截面上的（内力）应力,梁横截面上 与弯矩M对应， 与剪力F对应。,某段梁的内力既有弯矩也有剪力时，该段梁的变形称为横力 弯曲。如AC、BD段。,2、纯弯曲(Pure Bending):,某段梁的内力只有弯矩没有剪力时，该段梁的变形称为纯弯曲。如AB段。,、横力弯曲:,平面弯曲时横截面s 纯弯曲(横截面上只有M而无Q的情况) 平面弯曲时横截面t 横力弯曲(横截面上既有Q又有M的情况),弯曲应力,2、研究方法,纵向
2、对称面,P1,P2,12-2 纯弯曲时的正应力,计算公式的推导,(1) 几何关系变形与应变,观察在竖直平面内发生纯弯曲的梁，研究其表面变形情况,. 弯曲前画在梁的侧面上相邻横向线mm和nn间的纵向直线段aa和bb，在梁弯曲后成为弧线，靠近梁的顶面的线段aa缩短，而靠近梁的底面的线段bb则伸长；,. 相邻横向线mm和nn，在梁弯曲后仍为直线，只是相对旋转了一个角度，且与弧线aa和bb保持正交。,根据表面变形情况，并设想梁的侧面上的横向线mm和nn是梁的横截面与侧表面的交线，可作出如下推论(假设)：,平面假设 梁在纯弯曲时，其原来的横截面仍保持为平面，并仍与变形后的梁的轴线保持垂直。只是转了一个角
3、度。,此假设已为弹性力学的理论分析结果所证实。,梁内有一束纵向纤维组成， 横截面的转动使梁凹入一侧的纵向纤维缩短，凸出一侧的纵向纤维伸长，从而根据变形的连续性可知，各层纤维变形由伸长到缩短，中间必有一层纵向纤维只弯曲而无长度改变的中性层 (图f)，而中性层与横截面的交线就是梁弯曲时横截面绕着它转动的轴 中性轴 (neutral axis)。,（f),根据变形的连续性可知，梁弯曲时从其凹入一侧的纵向线缩短区到其凸出一侧的纵向线伸长区，中间必有一层纵向无长度改变的过渡层，称为中性层 。,中性层,中性轴:,中性层与横截面的交线就是中性轴。,中性层与中性轴,令中性层的半径为r(如图c)，则有,3纵向线
4、应变在横截面范围内的变化规律 图c为由相距d x的两横截面取出的梁段在梁弯曲后的情况，两个原来平行的横截面绕中性轴相对转动了角dq。梁的横截面上距中性轴 z为任意距离 y 处的纵向线应变由图c可知为,(c),r 中性层的曲率半径,纯弯曲时梁横截面上各点的纵向线应变沿截面高度线性分布,1、变形几何关系,(2)物理关系力与变形（应力、应变）,梁的材料在线弹性范围内工作（胡克定律），且拉、压弹性模量相同时，有,这表明，直梁的横截面上的正应力沿垂直于中性轴的方向按线性规律变化,即梁在纯弯曲时，其横截面上任一点处的纵向线应变e与该点至中性轴的距离 y 成正比。,(3)静力学关系 应力与内力。,梁的横截面
5、上与正应力相应的法向内力元素sdA(图d )不可能组成轴力( )，也不可能组成对于与中性轴垂直的y 轴(弯曲平面内的轴)的内力偶矩( )，只能组成对于中性轴 z 的内力偶矩，即,(d),将 代入上述三个静力学条件，有,(a),(b),(c),以上三式中的Sz，Iyz，Iz都是只与截面的形状和尺寸相关的几何量，属于截面的几何性质，而,其中,为截面对于z轴的静矩(static moment of an area)或一次矩（形心计算公式），其单位为m3。,为截面对于y轴和z轴的惯性积，其单位为m4。,为截面对于z轴的惯性矩(moment of inerita of an area)或二次轴矩，其单位
6、为m4。,由于式(a)，(b)中的 不可能等于零，因而该两式要求：,1. 横截面对于中性轴 z 的静矩等于零， ；显然这是要求中性轴 z 通过横截面的形心；,2. 横截面对于 y 轴和 z 轴的惯性积等于零， ；在对称弯曲情况下，y 轴为横截面的对称轴，因而这一条件自动满足。,(a),(b),(c),由式(c)可知，直梁纯弯曲时中性层的曲率为,上式中的EIz称为梁的抗弯刚度（对Z轴）。显然，由于纯弯曲时，梁的横截面上的弯矩M 不随截面位置变化。,将上式代入得出的式子 即得弯曲正应力计算公式：,(c),应用此式时，如果如图中那样取 y轴向下为正的坐标系来定义式中 y 的正负，则在弯矩 M 按以前
7、的规定确定其正负的情况下，所得正应力的正负自动表示拉应力或压应力。实际计算中，可根据截面上弯矩的方向，直接判断中性轴的哪一侧产生拉应力，哪一侧产生压应力，而不必计及M和y的正负；在此情况下可以把式中的 y 看作求应力的点离中性轴 z 的距离。,中性轴 z 为横截面对称轴的梁 (图a，b) 其横截面上最大拉应力和最大压应力的值相等；中性轴 z 不是横截面对称轴的梁 (图c) ，其横截面上的最大拉应力和最大压应力的值不相等。,中性轴z为横截面的对称轴时，横截面上最大拉、压应力的值smax为,式中，Wz为截面的几何性质，称为抗弯曲截面系数（对Z轴）(section modulus in bendin
8、g)，其单位为m3。,中性轴 z 不是横截面的对称轴时(参见图c)，其横截面上最大拉应力值和最大压应力值为,纯弯曲理论的推广,工程中实际的梁大多发生横力弯曲，此时梁的横截面由于切应力的存在而发生翘曲(warping)。此外，横向力还使各纵向线之间发生挤压(bearing)。因此，对于梁在纯弯曲时所作的平面假设和纵向线之间无挤压的假设实际上都不再成立。但弹性力学的分析结果表明，受满布荷载的矩形截面简支梁，当其跨长与截面高度之比 大于5时，梁的跨中横截面上按纯弯曲理论算得的最大正应力其误差不超过1%，故在工程应用中就将纯弯曲时的正应力计算公式用于横力弯曲情况，即,对于细长梁（ l/h 5 ），纯弯
9、曲时的正应力计算公式用于横力弯曲情况，其结果仍足够精确。, .纯弯曲理论的推广,解：,由弯曲曲率公式,可得：,代入弯曲正应力公式：,例题12-1 图a所示简支梁由56a号工字钢制成，其截面简化后的尺寸见图b。已知F=150 kN。试求危险截面上的最大正应力smax。,解：在不考虑梁的自重( )的情况下，该梁的弯矩图如图所示，截面C为危险截面，相应的最大弯矩值为,由型钢规格表查得56a号工字钢截面,于是有,显然，梁的自重引起的最大正应力仅为,而危险截面上的最大正应力变为,远小于外加荷载F 所引起的最大正应力。,如果考虑梁的自重(q=1.041 kN/m)则危险截面未变，但相应的最大弯矩值变为,工
10、程中常遇到由基本图形构成的组合截面，例如下面例题中所示的两种横截面。当对组合截面杆件计算在外力作用下的应力和变形时需要求出它们对于形心轴x，y (本节中的x轴就是以前我们所用的z轴) 的一些几何性质，例如：,惯性矩 (moment of inertia),12-3 惯性矩的计算,(1) 矩形截面,简单截面对于形心轴的惯性矩和弯曲截面系数,三、常见截面的IZ和WZ：,思考: 一长边宽度为 b，高为 h 的平行四边形，它对于形心轴 z 的惯性矩是否也是 ？,(2) 圆截面,在等直圆杆扭转问题中已求得：,而由图可见，2=y2+z2 , 从而知,而弯曲截面系数为,根据对称性可知，原截面对于形心轴z和y
11、的惯性矩Iz和Iy是相等的，Iz= Iy，于是得,(3) 空心圆截面,由于空心圆截面的面积等于大圆的面积AD减去小圆(即空心部分)的面积Ad故有,式中， 。,根据对称性可知：,思考： 空心圆截面对于形心轴的惯性矩就等于大圆对形心轴的惯性矩减去小圆对于形心轴的惯性矩；但空心圆截面的弯曲截面系数并不等于大圆和小圆的弯曲截面系数之差，为什么？,而空心圆截面的弯曲截面系数为,在已知构成组合截面的每一图形对于通过其自身形心且平行于组合截面某个轴(例如x轴)的惯性矩时，组合截面的惯性矩可利用平行移轴公式求得。,x,组合截面的惯性矩 平行移轴公式,已知任意形状的截面(如图)的面积A以及对于形心轴xC和yC的
12、惯性矩 ，现需导出该截面对于与形心轴xC ， yC平行的x轴和y轴的惯性矩Ix，Iy。截面的形心C在x，y坐标系内的坐标为,组合截面的惯性矩 平行移轴公式,因截面上的任一元素dA在x，y坐标系内的坐标为,于是有,注意到xC轴为形心轴，故上式中的静矩 等于零，从而有,同理可得,以上三式就是惯性矩和惯性积的平行移轴公式。,2. 组合截面的惯性矩,若组合截面由几个部分组成，则组合截面对于x，y两轴的惯性矩分别为,x,例题12-2 试求图a所示截面对于x轴的惯性矩Ix ，对于y轴的惯性矩Iy 。,(a),解：将截面看作由一个矩形和两个半圆形组成，半圆形的形心位置如图b所示。,(1)求Ix,设矩形对x轴
13、的惯性矩为 ，每个半圆形对x轴的惯性矩为 ，则有,其中：,至于 则需先求出半圆形对其自身形心轴的惯性矩。根据平行移轴公式可得 ，而半圆形对于直径轴x(图b)的惯性矩等于圆形对x轴的惯性矩 的一半，于是得,然后再利用平行移轴公式求半圆形对x轴的惯性矩：,将 d = 80 mm，a = 100 mm 代入后得,从而得图a所示截面对x轴的惯性矩：,（2） 求Iy,此组合截面的y轴就是矩形和半圆形的形心轴，故不必应用平行轴公式而有,将 d = 80 mm，a = 100 mm 代入后得,12-4 梁弯曲时的强度计算,等直梁横截面上的最大正应力发生在最大弯矩所在横截面上距中性轴最远的边缘处，而且在这些边
14、缘处，即使是横力弯曲情况，由剪力引起的切应力也等于零或其值很小(详见下节)，至于由横向力引起的挤压应力可以忽略不计。因此可以认为梁的危险截面上最大正应力所在各点系处于单轴应力状态。于是可按单向应力状态下的强度条件形式来建立梁的正应力强度条件：,式中，s为材料的许用弯曲正应力。,对于中性轴为横截面对称轴的梁，上述强度条件可写作,由拉、压许用应力st和sc不相等的铸铁等脆性材料制成的梁，为充分发挥材料的强度，其横截面上的中性轴往往不是对称轴，以尽量使梁的最大工作拉应力st,max和最大工作压应力sc,max分别达到(或接近)材料的许用拉应力st和许用压应力sc 。,梁的正应力强度条件,利用上式可以
15、进行三方面的强度计算： 已知外力、截面形状尺寸、许用应力，校核 梁的强度 已知外力、截面形状、许用应力，设计梁的 截面尺寸 已知截面形状尺寸、许用应力，求许可载荷,1.C 截面上K点正应力,2.C 截面上最大正应力,3.校核梁的强度,1. 求支反力,（压应力）,解：,例题12-1 图示简支梁，受均布载荷作用，材料的许用应力=160MPa，求：,目录,2.求C 截面上K点正应力,2. C 截面最大正应力,C 截面弯矩,C 截面惯性矩,目录,3.校核梁的强度,全梁最大弯矩,截面惯性矩,目录,例12 -2：图示外伸梁，受均布载荷作用，材料的许用应力=160MPa，校核该梁的强度。,解：由弯矩图可见,
16、该梁满足强度条件，安全,例题12-3 一简易起重设备如图所示.起重量(包含电葫芦自重)F = 30 kN. 跨长l = 5 m. 吊车大梁AB由20a工字钢制成.其许用弯曲正应力=170MPa，试校核梁的强度.,解：此吊车梁可简化为简支梁，力 F 在梁中间位置时有最大正应力 .,（a）正应力强度校核,由型钢表查得20a工字钢的,所以梁的最大正应力为,例题12-4 对于图中的吊车大梁，现因移动荷载F增加为50kN，故在 20a号工字钢梁的中段用两块横截面为120mm10mm而长度 2.2mm的钢板加强加强段的横截面尺寸如图所示.已知许用弯曲正应力=152MPa，许用切应力 =95MPa.试校核此
17、梁的强度.,解：加强后的梁是阶梯状变截面梁. 所以要校核,（2）F移至未加强的梁段在截面变化处的正应力.,（1）F位于跨中时跨中截面 上的弯曲正应力；,（1）校核F位于跨中截面时的弯曲正应力,查表得20a工字钢,62.5kNm,最大弯矩值为,跨中截面对中性轴的惯性矩为,略去了加强板对其自身形心轴的惯性矩.,抗弯截面系数,（2）校核突变截面处的正应力，也就是校核未加强段的正应力强度.,2.2m,F,1.41m,2.5m,5m,A,B,C,D,1.4m,FRB,FRA,该截面上的最大弯矩为,从型钢表中查得20a工字钢,梁不能满足正应力强度条件.,为此应将加强板适当延长.,作弯矩图，寻找需要校核的截
18、面,要同时满足,分析：,非对称截面，要寻找中性轴位置,例题12-5,目录,（2）求截面对中性轴z的惯性矩,（1）求截面形心,解：,目录,（4）B截面校核,（3）作弯矩图,目录,（5）C截面要不要校核？,（4）B截面校核,（3）作弯矩图,目录,例12-6,如图所示一个铸铁梁，求此梁的最大压应力和最大拉应力,1、计算约束力,2、画出剪力弯矩图,？最大拉应力和最大压应力是否都发生在截面 C,3、计算截面的几何性质,设截面的形心位于 O 点,4、应力计算,考察C截面，弯矩为正,C截面下边受拉上边受压,4、应力计算,考察B截面，弯矩为负,B截面上边受拉下边受压,至此，该问题中最大拉应力位于B截面的上边缘
19、，而最大压应力位于C截面的上边缘,一、 矩形截面梁的切应力公式推导*,儒拉夫斯基假设,1）截面上任意一点的切应力 t 的方向和该截面上的剪力FQ的方向平行。,2）切应力沿宽度均匀分布，即t 的大小只与距离中性轴的距离有关。,12-5 梁弯曲时的切应力,取简支梁中dx的微段进行受力分析,若所切微段上无横向外力作用，则两截面的剪力相等。,则该微段上的应力分布如图,弯矩不同，两侧截面上的正应力也不相同,按照儒拉夫斯基假设，切应力和剪力平行。,为了研究横截面上距离中性层 y 处的切应力t的数值，可在该处用一个平行于中性层的纵截面pp1，将微段的下半部分截出。,研究 x 方向的平衡,距中性轴为 y 处的
20、横线以外部分横截面积A1对中性轴的静矩。,同理可得,研究 x 方向的平衡,顶边分布的切应力的合力 dF的大小,由,其中： FS 横截面上的剪力； Iz 整个横截面对于中性轴的惯性矩； b 所求切应力点的位置的梁截面的宽度；,矩形截面梁弯曲切应力计算公式, 横截面上求切应力的点处横线以外部分面积对中性轴的静矩,1.矩形横截面上弯曲切应力的变化规律,二、特殊界面切应力,(2) 同一横截面上的最大切应力tmax在中性轴处( y=0 )；,t沿截面高度按二次抛物线规律变化；,(3)上下边缘处（y=h/2)，切应力为零。,2.工字形截面梁,工字形截面由翼缘和腹板组成,上翼缘,下翼缘,腹 板,由于腹板截面
21、是狭长矩形，因此儒拉夫斯基假设仍然适用，若要计算腹板上距中性轴y处的切应力，Sz*是图中黄色部分面积对中性轴的静矩。,经计算可得公式为,沿高度的分布规律如图,结果表明，腹板几乎全部承担了横截面上的剪力，且最大切应力和最小切应力相差不大，因此接近均匀分布。,2、工字形截面梁的剪应力,腹板,翼缘,在腹板上：,在翼缘上，有平行于 的剪应力分量，分布情况较复杂，但数量很小，并无实际意义，可忽略不计。,在翼缘上，还有垂直于 方向的剪应力分量，它与腹板上的剪应力比较，一般来说也是次要的。,腹板负担了截面上的绝大部分剪力，翼缘负担了截面上的大部分弯矩。,3、圆形、圆环形截面梁,切应力的分布特征： 边缘各点切
22、应力的方向与圆周相切；切应力分布与 y 轴对称；与 y 轴相交各点处的切应力其方向与 y 轴一致。,关于其切应力分布的假设： 1、离中性轴为任意距离 y 的水平直线段上各点处的切应力汇交于一点 ； 2、这些切应力沿 y方向的分量 ty 沿宽度相 等。,y,最大切应力t max 在中性轴处,薄壁环形截面梁,薄壁环形截面梁弯曲切应力的分布特征： (1) d r0沿壁厚切应力的大小不变； (2) 内、外壁上无切应力切应力的方 向与圆周相切； (3) y 轴是对称轴 切应力分布与 y 轴 对称；与 y 轴相交的各点处切应力 为零。,最大切应力tmax 仍发生在中性轴z上。,薄壁环形截面梁最大切应力的计
23、算,4. T形截面梁,T形截面梁上的切应力分布规律如图所示：,最大切应力位于中性轴，大小为:,横截面中性轴z一侧面积（上部或下部对z轴的静矩）,腹板宽度,例12-5,如图所示矩形截面梁，已知,求 危险截面上a、c、d、e、f 五点的正应力和切应力,1）确定危险截面，首先画出剪力弯矩图,危险截面位于B截面右侧,2）计算截面惯性矩,3）计算正应力,拉,拉,位于中性轴,压,压,3）计算切应力,12-6 提高弯曲强度的措施,控制梁弯曲强度的主要因素是弯曲正应力，即以,作为梁设计的主要依据。因此应使Mmax尽可能地小，使WZ尽可能地大。,一. 降低 Mmax,合理安排支座,合理布置载荷,6-7,目录,一
24、、合理配置梁的荷载和支座,合理布置支座,目录,合理布置支座,目录,目录,合理布置载荷,二. 增大 WZ,合理设计选取截面,合理放置截面,6-7,目录,几种常用截面的比较,用比值,来衡量,可看出：材料远离中性轴的截面(环形、槽形、 工字形等)比较经济合理。,1、合理选取截面形状,目录,2.合理放置截面,(1) 尽可能使横截面上的面积分布在距中性轴较远处，以使弯曲截面系数Wz增大。,由四根100 mm80 mm10 mm不等边角钢按四种不同方式焊成的梁(角钢的长肢均平放，故四种截面的高度均为160 mm)，他们在竖直平面内弯曲时横截面对于中性轴的惯性矩Iz和弯曲截面系数Wz如下：,图a所示截面,图
25、b所示截面,图c所示截面,图d所示截面,(2) 对于由拉伸和压缩许用应力值相等的材料 (例如建筑用钢) 制成的梁，其横截面应以中性轴为对称轴。对于在压缩强度远高于拉伸强度的材料(例如铸铁)制成的梁，宜采用T形等对中性轴不对称的截面，并将其翼缘置于受拉一侧，如下图。,例 4-18 图,为充分发挥材料的强度，最合理的设计为,因,即,矩形木梁的合理高宽比,北宋李诫于1100年著营造法式 一书中指出: 矩形木梁的合理高宽比 ( h/b = ) 1.5,英(T.Young)于1807年著自然哲学与机械技术讲义 一书中指出: 矩形木梁的合理高宽比 为,各个横截面具有同样强度的梁等强度梁,三 、等强度梁及变截面梁,等强度梁及变截面梁,变截面梁及等强度梁,横截面沿梁轴变化的梁变截面梁,等强度梁及变截面梁,提高梁强度的措施,江阴长江大桥 （悬索桥，1385米）,美国金门大桥 （悬索桥，1280米）,综合应用了： 枕木增加支承； 工字钢合理的截面形状； 优质钢材提高材料的力学性能；,提高梁强度的措施,