支架现浇悬臂拱脚对拱桥的受力影响研究.doc

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1、 分类号 U448 单位代码 10618密 级 学 号 106260118硕 士 学 位 论 文论文题目： 支架现浇悬臂拱脚对拱桥的受力影响研究 The influence research of Support cast-in-place Bracket skewback to arched bridges stress 研究生姓名： 郭瑞东 导师姓名、职称： 曾德荣 教授申请学位门类： 工 学 专 业 名 称： 桥梁与隧道工程论文答辩日期： 2008年12月11日学位授予单位： 重庆交通大学答辩委员会主席： 周建庭 评阅人： 周建庭 陈德玖 2008年12月 重庆交通大学学位论文原创性声明

2、本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。学位论文作者签名： 日期： 年 月 日 重庆交通大学学位论文版权使用授权书本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。本人授权重庆交通大学可以将本学位论文的全部内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇

3、编本学位论文。同时授权中国科学技术信息研究所将本人学位论文收录到中国学位论文全文数据库，并进行信息服务（包括但不限于汇编、复制、发行、信息网络传播等），同时本人保留在其他媒体发表论文的权利。 学位论文作者签名： 指导教师签名：日期： 年 月 日 日期： 年 月 日本人同意将本学位论文提交至中国学术期刊（光盘版）电子杂志社CNKI系列数据库中全文发布，并按中国优秀博硕士学位论文全文数据库出版章程规定享受相关权益。学位论文作者签名： 指导教师签名：日期： 年 月 日 日期： 年 月 日 摘 要重庆上塘口乌江大桥是一座主桥全长247.4m，主跨为151.3m的支架现浇悬臂拱脚的钢筋混凝土箱型拱桥，整

4、桥造型简洁美观，如一道飞虹跨越乌江。该桥由于采用支架现浇悬臂拱脚，其受力独特，故支架现浇悬臂拱脚对拱桥的静力和横向稳定性有不可忽视的影响。在全面总结拱（桥）式结构相关理论的基础上，以重庆上塘口乌江大桥为例，采用通用有限元软件MIDAS/CIVIL 2006建立空间实体结构，采用空间三维梁（杆）单元，对其进行了静力和稳定性计算分析。1.利用大型通用有限元软件，对该桥梁进行力学建模研究，给出钢筋混凝土拱桥有限元计算模型;2.研究钢筋混凝土拱桥静态力学性能，探讨支架现浇悬臂拱脚对钢筋混凝土拱桥的内力和变形的影响，并分析其影响原因。3.研究钢筋混凝土拱桥空间稳定性，分析各种施工阶段下结构的整体稳定性，

5、并研究支架现浇悬臂拱脚及其支架撤除对其稳定性、拱的变形的影响，并分析其影响原因。4采集应力和变形数据，与有限元模型的计算结果进行分析比较。5根据实际数据修正计算模型。通过有限元模型分析，就支架现浇悬臂拱脚的支承条件对该桥在施工阶段和成桥阶段的静力和整体稳定性的影响展开探讨和研究。文中给出了支架变化情况下的控制截面的内力和变形及其稳定安全系数，指出了支架变化情况下对支架现浇悬臂拱脚拱桥内力和整体稳定性有显著影响的阶段及其合理的变化范围。并对支架现浇悬臂拱脚拱桥的合理拆除支架的时间进行了讨论，对支架现浇悬臂拱脚体系桥设计具有一定的参考价值。关键词：支架；悬臂墩；有限元；箱型拱；静力分析；稳定性；A

6、BSTRACTChongqing shangTangkou Bridge on the Wujiang River is a main bridge with length 247.4 m, the main span is the 151.3m,which supported by cast-in-place bracket skewback reinforced concrete box arched bridge, the entire bridge modeling is succinct and artistic , such as a rainbow across the Wuji

7、ang River. Because this bridge uses the supported cast-in-place bracket skewback, its stress is unique, the supported cast-in-place bracket skewback has the noticeable influence to arched bridges static and the transverse stability. In a comprehensive summary arch (bridge) structure on the basis of

8、relevant theories, as an example to Chongqing Tangkou Wujiang River Bridge, the use of finite element software MIDAS / CIVIL 2006 to establish space entity structure, we have carried on the static and the stable computation analysis to it though spatial three Collar (pole) the unit.1. using Large-sc

9、ale of finite element software, to research mechanical modeling of the bridge and give reinforced concrete arch bridge finite element model2. To Study the reinforced concrete arch bridge static state mechanical properties and discuss the supported cast-in-place bracket skewback to the reinforced con

10、crete arched bridges internal force and the distortion influence, and analyze its influence reason.3. To research the stability of reinforced concrete arch space,and analysis the construction phase of the overall stability of the structure .To study its stable and distortion when we remove the suppo

11、rted cast-in-place bracket skewback and analyzes its influence reason 4. Though the gathered stress and the distortion data, we carry on the analysis with the finite element models computed result to compare.5. Through the finite element model analysis, and becomes the bridge stage on the support ca

12、st-in-place bracket skewbacks supporting condition to this bridge in the construction stage the static and the overall stable influence launches the discussion and the research . this paper has given endogenic force and the distortion and the stable safety factor in the support change situationcontr

13、ol section, it had pointed out in the support change situation the remarkable influence stage and the reasonable range of variation to the support cast-in-place bracket skewback arched bridge endogenic force and the overall stability. And it has carried on the discussion to the support cast-in-place

14、 bracket skewback arched bridges reasonable demolition supports time, it has certain reference value to the support cast-in-place bracket skewback system bridge design.Key words: stent; cantilever pier; finite element; box arch; static analysis; stability;目 录摘 要Abstract第一章 绪论11.1 拱桥的简介11.1.1 拱桥的发展概况

15、11.1.2 拱桥的结构形式及受力特点21.1.3 钢筋混凝土拱桥在我国的发展现状31.2 课题的来源41.3 本文研究的主要内容5第二章 支架现浇悬臂拱脚箱型拱桥的有限元模型2.1有限元法理论基础62.1.1弹性理论基本方程62.1.2空间八结点等参单元92.1.3本文使用软件的理论142.1.4钢筋混凝土组合单元142.2依托的支架现浇悬臂拱脚箱型拱桥简介172.2.1主要技术标准172.2.2地形地貌、地质、水文特点172.2.3施工方案说明182.3依托的支架现浇悬臂拱脚箱型拱桥的有限元模型212.3.1有限元模型的基本假定212.3.2有限元仿真模型的建立222.3.3空间有限元模型

16、差异分析232.3.4仿真模型的静力特性检验及可靠性验证242.3.5材料等效弹性模量和等效容重242.3.6支座的模拟252.4小结25第三章 支架现浇悬臂拱脚箱型拱桥的静力计算分析3.1引言263.2施工阶段计算与分析263.3施工阶段支架现浇悬臂拱脚箱型拱桥的主拱静力计算分析283.3.1单片拱箱吊装合拢有无支架时的主拱静力计算分析 283.3.2双片拱箱吊装合拢有无支架时的主拱静力计算分析 293.3.3四片拱箱吊装合拢有无支架时的主拱静力计算分析 303.3.4全桥拱箱吊装合拢有无支架时的主拱静力计算分析 323.3.5成桥阶段有无支架时的主拱静力计算分析 333.4成桥运营阶段静力

17、计算分析 343.4.1影响线计算分析（利用影响线影响面分析做移动荷载分析的过程） 343.4.2活载状态下有无支架时的静力计算分析 353.5小结 38第四章 拱桥稳定的计算理论4.1 稳定问题 394.1.1 拱桥稳定性的基本概念及分类 394.1.2 拱面内的弹性屈曲 414.1.3 拱面外的弹性屈曲 424.1.4 拱桥的极限稳定承载力 424.2 拱桥的平面屈曲 434.2.1 圆弧拱及抛物线拱的屈曲 434.2.2 拱桥的平面压曲 444.3 拱桥的侧倾失稳 444.3.1 拱桥的侧倾稳定平衡方程 444.3.2 组拼的侧倾 45 4.4 拱桥稳定性分析的有限元法 484.4.1

18、平面梁单元的切线刚度矩阵 494.4.2 拱桥第一类稳定的线弹性有限元分析 524.4.3非线弹性有限元分析534.4.4第二类稳定问题的有限元分析544.4.5.荷载增量的选取554.4.6越过极值点554.5小结56第五章 支架现浇悬臂拱脚箱型拱桥的稳定性分析 5.1 引言57 5.2 施工阶段支架现浇悬臂拱脚箱型拱桥的稳定分析575.2.1单片拱箱吊装合拢有无支架时的稳定分析 575.2.2双片拱箱吊装合拢有无支架时的稳定分析 585.2.3四片拱箱吊装合拢有无支架时的稳定分析 595.2.4 全箱拱箱吊装合拢有无支架时的稳定分析 605.3 成桥阶段支架现浇悬臂拱脚箱型拱桥的稳定分析

19、615.3.1 只计恒载作用时(一期+二期)有无支架的稳定分析 615.3.2 桥梁成桥进入运营阶段时，在活载作用状态下有无支架时的稳定性分析 625.3.3 几何非线性对整体稳定性的影响 655.4 小结 66第六章 结论 67致 谢 69参考文献 70在学期间发表的论著及参加的实践科研项目 72第一章 绪论5第一章 绪论1.1拱桥的简介1.1.1拱桥的概况 拱桥是桥梁的基本形式之一，特别是在地质条件良好、地形合适的峡谷、海峡建造。大跨度拱桥不但具有经济意义，而且十分雄伟壮观。拱桥是我国古代劳动人民的创造，也是我国人民所喜爱的桥型。为了节约钢材，我国在解放后建造了大量的圬工拱桥，是公路桥梁的

20、主要桥型之一。拱桥在竖向荷载作用下，两端支撑处除了有竖向反力之外，还产生水平推力，正是这个水平推力，使得拱肋产生轴向压力，并大大减小了跨中的弯矩，使主拱截面的材料强度充分发挥了作用，跨越能力增大。根据理论推算，混凝土拱桥的极限跨度可达500m左右，钢拱桥的极限跨度可达1200m左右。也是这个推力，使修建拱桥要有较庞大的墩、台、和良好的地基。由于拱是主要承受压力的结构，因而，可以充分利用抗拉性能差而抗压性能较好的圬工材料(石料、混凝土、砖等)来建造拱桥，这种由圬工材料建造的拱桥，也称为圬工拱桥。这种拱桥具有就地取材、节省钢材和水泥、构造简单、有利于普及、承载潜力大、养护费用少等优点，因此在我国修

21、建得比较多。建于1990年、跨度120m的湖南凤凰县乌巢河大桥，是当今世界上跨度最大的石拱桥。为了减小拱的截面尺寸，减轻拱的质量，在混凝土拱中，配置有受力钢筋的，称之为钢筋混凝土拱桥。在钢筋混凝土拱桥中，截面的拉应力主要由受拉钢筋承受。这样，桥跨结构的工程数量可相应减少，有效地提高了拱桥的经济性能，扩大了拱桥的使用范围。同时，钢筋混凝土拱桥在建筑艺术上也容易处理，它可以通过选择合理的拱式体系及突出结构上的线条来达到美的效果。钢筋混凝土拱桥与斜拉桥相比，抗风稳定性强、造价低、维护费用少。目前世界上最大跨径的钢筋混凝土拱桥重庆万县长江大桥(1997年建成，主跨径420m)和南斯拉夫KRK桥(198

22、0年建成，跨径390m)就是在与其它大跨径桥梁方案作了比较之后而中选的。随着拱桥跨径的不断增大，如何减轻拱桥结构自重、改进施工方法和高强混凝土的开发使用，就成为修建和发展拱桥的重要问题。近年来，国内在箱形拱桥的基础上，出现了刚架拱桥、预应力混凝土组合析架拱桥、钢管混凝土拱桥和劲性骨架混凝土拱桥等新型拱桥。特别是钢管混凝土拱桥，由于它是先安装钢管拱，后填充管内混凝土，使得安装质量大大减轻，施工十分方便。而管内混凝土又由于钢管的套箍作用，使其强度(特别是抗压强度)得到很大的提高。以上的这些优点使得这种拱桥迅速发展，自1990年四川省建成第一座钢管混凝土拱桥以来，全国已相继建成50多座这类拱桥，其中

23、巫山长江大桥，主跨己经达到400m，是目前世界上最大的钢管混凝土拱桥。用钢管混凝土作为劲性骨架，外包混凝土形成主拱截面的劲性骨架混凝土拱桥，可使体积庞大的拱箱混凝土在符合拱的受力方式下逐渐形成，而不需要强劲的支架和强大的吊装能力使修建特大跨径的混凝土拱桥成为可能。1997年建成的重庆万县长江大桥(420m)和1996年建成的广西邕宁邕江大桥 (312m)均是这种类型的拱桥。1.1.2 拱桥的结构形式及受力特点拱桥的型式多种多样，构造各有差异，可以按照不同的方式来进行分类。例如:按照主拱圈(肋、箱)所使用的建筑材料可以分为圬工拱桥、钢筋混凝土拱桥及钢拱桥等;按照拱上建筑的形式可以分为实腹式拱桥及

24、空腹式拱桥;按照拱轴线的形式，可将拱桥分为圆弧拱桥、抛物线拱桥、悬链线拱桥等;按照桥面的位置可分为上承式拱桥、下承式拱桥和中承式拱桥:按照有无水平推力，可分为有推力拱桥和无推力拱桥等。在拱式桥跨结构中，行车系的行车道梁与拱组合共同受力，称为组合体系的拱桥。由于行车系与主拱的组合方式不同，其静力图式也不同。组合拱可分成无推力的和有推力的两类。同样，组合拱可以做成上承式的或下承式的。根据拱肋和系杆的刚度大小及吊杆的布置型式可以分为:具有竖直吊杆的柔性系杆刚性拱称系杆拱， 如图1-1具有竖直吊杆的刚性系杆柔性拱称蓝格尔拱， 如图1-2具有竖直吊杆的刚性系杆刚性拱称洛泽拱， 如图1-3以上三种拱，当用

25、斜吊杆来代替竖直吊杆时，称为尼尔森拱, 如图1-41-1)系杆拱 1-2)蓝格尔拱1-1)Tie bar arch 1-2) Blue Ghale arch1-3)洛泽拱 1-4)尼尔森拱 1-3) Luo Ze arch 1-4) Nielsen arch图1-1-1-4为无推力的组合拱体系 按车道在上部结构的位置，拱桥可分为上承式、下承式和中承式，这三种形式的适用条件、对水平推力的处理、横向联系以及桥面系均有所不同，在钢筋混凝土拱桥中，下承式拱一般带拉杆(系杆拱)，它主要用在建筑高度受限制和地基条件较差的情况下，下承式拱桥的截面只能是肋式或析式，以肋式为多，大跨径一般采用箱肋。根据上下部分

26、结构的联接方式，系杆拱又分为两种:一种是上下部之间刚接;一种是简支。第一种方式由于拉杆直接锚在墩台上，因而处理简单，施工张拉调整方便，且横向稳定性也好，但活载内力和次内力对下部结构影响较大。采用第一种方式的较多，如旺苍大桥、绍兴柯桥、南海佛陈大桥等。第二种方式结构受力明确，下部结构受力有利，但节点处理和拉杆张拉调整困难，支座构造复杂，较少采用。下承式拱桥常采用单跨形式。多跨时，边孔一般用梁式结构，多跨拱式结构在造型和系杆处理上难度均较大。广州解放大桥主桥为多跨下承式钢管混凝土拱，采用不等跨布置(55m+83.6m+55m )，拱与桥墩刚结，系杆三跨连续。钢结构下承式拱，常采用柔性系杆和柔性吊杆

27、，主要靠风撑将拱肋联成整体，因此横撑间距较密，刚度也较大，甚至用K撑，如南海佛陈大桥。如果要取消风撑，须改用刚性系梁，或加大拱肋刚度。宁波篡园桥和广州解放大桥均为无风撑下承式拱，前者为刚性梁组合结构，后者则采用较大刚度的拱肋。中承式拱的构造介于上承式和下承式之间，其建筑造型极佳，在城市桥梁中往往受到青睐，但过去用钢筋混凝土建造，则显得过于粗笨。中承式拱桥常用在主跨，边跨配上承式，一般不带系杆，其水平推力通过边孔小跨采用小的矢跨比，边拱采用恒载集度比钢管混凝土拱肋大的钢管混凝土板拱、肋拱、刚架拱等来解决。这样处理也较经济，且总体造型上主孔中承式位于广阔的江中，视野开阔，不会造成与沿江建筑物相拥挤

28、的感觉，又由于边孔衬托，显得雄伟壮观，车行其间，又有出入门户的感觉，往往成为城市标志性建筑，有时受建筑高度限制或由于其它原因，边跨也用中承式，如浙江新安江大桥和福建仙游兰溪大桥，由于主边跨比例得当，其立面效果很好，但横桥向较难处理，容易产生杂乱的感觉。上承式采用较多，上承式拱建筑高度大，对地基要求高，适合于峡谷桥位，上承式钢拱桥有肋拱、析拱、箱拱以及精架拱和刚架拱。上承式构造,横向联系容易布置，桥面系支承于立柱上，整体性、横向稳定性和抗震性均较好，本论文依托的支架现浇悬臂拱脚箱型拱桥-上塘口乌江大桥为上承式拱桥。1.1.3钢筋混凝土拱桥在我国的发展现状 20世纪70,80年代我国修建了大量的钢

29、筋混凝土箱形拱桥，其中不少采用传统的缆索吊装，卷扬机、滑轮组、钢丝绳斜拉扣挂的施工工艺，但是由于当时的设计水平、吊装能力及施工工艺的不完善，严重制约了钢筋混凝土拱桥向大跨化、轻型化发展。 近年来，我国在传统的无支架吊装施工工艺上取得了突破，创建了缆索吊装、千斤顶、钢绞线斜拉扣挂悬拼施工工艺，并在1990年采用该工艺建成四川宜宾小南门金沙江大桥，随后此项工艺又成功地用于广西岂宁岂江大桥、四川万县长江大桥、广西来宾磨东红水河桥等多座大型钢筋混凝土拱桥的建造。目前，在建的主跨150米的乌江大桥也采用了该工艺。相比之下，这种被称为缆索吊装斜拉扣挂悬拼法的新工艺具有下列特点:施工体系由吊装和扣挂悬拼两个

30、系统组成，吊装系统与传统吊装无异，而扣挂悬拼系统有自己的扣塔、扣索(钢绞线或高强钢丝制成)及扣锚构造:可以很好地控制拱轴线，不受吊装节段数量限制，便于施工控制，更加完善和科学化。 随着这种新工艺的进一步改进、完善，相信打破目前钢管混凝土拱桥在我国大跨度拱桥一统天下的局面为时不晚，毕竟在钢管混凝土的本构关系及计算理论上，我们的认识还存在很大的局限性。表1-1我国90年代后利用缆索吊装斜拉扣挂悬拼法建成的或在建的钢筋混凝土悬臂拱脚拱桥。表1-1悬臂拱脚拱桥列表 Table 1-1 Arch foot cantilever bridge list桥名竣工年份结构形式跨径(米)拱轴线形式重庆菜园坝长江

31、大桥广州新光大桥重庆上塘口乌江大桥20072006在建钢管混凝土拱桥三跨连续刚架飞雁式钢桁系杆拱桥上承式箱板拱420428163悬链线悬链线悬链线12课题的来源目前，大跨度钢筋混凝土拱桥采用箱拱日益增多，然而悬臂拱脚钢筋混凝土拱桥的建成数量却不多。已经竣工通车的重庆菜园坝长江大桥是以悬臂拱脚构成不对称Y型刚构连接钢箱系杆拱，广州新光大桥是以悬臂拱脚构成V型墩支撑钢拱桥。而正在建设的重庆上塘口乌江大桥是两侧对称采用悬臂拱脚的钢筋混凝土箱型拱桥。悬臂拱脚的拱桥应用的增多是由于它独特的结构形式和悬臂拱脚大跨度拱桥提高了结构本身防撞能力减小结构防腐及维修费用提高结构整体刚度，能有效减小主拱的计算跨度这

32、种良好的应用前景所决定的，所以深入研究支架现浇悬臂拱脚拱桥的力学性能具有重大社会意义和经济价值。本课题部分研究内容来源于重庆上塘口乌江大桥主桥的施工监控研究，研究成果可直接应用于重庆上塘口乌江大桥主桥的施工和维护。1.3 本文研究的主要内容 本文结合重庆上塘口乌江大桥的实际设计方案，采用MIDAS/CIVIL2006软件，运用有限元的分析方法对重庆上塘口乌江大桥在施工和成桥运营阶段进行静力分析，对乌江大桥在施工和成桥运营阶段的整体稳定性进行了线弹性和几何非线性的分析，得出了比较合乎实际的稳定性安全系数，并对支架影响该桥整体结构受力和稳定性进行了研究和探讨。下面分别介绍各章的主要内容:第一章为绪

33、论。结合本论文的选题对拱桥的的发展概况、结构形式及发展方向作了简介。第二章为重庆上塘口乌江大桥的有限元模型的相关细节。第三章为重庆上塘口乌江大桥计算与分析，分析在施工阶段有、无支架时悬臂墩的应力和内力，施工阶段有、无支架时主拱圈控制截面的应力和内力和变形。分析运营阶段有、无支架时主拱圈控制截面的应力和内力和变形。第四章为拱桥稳定的计算理论，阐述了拱桥平面屈曲和侧倾失稳的相关理论，给出了组拼拱侧倾失稳临界荷载的解析法计算公式，并介绍了拱桥稳定的有限单元法。第五章 为重庆上塘口乌江大桥的稳定性分析。第六章总结全文。通过对重庆上塘口乌江大桥的计算分析得到1）支架现浇悬臂拱脚大跨度钢筋混凝土箱型板拱桥

34、应力分布研究结果；2）获得支架现浇悬臂拱脚大跨度钢筋混凝土箱型板拱桥受力与支架现浇悬臂拱脚的因果关系；3）提出在支架现浇悬臂拱脚混凝土箱型板拱结构中拆除支架的合理时间和顺序。第二章 支架现浇悬臂拱脚箱型拱桥的有限元模型25第二章 支架现浇悬臂拱脚箱型拱桥的有限元模型2.1有限元法理论基础有限元法是利用变分原理求解数学物理问题的数值计算方法，是工程方法和数学方法相结合的产物，可以解决许多过去解析法无法求解的问题，即使对边界条件和结构形状极不规则的复杂结构来说也是一种非常有效的数值分析方法。有限元的起源可以追溯到上世纪50年代，是在结构力学矩阵分析方法的基础上建立和发展起来的，第一次正式使用“有限

35、单元”（Finite Element）这一术语并提出这种方法的是美国加州大学伯克利分校的RWClough教授。经过半个世纪的发展，有限元法已广泛应用于航天、航空、土木、造船、机械、水利、热传导、流体力学、电磁场等工程领域，在求解各种工程问题方面取得了巨大的成功。结构分析是工程结构设计的重要环节，其目的首先是确定结构在静定或运动条件下受指定荷载、温度和约束作用时的应力和位移分布。为了保证结构能正常工作，必须满足强度、刚度和稳定性方面的要求。传统的结构分析采用解析方法，但许多实际问题无法用解析方法进行求解。而有限元法的基础是结构离散和分片插值。在结构分析中，不论其外形、边界条件等如何复杂，通过结构

36、离散，总可以使得每个单元的形状变的简单，对每个单元给出符合条件的假定位移模式，便可以用数量很多但有限的单元以一定的方式连接成的整体模型来模拟这一复杂结构及其边界约束和受力条件，然后从能量原理出发建立整体控制方程，求解这一系列线性代数方程组就可以得到结构的位移场进而求出应力场。以此求出的数值解完全可以逼近真实解，使计算精度提高，从而为结构设计提供精确的参数。2.1.1弹性理论基本方程弹性理论是有限元分析的基本理论，对在外力作用下处于平衡状态下的任一弹性体，它都满足弹性理论的基本方程。1.平衡微分方程：如图2.5所示弹性体内边长为的微分六面体单元，如果弹性体处于平衡状态，则微分六面体也应处于平衡状

37、态。微分体上的力应当满足静力平衡。即： 式（2.1）式中：、分别为体积力在、三个坐标轴上的投影。图2.5 六面体微分单元的内力和外力 图2-1 Fig2-12边界条件 任意一个弹性体的边界条件可分为两部分：一部分是已知面力的应力边界条件，根据力的平衡关系有： 式（2.2）上式即为应力边界条件条件。式中：、是边界斜面的法线与坐标x、y、z的方向余弦；，分别表示该边界斜截面上的面力沿坐标轴x、y、z方向的分量。另一部分是已知位移的边界条件，表示为： 式（2.3）式中：，是弹性体边界上给定的位移； u，v，w是坐标的待求函数。3.几何方程弹性体在外力作用下，不仅产生应力，同时还有位移和应变，任意一点

38、的位移可以用它在坐标轴x、y、z方向上的投影u，v，w来表示。由于物体的连续性，相邻各点间位移必然相互制约，这种制约状态引起物体变形，因而位移分量和应变分量必有一确定的几何关系，表示为： 式（2.4）4.物理方程 对各向同性弹性体，根据广义虎克定律,应力应变之间有如下关系： 式（2.5）表示成矩阵形式为: 式（2.6）式中: 弹性模量；剪切模量；泊松比;其中: 式（2.7）解上述方程得: 式（2.8）式中：d为弹性矩阵。 式（2.9）2.1.2空间八结点等参单元1等参数单元在有限元分析中，为了求解复杂的结构，经常采用等参数单元。这种单元的实质是通过坐标转换将规则的单元变换为结构中的实际单元。称规则的单元为母单元，而实际单元称为子单元，由于在坐标变换式和位移模式中采用了等同的形函数，所以该实体单元也成为等参数单元。本论文采用的软件即是采用的空间八节点等参数实体单元，如图2.6所示。下面简述其原理，等参数单元由八节点六面体实际单元到母单元的坐标变换式为： 式（2.10） 图2-2节点六面体单元 Fig 2-2 Node hexahedral element位移模式为： 式（2.11）其中形函数： 式（2.12）2 空间等参数单元的数学分析