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1、第二章第二章 圆锥曲线与方程圆锥曲线与方程 2.1.1 2.1.1 椭圆及其标准方程椭圆及其标准方程 责 科 蒸 县 絮 纺 含 苟 剥 诡 是 频 疲 煞 蒲 腕 厢 咎 瘪 填 蒜 擞 台 儿 谁 同 鹤 毖 化 仰 赫 敖 2 . 1 . 1 椭 圆 及 其 标 准 方 程 （ 2 4 P P T ） 数 学 子 课 题 组 信 息 技 术 与 高 中 数 学 数 字 化 课 堂 教 学 模 式 的 实 验 研 究 用一个平面去截一个圆锥面，当平面经过圆锥面的顶 点时，可得到 ；当平面与圆锥面的轴垂直时 ，截线（平面与圆锥面的交线）是一个 当改变截面与圆锥面的轴的相对位置时，观察截线的变
2、化 情况，并思考： 用平面截圆锥面还能得到哪些曲线？这些曲线具有哪些几 何特征？ 两条相交直线 圆 毒 亲 侮 樊 磺 碟 停 奈 裔 攀 羡 却 蜀 敷 彪 片 四 壳 米 扶 兆 羊 哩 细 柿 仓 爸 挠 棠 挣 蔷 葱 2 . 1 . 1 椭 圆 及 其 标 准 方 程 （ 2 4 P P T ） 数 学 子 课 题 组 信 息 技 术 与 高 中 数 学 数 字 化 课 堂 教 学 模 式 的 实 验 研 究 椭圆双曲线抛物线 眩 涣 嫂 坠 能 拇 湘 巫 谗 羔 威 传 茵 太 驶 架 驴 扒 鲜 戎 介 裁 步 吸 嚷 燕 成 务 员 渺 眶 鹊 2 . 1 . 1 椭 圆 及
3、 其 标 准 方 程 （ 2 4 P P T ） 数 学 子 课 题 组 信 息 技 术 与 高 中 数 学 数 字 化 课 堂 教 学 模 式 的 实 验 研 究 一、引入 结论：平面内到两定点F1，F2的距离之和等于常 数的点的轨迹为椭圆。 常数必须大于两定点的距离 俭 吞 堂 羡 嫁 禁 甄 敝 冲 眉 凛 牛 瓢 能 朱 诽 叼 渤 萍 焊 谴 旧 措 寨 钓 踢 靠 梧 姐 诱 耶 恃 2 . 1 . 1 椭 圆 及 其 标 准 方 程 （ 2 4 P P T ） 数 学 子 课 题 组 信 息 技 术 与 高 中 数 学 数 字 化 课 堂 教 学 模 式 的 实 验 研 究 1、
4、椭圆的定义： 平面内到两个定点F1、F2的距离之和等于常数（ 大于|F1F2|）的动点M的轨迹叫做椭圆。 这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离 叫做椭圆的焦距|F1F2|=2c 。 M 几点说明： 1、椭圆定义式：|MF1| + |MF2| = 2a |F1F2|=2c. 则M点的轨迹是椭圆. 2、若|MF1| + |MF2| = 2a = |F1F2|=2c ，则M点的轨迹是线段F1F2. 3、若|MF1| + |MF2| = 2a |F1F2|=4，故点M的轨迹为椭圆 。 (2)因|MF1|+|MF2|=4=|F1F2|=4，故点M的轨迹不是椭 圆(是线段F1F2)。 (3)因|MF1
5、|+|MF2|=32c)的动 点M的轨迹方程。 解：以F1F2所在直线为X轴，线段F1F2 的垂直平分线为Y轴，建 立平面直角坐标系，则焦点F1、F2的坐标分别为(-c,0)、 (c,0)。 (- c,0) (c,0 ) (x,y ) 设M（x,y)为所求轨迹上的任意一点， 则:|MF1|+ |MF2|=2a 且2a2c 2、椭圆标准方程及其推导 求曲线轨迹方程的步骤：1、建系 2、设标 3 、列式 4、化简 5、检验（可省略不写） 阅 树 鼠 摔 三 炙 毫 炉 皆 房 淆 似 坠 穴 则 舷 金 农 清 各 霞 泰 蝶 桶 或 焰 筛 主 斯 阅 壁 垫 2 . 1 . 1 椭 圆 及 其
6、 标 准 方 程 （ 2 4 P P T ） 数 学 子 课 题 组 信 息 技 术 与 高 中 数 学 数 字 化 课 堂 教 学 模 式 的 实 验 研 究 O X Y F1F2 M (- c,0) (c,0 ) (x,y ) 两边平方得：a4-2a2cx+c2x2=a2x2-2a2cx+a2c2+a2y2 即：(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2) 因为2a2c，即ac，所以 a2-c20，令a2-c2=b2，其 中b0，代入上式可得： b2x2+a2y2=a2b2 两边同时除以a2b2得： (ab0) 这个方程叫做椭圆的标准方程， 它所表示的椭圆的焦点在x 轴上 。 a c
7、b 吠 辞 信 期 焦 判 贺 氦 七 肖 唉 雪 于 览 酗 冶 饵 脏 丫 觉 级 琅 趟 施 绑 涯 些 同 桑 懦 椎 邢 2 . 1 . 1 椭 圆 及 其 标 准 方 程 （ 2 4 P P T ） 数 学 子 课 题 组 信 息 技 术 与 高 中 数 学 数 字 化 课 堂 教 学 模 式 的 实 验 研 究 O X Y F1F2 M (- c,0) (c,0 ) O X Y F1 F2 M (0,-c) (0 , c) 椭圆的标准方程的几点说明： （1）椭圆标准方程的形式：左边是两个分式的平方和，右边是1 （2）椭圆的标准方程中三个参数a、b、c满足a2=b2+c2。 （3）
8、椭圆的标准方程中：x2与y2的分母哪一个大，则焦点在 哪一条轴上，大分母为a2 ，小分母为b2. 椭圆的标准方程 柯 交 俗 贩 荐 完 商 旧 战 进 跋 鲸 宏 鳖 席 渊 厉 桌 茨 郎 素 馋 均 冒 施 亨 泽 悯 赘 宾 琶 炉 2 . 1 . 1 椭 圆 及 其 标 准 方 程 （ 2 4 P P T ） 数 学 子 课 题 组 信 息 技 术 与 高 中 数 学 数 字 化 课 堂 教 学 模 式 的 实 验 研 究 分母哪个大，焦点就在哪个轴上 标准方程 相 同 点 焦点位置的判断 不 同 点 图 形 焦点坐标 定 义 a、b、c 的关系 a2-c2=b2 3、椭圆的标准方程
9、小结 |MF1|+|MF2|=2a (2a2c0) 1 2 y o FF M x y xo F 2 F1 M 综 惧 垄 颊 吁 骨 浪 途 俭 垛 佣 吩 廓 攫 鞠 泳 钓 遭 晴 溯 吴 稀 扫 掠 配 绒 歌 鸿 庙 济 释 钙 2 . 1 . 1 椭 圆 及 其 标 准 方 程 （ 2 4 P P T ） 数 学 子 课 题 组 信 息 技 术 与 高 中 数 学 数 字 化 课 堂 教 学 模 式 的 实 验 研 究 例3、椭圆的两个焦点的坐标分别是（4，0），（4，0），椭圆上一点 P到两焦点距离之和等于10，求椭圆的标准方程。 例4、动点P到两定点F1(-4,0)，F2(4,0
10、)的距离之和为8，则动点P的轨迹 为（ ） A.椭圆 B.线段F1F2 C.直线F1F2 D.不能确定B 例例5 5、椭圆椭圆 上一点上一点P P到一个焦点的距离等于到一个焦点的距离等于3 3，则它到，则它到 另一个焦点的距离是（另一个焦点的距离是（ ） A.5 B.7 C.8 D.2 A.5 B.7 C.8 D.2 B 例6、动点P到两定点F1(-4,0)，F2(4,0)的距离和是7，则动点P的轨迹为（ ） A.椭圆 B.线段F1F2 C.直线F1F2 D.无轨迹 D 傍 盒 牛 驼 芬 源 掳 粤 深 架 臃 茨 石 歌 晾 谆 媚 扳 宣 孜 抓 绵 薛 季 喳 惋 吨 拈 絮 遗 悬
11、瘩 2 . 1 . 1 椭 圆 及 其 标 准 方 程 （ 2 4 P P T ） 数 学 子 课 题 组 信 息 技 术 与 高 中 数 学 数 字 化 课 堂 教 学 模 式 的 实 验 研 究 例2.已知椭圆的两个焦点坐标分别是(-2,0),(2,0), 并且经过点 , 求它的标准方程. 解法一:因为椭圆的焦点在x轴上,所以设它的标准方程为 由椭圆的定义知 所以 又因为 ,所以 因此, 所求椭圆的标准方程为 袍 台 洞 胚 须 曙 紊 刨 姻 彝 钳 傣 曳 遇 蹿 刷 折 荡 蕉 点 璃 澳 脏 芭 竟 碰 摧 耗 捻 各 桔 频 2 . 1 . 1 椭 圆 及 其 标 准 方 程 （
12、 2 4 P P T ） 数 学 子 课 题 组 信 息 技 术 与 高 中 数 学 数 字 化 课 堂 教 学 模 式 的 实 验 研 究 例2.已知椭圆的两个焦点坐标分别是(-2,0), (2,0), 并且经过点 , 求它的标准方程. 解法二:因为椭圆的焦点在x轴上,所以设它的标准方程为 联立, 因此, 所求椭圆的标准方程为 求椭圆标准方程的解题步骤： （1）确定焦点的位置； （2）设出椭圆的标准方程； （3）用待定系数法确定a、b的值， 写出椭圆的标准方程. 齿 原 豢 痕 委 币 电 撞 刮 岂 搽 蛹 鹃 桃 岸 眷 碾 换 悟 搐 蚌 迭 儒 圭 孝 损 斥 到 乌 窝 儒 扔 2
13、 . 1 . 1 椭 圆 及 其 标 准 方 程 （ 2 4 P P T ） 数 学 子 课 题 组 信 息 技 术 与 高 中 数 学 数 字 化 课 堂 教 学 模 式 的 实 验 研 究 例3椭圆的两个焦点的坐标分别是（4，0） （4，0），椭圆上一点P到两焦点距离之和等于10， 求椭圆的标准方程。 1 2 y o FF M x 解： 椭圆的焦点在x轴上 设它的标准方程为: 2a=10, 2c=8 a=5, c=4 b2=a2c2=5242=9 所求椭圆的标准方程为 隙 奥 裸 谅 垦 野 树 塑 披 烃 庞 皖 庶 暖 池 篮 悔 纺 腕 猾 抢 抡 腰 曙 债 洲 佰 胺 牟 滔 泛
14、 弘 2 . 1 . 1 椭 圆 及 其 标 准 方 程 （ 2 4 P P T ） 数 学 子 课 题 组 信 息 技 术 与 高 中 数 学 数 字 化 课 堂 教 学 模 式 的 实 验 研 究 1、建系 2、设标 3、列 式 4、化简 5、检验（可 省略不写） 醋 谣 徒 赃 速 来 脖 纵 尖 跟 辱 亨 鳃 釉 峨 跃 侧 鹿 蹿 窜 菇 着 胳 犊 福 段 簿 读 匠 灵 缆 敏 2 . 1 . 1 椭 圆 及 其 标 准 方 程 （ 2 4 P P T ） 数 学 子 课 题 组 信 息 技 术 与 高 中 数 学 数 字 化 课 堂 教 学 模 式 的 实 验 研 究 例5、
15、如图，设点A，B的坐标分别为(-5,0),(5,0)。 直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是 ，求点M的轨迹方程。 解：设点M的坐标为(x,y)，因为点A的坐标是，所以直线 AM的斜率 同理，直线BM的斜率 由已知有 化简，得点M的轨迹方程为 霜 灯 啼 其 秦 叹 巷 蚂 显 疆 仁 鸿 墨 睁 独 隔 些 酮 书 任 滤 犹 邱 葡 蛙 最 傲 悍 涯 淤 限 殴 2 . 1 . 1 椭 圆 及 其 标 准 方 程 （ 2 4 P P T ） 数 学 子 课 题 组 信 息 技 术 与 高 中 数 学 数 字 化 课 堂 教 学 模 式 的 实 验 研 究 款 尼 疵 怠 振 税
16、烹 遁 剖 酚 娇 姨 严 夯 英 遂 攒 查 倔 棵 摸 寨 湿 衰 父 绷 隆 驭 芝 屹 绸 戴 2 . 1 . 1 椭 圆 及 其 标 准 方 程 （ 2 4 P P T ） 数 学 子 课 题 组 信 息 技 术 与 高 中 数 学 数 字 化 课 堂 教 学 模 式 的 实 验 研 究 椭圆的一般形式 扼 忽 膛 秽 差 绷 夸 襄 械 槽 致 仅 挞 芯 半 狠 尧 祖 央 硷 帜 卉 肿 识 宫 畜 闲 朱 帕 枫 讫 晒 2 . 1 . 1 椭 圆 及 其 标 准 方 程 （ 2 4 P P T ） 数 学 子 课 题 组 信 息 技 术 与 高 中 数 学 数 字 化 课
17、堂 教 学 模 式 的 实 验 研 究 例6、（1）求椭圆的标准方程： 经过点P（- ，2），Q（ ，- ） （2）已知一椭圆的焦距为2 ，且经 过点（2，2），求椭圆的标准方程。 婆 旅 廷 英 拥 守 层 窄 截 蝉 茁 衙 膊 剐 勤 糊 亭 沧 醇 枚 龟 子 衙 皖 困 军 早 翰 弄 加 文 阑 2 . 1 . 1 椭 圆 及 其 标 准 方 程 （ 2 4 P P T ） 数 学 子 课 题 组 信 息 技 术 与 高 中 数 学 数 字 化 课 堂 教 学 模 式 的 实 验 研 究 填空： (1)已知椭圆的方程为： ，则 a=_，b=_，c=_，焦点坐标 为：_焦距等于_;若
18、CD为过 左焦点F1的弦，则F2CD的周长为_ 课前练习 54 3 (3,0)、(-3,0)6 0 F1F2 C D 判断椭圆标准方程的焦点在哪个 轴上的准则： 焦点在分母大的那个轴上 。 |CF1|+|CF2|=2a 粥 遥 陕 哎 筹 食 亢 尼 寥 骋 杭 颤 昔 薄 做 埋 锯 缺 匿 乏 本 萤 厂 虾 芹 沉 霍 鞭 若 烘 肌 箔 2 . 1 . 1 椭 圆 及 其 标 准 方 程 （ 2 4 P P T ） 数 学 子 课 题 组 信 息 技 术 与 高 中 数 学 数 字 化 课 堂 教 学 模 式 的 实 验 研 究 (2)已知椭圆的方程为： ,则 a=_，b=_，c=_，
19、 焦点坐标为：_，焦距 等于_; 若曲线上一点P到焦点F1的距离为3，则 点P到另一个焦点F2的距离等于_， 则F1PF2的周长为_ 21 (0,-1)、(0,1) 2 P F1 F2 |PF1|+|PF2|=2a 倦 砚 柿 峰 梗 鸣 例 俞 撮 谅 椰 仆 墅 欺 滤 亭 圭 碳 供 榷 聊 垂 扩 冠 自 稍 倾 悍 孤 贬 显 宏 2 . 1 . 1 椭 圆 及 其 标 准 方 程 （ 2 4 P P T ） 数 学 子 课 题 组 信 息 技 术 与 高 中 数 学 数 字 化 课 堂 教 学 模 式 的 实 验 研 究 皇 踢 贺 垄 冻 晕 敖 沧 旺 审 胁 乱 梦 搀 缠
20、刘 蠢 作 孔 厩 蹿 磕 须 锅 凰 诸 云 知 装 逢 闹 侄 2 . 1 . 1 椭 圆 及 其 标 准 方 程 （ 2 4 P P T ） 数 学 子 课 题 组 信 息 技 术 与 高 中 数 学 数 字 化 课 堂 教 学 模 式 的 实 验 研 究 课后练习： 1 化简方程： 2 椭圆mx2+ny2=-mn(mn0)的焦点 坐标是 3 方程 表示焦点在x轴上的 椭圆,则m的取值范围为 巍 苦 姜 矾 鹊 未 熄 歪 巩 勤 周 走 矿 状 恐 诱 时 呻 勒 炔 喉 糕 设 荐 列 拍 桌 含 编 凰 袋 危 2 . 1 . 1 椭 圆 及 其 标 准 方 程 （ 2 4 P P
21、 T ） 数 学 子 课 题 组 信 息 技 术 与 高 中 数 学 数 字 化 课 堂 教 学 模 式 的 实 验 研 究 4 设F1，F2为定点,|F1F2|=6，动点M满足 |MF1|+ |MF2|=6,则动点的轨迹是（ ） （A）椭圆 （B）直线 （C）线段 （D）圆 5 如果方程x2+ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆， 则k的取值范围是_ 0k1 6 已知B、C是两个定点，BC=6，且 ABC的周长等于16，求顶点A的轨迹方程 匠 期 馒 会 牌 蒋 阑 槽 屁 萧 毙 墙 孕 五 寒 臣 辈 舅 搞 滦 柜 炎 蔼 嚏 揉 婴 敷 钻 雀 铁 吩 琅 2 . 1 . 1 椭 圆 及 其 标 准 方 程 （ 2 4 P P T ） 数 学 子 课 题 组 信 息 技 术 与 高 中 数 学 数 字 化 课 堂 教 学 模 式 的 实 验 研 究