垫江二中高中级数学竞赛试题.doc

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1、重庆市垫江二中重庆市垫江二中 10-1110-11 学年高二上学期竞赛试题学年高二上学期竞赛试题 时间：时间：150150 分钟分钟 满分：满分：150150 分分 命题人：王命题人：王 超超 一一. . 选择题：（本大题共选择题：（本大题共 1010 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 5050 分。在各题所给出的四个选项中，有分。在各题所给出的四个选项中，有 且只有一个是正确的，请将正确选项的代号填在答题卡上）且只有一个是正确的，请将正确选项的代号填在答题卡上） 1. 条件：“直线 在y轴上的截距是在 x 轴上截距的两倍” ；条件：“直线 的斜率为plql 2” ， 则是的（

2、pq ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件D非充分也非必要条件 2. 已知椭圆的右焦点为,右准线为 ，点，线段交于点. 2 2 :1 2 x CyFlAlAFCB 若,则= ( )3FAFB |AF A. B.2 C. D.3 w.w.w.k.s.5.u.c.o23 3. 函数的定义域为 R，若与都是奇函数，则 ( ) w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ( )f x(1)f x(1)f x A.是偶函数 B.是奇函数 C. D.是奇函数( )f x( )f x( )(2)f xf x(3)f x 4. 已知，则 2 45 ( ) 24 xx f x x 有 （ ）2x A

3、最大值 1.25 B 最小值 1.25 C 最大值 4 D 最小值 1 5. 已知 A（-1，0）. B（1，0） ，点 C（x，y）满足 22 (1)1 42 xy x ，则ACBC= （ ） A 6 B 4 C 2 D 不能确定 6. 已知点)0 , 2()4 , 0(),(BAyxP和到的距离相等，则 yx 42 的最小值为（ ） A2B4C 28 D 24 7. 在圆内过点（ 2 5 ， 2 3 ）有条弦的长度成等差数列，最短弦长为数列首xyx5 22 n 项,最长弦长为，若公差 3 1 , 6 1 ，那么的取值集合 （ 1 a n adn ） A 654 、 B9876、 C543

4、、 D.6543、 8. 已知双曲线的准线过椭圆的焦点，则直线与椭圆至 22 1 22 xy 22 2 1 4 xy b 2ykx 多有一个交点的充要条件是 A. B. 1 1 , 2 2 K 11 , 22 K C. D. 22 , 22 K 22 , 22 K 9. 对于正实数，记为满足下述条件的函数构成的集合：且，M( )f x 12 ,x xR 21 xx 有下列结论中正确的是 ( ) 212121 ()()()()xxf xf xxx A若，则 1 ( )f xM 2 ( )g xM 12 ( )( )f xg xM B若，且，则 1 ( )f xM 2 ( )g xM( )0g x

5、 1 2 ( ) ( ) f x M g x C若，则 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 1 ( )f xM 2 ( )g xM 12 ( )( )f xg xM D若，且，则 1 ( )f xM 2 ( )g xM 12 12 ( )( )f xg xM 10.古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数。比如：w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 他们研究过图 1 中的 1，3，6，10，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形 数；类似的，称图 2 中的 1，4，9，16，这样的数为正方形数。下列数中既是三角形数 又是正方形数的是 （ ） A. 289 B. 1024 C.

6、1225 D. 1378 二二. 填空题：（每小题填空题：（每小题 5 5 分，共分，共 2020 分，把答案填在题中横线上）分，把答案填在题中横线上） 11. 对于椭圆1 916 22 yx 和双曲线1 97 22 yx 有下列命题： 椭圆的焦点恰好是双曲线的顶点; 双曲线的焦点恰好是椭圆的顶点; 双曲线与椭圆共焦点; 椭圆与双曲线有两个顶点相同. 其中正确命题的序号是 . 12. 如图，在平面直角坐标系中，为椭圆xoy 1212 ,A A B B 的四个顶点，为其右焦点，直线 22 22 1(0) xy ab ab F 与直线相交于点 T，线段与椭圆的交点 12 AB 1 B FOT M恰

7、为线段的中点，则该椭圆的离心率为 .OT 13.已知函数.项数为 27 的等差数列满足，且公差xxxftansin)( n a 22 ， n a .若，则当=_是，.0d0)()()( 2721 afafafk0)( k af 14. 将函数的图像绕坐标原点逆时针方向旋转角 2 462yxx )60(，x ，得到曲线.若对于每一个旋转角，曲线都是一个函数的图像，则的)0(CC 最大值为_ 15. 已知数列满足：（m 为正整数） ，若， n a 1 am 1 , 2 31, n n n nn a a a aa 当为偶数时， 当为奇数时。 6 a 1 则 m 所有可能的取值为_. 三. 解答题：（

8、共 6 题，总分 75 分） 16. （本题满分 12 分）垫江县某商场为使销售空调和冰箱获得的总利润达到最大，对即将 出售的空调和冰箱相关数据进行调查，得出下表： 每台空调或冰箱所需资金（百元） 资金 空调冰箱 月资金供应数量 （百元） 成本 3020300 工人工资 510110 每台利润 68 问：该商场怎样确定空调或冰箱的月供应量，才能使总利润最大？ 17. （本题满分 12 分）某地街道呈现东西. 南北向的网格状，相邻街距都为 1.两街 道相交的点称为格点。若以互相垂直的两条街道为轴建立直角坐标系，现有下述格点 ，为报刊零售点.请确定一个格点（除零售)2 , 2() 1 , 3()4

9、 , 3()3 , 2()5 , 4()6 , 6( 点外）为发行站，使 6 个零售点沿街道到发行站之间路程的和最短.并求出最短路程. 18.（本题满分 12 分） 按照某学者的理论，假设一个人生产某产品单件成本为a元，如 果他卖出该产品的单价为m元，则他的满意度为 m ma ；如果他买进该产品的单价为n元， 则他的满意度为 n na .如果一个人对两种交易(卖出或买进)的满意度分别为 1 h和 2 h，则他 对这两种交易的综合满意度为 1 2 hh. 现假设甲生产 A、B 两种产品的单件成本分别为 12 元和 5 元，乙生产 A、B 两种产品 的单件成本分别为 3 元和 20 元，设产品 A

10、、B 的单价分别为 A m元和 B m元，甲买进 A 与 卖出 B 的综合满意度为h乙，乙卖出 A 与买进 B 的综合满意度为h乙 (1)求h乙和h乙关于 A m、 B m的表达式；当 3 5 AB mm时，求证：h乙=h乙； (2)设 3 5 AB mm，当 A m、 B m分别为多少时，甲、乙两人的综合满意度均最大？最大的 综合满意度为多少？ (3)记(2)中最大的综合满意度为 0 h，试问能否适当选取 A m、 B m的值，使得 0 hh 乙 和 0 hh 乙 同时成立，但等号不同时成立？试说明理由。 19(本题满分 12 分) 设a为实数，函数 2 ( )2()|f xxxaxa. (

11、1)若(0)1f，求a的取值范围； (2)求( )f x的最小值； (3)设函数( )( ),( ,)h xf x xa，直接写出(不需给出演算步骤)不等式( )1h x 的解集. 20. （本题满分 13 分）设椭圆 E: （a,b0）过 M（2，） ，N(,1)两点， 22 22 1 xy ab 26 O 为坐标原点， （I）求椭圆 E 的方程； （II）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点 A,B,且 ？若存在，写出该圆的方程，并求|AB |的取值范围，若不存在说明理由。OAOB 21. （本题满分 14 分）已知是公差为的等差数列，是公比为的等比数列.

12、 n ad n bq (1) 若，是否存在，有说明理由； 31 n an * mkN、 1 ? mmk aaa (2) 找出所有数列和，使对一切,并说明理由； n a n b * nN 1n n n a b a (3) 若试确定所有的，使数列中存在某个连续项的和是 11 5,4,3,adbqp n ap 数列中的一项，请证明。 n b 重庆市垫江二中重庆市垫江二中 10-1110-11 学年高二上学期竞赛试题参考答案学年高二上学期竞赛试题参考答案 一.选择题 1-5 BADDB 6-10 BCACC 二.填空题 11. 12. 13. 14 14. 15. 4 5 32572 2 arctan

13、 3 三.解答题 16.设空调和冰箱的月供应量分别为yx,台，月总利润为z百元 则yxz Nyx yx yx 86, , 110105 3002030 * 3 分 作出可行域6 分 84 3z xy，纵截距为 8 z ，斜率为 k= 4 3 ， 满足 20 30 10 5 k 欲z最大，必 8 z 最大，此时，直线 84 3z xy必过图形 * , 110105 3002030 Nyx yx yx 的一个交点（4，9） ，yx,分别为 4，9 空调和冰箱的月供应量分别为 4、9 台时，月总 利润为最大. 12 分 17.解：设发行站的位置为，零售点到发行站的距离为, x y 222231434

14、566zxyxyyyxyxy 这六个点的横纵坐标的平均值为，记 233246 2 6 2143567 62 A（2，） 2 7 画出图形可知，发行站的位置应该在点 A 附近，代入附近的点的坐标进行比较可知，在 （3,3）处 z 取得最小值.即.22 min z z=6x+8y 30x+20y=300 5 5x x+ +1 10 0y y= =1 11 10 0 y y x x (4,9) o 1 18.解：（1） 当时， , 3 5 AB mm 2 3 5 3 5(20)(5) 12 5 B BB BBB B m mm h mmm m 甲 , h乙=h乙 2 3 5 3 20(5)(20) 3

15、 5 B BB BBB B m mm h mmm m 乙 （2）当时， 3 5 AB mm 2 2 11 =, 20511 (20)(5) (1)(1)100()251 B BB BBBB m h mm mmmm 甲 由， 111 5,20, 20 5 B B m m 得 故当即时， 11 20 B m 20,12 BA mm 甲乙两人同时取到最大的综合满意度为。 10 5 （3）由（2）知：= 0 h 10 5 由得：， 0 10 = 1255 AB AB mm hh mm 甲 1255 2 AB AB mm mm 令则，即：。 35 , AB xy mm 1 ,1 4 xy、 5 (14

16、)(1) 2 xy 同理，由得： 0 10 5 hh 乙 5 (1)(14 ) 2 xy 另一方面， 1 ,1 4 xy、141xx 5 、1+4y 2, 5 ,、1+y , 2 , 2 当且仅当，即 A m= B m时，取等号。 55 (1 4 )(1),(1)(1 4 ), 22 xyxy 1 4 xy 所以不能否适当选取 A m、 B m的值，使得 0 hh 乙 和 0 hh 乙 同时成立，但等号不同时成立。 19.解：（1）若，则(0)1f 2 0 | 11 1 a a aa a （2）当时，xa 22 ( )32,f xxaxa 2 2 min ( ),02,0 ( ) 2 ( ),

17、0 ,0 3 3 f a aaa f x a a fa a 当时，xa 22 ( )2,f xxaxa 2 min 2 (),02,0 ( ) ( ),0 2,0 fa aaa f x f a a aa 综上 2 2 min 2,0 ( ) 2 ,0 3 aa f x a a （3）时，得，( ,)xa( )1h x 22 3210xaxa 222 412(1)128aaa 当时，； 66 22 aa 或0,( ,)xa 当时，0,得： 66 22 a 22 3232 ()()0 33 aaaa xx xa 讨论得：当时，解集为; 26 (,) 22 a( ,)a 当时，解集为; 62 (,)

18、 22 a 22 3232 ( ,) 33 aaaa a 当时，解集为. 22 , 22 a 2 32 ,) 3 aa 20.解:（1）因为椭圆 E: （a,b0）过 M（2，） ，N (,1)两点, 22 22 1 xy ab 26 所以解得所以椭圆 E 的方程为 22 22 42 1 61 1 ab ab 2 2 11 8 11 4 a b 2 2 8 4 a b 22 1 84 xy （2）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点 A,B,且 ,设该圆的切线方程为解方程组得,OAOB ykxm 22 1 84 xy ykxm 22 2()8xkxm 即, 2

19、22 (12)4280kxkmxm 则=,即 222222 164(12)(28)8(84)0k mkmkm 22 840km 12 2 2 12 2 4 12 28 12 km xx k m x x k 222222 222 12121212 222 (28)48 ()()() 121212 kmk mmk y ykxm kxmk x xkm xxmm kkk 要使,需使,即,所以,所OAOB 1212 0x xy y 222 22 288 0 1212 mmk kk 22 3880mk 以又,所以,所以, 2 2 38 0 8 m k 22 840km 2 2 2 38 m m 2 8 3

20、 m 即或,因为直线为圆心在原点的圆的一条切线,所以圆的半 2 6 3 m 2 6 3 m ykxm 径为,所求的圆为,此时圆 2 1 m r k 22 2 22 8 3813 1 8 mm r mk 2 6 3 r 22 8 3 xy 的切线都满足或,ykxm 2 6 3 m 2 6 3 m 而当切线的斜率不存在时切线为与椭圆的两个交点为 2 6 3 x 22 1 84 xy 或满足, 2 62 6 (,) 33 2 62 6 (,) 33 OAOB 综上, 存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点 22 8 3 xy A,B,且.OAOB 因为, 12 2 2 1

21、2 2 4 12 28 12 km xx k m x x k 所以, 222 222 121212 2222 4288(84) ()()4()4 1212(12) kmmkm xxxxx x kkk 22 2 2222 121212 22 8(84) |()(1)()(1) (12) km ABxxyykxxk k , 422 4242 32 45132 1 34413441 kkk kkkk 当时0k 2 2 321 |1 1 3 44 AB k k 因为所以, 2 2 1 448k k 2 2 11 0 1 8 44k k 所以, 2 2 32321 112 1 33 44k k 所以当且

22、仅当时取”=”. 4 6 | 2 3 3 AB 2 2 k 当时,.0k 4 6 | 3 AB 当 AB 的斜率不存在时, 两个交点为或,所以此时 2 62 6 (,) 33 2 62 6 (,) 33 , 4 6 | 3 AB 综上, |AB |的取值范围为即: 4 6 | 2 3 3 AB 4 | 6,2 3 3 AB 21.解法一（1）由，得， 2 分 1mmk aaa 6531mk 整理后，可得，.，为整数， 4 2 3 kmmk N 2km 不存在.，使等式成立。 4 分mk N （2）若，即， （*） 1n n a b a 1 1 1 1 (1) n and bq and （）若则

23、。 0,d 1 1 1 n n bqb 当为非零常数列，为恒等于 1 的常数列，满足要求。 6 分 n a n b （）若， （*）式等号左边取极限得， （*）式等号右边的极限0d 1 1 lim1 (1) n and and 只有当时，才能等于 1。此时等号左边是常数，矛盾。1q 0d 综上所述，只有当为非零常数列，为恒等于 1 的常数列，满足要求。 8 分 n a n b 【解法二】设 1 , n nnn n a andcbb a 若且为等比数列 则 *2 21 21 1 /, nn nnn nn aa qnNa aqa aa 对都成立，即 2 ()(2)()dnc dndcq dndc

24、*227 nNaqd对都成立，分 （i）若 d=0，则 * 0,1, nn acbnN （ii）若（常数）即，则 d=0，矛盾0,d 则q=1, n bm dndc m dnc 综上所述，有， 8 分 n n n nn b a a Nbca 1 *, n, 1, 0使对一切 （3） *,3, 14Nnbna n nn 设.NmNkpbaa k kpmmm ,3a * 21 、 ， k p pmm 3 2 1)(41) 1(4 . 10 分NspNp p pm k ,3*,k, 3 324 5 、 取 12 分, 03) 14(2) 14(33234 , 23 2222 ssss msk 由二项展开式可得正整数 M1.M2，使得（4-1）2s+2=4M1+1, , 2) 1(8) 14(2 2 ss M ., 21) 1()2(44 21 满足要求存在整数mMMm s 故当且仅当 p=3s,sN 时，命题成立. 14 分