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1、北方民族大学 学士学位论文 论文题目: 反例在数学中的应用 反例在数学中的应用 I 毕业设计（论文）原创性声明和使用授权说明毕业设计（论文）原创性声明和使用授权说明 原创性声明原创性声明 本人郑重承诺：所呈交的毕业设计（论文），是我个人在指导教师的指 导下进行的研究工作及取得的成果。尽我所知，除文中特别加以标注和致 谢的地方外，不包含其他人或组织已经发表或公布过的研究成果，也不包 含我为获得 及其它教育机构的学位或学历而使用过的材料。 对本研究提供过帮助和做出过贡献的个人或集体，均已在文中作了明确 的说明并表示了谢意。 作 者 签 名： 日 期： 指导教师签名： 日 期： 使用授权说明使用授权
2、说明 本人完全了解 大学关于收集、保存、使用毕业设计（论文）的 规定，即：按照学校要求提交毕业设计（论文）的印刷本和电子版本；学校 有权保存毕业设计（论文）的印刷本和电子版，并提供目录检索与阅览服 务；学校可以采用影印、缩印、数字化或其它复制手段保存论文；在不以赢 利为目的前提下，学校可以公布论文的部分或全部内容。 作者签名： 日 期： 反例在数学中的应用 II 学位学位论论文原文原创创性声明性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所 取得的研究成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任 何其他个人或集体已经发表或撰写的成果作品。对本文的研究做出重要 贡献
3、的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明 的法律后果由本人承担。 作者签名： 日期： 年 月 日 学位学位论论文版文版权权使用授使用授权书权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意 学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论 文被查阅和借阅。本人授权 大学可以将本学位论文的全部 或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制 手段保存和汇编本学位论文。 涉密论文按学校规定处理。 作者签名：日期： 年 月 日 导师签名： 日期： 年 月 日 反例在数学中的应用 III 反例在数学中的应用 摘 要 高等代数和数学分析
4、是一门很重要的基础课程，对学生的数学思想的形成和后 继课程的学习都有着十分重要的意义反例思想是数学中的重要思想，对概念的理 解，命题的研究中都具有不可替代的作用恰当地运用反例，对于正确理解概念， 培养学生的逻辑思维能力，将起着十分重要的作用本文主要通过对高等代数和数 学分析的学习，列举了课本中的反例，并用举反例的方法加强了对一些基本概念和 基本定理的理解 关键词：反例，高等代数，数学分析 反例在数学中的应用 IV Application of counterexample in Mathematics Abstract Higher Algebra and Mathematical Analy
5、sis are important basic courses, its very important to the formation of mathematical thoughts of students and learning of the following coursesThe counterexample is an important thought in Mathematical, and it plays an irreplaceable role in the understanding of the concept, and natureThe proper use
6、of counterexamples, for a correct understanding of the concept, and develop their logical thinking ability, will play a very important roleThis paper mainly through the learning of Higher Algebra and Mathematical Analysis, lists the counterexamples in textbooks, and strengthen the understanding of b
7、asic concepts and geometrical theorems Key Words: counterexample ,Higher Algebra, Mathematical Analysis 反例在数学中的应用 V 目 录 前 言1 第一章 高等代数中的反例2 1.1矩阵中的反例2 1.2多项式中的反例8 1.3线性空间中的反例11 1.4线性变换中的反例12 第二章 数学分析中的反例14 2.1数列中的反例14 2.2函数中的反例15 2.3微商与微分中的反例19 2.4微积分中的反例20 2.5级数中的反例21 2.6偏导数与全微分中的反例25 致 谢27 参考文献28 反
8、例在数学中的应用 1 前 言 “全等的三角形是相似的”这一命题是正确的，我们需要加以严格的证明；然 而对于不正确的命题“相似的三角形一定是全等的” ，那么我们就要找到两个相似但 并不是全等的三角形，即举出一个反例由此看来，对于命题来说，给出证明和构 造反例是同等重要的 数学分析中包含了一套抽象且形式化的理论体系，概念难以理解，学习中容易 犯一些表象的错误，比如，我们会将一些函数的特定性质通过四则运算用到另一个 函数上反例是解决此类问题最有效的方法由于数学分析思维的严谨性，定理性 质的给出一般都带有一些限制条件，这些条件是不可忽视的恰当地使用反例，对 于深入理解定理的条件，准确掌握概念的本质，可
9、以起到无可比拟的作用此外， 反例对于数学学科的理论发展和完善也起着非常重要的作用 构造反例，可以深化理解基本概念，可以充分掌握定理的本质，可以有效纠正 错误的命题或定理；通过构造反例，从反面消除一些易出错的条件，严格区分那些 相近易混的概念，把握概念的要素和本质定理证明中，反例具有同等重要的作用， 通过严密的证明才可以肯定一个命题的正确性，而反例即可否定一个命题的正确 性 这篇论文的主要内容是举出关于数学中的反例，包括高等代数和数学分析两部 分在举反例的过程中，所涉及到的定理和命题均参照高等代数第三版和数学分析 第二版的教材，为了加强对问题的理解，我们举出了一些具有说明性的反例 反例在数学中的
10、应用 2 第一章高等代数中的反例 高等代数是数学专业的一门重要基础课程之一, 为进一步学习其他后续知识奠 定了基础，它包括了对多项式、矩阵、线性空间、线性变换的学习下面列出在学 习过程中遇到的需要用反例来判断命题或定理的正确性的例子 1.1矩阵中的反例 矩阵是数学中应用广泛的极其重要的概念，在高等代数中，它占着十分重要的 地位，它贯穿了整个高等代数的学习下面就列出矩阵的运算以及不同性质矩阵的 之间的关系所运用的反例 矩阵乘积中的反例矩阵乘积中的反例 定义定义 1.11 设， ，那么矩阵，其中() iksn Aa() kjnm Bb() ijsm Cc ， 1 122 1 n ijijijinn
11、jikkj k ca ba ba ba b 称为与的乘积，记为AB CAB 1. 我们知矩阵的加法满足交换律，而矩阵的乘法不适合交换律 (1)有意义，当时，没有意义； mnns A Bms nmsn BA (2)和都有意义，当时，它们乘积是阶数不等的矩阵； mnnm A B nmmn BAmn (3)和都是阶的ABBAn 例 取 ， 11 21 A 11 12 B 则 ， 111123 211234 AB 111132 122153 BA 故，即矩阵不适合乘法交换律ABBA 2. 矩阵的乘法不满足消去律：，未必有0A ABACBC 反例在数学中的应用 3 例 取 ， 11 11 A 11 11
12、 B 11 11 C 显然 ，0A 0ABAC 而BC 3. 一般情况下，()k kk ABA B 例 取 ， 21 12 A 11 11 B 则 ， 31 31 AB 2 313164 () 3131122 AB ， 2 54 45 A 2 02 20 B 22 810 = 108 A B 所以 222 ()ABA B 故并不是恒成立的()k kk ABA B 只要，就有ABBA()k kk ABA B 4. 定理定理 设和是数域上的两个矩阵，那么 ABPn n| |ABA B 那么，是否也成立？答案是不成立，存在反例| |ABAB 例 阶矩阵n ， 0 1 1 A 1 0 0 B ，而，故
13、不成立| | 1ABE| 0AB| |ABAB 5.阶矩阵，且，未必有nAB 2 AE 2 BE 2 ()ABE 反例在数学中的应用 4 例 当时，取2n ， 10 21 A 10 31 B 有 ， 2 AE 2 BE 10 11 AB 但是 2 10 () 21 ABE 对称阵中的反例对称阵中的反例 1. 对称阵之和仍为对称阵，对称阵之积未必是对称阵。 例 ， 12 21 A 11 12 B 则 ， 35 34 AB 不是对称阵AB 2. 实对称阵和对角阵相似，但和对角阵相似的未必对称 例 取 ， 10 02 A 1 1 2 02 B ， 21 03 T 1 11 26 1 0 3 T 有，
14、即与相似，是对角阵，而不是对称阵 1 BTAT ABAB 3. 反对称矩阵是指满足条件的矩阵，那么反对称矩阵之积未必是反A A 对称矩阵 例 ， 0 0 a A a 0 0 b B b 反例在数学中的应用 5 均为反对称矩阵而 ， 0 0 ab AB ab 当，时，是对称阵，但不是反对称矩阵0a 0b AB 正定阵中的反例正定阵中的反例 1. 正定阵的和还是正定阵，但正定阵的差未必是正定阵 例 ， 11 02 A 10 12 B 都是正定阵，但 01 10 AB 不是正定阵 2. 正定阵的积未必是正定阵 例 ， 12 25 A 11 02 B 都是正定阵 而 13 18 AB 不是正定阵 3.
15、是正定阵，则的主对角线上元素都大于零但反之不真AA 例 ， 12 32 A 13 24 B 都不是正定阵 正交阵中的反例正交阵中的反例 正交阵2是指满足条件的阶实数矩阵A AEnA 1. 我们知道正交阵之积仍为正交阵，那么正交阵之和是不是正交阵？ 例 以下两个阶矩阵n 反例在数学中的应用 6 ， 1 1 1 1 A 1 1 1 1 B 都是正交矩阵，因为，但A AEB BE 0 0 2 2 AB 而 0 0 () ()4 4 ABABE 所以正交阵的和不一定是正交阵 2. 若是正交阵，则，但反之不真A|1A 例 ， 21 11 A 12 11 B 而，| 1A |1B ， 53 32 A AE
16、 23 35 B BE ，都不是正交阵AB 等价矩阵、合同矩阵、相似矩阵等价矩阵、合同矩阵、相似矩阵 定义定义 1.2 设是数域上两个级矩阵，如果可以找到数域上的级可逆,A BPnPn 矩阵，使得，就说相似于X 1 BXAX AB 定义定义 1.3 矩阵与称为等价的，如果可以由经过一系列初等变换得到ABBA 定义定义 1.4 数域上矩阵，成为合同的，如果有数域上可逆的矩Pn nABPn n 阵，使C 反例在数学中的应用 7 BC AC 1. 合同矩阵一定是等价矩阵，但反之不真 例 取 1011 , 0101 AB 与等价，因为AB 1011 0101 BA 假设与合同，即存在可逆矩阵，使得AB
17、CBC AC 设 ， ab C cd 则 ， ac C bd 故 22 22 10 01 acabacabacabcd C AC bdcdbdcdabcdbd 则 ，（矛盾） ，1abcd0abcd 故不存在可逆阵，则与不是合同的CAB 2. 相似矩阵一等是等价矩阵，但反之不真 例 仍取 1011 , 0101 AB 则与等价AB 若与相似，则存在可逆阵，使得，又，故ABT 1 BTAT 11 TATT TEB 与不相似AB 3. 相似矩阵未必合同 例 ， 21 10 A 11 01 B 反例在数学中的应用 8 则取 ， 11 12 T 1 21 11 T 可得，即与相似 1 BTAT AB
18、假设与合同，设AB ab C cd 则 2 2 2122 1022 acabaabbcad BC AC bdcdabadbcb 那么 ； 2 21a 2 21b 21abbcad20abadbc 整理得， ；（矛盾） ， 1 2 ab 1 4 ab 故与不合同AB 4. 合同矩阵未必相似 例 取 ， 321 221 110 B 100 010 001 A ， 100100 110110 111111 BA 故与合同又，则与不相似AB 11 TATT TEB AB 5.可逆，则有与相似，但反之不真AABBA 例 ， 10 01 A 20 00 B 显然，有与相似，而不存在逆矩阵ABBAA 反例在
19、数学中的应用 9 1.2多项式中的反例 多项式是代数学中最基本的对象之一，在进一步学习其他数学科目时也能遇到， 本章主要讨论数域上的一元多项式，并举出有关反例P 1定理定理 如果，那么就能整的( )( ),1,2, i f x gx in)(xf)(,),(),( 21 xgxgxg n 组合，即)()()()()()()( 2211 xgxuxgxuxgxuxf nn 反之不真即能整除的组合，未必能整除每一个)(,),(),( 21 xgxgxg n f x g x 例 令 ( )1f xx 而 ， 2 1( ) 1g xx 2( ) 1gxx ， 1( ) 1u x 2( ) uxx 显然
20、 ， 1122 ( ) ( )( )( )( )f xu x g xux gx 但 ( ) |( ) i f xg x 定义定义 1.5 数域上次数的多项式称为域上的不可约多项式，如果它P1( )p xP 不能表示成数域上的两个次数比的次数低的多项式的乘积P( )p x 2不可约多项式，则有或( )( ) ( )p xf x g x( )( )p xf x( )( )p x g x 是不可约多项式的限制是有必要的，否则即可举出反例：( )p x 例 令 2 ( ),( ), ( )1p xxx f xx g xx 显然有 ( )( ) ( )p xf x g x 但 ，( ) |( )p xf
21、 x( ) |( )p xg x 定义定义 1.6 不可约多项式称为多项式的重因式，如果，而( )p x( )f xk( )( ) k pxf x 1( ) | ( ) k pxf x ( )p x 3若不可约多项式是的重因式（） ，则是的重( )p x( )f xk1k ( )p x( )fx1k 反例在数学中的应用 10 因式 反之不真 例 令 32 ( )331f xxxx 则 2 ( )363fxxx 是的 2 重因式，但不是的 3 重因式，事实，就不是1x( )fx1x( )f x1x 的重因式( )f x 定义定义 1.7 如果一个非零的整系数多项式的系数 1 10 ( ) nn
22、nn g xb xbxb 没有异于的公因子，也就是说，它们是互素的，它就称为一个本原多 10 , nn b bb 1 项式 4本原多项式不一定是不可约的 例 是本原多项式，但,是可约的 2 32xx 2 32(2)(1)xxxx 5设，是整系数多项式，且是本原的，若，其( )f x( )g x( )g x( )( ) ( )f xu x g x 中是有理系数多项式，则一定是整系数的( )u x( )u x 我们说，限制为本原的条件不可少，否则就可能有不是整系数的( )g x( )u x 例 取， 2 ( )f xxx( )22g xx 而( )( ) ( )f xu x g x 那么 1 (
23、) 2 u xx 6爱森斯坦判别法：当是一个整系数多项式，存在 1 10 ( ) nn nn f xa xaxa 一个素数使得p ）;| n pa ）|,0,1,1; i p a in ） 2 0 |pa 那么在有理数域上是不可约的( )f x 反例在数学中的应用 11 但是当找不到这样的素数，我们能不能就说是可约的答案是不能的，p( )f x 如有反例 例 令 ， 2 1( ) 43f xxx 2 2( ) 2fxx 对来说找不到满足条件的素数，但是可约，不可约 12 ( ),( )f xfxp 1( ) f x 2( ) fx 1.3线性空间中的反例 线性相关性线性相关性 定义定义 1.5
24、 线性空间中向量称为线性相关，如果数域中有V 12 ,(1) r r P 个不全为零的数，使r 12 , r k kk 1122 0 rr kkk 1.不能由线性表示，是否一定线性无关？ 12 , r 12 , r 例 ，(0,1,1) 1 (1,0,0) 2 (0,1,0) 明显的是不能由线性表出，然而线性相关 12 , 12 , 2. 若线性无关，则其中任意两个不同的向量必定线性无关，反 12 , r 之如何？即两两线性无关，是否全部线性无关？ 例 ， 1 (1,1,1) 2 (1,0,0) 3 (0,1,1) 这里任意两向量线性无关可是，即线性相关 123 123 , 所以，两两线性无关
25、，不一定全部线性无关 子空间子空间 3. 子空间的直和都是和，而子空间的和未必是直和 例 ，是实数域 123 (,) i Va a aa是实数P ， 112 (,0) i Sa aa是实数 223 (0,) i Sb bb是实数 显然 12 VSS 对任意的，( , , )x y zV 反例在数学中的应用 12 ( , , )( , ,0)(0,0, )( ,0,0)(0, , )x y zx yzxy z 只要，就是两种不同的表示方法所以，不是直和0y 12 VV 1.4线性变换中的反例 1. 线性变换把线性相关的向量组变为线性相关的向量组，但反之不真 例 变换就把线性无关的向量组变为线性相
26、关的向量组0 2. 线性变换的乘法不满足交换律 例 在实数域上的线性空间中，线性变换R R x ( ( )( )f xfx 0 ( ( )( ) x f xf t dt 的乘积，而一般说来为单位变换（恒等变换）= 3. 线性变换乘积的指数法则不成立，即一般来说， k kk k 例 线性变换 ， 22 1231233 ,(,)x x xxxx x 12312231 ,(2,)x x xxx xx x= 取，则(1,0,1) ， 1,0,1(2,1,1)(4,2,1) = ； 2 4,2,1(6,3,4)(36,7,16)= ； 22222 1,0,1(3,2,2)(81,8,16) = 即成立
27、2 22 k 4. 相似矩阵有相同的特征多项式，但反之不真 例 ， 10 01 A 11 01 B ， 2 | (1)EA 2 | (1)EB 即有相同的特征的多项式，可是与不相似，这是因为AB 反例在数学中的应用 13 11 XAXX XE 这就是说，只能与相似AE 定义定义 1.6 设是数域上线性空间的线性变换，是的子空间如果中PVWVW 的向量在下的像仍在中，我们就称是的不变子空间，简称子空间WW 5.，是线性空间的线性变换若，则，都是子空V=( )V 1(0) B 间，同样，是子空间,反之不真( )V 1(0) A 例 是数域P 123 ( ,) i Vx x xxP 而 123122
28、3 ( ,)(,)x x xxx x x 123123 ( ,)(,)x x xx x x 都是线性变换 易知 ， 都是子空间；( )VV 1(0) A0 ， 都是子空间( )VV 1(0) B0 可是 1231231223 ( ,)(,)(,)x x xx x xxx x x 12312231223 ( ,)(,)(,)x x xxx x xxx x x 因而 反例在数学中的应用 14 第二章数学分析中的反例 数学分析也是数学专业的一门重要基础课之一, 是进一步学习数学其他课程的 基础它是一门逻辑性很强的课程，它有许多重要的概念都是用抽象的数学语言来 描述的, 在学习过程中很难理解其中含义,
29、 因此在学习中经常使用反例来理解学习 中时常出现的错误, 充分理解一些定理和概念 这部分对课本中容易出现错误的概念和定理用反例来加深理解和学习 2.1数列中的反例 1.1. 定理3：设，则lim n n aa lim n n bb ）；lim()limlim nnnn nnn ababab ）；limlimlim nnnn nnn ababa b ） lim lim(0) lim n nn n nn n a aa b bbb 那么，对于两个发散的数列，是否有：（1）之和发散；（2）之积发散， （3） 其商发散？ 答案是不成立，有反例可以说明例如， (1)，1 n xn n yn 因为，则发散的
30、，是发散的但是数列lim n n x lim n n y n x n y limlim(1)()1 nn nn xynn 却是收敛的 (2)，( 1)1 n n x ( 1)1 n n y 这两个数列都是发散的，但是数列 limlim( 1)1 ( 1)10 nn nn nn xy 却是收敛的 (3)， n xn 2 n yn 这两个数列都发散，但是 反例在数学中的应用 15 2 1 limlimlim0 n nnn n xn ynn 是收敛的。 2. 定理定理 有极限存在的数列必有界 反之不真，存在反例 例 数列 1 ( 1)n n x 数列在 0 和 2 之间跳动，但当时，并不能接近于一个
31、常数，因此极限 n xn 并不存在lim n n a 3.3. 定理定理 单调上升（下降）有上（下）界的数列必有极限存在 然而，收敛数列单调有界，是否成立呢？不成立，存在反例：收敛但是不单调 的数列 例 ， 3( 1) ,1,2,3 n n xn n 其极限，但是对于任意正整数，都有 3( 1) limlim0 n n nn x n ， 24 212kk 24 212kk 即，所以，数列并不单调 212kk xx 212kk xx 4.4. 若，反之是否成立？lim n n aa lim| | n n aa 反之不成立，例如， ( 1)n n a ，但是不存在lim1 n n a lim( 1
32、)n n 5.5. 若收敛，是否 就收敛？ nn x y , nn xy 不能断定，存在反例例如， ，( 1)n nn xy 收敛，但是发散 nn x y , nn xy 6. 若，中一个是收敛数列，一个是发散数列，那么和 n a n b nn a b 反例在数学中的应用 16 是否也是发散数列(0) n n n a b b 例 取 ， 1 n a n n bn 则 ，1 nn a b 2 1 n n a bn 故和是收敛数列 nn a b n n a b 2.2函数中的反例 函数的极限函数的极限 1.1. 定义定义2. 14 设在点附近（除点外）有定义, 是一定数若( )f x 0 x 0
33、xA 对任意给定的，存在 ，当时, 有00 0 0 |xx ,| ( )|f xA 则称是当趋于的极限A( )f xx 0 x （1）我们会认为如果在点处有极限, 在就有定义根据定义：( )f x 0 x( )f x 0 x 在点附近（除点外）有定义，这说明函数 在是否存在极限与函数在 0 x 0 x( )f x 0 x 处是否有定义无关 0 x 例 3 1 ( ) 1 x f x x 在处虽然无定义，但在处无定义, 但极限是存在的1x 1 lim( )3 x f x 1x （2）若在处有定义, 但在处的极限与在处的函数值无( )f x 0 x( )f x 0 x(0)f 0 x 关 例 反例
34、在数学中的应用 17 ， 2 1 sin0 ( )00 10 xx x f xx xx ， ， ， 尽管在处有定义，但在时极限不存在( )f x0x (0)0f( )f x0x （3）在函数极限定义中将改为，是否有？| ( )|f xA( )f xA 0 lim( ) xx f xA 结论是不成立的 例 ，( )sin1f xx1A 0 0x 则，当时, 总有0 0 0 0xx ( )sin20f xAx 成立,但 0 lim( )sin0 111 x f x 2. 如果存在，但不存在，那么不存在6 0 lim( ) xx f x 0 lim( ) xx g x 0 lim ( )( ) xx
35、 f xg x 此命题错误，存在反例 例 ，( )f xx 1 ( )sing x x 因为 不存在，但lim( ) x f x lim ( )0 x g x 1 sin 1 lim ( )( )lim sinlim1 1 xxx x f xg xx x x 3. 若函数，则，但反之不真 0 lim( ) xx f xA 0 lim |( )| | xx f xA 例 sin ( ) | x f x x ； 000 sin|sin| lim|( )| lim| lim1 | xxx xx f x xx ， 000 sinsin lim( )limlim1 | xxx xx f x xx 反例在
36、数学中的应用 18 000 sinsin lim( )limlim1 | xxx xx f x xx 故不存在 0 lim( ) x f x 函数的连续性函数的连续性 1.1. 定义定义2.22.24 设函数在在包含一个开区间有定义,如果( )f x 0 x , 0 0 lim( )() xx f xf x 则称在是连续的( )f x 0 x 有定义可见，在点连续需要满足下列三个条件4:( )f x 0 x )在点附近以及点有定义；( )f x 0 x 0 x ) 在点的极限存在；( )f x 0 x ) 极限值等于 0 ()f x 三个条件任何一个不满足都不能说明连续( )f x (1)若在
37、点没有定义( )f x 0 x 例 在点无定义，但是此函数在点不连续 1 ( )f x x 0x 0x (2) 若 在点的极限不存在( )f x 0 x 例 ,不存在，从图像3可看出此函数在点不连续 1 ( )f x x 0 lim( ) x f x 0x （3）若极限值不等于 0 ()f x 例 ， 1 sin0 ( ) 10 xx f xx x ，从图像2可以看出此函数在点不连续 0 1 lim sin0(0)1 x xf x 0x 2.2. 两个连续函数的和一定是连续函数，但是逆命题不成立存在反例 例 反例在数学中的应用 19 ， 3sin ( ) 5sin xx f x xx 若为无理
38、数 若为有理数 22sin ( ) 32sin xx g x xx 为无理数 为有理数 对于任意一个有理数和一个无理数，都有： 1 x 2 x 12121212 |( )()| |5sin3sin| 5 |sin3sin| 5 |sin| 3|sin| 5 1 31f xf xxxxxxx , 121212 |( )()| |( 32sin)(22sin)| 52|sin| 2|sin| 5221g xg xxxxx 所以，在区间内处处不连续，然而它( )f x( )g x(,) ( )( )2sinf xg xx 在区间内连续(,) 3.3. 两个连续函数之积是连续函数但是逆命题不成立，存在
39、反例 例 ， 2 2 32 ( ) 1 1 xx f x x x 若为无理数 若为有理数 2 2 22 1 ( ) 32 (1) x x g x x xx 为无理数 为有理数 对于任意一个有理数和一个无理数，都有： 1 x 2 x ， 22 1222 22 11 11 |( )()| |(32)| (32)2 11 11 f xf xxx xx ， 2 2222 2 1211 221 22 1111 |( )()| |(1)| (1)1 323(1)22 x g xg xxx xx 所以，在区间内处处不连续，然而它( )f x( )g x(,) 2 ( )( )1f xg xx 在区间内连续(
40、,) 2.3微商与微分中的反例 微商微商 反例在数学中的应用 20 1.1. 一阶微分具有形式不变性，高阶微分是否也具有形式不变性呢？即公式 ，是否成立？请看下例：( ) nnn d yfx dx 设，有又若，则复合函数，故 x ye 22x d ye dx 2 xt 2 t ye 222 2222 ()(24) ttt d yedtet edt 但 2 222 4 xt e dxt e dt 所以高阶微分不具有形式不变性 2.2. 定理定理 若在点可导，则在点连续( )f x 0 x( )f x 0 x 但如果在点连续，是否在点可导？答案是否定的( )f x 0 x( )f x 0 x 例 ，( ) |f xx 它在点连续，但是它在处不可导，因为，0x 0x ， 0000 ()(0)|0|0| lim( )limlimlim1 xx fxfxx f x xxx ， 0000 ()(0)|0|0| lim( )limlimlim1 xx fxfxx f x xxx 00 lim( )lim( ) xx f xf x