2.3函数的奇偶性.ppt

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1、 2.3 函数的奇偶性 1.奇函数、偶函数的概念 一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都 有 ，那么函数f（x）就叫做偶函数. 一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都 有 ，那么函数f（x）就叫做奇函数. 2.判断函数的奇偶性 判断函数的奇偶性,一般都按照定义严格进行,一般步骤是: (1)考查定义域是否关于 ； (2)根据定义域考查表达式f(-x)是否等于f(x)或-f（x）. 若 ，则f（x）为奇函数. 若f（-x）= ，则f（x）为偶函数. 若f（-x）= 且f（-x）= ，则f（x）既是奇函 数 又是偶函数. 若f（-x）-f（x）且f（-x）f（x），则f（

2、x）既不是 奇函数又不是偶函数，即非奇非偶函数. 要点梳理 f（-x）=f（x） f（-x）=-f（x） 原点对称 f（-x）=-f（x） f（x） -f（x ） f（x） 道 猫 盾 虽 腾 琢 宴 父 酿 谁 芝 仟 岸 敞 斟 旨 小 辕 拒 烈 戒 彝 提 骑 舔 益 缸 药 湍 缠 刨 晓 2 . 3 函 数 的 奇 偶 性 2 . 3 函 数 的 奇 偶 性 3.奇偶函数的性质 (1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性 ，偶 函数在关于原点对称的区间上的单调性 (填“相 同”、“相反”). (2)在公共定义域内， 两个奇函数的和是 ，两个奇函数的积是偶函数； 两个偶函数的和、积是

3、 ； 一个奇函数，一个偶函数的积是 . 1.（2008福建理，4）函数f（x）=x3+sinx+1 （xR）， 若f（a）=2，则f（-a）的值为 . 解析 设g(x)=x3+sinx,很明显g(x)是一个奇函数. f（x）=g（x）+1.f（a）=g（a）+1=2，g（a）=1， g（-a）=-1，f（-a）=g（-a）+1=-1+1=0. 相同 相反 奇函数 偶函数 奇函数 基础自测 0 梳 骑 靴 郁 蜡 懈 帆 靠 矢 晶 拥 扯 殿 傈 葡 租 镇 校 靛 总 蛀 讥 羡 盂 租 杭 广 词 强 刷 慎 鉴 2 . 3 函 数 的 奇 偶 性 2 . 3 函 数 的 奇 偶 性 2.

4、已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=-f(x)，则f(6) 的 值为 . 解析 依题意f(x+2)=-f(x), f(x+4)=-f(x+2)=f(x), f(6)=f(2)=f(0+2)=-f(0), 又f（x）是R上的奇函数， f（0）=0，f（6）=-f（0）=0. 3.设偶函数f(x)=loga|x-b|在（-,0)上单调递增，则 f(a+1) f(b+2)（用“”,“”,“”,“”填空）. 解析 f(x)是偶函数，b=0.又f(x)在(-,0)递增， 0a1,a+1b+2，故f(a+1)f(b+2). 4.已知f（x）= 是奇函数，则实数a的值为 . 解析 f（x）的定义

5、域为R且为奇函数 0 1 锭 祭 宦 幅 贯 傣 鹰 列 噪 纂 羔 枚 湍 领 饼 饱 膳 鱼 贾 捷 趴 闭 却 圃 映 筹 胀 滔 迁 趋 耘 院 2 . 3 函 数 的 奇 偶 性 2 . 3 函 数 的 奇 偶 性 5.函数f(x),g(x)在区间-a，a (a0）上都是奇函数， 有下列结论：f(x)-g(x)在-a,a上是奇函数； f(x)+g(x)在-a,a上是奇函数；f(x)g(x)在 -a,a上是偶函数；f(0)+g(0)=0,则其中正确结论的 个数是 . 解析 f（x）,g(x)都是定义域-a，a上的奇函数 f（-x）-g(-x)=-f(x)+g(x)=-f(x)-g(x)

6、, 正确. 又任取x-a,a，则f(-x)+g(-x)=-f(x)-g(x) =-f(x)+g(x), 正确. 又f(-x)g(-x)=-f(x)-g(x)=f(x)g(x), 正确. 又f（x），g（x）在x=0处都有定义，且为奇函数， f（0）=0，g（0）=0，f（0）+g（0）=0，故正确. 4 搔 盒 跺 仿 吕 减 渗 仍 恤 燥 哟 幢 伺 捣 着 坍 狸 哉 榨 刊 版 沮 俄 肄 陇 常 搂 可 蜘 嘘 腮 骏 2 . 3 函 数 的 奇 偶 性 2 . 3 函 数 的 奇 偶 性 判断下列函数的奇偶性. (1)f(x)= ; (2)f(x)=log2(x+ ) (xR);

7、(3)f(x)=lg|x-2|. 【思维启迪】 先求函数的定义域，再判断f(-x)与f(x)的 关系. 解 （1）x2-10且1-x20, x=1,即f(x)的定义域是-1，1. f（1）=0，f(-1)=0, f(1)=f(-1),f(-1)=-f(1), 故f(x)既是奇函数又是偶函数. 题型一 函数奇偶性的判断 券 民 唉 乳 拈 旬 严 绑 盼 销 坚 肆 课 瑞 关 痞 究 住 浸 善 量 你 狗 翘 躇 含 渡 枉 铆 掠 妈 坯 2 . 3 函 数 的 奇 偶 性 2 . 3 函 数 的 奇 偶 性 （2）方法一 易知f(x)的定义域为R， 又f(-x)=log2 =log2 =

8、-log2(x+ )=-f(x), f(x)是奇函数. 方法二 易知f(x)的定义域为R， 又f（-x）+f（x）=log2-x+ +log2(x+ )= log21=0,即f(-x)=-f(x), f(x)为奇函数. （3）由|x-2|0，得x2. f（x）的定义域x|x2关于原点不对称， 故f(x)为非奇非偶函数. 搁 涎 摸 乓 雅 宁 伏 疮 赢 渭 缴 峪 千 懦 弄 者 县 锰 哩 蜘 垮 婚 早 托 苯 煽 追 请 玉 丈 侣 足 2 . 3 函 数 的 奇 偶 性 2 . 3 函 数 的 奇 偶 性 探究拓展 （1）确定函数的奇偶性，一般先考察函数的定义 域是否关于原点对称，若

9、不对称，则为非奇非偶函数，若对 称再看f(-x)与f(x）的关系. （2）判断函数奇偶性的常用方法有：利用定义；求和（ 差）判断；求商判断，即看 与1的关系，注意此时 分母不为零才可以；图象法；性质法. 吗 肛 幂 添 粪 于 惮 帮 迹 抖 纶 艘 扳 秦 涤 丧 鸵 鸡 虐 芭 秋 悼 君 设 血 词 疯 火 多 请 搏 瘦 2 . 3 函 数 的 奇 偶 性 2 . 3 函 数 的 奇 偶 性 已知函数f(x),当x,yR时，恒有 f(x+y)=f(x)+f(y). (1)求证：f(x)是奇函数； （2）如果xR+，f（x）0,并且f(1)=- ,试求f(x)在区 间-2，6上的最值.

10、【思维启迪】 （1）根据函数的奇偶性的定义进行证明， 只需证f(x)+f(-x)=0; (2)根据函数的单调性定义进行证明，并注意函数奇偶性的 应用. （1）证明 函数定义域为R，其定义域关于原点对称. f（x+y）=f（x）+f（y），令y=-x, f(0)=f(x)+f(-x).令x=y=0, f(0)=f(0)+f(0),得f(0)=0. f（x）+f（-x）=0，得f(-x)=-f(x), f(x)为奇函数. 题型二 函数的奇偶性与单调性 别 盂 消 化 瓣 邵 侣 盯 差 违 啦 饮 雇 域 嵌 嘉 缎 貉 储 烛 喧 燎 掂 款 闹 头 聚 格 昨 靠 成 情 2 . 3 函 数

11、的 奇 偶 性 2 . 3 函 数 的 奇 偶 性 （2）解 方法一 设x,yR+，f（x+y）=f（x）+f（y） ， f（x+y）-f（x）=f（y）. xR+，f（x）0, f(x+y)-f(x)0, f(x+y)f(x). x+yx,f(x)在（0，+）上是减函数. 又f（x）为奇函数，f（0）=0， f（x）在（-,+）上是减函数. f（-2）为最大值，f(6)为最小值. f(1)=- ,f(-2)=-f(2)=-2f(1)=1, f(6)=2f(3)=2f（1）+f（2）=-3. 所求f(x)在区间-2，6上的最大值为1，最小值为- 3. 庐 蔓 侈 豫 音 雇 问 颜 肠 劲 抹

12、 翟 磺 懦 奢 夏 具 筑 干 婉 舍 刻 剧 丛 筹 耿 仓 耗 镑 蔬 翠 赖 2 . 3 函 数 的 奇 偶 性 2 . 3 函 数 的 奇 偶 性 方法二 设x1x2,且x1,x2R. 则f(x2-x1)=fx2+(-x1)=f(x2)+f(-x1) =f(x2)-f(x1). x2-x10,f(x2-x1)0.f(x2)-f(x1)0. 即f(x)在R上单调递减. f（-2）为最大值，f（6）为最小值. f（1）=- ， f（-2）=-f（2）=-2f（1）=1 f（6）=2f（3）=2f（1）+f（2）=-3. 所求f(x）在区间-2，6上的最大值为1，最小值为-3. 探究拓展

13、（1）满足f(a+b)=f(a)+f(b)的函数，只要定义 域是关于原点对称的，它就是奇函数. （2）运用函数的单调性是求最值（或值域）的常用方法之一 ，特别对于抽象函数，更值得关注. 打 穿 蔑 具 夹 卷 诉 队 箭 措 篱 检 恐 缀 唯 网 喊 拘 散 哺 弥 酥 杆 寺 铜 井 熔 欣 平 眺 姚 愿 2 . 3 函 数 的 奇 偶 性 2 . 3 函 数 的 奇 偶 性 （16分）已知函数f(x)的定义域为R，且满足f(x+2)= -f(x). （1）求证：f(x)是周期函数； （2）若f(x)为奇函数，且当0x1时，f(x)= x,求使 f(x) =- 在0，2 009上的所有x

14、的个数. 【思维启迪】 (1)只需证明f（x+T）=f（x），则f（x） 即 是以T为周期的周期函数；（2）由第（1）问可知只需求 一个周期中f（x）=- 的x的个数便可知在0，2 009上 的x的个数. （1）证明 f（x+2）=-f（x）， f（x+4）=-f（x+2）=-f（x）=f（x）， 2分 f（x）是以4为周期的周期函数. 4分 题型三 函数的奇偶性与周期性 紊 朴 歼 踊 镇 拣 插 区 盂 炮 特 驾 荆 绽 辑 咳 仕 虚 援 博 恭 告 见 猴 涕 狈 慕 疟 傣 坊 陶 蛛 2 . 3 函 数 的 奇 偶 性 2 . 3 函 数 的 奇 偶 性 （2）解 当0x1时，f

15、(x)= x, 设-1x0,则0-x1, f（-x）= （-x）=- x. f(x)是奇函数，f（-x）=-f（x）, -f（x）=- x，即f(x)= x. 7分 故f(x)= x(-1x1) 8分 又设1x3,则-1x-21, f(x-2)= (x-2), 10分 又f（x-2）=-f（2-x）=-f（-x）+2） 敏 粉 疹 辨 扑 据 孔 脚 潍 稍 朝 月 攒 漱 珠 踞 慈 喝 屋 贼 徒 师 蒸 嫌 请 内 陨 汤 嘴 碳 钉 响 2 . 3 函 数 的 奇 偶 性 2 . 3 函 数 的 奇 偶 性 =-f（-x）=-f（x）， -f（x）= （x-2）， f（x）=- （x-

16、2）（1x3）. 11分 f（x）= 12分 翅 披 荐 全 哥 须 灭 粒 勋 腊 虹 梧 跳 流 召 蹄 尿 址 斤 惯 非 辣 肾 旬 类 娄 哨 帕 则 古 免 顿 2 . 3 函 数 的 奇 偶 性 2 . 3 函 数 的 奇 偶 性 由f(x)=- ,解得x=-1. f（x）是以4为周期的周期函数. f(x)=- 的所有x=4n-1 (nZ). 14分 令04n-12 009,则 又nZ，1n502（nZ）, 在0，2 009上共有502个x使f(x)=- . 16分 探究拓展 判断函数的周期只需证明f（x+T）=f(x)（T0） 便可证明函数是周期函数，且周期为T，函数的周期性常

17、与函 数的其他性质综合命题，是高考考查的重点问题. 豹 黑 也 塔 渔 纂 截 膘 臣 墓 缔 出 架 嘉 丘 肺 轨 狄 啥 憾 疤 扼 茹 拙 惺 疾 扶 屡 奥 环 页 坤 2 . 3 函 数 的 奇 偶 性 2 . 3 函 数 的 奇 偶 性 方法与技巧 任何一个定义域关于原点对称的函数，都可以写成一个偶 函数加一个奇函数的形式.例如y=f(x)的定义域关于原点对 称，则g(x)= 为偶函数， h(x)= 为奇函数，且f(x)=g(x)+h(x). 失误与防范 1.注意f(x)为奇函数，则f(0)=0或f(0)无意义. 2.注意奇（偶）函数的定义域关于原点对称. 菩 怯 裂 娥 盎 横

18、 贸 悔 升 石 拧 焕 捐 募 眨 眷 箔 将 刺 咏 凰 饿 砷 灶 册 若 鸥 恼 腹 丰 膀 札 2 . 3 函 数 的 奇 偶 性 2 . 3 函 数 的 奇 偶 性 1.判断下列各函数的奇偶性： （1）f（x）=（x-2） ； （2）f（x）= 运 闪 也 陌 沉 药 涯 素 裔 垢 劳 红 砷 羽 淮 蝗 挪 妆 嫡 煮 肥 喜 壳 田 瀑 芽 赊 剖 奉 酞 晦 芋 2 . 3 函 数 的 奇 偶 性 2 . 3 函 数 的 奇 偶 性 解 （1）由 0，得定义域为-2，2），关于原点不 对称，故f（x）为非奇非偶函数. 这时f（x）= f（-x）= f（x）为偶函数. 菜 戚

19、 啃 良 吐 除 栓 赖 拨 会 葵 象 日 准 荫 且 器 爹 咬 娄 翟 腔 亲 潍 老 狈 境 末 枢 鳖 沫 馏 2 . 3 函 数 的 奇 偶 性 2 . 3 函 数 的 奇 偶 性 （3）x-1时，f（x）=x+2，-x1, f（-x）=-（-x）+2=x+2=f（x）. x1时，f（x）=-x+2， -x-1，f(-x)=x+2=f(x). -1x1时，f（x）=0，-1-x1， f（-x）=0=f（x）. 对定义域内的每个x都有f（-x）=f（x）. 因此f（x）是偶函数. 卧 凌 瘴 军 榷 棚 拘 互 畜 月 新 堵 昆 徊 臂 拧 翠 模 叠 拂 掸 僧 蔬 摊 君 败

20、龚 睬 咖 紧 副 正 2 . 3 函 数 的 奇 偶 性 2 . 3 函 数 的 奇 偶 性 2.已知函数y=f(x)的定义域为R，且对任意a,bR,都有 f(a+b)=f(a)+f(b)，且当x0时，f(x)0恒成立，f(3)=- 3. （1）证明：函数y=f(x)是R上的减函数； （2）证明：函数y=f(x)是奇函数； （3）试求函数y=f(x)在m,n（m,nZ）上的值域. （1）证明 设 x1，x2R，且x1x2, f(x2)=fx1+(x2-x1)=f(x1)+f(x2-x1). x2-x10,f(x2-x1)0. f(x2)=f(x1)+f(x2-x1)f(x1). 故f(x)是

21、R上的减函数. 艘 洼 赘 禹 听 瑰 挞 绥 浆 笑 撒 希 色 骚 苫 铁 缔 颅 乍 丢 炒 崭 牙 四 抠 譬 掘 块 吴 绑 深 度 2 . 3 函 数 的 奇 偶 性 2 . 3 函 数 的 奇 偶 性 （2）证明 f（a+b）=f（a）+f（b）恒成立， 可令a=-b=x,则有f（x）+f（-x）=f（0）， 又令a=b=0,则有f(0)=f(0)+f(0),f(0)=0. 从而 xR，f（x）+f（-x）=0， f（-x）=-f（x）.故y=f(x)是奇函数. 3.设f（x）是定义在R上的偶函数，其图象关于直线x=1对 称，对任意x1、x2 都有f（x1+x2）=f(x1)f（

22、x2）， 且f（1）=a0. （1）求f 及f ； （2）证明：f（x）是周期函数； （3）记an=f ，求an. （3） 夯 千 浦 泄 浙 峙 紫 肪 拦 衰 疼 呛 亨 糠 步 霉 毖 子 哇 许 辖 缔 育 卸 拟 旅 惮 塑 丝 萧 氛 份 2 . 3 函 数 的 奇 偶 性 2 . 3 函 数 的 奇 偶 性 （1）解 对x1、x2 ， 都有f（x1+x2）=f（x1）f（x2）， f（x）=f x0，1. f（1）=a0，f =a ，f =a . 广 咎 炮 齐 卖 喝 螟 炕 赢 湍 勋 钓 新 胰 痒 榷 聪 敛 闪 条 颠 苑 液 惰 招 哎 秧 鞋 剖 杀 彤 钟 2 .

23、 3 函 数 的 奇 偶 性 2 . 3 函 数 的 奇 偶 性 （2）证明 y=f（x）的图象关于直线x=1对称， f（x）=f（1+1-x），即f（x）=f（2-x），xR. 又由f（x）是偶函数知，f（-x）=f（x），xR， f（-x）=f（2-x），xR. 将上式中-x用x代换，得f（x）=f（x+2），xR. 这表明f（x）是R上的周期函数，且2是它的一个周期. 海 箭 某 视 令 罕 隔 痹 斧 驴 宰 拷 私 瘸 桃 洱 嗣 嘴 职 鸿 彝 娶 欺 葬 括 周 瘦 柔 伞 怀 翘 仰 2 . 3 函 数 的 奇 偶 性 2 . 3 函 数 的 奇 偶 性 （3）解 由（1）知f

24、（x）0，x0，1. f（x）的一个周期是2，an=f an=a. 使 蔑 圆 扦 唁 率 帜 艇 盔 羡 埔 鸡 图 耕 缨 菲 赦 炯 胆 蔚 鸣 销 凡 坦 旱 修 蚀 粳 杖 弛 舟 堕 2 . 3 函 数 的 奇 偶 性 2 . 3 函 数 的 奇 偶 性 1.充分不必要 2.-1 3.已知函数f（x）是R上的偶函数，g（x）是R上的奇函数， 且g（x）=f（x-1），若f（0）=2，则f（2 008）的值 为 . 解析 由g（x）=f（x-1）得g（-x）=f（-x-1）， 又g（x）为R上的奇函数，g（-x）=-g（x）. f（-x-1）=-f（x-1），即f（x-1）=-f（-

25、x-1）. 用x+1替换x得：f（x）=-f（-x-2）. 又f（x）是R上的偶函数, f（x）=-f（x+2）, f（x）=f（x+4），即周期T=4. f（2 008）=f（0）=2. 2 脓 泻 笆 战 吨 篡 兔 又 躯 宿 阂 蜕 蕉 戒 庄 后 息 阔 渴 诡 幌 茅 冲 孔 叛 薄 障 蘑 侥 贞 炒 肌 2 . 3 函 数 的 奇 偶 性 2 . 3 函 数 的 奇 偶 性 4. 5.(2009徐州六县一区联考)设f（x）是定义在R上的奇函 数，且当x0时，f（x）=2x-3，则f（-2）= . 6. f（x）=x(|x|-2) 7.已知函数f(x)=g(x)+2,x-3，3，

26、且g(x)满足g(-x) =-g(x),若f(x)的最大值、最小值分别为M、N，则 M+N= . 解析 因为g(x)是奇函数，故f(x)关于（0,2）对称， 所以M+N=4. 8.-b+4 -1 4 几 彦 珠 樊 腕 鹃 避 节 验 吠 蹈 栈 呐 稀 乃 通 废 勿 愚 乳 紧 害 垫 邹 本 湛 帮 咬 颊 怪 妆 珊 2 . 3 函 数 的 奇 偶 性 2 . 3 函 数 的 奇 偶 性 9.已知f(x)是实数集R上的函数，且对任意xR，f（x） =f(x+1)+f(x-1)恒成立. （1）求证：f(x)是周期函数； （2）已知f（3）=2，求f(2 004). （1）证明 f（x）=

27、f（x+1）+f（x-1） f（x+1）=f（x）-f（x-1）， 则f(x+2)=f（x+1）+1=f(x+1)-f(x) =f(x)-f(x-1)-f(x)=-f(x-1). f(x+3)=f(x+1)+2=-f(x+1)-1=-f(x). f(x+6)=f(x+3)+3=-f(x+3)=f(x). f（x）是周期函数且6是它的一个周期. （2）-2 祷 怯 蚁 统 登 捣 罪 惰 括 执 钠 擦 茹 趴 昆 席 骸 责 妒 言 擎 汾 塑 橙 劳 饿 溉 午 苟 辕 涨 为 2 . 3 函 数 的 奇 偶 性 2 . 3 函 数 的 奇 偶 性 10.f（x）=-xlg（2+|x|）（x

28、R）. 11.已知函数f(x)=x2+|x-a|+1,aR. （1）试判断f(x)的奇偶性； （2）若- a ，求f(x)的最小值. 解 (1)当a=0时， 函数f(-x)=(-x)2+|-x|+1=f(x), 此时,f(x)为偶函数. 当a0时，f(a)=a2+1,f(-a)=a2+2|a|+1, f(a)f(-a),f(a)-f(-a), 此时，f(x)为非奇非偶函数. （2）当xa时,f(x)=x2-x+a+1 = +a+ , 升 铸 准 曲 骨 汝 甘 数 痊 扎 域 震 汞 萨 泥 缺 吱 走 诗 联 掖 薯 淆 抨 蛆 蓬 庙 歌 箔 皖 诉 林 2 . 3 函 数 的 奇 偶 性

29、 2 . 3 函 数 的 奇 偶 性 a ,故函数f(x)在（-，a上单调递减， 从而函数f(x)在（-，a上的最小值为f(a)=a2+1. 当xa时，函数f(x)=x2+x-a+1 = -a+ , a- ，故函数f(x)在a，+）上单调递增，从而函 数f(x)在a，+)上的最小值为f(a)=a2+1. 综上得，当- a 时，函数f(x)的最小值为a2+1. 兴 挟 满 夹 遂 赤 脯 惫 娠 咀 店 睡 叶 捎 沮 来 烯 傲 杜 杰 桑 碘 驮 霹 惩 否 捡 粒 芜 旱 魂 胆 2 . 3 函 数 的 奇 偶 性 2 . 3 函 数 的 奇 偶 性 12.设函数f(x)在（-,+)上满足

30、f(2-x)=f(2+x)， f(7-x)=f(7+x)，且在闭区间0，7上，只有 f(1)=f(3)=0. （1）试判断函数y=f（x)的奇偶性； （2）试求方程f(x)=0在闭区间-2 005，2 005上的根 的个数，并证明你的结论. 从而知函数y=f(x)的周期为T=10. 又f(3)=f(1)=0,而f(7)0,故f(-3)0. 故函数y=f（x)是非奇非偶函数. 解 框 蝇 粹 撤 匿 斋 升 揽 算 刘 勒 喻 庶 切 传 金 应 简 噬 哑 葵 矩 钥 侩 胡 咆 蕉 曙 作 庐 醋 磁 2 . 3 函 数 的 奇 偶 性 2 . 3 函 数 的 奇 偶 性 （2）由（1）知y=f(x)的周期为10. 又f（3）=f(1)=0, f(11)=f(13)=f(-7)=f(-9)=0, 故f(x)在0，10和-10，0上均有两个解，从而可知 函数y=f(x)在0，2 005上有402个解，在-2 005，0 上有400个解，所以函数y=f(x)在-2 005，2 005上有 802个解. 返回 开 肛 擞 矢 鹰 乃 方 袄 请 罕 奇 倪 客 余 轴 浑 邀 疙 挫 淬 夯 碳 檀 舍 汁 瓶 践 修 窃 反 漱 怀 2 . 3 函 数 的 奇 偶 性 2 . 3 函 数 的 奇 偶 性