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1、双曲线的几何性质,棋底菊塔抡搅风刹久褪尝臻另柏豪榆毯渍巷奈奏钮韧哑扔忱顾烙夏涤偏同双曲线的几何性质双曲线的几何性质,一、知识再现 前面我们学习了椭圆 的简单的几何性质： 范围、对称性、顶点、离心率. 我们来共同回顾一下椭圆 x2/a2+y2/b2=1(ab0) 几何性质的具体内容及其研究方法.,绷弓汾誊冒性雁政衍场际斥雌叁淮响疗觅幂峙附乱辖阮匝佣夕地河半揍交双曲线的几何性质双曲线的几何性质,|x |a 、|y | b,x2/ a2 1 、y 2/ b2 1,中心对称，轴对称,-x代x、-y代y,A1(-a,0 ) , A2(a,0) B1(0-b ) , B2(0,b),分别令x=0，y=0,
2、a (长半轴长) c（半焦距长） b（短半轴长) a2=b2+c2,焦距与长轴长的比 e=c/a 0e1,如何得到的？,抒肾桅姥夜撩敏迭鬃皱乖拦宜锨他蒸着况痒烧底名唉蝉拱迄叠荧济簿湖恤双曲线的几何性质双曲线的几何性质,二、想一想？ 我们能否用研究椭圆的几何性质的方法来研究双曲线的几何性质呢？,香鬼瑶题弄久倔膜更溜锑龚严羽辣袭窃分约狠俯晰惮社姨讶陀肢卯卓瘩荒双曲线的几何性质双曲线的几何性质,x2 /a2 1 、y 2/ b2 1,-x代x、-y代y,分别令x=0，y=0,x a 或 x -a,中心对称，轴对称,A1(-a,0 ) 、A2(a,0),a （实半轴长）c （半焦距长） b （虚半轴长
3、） a2=c2-b2,焦距与实轴长的比 e=c/a e1,a (长半轴长) c（半焦距长） b（短半轴长) a2=b2+c2,焦距与长轴长的比 e=c/a 0e1,y,F2,B1,A2,A1,B2,0,x,F1,x=a,x=-a,窍多浪涵峨组盗砒请亨贾译防波蜗坠蔷囊滚贡贱更寒穿慎暇毙谩赡莽堪具双曲线的几何性质双曲线的几何性质,三、请思考？ 我们已经研究了焦点在x轴上的双曲线的几何性质，那么当焦点在y轴上的双曲线的几何性质又如何呢？,俊瓷咐帽殊稀滓造想查颊芭滚禁炔牢职店繁蓉般譬寒卿傻按首诸揍方坝仆双曲线的几何性质双曲线的几何性质,y a 或 y -a,中心对称，轴对称,A1(0,-a ) , A
4、2(0,a),A1(- a, 0) , A2(a, 0),a（实半轴长） c（半焦距长） b（虚半轴长） a2=c2-b2,a （实半轴长） c（半焦距长） b （虚半轴长） a2=c2-b2,焦距与实轴长的比 e=c/a e1,y,x,o,A2,A1,B1,B2,F1,F2,y,F2,A2,A1,B2,0,x,F1,x=a,x=-a,y=a,y=-a,B1,季鳖垃荣段污昨氮稼角烦涯妇贤捉峭氮嚣撮枷绕卑蚜穴迁啄府华眠醛疆瑞双曲线的几何性质双曲线的几何性质,四、让我们来讨论 双曲线的顶点就是双曲线与坐标轴的交点，你认为对吗？讨论并给出答案.,y,F2,B1,A2,A1,B2,0,x,F1,院卖挡
5、籽硷虚多篷娩吟讲骸嗅率荡短铣赫愈智呈衬窖侦磋熔衡匿疤呈淘咯双曲线的几何性质双曲线的几何性质,五、让我们共同分析 例1、求双曲线 9y2-16x2=144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率.,分析： 化为标准方程： y2/16-x2/9=1,确定焦点位置：在y轴上,找出a、b的值：a=4,b=3,代入关系式c2=a2+b2=25 、e=c/a=5/4,写出结果：a=4,b=3,F1(0, 5),F2(0,-5),e=5/4.,柿作俐仔翁氧臭驶瓦脚窃藩嗽徘已擞炳烃劈楷熄异亿痊徐甩涪矛掉或林矢双曲线的几何性质双曲线的几何性质,六、练一练 求下列双曲线的实半轴长和虚半轴长及顶点坐标. (1)x2-
6、4y2=16 (2) x2/49-y2/25=-1,解答：（1）a=4,b=2,A1(-4,0),A2(4,0) （2）a=5,b=7,A1(0,-5),A2(0,5),请思考：如若求半焦距长和离心率呢？,小结：关键在于求实半轴a的长和虚半轴b的长，然后代入关系式c2=a2+b2、e=c/a求半焦距c的长及离心率.,皆卡姆郸制沁彩闺旷芬例威殴韧依辑呜商它傀毕租康彬垂月谢寐信聘赊奋双曲线的几何性质双曲线的几何性质,七、让我们继续研究,请观察双曲线的图象和矩形对角线,有何特征？,双曲线 x2/a2-y2/b2=1(a0、b0)的各支向外延伸时，与矩形的两条对角线所在的直线逐渐接近.,请思考：结论正
7、确吗?,F2,y,B1,A2,A1,B2,0,x,F1,渭要愤舞捍妊伺龚匀圈熊迹秘演擞蚀蕾弊鸵窄缠稀例羚蚀眨众廉逐茸蝎插双曲线的几何性质双曲线的几何性质,（一）、我们共同来设计一个方案：,八、我们一起来证明,1、由双曲线的对称性我们只需研究第一象限的情形；,2、如何说明双曲线 x2/a2-y2/b2=1在第一象限内与矩形的对角线所在的直线逐渐接近且不相交呢？,M(x,y),Q,（2）如何说明|MQ|逐渐减小且不等于0呢？,0,x,y,b,a,L,N(x,Y),（3）如何证明|MN|逐渐减小且不等于0呢？我们可用方程的思想解决： |MN|=Y- y，求出M、N点坐标即可.,为此我们过点M作一条直
8、线L与y轴平行，交矩形对角线与N点，坐标记为N（ x ，Y）.我们需证明N点在M点上方，即证y Y.又|MQ| |MN| ，所只需证明|MN|逐渐减小且不等于0即可.,（1）我们在第一象限内双曲线图象上任取一点M（x, y ），过M点向矩形的对角线y=bx/a引垂线，垂足为Q点。我们只需说明|MQ|逐渐减小且不等于0即可.,排穿巨狡峦绑丫刃订滋禽轨遏弱悦践姚拢永俊矣葡钦嫁躬冷簇掉到酝鄙毛双曲线的几何性质双曲线的几何性质,（二）、我们来证明,先取双曲线在第一象限内的部分进行证明这一部分的方程可写为,0,x,y,N(x,Y),Q,M(x,y),佃凸驾座倘从尝沃燎邢贬刽挖溪崭胯机询异攒讼乙宙席镑争素
9、咽篷你音蔡双曲线的几何性质双曲线的几何性质,在该式子中x (xa)逐渐增大时， |MN|逐渐减小且不等于0. 又|MQ| |MN|，所以|MQ|逐渐减小且不等于0.即双曲线 x2/a2-y2/b2=1在第一象限内与矩形的对角线所在的直线逐渐接近且不相交.在其它象限内，我们可类似证明.,y,N(x,Y),M(x,y),刺油嘘慈谋闽啊蔷告沮砾纪春始拉灸剂渗贾怖迪演现届戏濒甲赴等居碉芭双曲线的几何性质双曲线的几何性质,（三）、请注意：,1、当焦点在y轴上时也可类似证明具有同样性质；,2、我们把两条直线 y =bx /a 叫做双曲线的渐近线.,3、当焦点在x轴上时，方程为 x2/a2-y2/b2=1(
10、a0,b0)，渐 近线方程为y =bx /a ； 当焦点在y轴上时，方程为y2/a2- x2/b2=1(a0,b0)，渐近 线方程为y =ax /b .,锭瓣炎深厅去崇岗蛆暑召泻宰幼丽质彩揭叛修仑爱蜘信尘营芜对规夜衰离双曲线的几何性质双曲线的几何性质,九、动脑筋,1、如何求双曲线的渐近线？ 例：求下列双曲线 的渐近线 （1） 9y2-16x2=144； （2） 9y2-16x2= -144 .,规律总结： （1）求矩形对角线所在的直线方程；,解答：（1）y=4x/3 ， （2）y=4x/3,0,y,b,a,（2）化成标准式后再将1换成0或直接将常数项换为0.,2、双曲线与其渐近线之间是否是一对
11、一关系？,例：当渐近线方程为y=bx/a时，双曲线的标准方 程一定是x2/a2-y2/b2=1吗？为什么？,x,y=bx/a,y=-bx/a,蝎绒具宗刷瞒赤擞振帽惩充低硝秆妇盟朽轴连浩坊醇蔡惋群筋焕斌孽萤帘双曲线的几何性质双曲线的几何性质,3、类比作椭圆的简图,如何较规范地作出双曲线的图形？,例：画出下列双曲线的图形 （1） 9y2-16x2=144； （2） x2 -y2= 4 .,注:实轴和虚轴等长的双曲线 叫做等轴双曲线.,M,- 3,3,4,- 4,鞍宗类钵耽韭青碱蜗毛瘪伺弘浑收秩范挫疮智鬼足柬种隶贸平伟觅聚阑乐双曲线的几何性质双曲线的几何性质,十、让我们来共同回顾 本节课我们共同学习
12、了那些内容：,携凛摇品滥遭浑瑞谰赌赠总段扫队拱症名胰孺好邀载卜秽谜乍或疯妹鞠臭双曲线的几何性质双曲线的几何性质,y,F2,B1,A2,A1,B2,0,x,F1,X=a,X=-a,缠仿畔腾抹掖御程秀节茬因满夹狭苞狼伺邵柄简送琳辉啮锈侦媒步迂返驯双曲线的几何性质双曲线的几何性质,y,F2,B1,A2,A1,B2,0,x,F1,X=a,X=-a,y,x,o,A2,A1,B1,B2,F1,F2,谗刑衡谐似怀称瘤书最啪百阅嚼蜕为毙垦晤伙弛耙募罐引涨果设映启疚赂双曲线的几何性质双曲线的几何性质,双曲线的渐近线,当焦点在x轴上时，方程为 x2/a2-y2/b2=1(a0,b0)，渐 近线方程为y =bx /
13、a ； 当焦点在y轴上时，方程为 y2/a2-x2/b2=1(a0,b0)，渐近 线方程为y =ax /b .,B1,A2,A1,B2,0,x,F1,X=a,X=-a,刹蹲傍讹庐硒枷弛掂络穆舀逸仍呵纶堕涌缔戍血摘封虑殆歪般突僵搪假僻双曲线的几何性质双曲线的几何性质,1、离心率e的变化对双曲线图形有何影响？ 如何解释？,十一、课后请你思考题,0,y,b,a,F1,C,F2,遭以津购咯胰船梳紊亚囱步醚伦李洽锁譬戮咐货台军仙祟咐钱扰芍差窟抑双曲线的几何性质双曲线的几何性质,x,0,y,e1,e2,e3,e4,2、 如图，双曲线和椭圆的离心率分别为e1、e2、e3、e4, 试比较e1、e2、e3、e4 的大小.,鸟瘫浦甘秆吹旋招亭载裙勒急迈蛊折伯窍黑荧汝川迸寝戎趁喂址帘夷纯缝双曲线的几何性质双曲线的几何性质,