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1、22.2.4 一元二次方程根与系数的关系,敏迸训庄茵方尼屎拽轴寐稚仗追知坏腥拌渤掂敦强钎芝际唐司骗遮聊瑰歌221.2.4一元二次方程根与系数的关系221.2.4一元二次方程根与系数的关系,项忽上癸缓棘咒氟钠毅寿嘻炔铲袍腿醋唬光附峰由倦鹅令策啸俺布妓两歼221.2.4一元二次方程根与系数的关系221.2.4一元二次方程根与系数的关系,一元二次方程 ax2+bx+c=0(a0) 的求根公式：,X=,(b2-4ac 0),泣抹缩鸽蘸捧屋仰涅忠矿南洋烟舞辽款挖朋酒棍氯相净斡壹梧锯垄轨茬卑221.2.4一元二次方程根与系数的关系221.2.4一元二次方程根与系数的关系,1. 填表，观察、猜想,问题：你发
2、现什么规律？ 用语言叙述你发现的规律； x2+px+q=0的两根x1, x2用式子表示你发现的规律。,鹏芭蜡填分镍炭软昂你屁铅篇著跨芋蓝蕴详炕炊赂浓面讼怜匈乘畸锌逢潦221.2.4一元二次方程根与系数的关系221.2.4一元二次方程根与系数的关系,根与系数关系,如果关于x的方程,的两根是 , ,则:,如果方程二次项系数不为1呢?,塑耐喇倍拥壤攘奈鹊刽间稠邓讽枝尘希砌洽荚麓贺卒漾量厅旁袋柒近值猴221.2.4一元二次方程根与系数的关系221.2.4一元二次方程根与系数的关系,问题：上面发现的结论在这里成立吗？请完善规律； 用语言叙述发现的规律； ax2+bx+c=0的两根x1, x2用式子表示你
3、发现的规 律：,椿抛馅再鱼连孪信嵌枯经细载倔肆欠丈落负讹廓诧础摩寅挎眼摸募什海照221.2.4一元二次方程根与系数的关系221.2.4一元二次方程根与系数的关系,一元二次方程的根与系数的关系：,如果方程ax2+bx+c=0(a0)的两个根是X1 , X2 ,那么X1+x2= , X1x2=,-,（韦达定理）,注：能用根与系数的关系的前提条件为b2-4ac0,轨仟芒专栋鞭了皆侮拐红力兵好沼晾逛自疾踊泊倔羡过馒辰仁蜕疽仓诬帝221.2.4一元二次方程根与系数的关系221.2.4一元二次方程根与系数的关系,韦达（15401603）,韦达是法国十六世纪最有影响的数学家之一。第一个引进系统的代数符号，并
4、对方程论做了改进。 他生于法国的普瓦图。年青时学习法律当过律师，后从事政治活动，当过议会的议员，在对西班牙的战争中曾为政府破译敌军的密码。韦达还致力于数学研究，第一个有意识地和系统地使用字母来表示已知数、未知数及其乘幂，带来了代数学理论研究的重大进步。韦达讨论了方程根的各种有理变换，发现了方程根与系数之间的关系（所以人们把叙述一元二次方程根与系数关系的结论称为“韦达定理”）。 韦达在欧洲被尊称为“代数学之父”。,蹄楞络怪赠莽抡磺嘶寓庐碗滓鸽淳攀插锭赣匿诵窟洲阻罐油铜蹲棕迢潘仑221.2.4一元二次方程根与系数的关系221.2.4一元二次方程根与系数的关系,一元二次方程根与系数关系的证明：,X1
5、+x2=,+,=,=,-,X1x2=,=,=,=,雪涅臃拒普煌扩贪脑说盈抒娄兑芍轿咏氢渡恳斗痰旷幻姬谎鳖秽岭灭筹啊221.2.4一元二次方程根与系数的关系221.2.4一元二次方程根与系数的关系,1、 x2 - 2x - 1=0,2、 2x2 - 3x + =0,3、 2x2 - 6x =0,4、 3x2 = 4,x1+x2=2,x1x2=-1,x1+x2=,x1+x2=3,x1+x2=0,x1x2=,x1x2=0,x1x2= -,示例,昆板来府尾贱桅牙乔盘力跳谱匙匈贩察忽筛坤骆淘写绪吓浆札堵建额篡桨221.2.4一元二次方程根与系数的关系221.2.4一元二次方程根与系数的关系,典型题讲解：
6、,例1、已知3x2+2x-9=0的两根是x1 , x2 。 求：,(1) (2) x12+x22,解：,由题意可知x1+x2= - , x1 x2=-3,(1),=,=,=,(2) (x1x2)2 x12+x22 2x1x2,x12+x22 (x1x2)2 -2x1x2,(- )2,-2(-3)6,拽扎续死靶扳桨绰伪仙骇涧甚钦匙燥烙佩简瘩獭雌姿隘猪铲婿曾惋荐浆股221.2.4一元二次方程根与系数的关系221.2.4一元二次方程根与系数的关系,变式 练习： 设x1，x2是方程2x2+4x- 3=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值。,（2）,（1）,（）（x1- x2）2,闯发蔼独灿垢
7、铲钓布板逐靠滞个三桥堆眺研遍膝私慷照惰贷按腔像苍庸通221.2.4一元二次方程根与系数的关系221.2.4一元二次方程根与系数的关系,典型题讲解：,例2、已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一个根是2 , 求它的另一个根及k的值。,解：,设方程的另一个根为x1.,把x=2代入方程，得 4-2(k+1)+3k=0,解这方程，得 k= - 2,由根与系数关系，得x123k,即 2 x1 6, x1 3,答：方程的另一个根是3 , k的值是2。,潜豁扰濒铲透著朝由呛凝跋哨资糯淖吾徐烦抛伪芋忿阻伟镑琵再鹅贰孔今221.2.4一元二次方程根与系数的关系221.2.4一元二次方程根与系数的关系,典型题讲
8、解：,例2、已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一个根是2 , 求它的另一个根及k的值。,解二：,设方程的另一个根为x1.,由根与系数的关系，得,x1 2= k+1,x1 2= 3k,解这方程组，得,x1 =3,k =2,答：方程的另一个根是3 , k的值是2。,怜霉椿邹英美喘键刹膛焚遍隙赡耙凡眩拢朵宋房毖弥盲么敬愈曙翠敏少寺221.2.4一元二次方程根与系数的关系221.2.4一元二次方程根与系数的关系,试一试,1、已知方程3x219x+m=0的一个根是1，求它的另一个根及m的值。,2、设x1,x2是方程2x24x3=0的两个根，求(x1+1)(x2+1)的值。,解：设方程的另一个根为x1
9、,则x1+1= , x1= ,又x11= , m= 3x1 = 16,解：,由根与系数的关系，得,x1+x2= - 2 , x1 x2=, (x1+1)(x2+1) = x1 x2 + (x1+x2)+1 =-2+( )+1=,丫猫嘶绪枚格埔淮挖屿洱剪聚允轨炎蛇税睬境克梯晚鹤粱叮舔葛百苔九酸221.2.4一元二次方程根与系数的关系221.2.4一元二次方程根与系数的关系,拓广探索,1、当k为何值时，方程2x2-(k+1)x+k+3=0的两根差为1。,解：设方程两根分别为x1,x2(x1x2)，则x1-x2=1, (x2-x1)2=(x1+x2)2-4x1x2,由根与系数的关系得x1+x2= ,
10、 x1x2=,解得k1=9,k2= -3,当k=9或-3时，由于0，k的值为9或-3。,扣铬熏道衡棱哼翟玖苞薯谊嘛短思选韦含嚷徒殿息列橇卤挞炬敝紊痢诌甥221.2.4一元二次方程根与系数的关系221.2.4一元二次方程根与系数的关系,2、设x1，x2是方程x2-2(k-1)x+k2=0的两个实数根，且x12+x22=4，求k的值。,拓广探索,解：由方程有两个实数根，得,即-8k+40,由根与系数的关系得x1+x2= 2(k-1) , x1x2=k2, X12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=4(k-1)2-2k2=2k2-8k+4,由X12+x22 =4，得2k2-8k+44,解得k1=
11、0 , k2=4,经检验， k2=4不合题意，舍去。, k=0,胰斩溃政肉蓄瘪晋侯靶穷桑邹颈藻酵讽叮锹丈广苦沾鹏聪苇虱兢硝逛书臭221.2.4一元二次方程根与系数的关系221.2.4一元二次方程根与系数的关系,归纳小结：,通过本节课的学习你学到了那些知识？,一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）：,两根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两根的积等于常数项于二次项系数的比。,逐吃沟持悍征丢斟泡物役军陨袋廖已稼皆的践嗽岁亨粹钥追聂咐陋伸唱甸221.2.4一元二次方程根与系数的关系221.2.4一元二次方程根与系数的关系,作业：,课本P43 习题22.2 第7题。,自轧遏跺靡巨丝诵炔陕鞍牌舌丽赖赋垃摊着绦归芬邵博螺船应享惭较路脊221.2.4一元二次方程根与系数的关系221.2.4一元二次方程根与系数的关系,再见,旧窃团前柬犊兆谭忌搏蜜吧竣菠脱炎励里匙沼惋蔗汪吏颗泥并荤腊跺荚漓221.2.4一元二次方程根与系数的关系221.2.4一元二次方程根与系数的关系,